En matemáticas , una invariante es una propiedad de un objeto matemático (o una clase de objetos matemáticos) que permanece sin cambios después de que se aplican operaciones o transformaciones de cierto tipo a los objetos. [1] [2] La clase particular de objetos y el tipo de transformaciones generalmente se indican por el contexto en el que se usa el término. Por ejemplo, el área de un triángulo es una invariante respecto de las isometrías del plano euclidiano . Se utilizan las frases "invariante bajo" e "invariante hasta" una transformación. De manera más general, una invariante con respecto a una relación de equivalencia es una propiedad que es constante en cada clase de equivalencia . [3]
Los invariantes se utilizan en diversas áreas de las matemáticas como la geometría , la topología , el álgebra y las matemáticas discretas . Algunas clases importantes de transformaciones están definidas por una invariante que dejan sin cambios. Por ejemplo, los mapas conformes se definen como transformaciones del plano que conservan los ángulos . El descubrimiento de invariantes es un paso importante en el proceso de clasificación de objetos matemáticos. [2] [3]
Un ejemplo sencillo de invariancia se expresa en nuestra capacidad de contar . Para un conjunto finito de objetos de cualquier tipo, hay un número al que siempre llegamos, independientemente del orden en que contamos los objetos del conjunto . La cantidad (un número cardinal ) está asociada con el conjunto y es invariante durante el proceso de conteo.
Una identidad es una ecuación que sigue siendo verdadera para todos los valores de sus variables. También hay desigualdades que siguen siendo verdaderas cuando cambian los valores de sus variables.
La distancia entre dos puntos en una recta numérica no cambia sumando la misma cantidad a ambos números. Por otro lado, la multiplicación no tiene esta misma propiedad, ya que la distancia no es invariante bajo la multiplicación.
Los ángulos y las proporciones de distancias son invariantes bajo escalas , rotaciones , traslaciones y reflexiones . Estas transformaciones producen formas similares , que es la base de la trigonometría . Por el contrario, los ángulos y las proporciones no son invariantes bajo una escala no uniforme (como el estiramiento). La suma de los ángulos interiores de un triángulo (180°) es invariante en todas las operaciones anteriores. Como otro ejemplo, todos los círculos son similares: se pueden transformar entre sí y la relación entre la circunferencia y el diámetro es invariante (denotada por la letra griega π ( pi )).
Algunos ejemplos más complicados:
El rompecabezas MU [6] es un buen ejemplo de un problema lógico en el que determinar un invariante es útil para una prueba de imposibilidad . El rompecabezas pide comenzar con la palabra MI y transformarla en la palabra MU, usando en cada paso una de las siguientes reglas de transformación:
Un ejemplo de derivación (con superíndices que indican las reglas aplicadas) es
A la luz de esto, uno podría preguntarse si es posible convertir MI en MU utilizando sólo estas cuatro reglas de transformación. Se podrían pasar muchas horas aplicando estas reglas de transformación a cadenas. Sin embargo, podría ser más rápido encontrar una propiedad que sea invariante para todas las reglas (es decir, que no sea modificada por ninguna de ellas) y demuestre que llegar a MU es imposible. Al observar el rompecabezas desde un punto de vista lógico, uno podría darse cuenta de que la única manera de deshacerse de cualquier I es tener tres I consecutivas en la cuerda. Esto hace que sea interesante considerar la siguiente invariante:
Esta es una invariante del problema, si para cada una de las reglas de transformación se cumple lo siguiente: si la invariante se cumple antes de aplicar la regla, también se cumplirá después de aplicarla. Al observar el efecto neto de aplicar las reglas sobre el número de I y U, se puede ver que este es realmente el caso para todas las reglas:
La tabla anterior muestra claramente que la invariante se cumple para cada una de las posibles reglas de transformación, lo que significa que cualquiera que sea la regla que se elija, en cualquier estado, si el número de I no era múltiplo de tres antes de aplicar la regla, entonces no lo será. ser después tampoco.
Dado que hay una única I en la cadena inicial MI, y una que no es múltiplo de tres, se puede concluir que es imposible pasar de MI a MU (ya que el número de I nunca será múltiplo de tres). ).
Un subconjunto S del dominio U de una aplicación T : U → U es un conjunto invariante bajo la aplicación cuando Tenga en cuenta que los elementos de S no son fijos , aunque el conjunto S sea fijo en el conjunto potencia de U. (Algunos autores utilizan la terminología invariante establecido, [7] versus invariante puntual, [8] para distinguir entre estos casos). Por ejemplo, un círculo es un subconjunto invariante del plano bajo una rotación alrededor del centro del círculo. Además, una superficie cónica es invariante como conjunto bajo una homotecia del espacio.
También se dice que un conjunto invariante de una operación T es estable bajo T. Por ejemplo, los subgrupos normales que son tan importantes en la teoría de grupos son aquellos subgrupos que son estables bajo los automorfismos internos del grupo ambiental . [9] [10] [11] En álgebra lineal , si una transformación lineal T tiene un vector propio v , entonces la línea que pasa por 0 y v es un conjunto invariante bajo T , en cuyo caso los vectores propios abarcan un subespacio invariante que es estable bajo T.
Cuando T es un desplazamiento de tornillo , el eje del tornillo es una línea invariante, aunque si el paso es distinto de cero, T no tiene puntos fijos.
En la teoría de la probabilidad y la teoría ergódica , los conjuntos invariantes generalmente se definen mediante la propiedad más fuerte [12] [13] [14] Cuando el mapa es mensurable, los conjuntos invariantes forman un sigma-álgebra , la sigma-álgebra invariante .
La noción de invariancia se formaliza de tres maneras diferentes en matemáticas: mediante acciones grupales , presentaciones y deformación.
En primer lugar, si tenemos un grupo G que actúa sobre un objeto matemático (o conjunto de objetos) X, entonces podemos preguntar qué puntos x no cambian, son "invariantes" bajo la acción del grupo, o bajo un elemento g del grupo.
Con frecuencia, uno tendrá un grupo que actúa sobre un conjunto X , lo que le deja a uno determinar qué objetos en un conjunto asociado F ( X ) son invariantes. Por ejemplo, la rotación en el plano alrededor de un punto deja invariante el punto alrededor del cual gira, mientras que la traslación en el plano no deja invariante ningún punto, pero sí deja invariantes todas las líneas paralelas a la dirección de traslación como líneas. Formalmente, defina el conjunto de rectas en el plano P como L ( P ); luego, un movimiento rígido del plano lleva líneas a líneas (el grupo de movimientos rígidos actúa sobre el conjunto de líneas) y uno puede preguntarse qué líneas no cambian por una acción.
Más importante aún, se puede definir una función en un conjunto, como "radio de un círculo en el plano", y luego preguntar si esta función es invariante bajo una acción grupal, como movimientos rígidos.
Duales a la noción de invariantes son las coinvariantes , también conocidas como órbitas, que formalizan la noción de congruencia : objetos que pueden aproximarse entre sí mediante una acción grupal. Por ejemplo, bajo el grupo de movimientos rígidos del plano, el perímetro de un triángulo es una invariante, mientras que el conjunto de triángulos congruentes a un triángulo dado es una coinvariante.
Estos se conectan de la siguiente manera: las invariantes son constantes en las covariantes (por ejemplo, los triángulos congruentes tienen el mismo perímetro), mientras que dos objetos que coinciden en el valor de una invariante pueden o no ser congruentes (por ejemplo, dos triángulos con el mismo perímetro). no tiene por qué ser congruente). En problemas de clasificación , se podría buscar encontrar un conjunto completo de invariantes , de modo que si dos objetos tienen los mismos valores para este conjunto de invariantes, entonces sean congruentes.
Por ejemplo, los triángulos cuyos tres lados son iguales son congruentes bajo movimientos rígidos, a través de la congruencia SSS , y por lo tanto las longitudes de los tres lados forman un conjunto completo de invariantes para triángulos. Las tres medidas de los ángulos de un triángulo también son invariantes bajo movimientos rígidos, pero no forman un conjunto completo ya que los triángulos incongruentes pueden compartir las mismas medidas de los ángulos. Sin embargo, si se permite el escalado además de los movimientos rígidos, entonces el criterio de similitud AAA muestra que se trata de un conjunto completo de invariantes.
En segundo lugar, una función puede definirse en términos de alguna presentación o descomposición de un objeto matemático; por ejemplo, la característica de Euler de un complejo celular se define como la suma alterna del número de células en cada dimensión. Uno puede olvidar la estructura del complejo celular y observar sólo el espacio topológico subyacente (la variedad ); como diferentes complejos celulares dan la misma variedad subyacente, uno puede preguntarse si la función es independiente de la elección de presentación, en cuyo caso es intrínsecamente invariante definido. Este es el caso de la característica de Euler, y un método general para definir y calcular invariantes es definirlas para una presentación determinada y luego demostrar que son independientes de la elección de la presentación. Tenga en cuenta que no existe la noción de acción grupal en este sentido.
Los ejemplos más comunes son:
En tercer lugar, si uno está estudiando un objeto que varía en una familia, como es común en geometría algebraica y geometría diferencial , uno puede preguntarse si la propiedad no cambia bajo perturbación (por ejemplo, si un objeto es constante en familias o invariante bajo cambio de métrico).
En informática , una invariante es una afirmación lógica que siempre se considera verdadera durante una determinada fase de ejecución de un programa de computadora . Por ejemplo, una invariante de bucle es una condición que es verdadera al principio y al final de cada iteración de un bucle.
Los invariantes son especialmente útiles cuando se razona sobre la corrección de un programa de computadora . La teoría de la optimización de los compiladores , la metodología del diseño por contrato y los métodos formales para determinar la corrección del programa dependen en gran medida de las invariantes.
Los programadores suelen utilizar aserciones en su código para hacer explícitas las invariantes. Algunos lenguajes de programación orientados a objetos tienen una sintaxis especial para especificar invariantes de clase .
Las herramientas de interpretación abstracta pueden calcular invariantes simples de programas informáticos imperativos determinados. El tipo de propiedades que se pueden encontrar depende de los dominios abstractos utilizados. Las propiedades de ejemplo típicas son rangos de variables enteras únicas como 0<=x<1024, relaciones entre varias variables como 0<=i-j<2*n-1e información de módulo como y%4==0. Los prototipos de investigación académica también consideran propiedades simples de estructuras de punteros. [15]
Por lo general, las invariantes más sofisticadas deben proporcionarse manualmente. En particular, al verificar un programa imperativo utilizando el cálculo de Hoare , [16] se debe proporcionar manualmente un invariante de bucle para cada bucle del programa, lo cual es una de las razones por las que este enfoque generalmente no es práctico para la mayoría de los programas.
En el contexto del ejemplo del rompecabezas MU anterior , actualmente no existe ninguna herramienta automatizada general que pueda detectar que una derivación de MI a MU es imposible utilizando solo las reglas 1 a 4. Sin embargo, una vez hecha a mano la abstracción de la cadena al número de sus "I", llevando, por ejemplo, al siguiente programa en C, una herramienta de interpretación abstracta podrá detectar que no puede ICount%3ser 0, y por lo tanto el bucle " while " nunca terminará.
vacío MUPuzzle ( vacío ) { volátil int RandomRule ; int ICount = 1 , UCount = 0 ; while ( ICount % 3 ! = 0 ) // cambio de bucle sin terminación ( RandomRule ) { caso 1 : UCount += 1 ; romper ; caso 2 : ICount *= 2 ; UCount *= 2 ; romper ; caso 3 : ICount -= 3 ; UCount += 1 ; romper ; caso 4 : UCount -= 2 ; romper ; } // invariante calculado: ICount % 3 == 1 || ICuenta % 3 == 2 }