Número algebraico

Número complejo que es raíz de un polinomio distinto de cero en una variable con coeficientes racionales

La raíz cuadrada de 2 es un número algebraico igual a la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de longitud 1.

Un número algebraico es un número que es raíz de un polinomio distinto de cero (de grado finito) en una variable con coeficientes enteros (o, equivalentemente, racionales ). Por ejemplo, la proporción áurea , , es un número algebraico, porque es una raíz del polinomio x ² − x − 1 . Es decir, es un valor para x para el cual el polinomio se evalúa como cero. Como otro ejemplo, el número complejo es algebraico porque es una raíz de x ⁴ + 4 . ${\displaystyle (1+{\sqrt {5}})/2}$ ${\displaystyle 1+i}$

Todos los números enteros y racionales son algebraicos, al igual que todas las raíces de los números enteros . Los números reales y complejos que no son algebraicos, como π y e , se denominan números trascendentales .

El conjunto de los números algebraicos (complejos) es infinito numerable y tiene medida cero en la medida de Lebesgue como subconjunto de los números complejos incontables . En ese sentido, casi todos los números complejos son trascendentales . De manera similar, el conjunto de los números algebraicos (reales) es infinito numerable y tiene medida cero de Lebesgue como subconjunto de los números reales, y en ese sentido, casi todos los números reales son trascendentales.

Ejemplos

• Todos los números racionales son algebraicos. Cualquier número racional, expresado como el cociente de un entero a y un número natural (distinto de cero) b , satisface la definición anterior, porque x = ⁠a/b⁠ es la raíz de un polinomio distinto de cero, es decir, bx − a . ^[1]
• Los números irracionales cuadráticos , soluciones irracionales de un polinomio cuadrático ax ² + bx + c con coeficientes enteros a , b y c , son números algebraicos. Si el polinomio cuadrático es mónico ( a = 1 ), las raíces se califican además como enteros cuadráticos .
  • Los números enteros gaussianos , números complejos a + bi para los cuales tanto a como b son números enteros, también son números enteros cuadráticos. Esto se debe a que a + bi y a − bi son las dos raíces de la ecuación cuadrática x ² − 2 ax + a ² + b ² .
• Un número construible se puede construir a partir de una unidad de longitud dada utilizando una regla y un compás. Incluye todas las raíces irracionales cuadráticas, todos los números racionales y todos los números que se pueden formar a partir de estos utilizando las operaciones aritméticas básicas y la extracción de raíces cuadradas. (Al designar las direcciones cardinales para +1, −1, + i y − i , los números complejos como se consideran construibles). ${\displaystyle 3+i{\sqrt {2}}}$
• Cualquier expresión formada a partir de números algebraicos utilizando cualquier combinación de operaciones aritméticas básicas y extracción de raíces n -ésimas da otro número algebraico.
• Raíces polinómicas que no se pueden expresar en términos de operaciones aritméticas básicas y extracción de raíces n -ésimas (como las raíces de x ⁵ − x + 1 ). Esto sucede con muchos , pero no todos, los polinomios de grado 5 o superior.
• Valores de funciones trigonométricas de múltiplos racionales de π (excepto cuando no están definidos): por ejemplo, cos ⁠π/7⁠ , porque ⁠3π​/7⁠ , y porque ⁠5 π/7⁠ satisface 8 x ³ − 4 x ² − 4 x + 1 = 0 . Este polinomio es irreducible sobre los racionales y, por lo tanto, los tres cosenos sonnúmeros algebraicos conjugados . Asimismo, tan ⁠3π​/16⁠ , bronceado ⁠7π​/16⁠ , bronceado ⁠11 π/16⁠ , y bronceado ⁠15 π/16⁠ satisfacen el polinomio irreducible x ⁴ − 4 x ³ − 6 x ² + 4 x + 1 = 0 , y por lo tanto son enteros algebraicos conjugados. Este es el equivalente de los ángulos que, cuando se miden en grados, tienen números racionales. ^[2]
• Algunos números irracionales, pero no todos, son algebraicos:
  • Los números y son algebraicos ya que son raíces de los polinomios x ² − 2 y 8 x ³ − 3 , respectivamente. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\frac {\sqrt[{3}]{3}}{2}}}$
  • La proporción áurea φ es algebraica ya que es una raíz del polinomio x ² − x − 1 .
  • Los números π y e no son números algebraicos (véase el teorema de Lindemann-Weierstrass ). ^[3]

Propiedades

Números algebraicos en el plano complejo coloreados por grado (naranja brillante/rojo = 1, verde = 2, azul = 3, amarillo = 4). Los puntos más grandes provienen de polinomios con coeficientes enteros más pequeños.

• Si se multiplica un polinomio con coeficientes racionales por el mínimo común denominador , el polinomio resultante con coeficientes enteros tiene las mismas raíces. Esto demuestra que un número algebraico puede definirse de manera equivalente como una raíz de un polinomio con coeficientes enteros o racionales.
• Dado un número algebraico, existe un único polinomio mónico con coeficientes racionales de menor grado que tiene al número como raíz. Este polinomio se llama polinomio mínimo . Si su polinomio mínimo tiene grado n , entonces se dice que el número algebraico es de grado n . Por ejemplo, todos los números racionales tienen grado 1, y un número algebraico de grado 2 es un irracional cuadrático .
• Los números algebraicos son densos en los números reales . Esto se desprende del hecho de que contienen a los números racionales, que son densos en los propios números reales.
• El conjunto de los números algebraicos es numerable (enumerable), ^{[4] [5]} y por tanto su medida de Lebesgue como subconjunto de los números complejos es 0 (en esencia, los números algebraicos no ocupan espacio en los números complejos). Es decir, "casi todos" los números reales y complejos son trascendentales.
• Todos los números algebraicos son computables y, por lo tanto, definibles y aritméticos .
• Para los números reales a y b , el número complejo a + bi es algebraico si y solo si tanto a como b son algebraicos. ^[6]

Grado de extensiones simples de los racionales como criterio de algebraicidad

Para cualquier α , la extensión simple de los racionales por α , denotada por , es de grado finito si y sólo si α es un número algebraico. ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )\equiv \{\sum _{i=-{n_{1}}}^{n_{2}}\alpha ^{i}q_{i}|q_{i}\in \mathbb {Q} ,n_{1},n_{2}\in \mathbb {N} \}}$

La condición de grado finito significa que hay un conjunto finito en tal que ; es decir, cada miembro de puede escribirse como para algunos números racionales (nótese que el conjunto es fijo). ${\displaystyle \{a_{i}|1\leq i\leq k\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )=\sum _{i=1}^{k}a_{i}\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}a_{i}q_{i}}$ ${\displaystyle \{q_{i}|1\leq i\leq k\}}$ ${\displaystyle \{a_{i}\}}$

De hecho, dado que son ellos mismos miembros de , cada uno puede expresarse como sumas de productos de números racionales y potencias de α , y por lo tanto esta condición es equivalente al requisito de que para algún , finito . ${\displaystyle a_{i}-s}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )=\{\sum _{i=-n}^{n}\alpha ^{i}q_{i}|q_{i}\in \mathbb {Q} \}}$

La última condición es equivalente a , en sí mismo un miembro de , siendo expresable como para algunos racionales , entonces o, equivalentemente, α es una raíz de ; es decir, un número algebraico con un polinomio mínimo de grado no mayor que . ${\displaystyle \alpha ^{n+1}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$ ${\displaystyle \sum _{i=-n}^{n}\alpha ^{i}q_{i}}$ ${\displaystyle \{q_{i}\}}$ ${\displaystyle \alpha ^{2n+1}=\sum _{i=0}^{2n}\alpha ^{i}q_{i-n}}$ ${\displaystyle x^{2n+1}-\sum _{i=0}^{2n}x^{i}q_{i-n}}$ ${\displaystyle 2n+1}$

De manera similar, se puede demostrar que para cualquier conjunto finito de números algebraicos , ... , la extensión del campo tiene un grado finito. ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n})}$

Campo

Números algebraicos coloreados por grado (azul = 4, cian = 3, rojo = 2, verde = 1). El círculo unitario es negro. ^{[ se necesita más explicación ]}

La suma, diferencia, producto y cociente (si el denominador no es cero) de dos números algebraicos es nuevamente algebraico:

Para dos números algebraicos cualesquiera α , β , esto se sigue directamente del hecho de que la extensión simple , para ser , , o (para ) , es un subespacio lineal de la extensión del campo de grado finito , y por lo tanto tiene un grado finito en sí mismo, de lo cual se sigue (como se muestra arriba) que es algebraica. ${\displaystyle \mathbb {Q} (\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \alpha +\beta }$ ${\displaystyle \alpha -\beta }$ ${\displaystyle \alpha \beta }$ ${\displaystyle \beta \neq 0}$ ${\displaystyle \alpha /\beta }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle \gamma }$

Una forma alternativa de demostrar esto es de forma constructiva, utilizando la resultante .

Los números algebraicos forman así un campo ^[7] (a veces denotado por , pero que normalmente denota el anillo de Adele ). ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} }$

Cierre algebraico

Toda raíz de una ecuación polinómica cuyos coeficientes son números algebraicos es a su vez algebraica. Esto se puede reformular diciendo que el cuerpo de los números algebraicos es algebraicamente cerrado . De hecho, es el cuerpo algebraicamente cerrado más pequeño que contiene los racionales y por eso se le llama clausura algebraica de los racionales.

Que el cuerpo de los números algebraicos es algebraicamente cerrado se puede demostrar de la siguiente manera: Sea β una raíz de un polinomio con coeficientes que son números algebraicos , , ... . La extensión del cuerpo tiene entonces un grado finito con respecto a . La extensión simple tiene entonces un grado finito con respecto a (ya que todas las potencias de β pueden expresarse por potencias de hasta ). Por lo tanto, también tiene un grado finito con respecto a . Como es un subespacio lineal de , también debe tener un grado finito con respecto a , por lo que β debe ser un número algebraico. ${\displaystyle \alpha _{0}+\alpha _{1}x+\alpha _{2}x^{2}...+\alpha _{n}x^{n}}$ ${\displaystyle \alpha _{0}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\prime }\equiv \mathbb {Q} (\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\prime }(\beta )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\prime }}$ ${\displaystyle \beta ^{n-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\prime }(\beta )=\mathbb {Q} (\beta ,\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\beta )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\prime }(\beta )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Campos relacionados

Números definidos por radicales

Cualquier número que se pueda obtener a partir de los enteros mediante un número finito de sumas , restas , multiplicaciones , divisiones y tomando raíces n- ésimas (posiblemente complejas) donde n es un entero positivo son algebraicos. Sin embargo, la inversa no es cierta: hay números algebraicos que no se pueden obtener de esta manera. Estos números son raíces de polinomios de grado 5 o superior, un resultado de la teoría de Galois (ver ecuaciones de quinto grado y el teorema de Abel-Ruffini ). Por ejemplo, la ecuación:

${\displaystyle x^{5}-x-1=0}$

tiene una raíz real única que no puede expresarse únicamente en términos de radicales y operaciones aritméticas.

Número de forma cerrada

Los números algebraicos son todos los números que se pueden definir explícita o implícitamente en términos de polinomios, comenzando por los números racionales. Se puede generalizar esto a los " números de forma cerrada ", que se pueden definir de varias maneras. En términos más generales, todos los números que se pueden definir explícita o implícitamente en términos de polinomios, exponenciales y logaritmos se denominan " números elementales ", y estos incluyen los números algebraicos, además de algunos números trascendentales. En términos más específicos, se pueden considerar los números definidos explícitamente en términos de polinomios, exponenciales y logaritmos; esto no incluye todos los números algebraicos, pero sí algunos números trascendentales simples como e o ln 2 .

Números enteros algebraicos

Números algebraicos coloreados por coeficiente principal (el rojo significa 1 para un entero algebraico) ^{[ se necesita más explicación ]}

Un entero algebraico es un número algebraico que es raíz de un polinomio con coeficientes enteros con coeficiente principal 1 (un polinomio mónico ). Ejemplos de enteros algebraicos son y Por lo tanto, los enteros algebraicos constituyen un superconjunto propio de los enteros , ya que estos últimos son las raíces de los polinomios mónicos x − k para todo . En este sentido, los enteros algebraicos son a los números algebraicos lo que los enteros son a los números racionales . ${\displaystyle 5+13{\sqrt {2}},}$ ${\displaystyle 2-6i,}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+i{\sqrt {3}}).}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$

La suma, diferencia y producto de números enteros algebraicos son nuevamente números enteros algebraicos, lo que significa que los números enteros algebraicos forman un anillo . El nombre de número entero algebraico proviene del hecho de que los únicos números racionales que son números enteros algebraicos son los números enteros, y porque los números enteros algebraicos en cualquier cuerpo numérico son en muchos sentidos análogos a los números enteros. Si K es un cuerpo numérico, su anillo de números enteros es el subanillo de números enteros algebraicos en K , y frecuentemente se denota como O _K. Estos son los ejemplos prototípicos de dominios de Dedekind .

Clases especiales

• Solución algebraica
• Entero gaussiano
• Número entero de Eisenstein
• Número irracional cuadrático
• Unidad fundamental
• Raíz de la unidad
• Periodo gaussiano
• Número de Pisot–Vijayaraghavan
• Número de Salem

Notas

1. Algunos de los siguientes ejemplos proceden de Hardy y Wright (1972, págs. 159-160, 178-179)
2. Garibaldi 2008.
3. Además, el teorema de Liouville puede utilizarse para "producir tantos ejemplos de números trascendentales como queramos", cf. Hardy y Wright (1972, p. 161ff)
4. Hardy y Wright 1972, pág. 160, 2008:205.
5. Niven 1956, Teorema 7.5.
6. Niven 1956, Corolario 7.3.
7. Niven 1956, pág. 92.

Referencias

• Artin, Michael (1991), Álgebra , Prentice Hall, ISBN 0-13-004763-5, Sr.  1129886
• Garibaldi, Skip (junio de 2008), "Algo más de lo que los gobernadores necesitan saber sobre trigonometría", Mathematics Magazine , 81 (3): 191–200, doi :10.1080/0025570x.2008.11953548, JSTOR  27643106
• Hardy, Godfrey Harold ; Wright, Edward M. (1972), Introducción a la teoría de números (5.ª ed.), Oxford: Clarendon, ISBN 0-19-853171-0
• Irlanda, Kenneth; Rosen, Michael (1990) [1.ª ed. 1982], Una introducción clásica a la teoría de números moderna (2.ª ed.), Berlín: Springer, doi :10.1007/978-1-4757-2103-4, ISBN 0-387-97329-X, Sr.  1070716
• Lang, Serge (2002) [1.ª ed. 1965], Álgebra (3.ª ed.), Nueva York: Springer, ISBN 978-0-387-95385-4, Sr.  1878556
• Niven, Ivan M. (1956), Números irracionales , Asociación Matemática de América
• Ore, Øystein (1948), Teoría de números y su historia , Nueva York: McGraw-Hill