Casi todos

En matemáticas , el término " casi todos " significa "todos menos una cantidad despreciable". Más precisamente, si es un conjunto , "casi todos los elementos de " significa "todos los elementos de excepto aquellos en un subconjunto despreciable de ". El significado de "despreciable" depende del contexto matemático; por ejemplo, puede significar finito , contable o nulo . ${\estilo de visualización X}$ ${\estilo de visualización X}$ ${\estilo de visualización X}$ ${\estilo de visualización X}$

Por el contrario, " casi ningún " significa "una cantidad insignificante"; es decir, "casi ningún elemento de " significa "una cantidad insignificante de elementos de ". ${\estilo de visualización X}$ ${\estilo de visualización X}$

Significados en diferentes áreas de las matemáticas

Significado prevaleciente

En las matemáticas, "casi todos" se utiliza a veces para significar "todos (los elementos de un conjunto infinito ) excepto un número finito ". ^[1]^[2] Este uso también se da en filosofía. ^[3] De manera similar, "casi todos" puede significar "todos (los elementos de un conjunto incontable ) excepto un número contable ". ^{[sec 1]}

Ejemplos:

Casi todos los números enteros positivos son mayores que 10 ¹² . ^[4]^{: 293}
Casi todos los números primos son impares (2 es la única excepción). ^[5]
Casi todos los poliedros son irregulares (sólo hay nueve excepciones: los cinco sólidos platónicos y los cuatro poliedros de Kepler-Poinsot ).
Si P es un polinomio distinto de cero , entonces P(x) ≠ 0 para casi todos los x (si no todos los x ).

Significado en la teoría de la medida

La función de Cantor como una función que tiene derivada cero casi en todas partes

Cuando se habla de los números reales , a veces "casi todos" puede significar "todos los números reales excepto un conjunto nulo ". ^[6]^[7]^{[sec 2]} De manera similar, si S es un conjunto de números reales, "casi todos los números en S " puede significar "todos los números en S excepto aquellos en un conjunto nulo". ^[8] La línea real puede considerarse como un espacio euclidiano unidimensional . En el caso más general de un espacio n -dimensional (donde n es un entero positivo), estas definiciones pueden generalizarse a "todos los puntos excepto aquellos en un conjunto nulo" ^{[sec 3]} o "todos los puntos en S excepto aquellos en un conjunto nulo" (esta vez, S es un conjunto de puntos en el espacio). ^[9] Incluso de manera más general, "casi todos" a veces se usa en el sentido de " casi en todas partes " en la teoría de la medida , ^[10]^[11]^{[sec 4]} o en el sentido estrechamente relacionado de " casi con seguridad " en la teoría de la probabilidad . ^[11]^{[sec 5]}

Ejemplos:

En un espacio de medida , como la recta real, los conjuntos numerables son nulos. El conjunto de los números racionales es numerable, por lo que casi todos los números reales son irracionales. ^[12]
El primer artículo de teoría de conjuntos de Georg Cantor demostró que el conjunto de números algebraicos también es contable, por lo que casi todos los números reales son trascendentales . ^[13]^{[sec 6]}
Casi todos los números reales son normales . ^[14]
El conjunto de Cantor también es nulo, por lo que casi todos los números reales no están en él, aunque sea incontable. ^[6]
La derivada de la función de Cantor es 0 para casi todos los números en el intervalo unitario . ^[15] Esto se deduce del ejemplo anterior porque la función de Cantor es localmente constante y, por lo tanto, tiene derivada 0 fuera del conjunto de Cantor.

Significado en la teoría de números

En teoría de números , "casi todos los números enteros positivos" puede significar "los números enteros positivos en un conjunto cuya densidad natural es 1". Es decir, si A es un conjunto de números enteros positivos, y si la proporción de números enteros positivos en A por debajo de n (de todos los números enteros positivos por debajo de n ) tiende a 1 cuando n tiende a infinito , entonces casi todos los números enteros positivos están en A. ^[16]^[17]^{[sec 7]}

De manera más general, sea S un conjunto infinito de números enteros positivos, como el conjunto de números positivos pares o el conjunto de primos , si A es un subconjunto de S , y si la proporción de elementos de S por debajo de n que están en A (de todos los elementos de S por debajo de n ) tiende a 1 cuando n tiende a infinito, entonces se puede decir que casi todos los elementos de S están en A.

Ejemplos:

La densidad natural de los conjuntos cofinitos de números enteros positivos es 1, por lo que cada uno de ellos contiene casi todos los números enteros positivos.
Casi todos los números enteros positivos son compuestos . ^{[sección 7]}^{[prueba 1]}
Casi todos los números pares positivos pueden expresarse como la suma de dos primos. ^[4]^{: 489}
Casi todos los primos son aislados . Además, para cada entero positivo $g$ , casi todos los primos tienen huecos mayores que $g$ tanto a su izquierda como a su derecha; es decir, no hay ningún otro primo entre $p - g$ y $p + g$ . ^[18]

Significado en la teoría de grafos

En teoría de grafos , si A es un conjunto de grafos ( etiquetados como finitos ) , se puede decir que contiene casi todos los grafos, si la proporción de grafos con n vértices que están en A tiende a 1 cuando n tiende a infinito. ^[19] Sin embargo, a veces es más fácil trabajar con probabilidades, ^[20] por lo que la definición se reformula de la siguiente manera. La proporción de grafos con n vértices que están en A es igual a la probabilidad de que un grafo aleatorio con n vértices (elegido con la distribución uniforme ) esté en A , y elegir un grafo de esta manera tiene el mismo resultado que generar un grafo lanzando una moneda para cada par de vértices para decidir si conectarlos. ^[21] Por lo tanto, de manera equivalente a la definición anterior, el conjunto A contiene casi todos los grafos si la probabilidad de que un grafo generado al lanzar una moneda con n vértices esté en A tiende a 1 cuando n tiende a infinito. ^[20]^[22] A veces, la última definición se modifica de modo que el gráfico se elige aleatoriamente de alguna otra manera , donde no todos los gráficos con n vértices tienen la misma probabilidad, ^[21] y esas definiciones modificadas no siempre son equivalentes a la principal.

El uso del término "casi todo" en la teoría de grafos no es estándar; el término " asintóticamente casi con seguridad " se utiliza más comúnmente para este concepto. ^[20]

Ejemplo:

Casi todos los gráficos son asimétricos . ^[19]
Casi todos los gráficos tienen un diámetro de 2. ^[23]

Significado en topología

En topología ^[24] y especialmente en teoría de sistemas dinámicos ^[25]^[26]^[27] (incluidas las aplicaciones en economía), ^[28] "casi todos" los puntos de un espacio topológico pueden significar "todos los puntos del espacio excepto aquellos en un conjunto exiguo ". Algunos usan una definición más limitada, donde un subconjunto contiene casi todos los puntos del espacio solo si contiene algún conjunto denso abierto . ^[26]^[29]^[30]

Ejemplo:

Dada una variedad algebraica irreducible , las propiedades que se cumplen para casi todos los puntos de la variedad son exactamente las propiedades genéricas . ^{[sec 8]} Esto se debe al hecho de que en una variedad algebraica irreducible equipada con la topología de Zariski , todos los conjuntos abiertos no vacíos son densos.

Significado en álgebra

En álgebra abstracta y lógica matemática , si U es un ultrafiltro en un conjunto X, "casi todos los elementos de X " a veces significa "los elementos de algún elemento de U ". ^[31]^[32]^[33]^[34] Para cualquier partición de X en dos conjuntos disjuntos , uno de ellos necesariamente contendrá casi todos los elementos de X. Es posible pensar en los elementos de un filtro en X como si contuvieran casi todos los elementos de X , incluso si no es un ultrafiltro. ^[34]

Pruebas

^ El teorema de los números primos muestra que el número de primos menores o iguales a n es asintóticamente igual a n /ln( n ). Por lo tanto, la proporción de primos es aproximadamente ln( n )/ n , que tiende a 0 cuando n tiende a infinito , por lo que la proporción de números compuestos menores o iguales a n tiende a 1 cuando n tiende a infinito. ^[17]

Véase también

Referencias

Fuentes primarias

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