Una fracción irreducible (o fracción en términos mínimos , forma más simple o fracción reducida ) es una fracción en la que el numerador y el denominador son números enteros que no tienen otros divisores comunes que 1 (y −1, cuando se consideran números negativos). [1] En otras palabras, una fraccióna/bes irreducible si y sólo si a y b son coprimos , es decir, si a y b tienen un máximo común divisor de 1. En matemáticas superiores , " fracción irreducible " también puede referirse a fracciones racionales tales que el numerador y el denominador son coprimos. polinomios . [2] Todo número racional se puede representar como una fracción irreducible con denominador positivo exactamente de una manera. [3]
A veces resulta útil una definición equivalente: si a y b son números enteros, entonces la fraccióna/bes irreducible si y sólo si no existe otra fracción igualC/dtal que | c | < | un | o | re | < | segundo | , donde | un | significa el valor absoluto de a . [4] (Dos fraccionesa/byC/dson iguales o equivalentes si y sólo si ad = bc .)
Por ejemplo,1/4,5/6, y−101/100son todas fracciones irreducibles. Por otro lado,2/4es reducible ya que tiene el mismo valor que1/2, y el numerador de1/2es menor que el numerador de2/4.
Una fracción que es reducible se puede reducir dividiendo tanto el numerador como el denominador por un factor común. Se puede reducir completamente a sus términos más bajos si ambos se dividen por su máximo común divisor . [5] Para encontrar el máximo común divisor se puede utilizar el algoritmo euclidiano o factorización prima . El algoritmo euclidiano se prefiere comúnmente porque permite reducir fracciones con numeradores y denominadores demasiado grandes para factorizarlos fácilmente. [6]
En el primer paso se dividieron ambos números por 10, que es un factor común tanto a 120 como a 90. En el segundo paso, se dividieron por 3. El resultado final,4/3, es una fracción irreducible porque 4 y 3 no tienen más factores comunes que 1.
La fracción original también podría haberse reducido en un solo paso usando el máximo común divisor de 90 y 120, que es 30. Como 120 ÷ 30 = 4 y 90 ÷ 30 = 3 , se obtiene
Qué método es más rápido "a mano" depende de la fracción y de la facilidad con la que se detectan los factores comunes. En caso de que queden un denominador y un numerador que sean demasiado grandes para garantizar que sean coprimos mediante inspección, de todos modos se necesita un cálculo del máximo común divisor para garantizar que la fracción sea realmente irreducible.
Todo número racional tiene una representación única como una fracción irreducible con denominador positivo [3] (sin embargo2/3=−2/−3aunque ambos son irreductibles). La unicidad es una consecuencia de la factorización prima única de números enteros, ya quea/b=C/dimplica ad = bc , por lo que ambos lados de este último deben compartir la misma factorización prima, sin embargo, a y b no comparten factores primos, por lo que el conjunto de factores primos de a (con multiplicidad) es un subconjunto de los de c y viceversa, es decir a = c y por el mismo argumento b = d .
El hecho de que cualquier número racional tenga una representación única como fracción irreducible se utiliza en varias pruebas de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 y de otros números irracionales. Por ejemplo, una prueba señala que si √ 2 pudiera representarse como una proporción de números enteros, entonces tendría en particular la representación completamente reducidaa/bdonde a y b son los más pequeños posibles; pero dado quea/bes igual a √ 2 , también lo es2 segundo - un/un - segundo(ya que al multiplicar esto cona/bmuestra que son iguales). Como a > b (porque √ 2 es mayor que 1), este último es una razón de dos números enteros más pequeños. Esto es una contradicción , por lo que la premisa de que la raíz cuadrada de dos tiene una representación como la razón de dos números enteros es falsa.
La noción de fracción irreducible se generaliza al campo de fracciones de cualquier dominio de factorización único : cualquier elemento de dicho campo se puede escribir como una fracción en la que el denominador y el numerador son coprimos, dividiendo ambos por su máximo común divisor. [7] Esto se aplica especialmente a expresiones racionales sobre un campo. La fracción irreducible de un elemento dado es única hasta la multiplicación del denominador y el numerador por el mismo elemento invertible. En el caso de los números racionales esto significa que cualquier número tiene dos fracciones irreducibles, relacionadas por un cambio de signo tanto del numerador como del denominador; esta ambigüedad puede eliminarse exigiendo que el denominador sea positivo. En el caso de funciones racionales, también se podría exigir que el denominador sea un polinomio mónico . [8]
