extensión sencilla

En teoría de campos , una extensión simple es una extensión de campo que se genera mediante la adjunción de un solo elemento, llamado elemento primitivo . Las extensiones simples se entienden bien y se pueden clasificar completamente.

El teorema del elemento primitivo proporciona una caracterización de las extensiones finitas simples.

Definición

Una extensión de campo L / K se llama extensión simple si existe un elemento θ en L con

${\displaystyle L=K(\theta ).}$

Esto significa que cada elemento de L puede expresarse como una fracción racional en θ , con coeficientes en K ; es decir, se produce a partir de θ y elementos de K mediante las operaciones de campo +, −, •, /. De manera equivalente, L es el campo más pequeño que contiene tanto K como θ .

Hay dos tipos diferentes de extensiones simples (consulte Estructura de extensiones simples a continuación).

El elemento θ puede ser trascendental sobre K , lo que significa que no es raíz de ningún polinomio con coeficientes en K. En este caso es isomorfo al campo de funciones racionales. ${\displaystyle K(\theta )}$ ${\displaystyle K(X).}$

De lo contrario, θ es algebraico sobre K ; es decir, θ es raíz de un polinomio sobre K . El polinomio mónico de grado mínimo n , con θ como raíz, se llama polinomio mínimo de θ . Su grado es igual al grado de la extensión del campo , es decir, la dimensión de L vista como un espacio vectorial K. En este caso, cada elemento de puede expresarse de forma única como un polinomio en θ de grado menor que n y es isomorfo al anillo cociente . ${\displaystyle p(X)}$ ${\displaystyle K(\theta )}$ ${\displaystyle K(\theta )}$ ${\displaystyle K[X]/(p(X)).}$

En ambos casos, el elemento θ se denomina elemento generador o elemento primitivo de la extensión; se dice también que L se genera sobre K por θ .

Por ejemplo, todo cuerpo finito es una simple extensión del campo primo de la misma característica . Más precisamente, si p es un número primo y el campo de q elementos es una simple extensión de grado n de De hecho, L se genera como campo por cualquier elemento θ que sea raíz de un polinomio irreducible de grado n en . ${\displaystyle q=p^{n},}$ ${\displaystyle L=\mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle K=\mathbb {F} _{p}.}$ ${\displaystyle K[X]}$

Sin embargo, en el caso de cuerpos finitos, el término elemento primitivo suele reservarse para una noción más fuerte, un elemento γ que se genera como un grupo multiplicativo , de modo que cada elemento distinto de cero de L es una potencia de γ , es decir, se produce a partir de γ usando sólo la operación de grupo • . Para distinguir estos significados, se utiliza el término "generador" o elemento primitivo de campo para el significado más débil, reservando "elemento primitivo" o elemento primitivo de grupo para el significado más fuerte. ^[1] (Ver Campo finito § Estructura multiplicativa y Elemento primitivo (campo finito) ). ${\displaystyle L^{\times }=L-\{0\}}$

Estructura de extensiones simples.

Sea L una extensión simple de K generada por θ . Para el anillo polinomial K [ X ], una de sus principales propiedades es el homomorfismo de anillo único

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi :K[X]&\rightarrow L\\f(X)&\mapsto f(\theta )\,.\end{aligned}}}$

Pueden ocurrir dos casos.

Si es inyectivo , puede extenderse inyectivamente al campo de las fracciones K ( X ) de K [ X ]. Dado que L es generado por θ , esto implica que es un isomorfismo de K ( X ) sobre L. Esto implica que cada elemento de L es igual a una fracción irreducible de polinomios en θ , y que dos de esas fracciones irreducibles son iguales si y sólo si se puede pasar de una a otra multiplicando el numerador y el denominador por el mismo distinto de cero. elemento de K . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

Si no es inyectivo, sea p ( X ) un generador de su núcleo , que por tanto es el polinomio mínimo de θ . La imagen de es un subanillo de L y, por tanto, un dominio integral . Esto implica que p es un polinomio irreducible y, por tanto, que el anillo cociente es un campo. Como L es generado por θ , es sobreyectivo e induce un isomorfismo desde L. Esto implica que cada elemento de L es igual a un único polinomio en θ de grado menor que el grado . Es decir, tenemos una base K de L dada por . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle K[X]/\langle p(X)\rangle }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle K[X]/\langle p(X)\rangle }$ ${\displaystyle n=\operatorname {deg} p(X)}$ ${\displaystyle 1,\theta ,\theta ^{2},\ldots ,\theta ^{n-1}}$

Ejemplos

• C / R generado por . ${\displaystyle \theta =i={\sqrt {-1}}}$
• Q ( )/ Q generado por . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \theta ={\sqrt {2}}}$
• Cualquier campo numérico (es decir, una extensión finita de Q ) es una extensión simple Q ( θ ) para algún θ . Por ejemplo, es generado por . ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {3}},{\sqrt {7}})}$ ${\displaystyle \theta ={\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}}$
• F ( X ) / F, un campo de funciones racionales, es generado por la variable formal X.

Ver también

• Matriz complementaria para el mapa de multiplicación en una extensión de campo simple

Referencias

1. (Romano 1995)

Literatura

• Romano, Steven (1995). Teoría del campo . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 158. Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 0-387-94408-7. Zbl  0816.12001.