series de Fourier

Descomposición de funciones periódicas en sumas de formas sinusoidales más simples.

Una serie de Fourier ( / ˈ f ʊr i eɪ , - i ər / ^[1] ) es una expansión de una función periódica en una suma de funciones trigonométricas . La serie de Fourier es un ejemplo de serie trigonométrica , pero no todas las series trigonométricas son series de Fourier. ^[2] Al expresar una función como una suma de senos y cosenos, muchos problemas relacionados con la función se vuelven más fáciles de analizar porque las funciones trigonométricas se comprenden bien. Por ejemplo, Joseph Fourier utilizó por primera vez las series de Fourier para encontrar soluciones a la ecuación del calor . Esta aplicación es posible porque las derivadas de funciones trigonométricas se dividen en patrones simples. Las series de Fourier no se pueden utilizar para aproximar funciones arbitrarias, porque la mayoría de las funciones tienen infinitos términos en su serie de Fourier y las series no siempre convergen . Las funciones que se comportan bien, por ejemplo las funciones suaves , tienen series de Fourier que convergen a la función original. Los coeficientes de la serie de Fourier están determinados por integrales de la función multiplicada por funciones trigonométricas, que se describen en Formas comunes de la serie de Fourier a continuación.

El estudio de la convergencia de las series de Fourier se centra en los comportamientos de las sumas parciales , lo que significa estudiar el comportamiento de la suma a medida que se suman más y más términos de la serie. Las figuras siguientes ilustran algunos resultados parciales de series de Fourier para los componentes de una onda cuadrada .

• 
  Una onda cuadrada (representada como el punto azul) se aproxima por su sexta suma parcial (representada como el punto violeta), formada sumando los primeros seis términos (representados como flechas) de la serie de Fourier de la onda cuadrada. Cada flecha comienza en la suma vertical de todas las flechas a su izquierda (es decir, la suma parcial anterior).
• 
  Las primeras cuatro sumas parciales de la serie de Fourier para una onda cuadrada . A medida que se agregan más armónicos, las sumas parciales convergen (se parecen cada vez más) a la onda cuadrada.
• 
  La función (en rojo) es una suma en serie de Fourier de 6 ondas sinusoidales relacionadas armónicamente (en azul). Su transformada de Fourier es una representación en el dominio de la frecuencia que revela las amplitudes de las ondas sinusoidales sumadas. ${\displaystyle s_{6}(x)}$ ${\displaystyle S(f)}$

Las series de Fourier están estrechamente relacionadas con la transformada de Fourier , que se puede utilizar para encontrar la información de frecuencia de funciones que no son periódicas. Las funciones periódicas se pueden identificar con funciones en un círculo, por esta razón las series de Fourier son objeto del análisis de Fourier en un círculo, generalmente denotado como o . La transformada de Fourier también forma parte del análisis de Fourier , pero está definida para funciones en . ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Desde la época de Fourier, se han descubierto muchos enfoques diferentes para definir y comprender el concepto de serie de Fourier, todos los cuales son consistentes entre sí, pero cada uno de ellos enfatiza diferentes aspectos del tema. Algunos de los enfoques más poderosos y elegantes se basan en ideas y herramientas matemáticas que no estaban disponibles en la época de Fourier. Fourier definió originalmente la serie de Fourier para funciones con valores reales de argumentos reales y utilizó las funciones seno y coseno en la descomposición. Desde entonces se han definido muchas otras transformadas relacionadas con Fourier , extendiendo su idea inicial a muchas aplicaciones y dando origen a un área de las matemáticas llamada análisis de Fourier .

Formas comunes de la serie de Fourier.

Una serie de Fourier es una función periódica continua creada por una suma de funciones sinusoidales relacionadas armónicamente. Tiene varias formas diferentes, pero equivalentes, que se muestran aquí como sumas parciales. Pero en teoría los símbolos subíndices, llamados coeficientes , y el período, determinan la función de la siguiente manera : ${\displaystyle N\rightarrow \infty .}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle s_{\scriptscriptstyle N}(x)}$

Fig 1. El gráfico superior muestra una función no periódica s ( x ) en azul definida solo en el intervalo rojo de 0 a P. La función se puede analizar en este intervalo para producir la serie de Fourier en el gráfico inferior. La serie de Fourier es siempre una función periódica, incluso si la función original s ( x ) no lo es.

Serie de Fourier, forma amplitud-fase

Serie de Fourier, forma seno-coseno

Serie de Fourier, forma exponencial

Los armónicos están indexados por un número entero, que también es el número de ciclos que realizan las sinusoides correspondientes en el intervalo . Por tanto, las sinusoides tienen : ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle P}$

• una longitud de onda igual a en las mismas unidades que . ${\displaystyle {\tfrac {P}{n}}}$ ${\displaystyle x}$
• una frecuencia igual a en las unidades recíprocas de . ${\displaystyle {\tfrac {n}{P}}}$ ${\displaystyle x}$

Claramente, estas series pueden representar funciones que son solo una suma de una o más frecuencias armónicas. Lo destacable es que también puede representar las frecuencias intermedias y/o funciones no sinusoidales debido al número infinito de términos. La forma de fase de amplitud es particularmente útil para comprender el fundamento de los coeficientes de la serie. (ver § Derivación) La forma exponencial se generaliza más fácilmente para funciones de valores complejos. (ver § Funciones de valores complejos)

La equivalencia de estas formas requiere ciertas relaciones entre los coeficientes. Por ejemplo, la identidad trigonométrica :

Equivalencia de formas polares y rectangulares .

significa que :

Por lo tanto y son las coordenadas rectangulares de un vector con coordenadas polares y ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle D_{n}}$ ${\displaystyle \varphi _{n}.}$

Los coeficientes se pueden dar/asumir, como un sintetizador de música o muestras de tiempo de una forma de onda. En el último caso, la forma exponencial de la serie de Fourier sintetiza una transformada de Fourier de tiempo discreto donde la variable representa la frecuencia en lugar del tiempo. ${\displaystyle x}$

Pero normalmente los coeficientes se determinan mediante análisis de frecuencia/armónicos de una función de valor real dada y representan el tiempo : ${\displaystyle s(x),}$ ${\displaystyle x}$

Análisis de series de Fourier

El objetivo es converger a como máximo o a todos los valores de en un intervalo de longitud. Para las funciones de buen comportamiento típicas de los procesos físicos, habitualmente se supone la igualdad y las condiciones de Dirichlet proporcionan condiciones suficientes. ${\displaystyle s_{\scriptstyle {\infty }}}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P.}$

La notación representa la integración sobre el intervalo elegido. Las opciones típicas son y . Algunos autores las definen porque simplifican los argumentos de las funciones sinusoide, en detrimento de la generalidad. Y algunos autores suponen que también es periódico, en cuyo caso se aproxima a toda la función. El factor de escala se explica tomando un caso simple : solo se necesita el término de la Ec.2 para la convergencia, con y   En consecuencia, la Ec.5 proporciona : ${\displaystyle \int _{P}}$ ${\displaystyle [-P/2,P/2]}$ ${\displaystyle [0,P]}$ ${\displaystyle P\triangleq 2\pi }$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle s_{\scriptstyle {\infty }}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{P}}}$ ${\displaystyle s(x)=\cos \left(2\pi {\tfrac {k}{P}}x\right).}$ ${\displaystyle n=k}$ ${\displaystyle A_{k}=1}$ ${\displaystyle B_{k}=0.}$

${\displaystyle A_{k}={\frac {2}{P}}\underbrace {\int _{P}\cos ^{2}\left(2\pi {\tfrac {k}{P}}x\right)\,dx} _{P/2}=1,}$       según sea necesario.

Coeficientes de forma exponencial

Otra identidad aplicable es la fórmula de Euler :

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)&{}\equiv {\tfrac {1}{2}}e^{i\left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)}+{\tfrac {1}{2}}e^{-i\left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)}\\[6pt]&=\left({\tfrac {1}{2}}e^{-i\varphi _{n}}\right)\cdot e^{i2\pi {\tfrac {+n}{P}}x}+\left({\tfrac {1}{2}}e^{-i\varphi _{n}}\right)^{*}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {-n}{P}}x}\end{aligned}}}$

(Nota : el ∗ denota conjugación compleja ).

Sustituyendo esto en la Ec.1 y comparándolo con la Ec.3 , finalmente se revela :

Coeficientes de forma exponencial

En cambio :

Relaciones inversas

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}&=C_{0}&\\A_{n}&=C_{n}+C_{-n}\qquad &{\textrm {for}}~n>0\\B_{n}&=i(C_{n}-C_{-n})\qquad &{\textrm {for}}~n>0\end{aligned}}}$

Sustituir la Ec.5 en la Ec.6 también revela : ^[3]

Análisis de series de Fourier

Funciones de valores complejos

Las ecuaciones 7 y 3 también se aplican cuando es una función de valores complejos. ^[A] Esto se sigue expresando y como series separadas de Fourier de valor real, y ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (s_{N}(x))}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (s_{N}(x))}$ ${\displaystyle s_{N}(x)=\operatorname {Re} (s_{N}(x))+i\ \operatorname {Im} (s_{N}(x)).}$

Derivación

Los coeficientes y pueden entenderse y derivarse en términos de la correlación cruzada entre y una sinusoide en frecuencia . Para una frecuencia general y un intervalo de análisis, la función de correlación cruzada : ${\displaystyle D_{n}}$ ${\displaystyle \varphi _{n}}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{P}}}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle [x_{0},x_{0}+P],}$

Fig 2. La curva azul es la correlación cruzada de una onda cuadrada y una función coseno, ya que el desfase del coseno varía a lo largo de un ciclo. La amplitud y el desfase en el valor máximo son las coordenadas polares de un armónico en la expansión en serie de Fourier de la onda cuadrada. Las coordenadas rectangulares correspondientes se pueden determinar evaluando la correlación cruzada en solo dos desfases separados por 90º.

Derivación de la ecuación 1

Es esencialmente un filtro coincidente , con plantilla . El máximo de es una medida de la amplitud de la frecuencia en la función , y el valor de en el máximo determina la fase de esa frecuencia. La Figura 2 es un ejemplo, donde hay una onda cuadrada (no se muestra) y la frecuencia es el armónico. También es un ejemplo de cómo derivar el máximo a partir de sólo dos muestras, en lugar de buscar en toda la función. Combinando la Ec.8 con la Ec.4 se obtiene : ${\displaystyle \cos(2\pi fx)}$ ${\displaystyle \mathrm {X} _{f}(\tau )}$ ${\displaystyle (D)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (\varphi )}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 4^{\text{th}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} _{n}(\varphi )&={\tfrac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi \right)\,dx;\quad \varphi \in [0,2\pi ]\\&=\cos(\varphi )\cdot \underbrace {{\tfrac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\,dx} _{A}+\sin(\varphi )\cdot \underbrace {{\tfrac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\,dx} _{B}\\&=\cos(\varphi )\cdot A+\sin(\varphi )\cdot B\end{aligned}}}$

La derivada de es cero en la fase de máxima correlación. ${\displaystyle \mathrm {X} _{n}(\varphi )}$

${\displaystyle \mathrm {X} '_{n}(\varphi )=\sin(\varphi )\cdot A-\cos(\varphi )\cdot B=0\quad \longrightarrow \quad \tan(\varphi )={\frac {B}{A}}\quad \longrightarrow \quad \varphi =\arctan(B,A)}$

Por lo tanto, calcular y según la Ec.5 crea la fase de máxima correlación del componente. Y la amplitud del componente es : ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle \varphi _{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{n}\triangleq \mathrm {X} _{n}(\varphi _{n})\ &=\cos(\varphi _{n})\cdot A_{n}+\sin(\varphi _{n})\cdot B_{n}\\&={\frac {A_{n}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}\cdot A_{n}+{\frac {B_{n}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}\cdot B_{n}={\frac {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}&={\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}.\end{aligned}}}$

Otras notaciones comunes

La notación es inadecuada para analizar los coeficientes de Fourier de varias funciones diferentes. Por lo tanto, habitualmente se reemplaza por una forma modificada de la función ( en este caso), como o , y la notación funcional a menudo reemplaza los subíndices : ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle {\widehat {s}}(n)}$ ${\displaystyle S[n]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}s(x)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\widehat {s}}(n)\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}&&\scriptstyle {\text{common mathematics notation}}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}&&\scriptstyle {\text{common engineering notation}}\end{aligned}}}$

En ingeniería, particularmente cuando la variable representa el tiempo, la secuencia de coeficientes se denomina representación en el dominio de la frecuencia . Los corchetes se utilizan a menudo para enfatizar que el dominio de esta función es un conjunto discreto de frecuencias. ${\displaystyle x}$

Otra representación en el dominio de la frecuencia comúnmente utilizada utiliza los coeficientes de la serie de Fourier para modular un peine de Dirac :

${\displaystyle S(f)\ \triangleq \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right),}$

donde representa un dominio de frecuencia continuo. Cuando la variable tiene unidades de segundos, tiene unidades de hercios . Los "dientes" del peine están espaciados en múltiplos (es decir, armónicos ) de , lo que se denomina frecuencia fundamental . se puede recuperar de esta representación mediante una transformada de Fourier inversa : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{P}}}$ ${\displaystyle s_{\infty }(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\ \ \triangleq \ s_{\infty }(x).\end{aligned}}}$

Por lo tanto, la función construida se denomina comúnmente transformada de Fourier , aunque la integral de Fourier de una función periódica no es convergente en las frecuencias armónicas. ^[B] ${\displaystyle S(f)}$

Ejemplo de análisis

Gráfico de la onda en diente de sierra , una continuación periódica de la función lineal en el intervalo ${\displaystyle s(x)=x/\pi }$ ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$

Trama animada de las cinco primeras series parciales sucesivas de Fourier.

Considere una función de diente de sierra :

${\displaystyle s(x)={\frac {x}{\pi }},\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi ,}$

${\displaystyle s(x+2\pi k)=s(x),\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi {\text{ and }}k\in \mathbb {Z} .}$

En este caso, los coeficientes de Fourier vienen dados por

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 0.\\[4pt]B_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\sin(nx)\,dx\\[4pt]&=-{\frac {2}{\pi n}}\cos(n\pi )+{\frac {2}{\pi ^{2}n^{2}}}\sin(n\pi )\\[4pt]&={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}}$

Se puede demostrar que la serie de Fourier converge en cada punto donde es diferenciable y por lo tanto : ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s}$

Cuando , la serie de Fourier converge a 0, que es la mitad de la suma de los límites izquierdo y derecho de s en . Este es un ejemplo particular del teorema de Dirichlet para series de Fourier. ${\displaystyle x=\pi }$ ${\displaystyle x=\pi }$

Este ejemplo conduce a una solución del problema de Basilea .

Convergencia

En el § Teorema de Fourier que demuestra la convergencia de las series de Fourier se analiza una prueba de que una serie de Fourier es una representación válida de cualquier función periódica (que satisfaga las condiciones de Dirichlet ).

En aplicaciones de ingeniería , generalmente se supone que la serie de Fourier converge excepto en discontinuidades de salto, ya que las funciones que se encuentran en ingeniería se comportan mejor que las funciones que se encuentran en otras disciplinas. En particular, si es continua y la derivada de (que puede no existir en todas partes) es integrable al cuadrado, entonces la serie de Fourier de converge absoluta y uniformemente a . ^[4] Si una función es integrable al cuadrado en el intervalo , entonces la serie de Fourier converge a la función en casi todas partes . Es posible definir coeficientes de Fourier para funciones o distribuciones más generales, en cuyo caso la convergencia puntual a menudo falla y generalmente se estudia la convergencia en norma o la convergencia débil . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle [x_{0},x_{0}+P]}$

• Cuatro sumas parciales (serie de Fourier) de longitudes 1, 2, 3 y 4 términos, que muestran cómo la aproximación a una onda cuadrada mejora a medida que aumenta el número de términos (animación)
• Cuatro sumas parciales (serie de Fourier) de longitudes 1, 2, 3 y 4 términos, que muestran cómo la aproximación a una onda en diente de sierra mejora a medida que aumenta el número de términos (animación)
• 
  Ejemplo de convergencia a una función algo arbitraria. Obsérvese el desarrollo del "sonido" ( fenómeno de Gibbs ) en las transiciones hacia/desde las secciones verticales.

Historia

La serie de Fourier recibe su nombre en honor a Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), quien hizo importantes contribuciones al estudio de las series trigonométricas , luego de investigaciones preliminares de Leonhard Euler , Jean le Rond d'Alembert y Daniel Bernoulli . ^[C] Fourier introdujo la serie con el fin de resolver la ecuación del calor en una placa de metal, publicando sus resultados iniciales en su Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides ( Tratado sobre la propagación del calor en cuerpos sólidos ) de 1807. y publicando su Théorie analytique de la chaleur ( Teoría analítica del calor ) en 1822. La Mémoire introdujo el análisis de Fourier, específicamente las series de Fourier. Gracias a la investigación de Fourier se demostró que una función arbitraria (al principio continua ^[5] y luego generalizada a cualquier función uniforme por partes ^[6] ) se puede representar mediante una serie trigonométrica. El primer anuncio de este gran descubrimiento lo hizo Fourier en 1807, ante la Academia Francesa . ^[7] Las primeras ideas de descomponer una función periódica en la suma de funciones oscilantes simples se remontan al siglo III a. C., cuando los antiguos astrónomos propusieron un modelo empírico de movimientos planetarios, basado en deferentes y epiciclos .

La ecuación del calor es una ecuación diferencial parcial . Antes del trabajo de Fourier, no se conocía ninguna solución a la ecuación del calor en el caso general, aunque se conocían soluciones particulares si la fuente de calor se comportaba de forma sencilla, en particular, si la fuente de calor era una onda sinusoidal o coseno . Estas soluciones simples ahora a veces se denominan soluciones propias . La idea de Fourier era modelar una fuente de calor complicada como una superposición (o combinación lineal ) de ondas seno y coseno simples, y escribir la solución como una superposición de las correspondientes soluciones propias . Esta superposición o combinación lineal se llama serie de Fourier.

Desde un punto de vista moderno, los resultados de Fourier son algo informales, debido a la falta de una noción precisa de función e integral a principios del siglo XIX. Posteriormente, Peter Gustav Lejeune Dirichlet ^[8] y Bernhard Riemann ^{[9] [10] [11]} expresaron los resultados de Fourier con mayor precisión y formalidad.

Aunque la motivación original era resolver la ecuación del calor, más tarde se hizo evidente que las mismas técnicas podrían aplicarse a una amplia gama de problemas matemáticos y físicos, y especialmente a aquellos que implican ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, para los cuales las soluciones propias son sinusoides . La serie de Fourier tiene muchas aplicaciones de este tipo en ingeniería eléctrica , análisis de vibraciones , acústica , óptica , procesamiento de señales , procesamiento de imágenes , mecánica cuántica , econometría , ^[12] teoría de capas , ^[13] , etc.

Principios

Joseph Fourier escribió: ^{[ dudoso ]}

${\displaystyle \varphi (y)=a_{0}\cos {\frac {\pi y}{2}}+a_{1}\cos 3{\frac {\pi y}{2}}+a_{2}\cos 5{\frac {\pi y}{2}}+\cdots .}$

Multiplicar ambos lados por y luego integrar desde hasta produce: ${\displaystyle \cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}}$ ${\displaystyle y=-1}$ ${\displaystyle y=+1}$

${\displaystyle a_{k}=\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy.}$

—  Joseph Fourier, Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides . (1807) ^{[14] [D]}

Esto da inmediatamente cualquier coeficiente ak de la serie trigonométrica para φ( y ) para cualquier _función que tenga tal expansión. Funciona porque si φ tiene tal expansión, entonces (bajo supuestos de convergencia adecuados) la integral

$${\displaystyle {\begin{aligned}a_{k}&=\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy\\&=\int _{-1}^{1}\left(a\cos {\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}+a'\cos 3{\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}+\cdots \right)\,dy\end{aligned}}}$$

≠ k desaparecen ${\displaystyle \cos(2j+1){\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}}$ ${\displaystyle k^{\text{th}}}$

En estas pocas líneas, cercanas al formalismo moderno utilizado en las series de Fourier, Fourier revolucionó tanto las matemáticas como la física. Aunque Euler , d'Alembert , Daniel Bernoulli y Gauss utilizaron anteriormente series trigonométricas similares , Fourier creía que tales series trigonométricas podían representar cualquier función arbitraria. En qué sentido eso es realmente cierto es una cuestión un tanto sutil y los intentos durante muchos años por aclarar esta idea han conducido a importantes descubrimientos en las teorías de la convergencia , los espacios funcionales y el análisis armónico .

Cuando Fourier presentó un ensayo posterior para el concurso en 1811, el comité (que incluía a Lagrange , Laplace , Malus y Legendre , entre otros) concluyó: ...la manera en que el autor llega a estas ecuaciones no está exenta de dificultades y... su análisis para integrarlos aún deja mucho que desear en términos de generalidad e incluso de rigor . ^{[ cita necesaria ]}

La motivación de Fourier

Distribución de calor en una placa metálica, mediante el método de Fourier.

La expansión en serie de Fourier de la función diente de sierra (arriba) parece más complicada que la fórmula simple , por lo que no es inmediatamente evidente por qué se necesitaría la serie de Fourier. Si bien existen muchas aplicaciones, la motivación de Fourier fue resolver la ecuación del calor . Por ejemplo, consideremos una placa de metal con forma de cuadrado cuyos lados miden metros, con coordenadas . Si no hay una fuente de calor dentro de la placa, y si tres de los cuatro lados se mantienen a 0 grados Celsius, mientras que el cuarto lado, dado por , se mantiene al gradiente de temperatura en grados Celsius, para en , entonces se puede demostrar que la La distribución estacionaria del calor (o la distribución del calor después de que ha transcurrido un largo período de tiempo) viene dada por ${\displaystyle s(x)={\tfrac {x}{\pi }}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle (x,y)\in [0,\pi ]\times [0,\pi ]}$ ${\displaystyle y=\pi }$ ${\displaystyle T(x,\pi )=x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (0,\pi )}$

${\displaystyle T(x,y)=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx){\sinh(ny) \over \sinh(n\pi )}.}$

Aquí, sinh es la función seno hiperbólica . Esta solución de la ecuación del calor se obtiene multiplicando cada término de la ecuación 9 por . Si bien nuestra función de ejemplo parece tener una serie de Fourier innecesariamente complicada, la distribución del calor no es trivial. La función no se puede escribir como una expresión de forma cerrada . Este método de resolver el problema del calor fue posible gracias al trabajo de Fourier. ${\displaystyle \sinh(ny)/\sinh(n\pi )}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle T(x,y)}$ ${\displaystyle T}$

Animación compleja de la serie Fourier.

Serie compleja de Fourier que rastrea la letra 'e'. (El código fuente de Julia que genera los fotogramas de esta animación se encuentra aquí ^[15] en el Apéndice B.)

Un ejemplo de la capacidad de la serie compleja de Fourier para trazar cualquier figura cerrada bidimensional se muestra en la animación adyacente de la serie compleja de Fourier que traza la letra 'e' (de exponencial). Tenga en cuenta que la animación usa la variable 't' para parametrizar la letra 'e' en el plano complejo, lo que equivale a usar el parámetro 'x' en la subsección de este artículo sobre funciones con valores complejos.

En el plano posterior de la animación, los vectores giratorios se agregan en un orden que alterna entre un vector que gira en dirección positiva (en el sentido contrario a las agujas del reloj) y un vector que gira con la misma frecuencia pero en dirección negativa (en el sentido de las agujas del reloj), lo que da como resultado un trazado único. brazo con muchos zigzags. Esta perspectiva muestra cómo la suma de cada par de vectores giratorios (uno que gira en dirección positiva y otro que gira en dirección negativa) acerca el trazo anterior (que se muestra como una línea de puntos gris claro) a la forma de la letra 'e'. .

En el plano frontal de la animación, los vectores giratorios se agregan en dos conjuntos, el conjunto de todos los vectores giratorios positivos y el conjunto de todos los vectores giratorios negativos (el componente no giratorio se divide uniformemente entre los dos), lo que da como resultado dos trazados. brazos que giran en direcciones opuestas. El pequeño círculo de la animación denota el punto medio entre los dos brazos y también el punto medio entre el origen y el punto de seguimiento actual indicado por '+'. Esta perspectiva muestra cómo la serie compleja de Fourier es una extensión (la adición de un brazo) de la serie geométrica compleja que tiene un solo brazo. También muestra cómo los dos brazos se coordinan entre sí. Por ejemplo, cuando el punto de seguimiento gira en dirección positiva, el brazo de dirección negativa permanece estacionado. De manera similar, cuando el punto de seguimiento gira en dirección negativa, el brazo de dirección positiva permanece estacionado.

Entre los planos frontal y posterior de la animación hay trapecios giratorios cuyas áreas representan los valores de los términos complejos de la serie de Fourier. Esta perspectiva muestra la amplitud, frecuencia y fase de los términos individuales de la serie compleja de Fourier en relación con la suma de la serie que converge espacialmente con la letra 'e' en los planos frontal y posterior. Los canales izquierdo y derecho de la pista de audio corresponden respectivamente a los componentes real e imaginario del punto de seguimiento actual '+' pero aumentaron su frecuencia en un factor de 3536, de modo que la frecuencia fundamental de la animación (n=1) es un tono de 220 Hz (A220 ).

Otras aplicaciones

Otra aplicación es resolver el problema de Basilea utilizando el teorema de Parseval . El ejemplo se generaliza y se puede calcular ζ (2 n ), para cualquier entero positivo n .

Tabla de series de Fourier comunes.

En la siguiente tabla se muestran algunos pares comunes de funciones periódicas y sus coeficientes de la serie de Fourier.

• ${\displaystyle s(x)}$designa una función periódica con período . ${\displaystyle P}$
• ${\displaystyle A_{0},A_{n},B_{n}}$designar los coeficientes de la serie de Fourier (forma seno-coseno) de la función periódica . ${\displaystyle s(x)}$

Tabla de propiedades básicas

Esta tabla muestra algunas operaciones matemáticas en el dominio del tiempo y el efecto correspondiente en los coeficientes de la serie de Fourier. Notación:

• La conjugación compleja se indica con un asterisco.
• ${\displaystyle s(x),r(x)}$designar funciones periódicas o funciones definidas sólo para ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x\in [0,P].}$
• ${\displaystyle S[n],R[n]}$designar los coeficientes de la serie de Fourier (forma exponencial) de y ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle r.}$

Propiedades de simetría

Cuando las partes real e imaginaria de una función compleja se descomponen en sus partes pares e impares , hay cuatro componentes, indicados a continuación por los subíndices RE, RO, IE e IO. Y hay un mapeo uno a uno entre los cuatro componentes de una función de tiempo compleja y los cuatro componentes de su transformada de frecuencia compleja: ^[18]

${\displaystyle {\begin{array}{rccccccccc}{\text{Time domain}}&s&=&s_{_{\text{RE}}}&+&s_{_{\text{RO}}}&+&is_{_{\text{IE}}}&+&\underbrace {i\ s_{_{\text{IO}}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\text{Frequency domain}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\overbrace {\,i\ S_{\text{IO}}\,} &+&iS_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}}$

De esto se desprenden diversas relaciones, por ejemplo:

• La transformada de una función de valor real ( s _RE + s _RO ) es la función simétrica par S _RE + i S _IO . Por el contrario, una transformación simétrica par implica un dominio del tiempo de valor real.
• La transformada de una función con valores imaginarios ( i s _IE + i s _IO ) es la función simétrica impar S _RO + i S _IE , y lo contrario es cierto.
• La transformada de una función simétrica par ( s _RE + i s _IO ) es la función de valor real S _RE + S _RO , y lo contrario es cierto.
• La transformada de una función simétrica impar ( s _RO + i s _IE ) es la función de valor imaginario i S _IE + i S _IO , y lo contrario es cierto.

Otras propiedades

Lema de Riemann-Lebesgue

Si es integrable , y este resultado se conoce como lema de Riemann -Lebesgue . ${\displaystyle S}$ ${\textstyle \lim _{|n|\to \infty }S[n]=0}$ ${\textstyle \lim _{n\to +\infty }a_{n}=0}$ ${\textstyle \lim _{n\to +\infty }b_{n}=0.}$

teorema de parseval

Si pertenece a (periódico en un intervalo de longitud ), entonces : ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle L^{2}(P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\textstyle {\frac {1}{P}}\int _{P}|s(x)|^{2}\,dx=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\Bigl |}S[n]{\Bigr |}^{2}.}$

teorema de plancherel

Si son coeficientes y entonces existe una función única tal que para cada . ${\displaystyle c_{0},\,c_{\pm 1},\,c_{\pm 2},\ldots }$ ${\textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}<\infty }$ ${\displaystyle s\in L^{2}(P)}$ ${\displaystyle S[n]=c_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Teoremas de convolución

Dadas funciones periódicas, y con coeficientes de series de Fourier y ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle s_{_{P}}}$ ${\displaystyle r_{_{P}}}$ ${\displaystyle S[n]}$ ${\displaystyle R[n],}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,}$

• El producto puntual :
  $${\displaystyle h_{_{P}}(x)\triangleq s_{_{P}}(x)\cdot r_{_{P}}(x)}$$
  también es periódico, y sus coeficientes de la serie de Fourier están dados por la convolución discreta de las secuencias y : ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$
  $${\displaystyle H[n]=\{S*R\}[n].}$$
• La convolución periódica :
  $${\displaystyle h_{_{P}}(x)\triangleq \int _{P}s_{_{P}}(\tau )\cdot r_{_{P}}(x-\tau )\,d\tau }$$
  también es periódico, con coeficientes de la serie de Fourier : ${\displaystyle P}$
  $${\displaystyle H[n]=P\cdot S[n]\cdot R[n].}$$
• Una sucesión doblemente infinita en es la sucesión de coeficientes de Fourier de una función en si y sólo si es una convolución de dos sucesiones en . Ver ^[19] ${\displaystyle \left\{c_{n}\right\}_{n\in Z}}$ ${\displaystyle c_{0}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle L^{1}([0,2\pi ])}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$

propiedad derivada

Decimos que pertenece a if es una función periódica 2 π en la que es diferenciable en tiempos, y su derivada es continua. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle C^{k}(\mathbb {T} )}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k^{\text{th}}}$

• Si , entonces los coeficientes de Fourier de la derivada se pueden expresar en términos de los coeficientes de Fourier de la función , mediante la fórmula . ${\displaystyle s\in C^{1}(\mathbb {T} )}$ ${\displaystyle {\widehat {s'}}[n]}$ ${\displaystyle s'}$ ${\displaystyle {\widehat {s}}[n]}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\widehat {s'}}[n]=in{\widehat {s}}[n]}$
• Si entonces . En particular, dado que para un fijo tenemos como , se deduce que tiende a cero, lo que significa que los coeficientes de Fourier convergen a cero más rápido que la k -ésima potencia de n para cualquier . ${\displaystyle s\in C^{k}(\mathbb {T} )}$ ${\displaystyle {\widehat {s^{(k)}}}[n]=(in)^{k}{\widehat {s}}[n]}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle {\widehat {s^{(k)}}}[n]\to 0}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle |n|^{k}{\widehat {s}}[n]}$ ${\displaystyle k\geq 1}$

Grupos compactos

Una de las propiedades interesantes de la transformada de Fourier que hemos mencionado es que lleva convoluciones a productos puntuales. Si esa es la propiedad que buscamos preservar, se pueden producir series de Fourier en cualquier grupo compacto . Los ejemplos típicos incluyen aquellos grupos clásicos que son compactos. Esto generaliza la transformada de Fourier a todos los espacios de la forma L ² ( G ), donde G es un grupo compacto, de tal manera que la transformada de Fourier lleva convoluciones a productos puntuales. La serie de Fourier existe y converge de manera similar al caso [− π , π ] .

Una extensión alternativa a los grupos compactos es el teorema de Peter-Weyl , que demuestra resultados sobre representaciones de grupos compactos análogas a las de grupos finitos.

Los orbitales atómicos de la química se describen parcialmente mediante armónicos esféricos , que pueden usarse para producir series de Fourier en la esfera .

variedades de Riemann

Si el dominio no es un grupo, entonces no existe una convolución intrínsecamente definida. Sin embargo, si es una variedad riemanniana compacta , tiene un operador de Laplace-Beltrami . El operador de Laplace-Beltrami es el operador diferencial que corresponde al operador de Laplace para la variedad de Riemann . Entonces, por analogía, se pueden considerar ecuaciones de calor en . Dado que Fourier llegó a su base intentando resolver la ecuación del calor, la generalización natural es utilizar las soluciones propias del operador de Laplace-Beltrami como base. Esto generaliza las series de Fourier a espacios del tipo , donde hay una variedad de Riemann. La serie de Fourier converge de manera similar al caso. Un ejemplo típico es la esfera con la métrica habitual, en cuyo caso la base de Fourier está formada por armónicos esféricos . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L^{2}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle X}$

Grupos abelianos localmente compactos

La generalización a grupos compactos discutida anteriormente no se generaliza a grupos no compactos y no abelianos . Sin embargo, existe una generalización sencilla a los grupos abelianos localmente compactos (LCA).

Esto generaliza la transformada de Fourier a o , donde es un grupo LCA. Si es compacto, también se obtiene una serie de Fourier, que converge de manera similar al caso, pero si no es compacto, se obtiene en cambio una integral de Fourier . Esta generalización produce la transformada de Fourier habitual cuando el grupo abeliano localmente compacto subyacente es . ${\displaystyle L^{1}(G)}$ ${\displaystyle L^{2}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Extensiones

Serie de Fourier sobre un cuadrado.

También podemos definir la serie de Fourier para funciones de dos variables y en el cuadrado : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]\times [-\pi ,\pi ]}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)&=\sum _{j,k\in \mathbb {Z} }c_{j,k}e^{ijx}e^{iky},\\[5pt]c_{j,k}&={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f(x,y)e^{-ijx}e^{-iky}\,dx\,dy.\end{aligned}}}$$

Además de ser útil para resolver ecuaciones diferenciales parciales como la ecuación del calor, una aplicación notable de las series de Fourier en el cuadrado es la compresión de imágenes . En particular, el estándar de compresión de imágenes JPEG utiliza la transformada de coseno discreta bidimensional , una forma discreta de la transformada de coseno de Fourier , que utiliza únicamente el coseno como función base.

Para matrices bidimensionales con apariencia escalonada, la mitad de los coeficientes de la serie de Fourier desaparecen debido a la simetría adicional. ^[20]

Serie de Fourier de función periódica de celosía de Bravais

Una red de Bravais tridimensional se define como el conjunto de vectores de la forma:

$${\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$$

teorema de Bloch ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} )=f(\mathbf {R} +\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle \mathbf {r} =x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}},}$$

${\displaystyle a_{i}\triangleq |\mathbf {a} _{i}|,}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} _{i}}}={\frac {\mathbf {a} _{i}}{a_{i}}}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$

Así podemos definir una nueva función,

$${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})\triangleq f(\mathbf {r} )=f\left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right).}$$

Esta nueva función, es ahora una función de tres variables, cada una de las cuales tiene periodicidad , y respectivamente: ${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle a_{3}}$

$${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=g(x_{1}+a_{1},x_{2},x_{3})=g(x_{1},x_{2}+a_{2},x_{3})=g(x_{1},x_{2},x_{3}+a_{3}).}$$

Esto nos permite construir un conjunto de coeficientes de Fourier, cada uno de los cuales está indexado por tres números enteros independientes . En lo que sigue, usaremos notación de funciones para denotar estos coeficientes, donde anteriormente usábamos subíndices. Si escribimos una serie para en el intervalo para , podemos definir lo siguiente: ${\displaystyle m_{1},m_{2},m_{3}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \left[0,a_{1}\right]}$ ${\displaystyle x_{1}}$

$${\displaystyle h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\triangleq {\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\,dx_{1}}$$

Y luego podemos escribir:

$${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}}$$

Definición adicional:

$${\displaystyle {\begin{aligned}h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})&\triangleq {\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}\,dx_{2}\\[12pt]&={\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}\right)}\end{aligned}}}$$

Podemos escribir una vez más como: ${\displaystyle g}$

$${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{2}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}}$$

Finalmente aplicando lo mismo para la tercera coordenada, definimos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}h^{\mathrm {three} }(m_{1},m_{2},m_{3})&\triangleq {\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}}\,dx_{3}\\[12pt]&={\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}dx_{3}{\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}+{\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}\right)}\end{aligned}}}$$

Escribimos como: ${\displaystyle g}$

$${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{2}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{3}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {three} }(m_{1},m_{2},m_{3})\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}}}$$

Reorganizar:

$${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1},m_{2},m_{3}\in \mathbb {Z} }h^{\mathrm {three} }(m_{1},m_{2},m_{3})\cdot e^{i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}+{\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}\right)}.}$$

Ahora, cada vector reticular recíproco se puede escribir (pero no significa que sea la única forma de escribirlo) como , donde son números enteros y son vectores reticulares recíprocos para satisfacer ( for y for ). Entonces, para cualquier vector reticular recíproco arbitrario y vector de posición arbitrario en el espacio reticular de Bravais original, su producto escalar es: ${\displaystyle \mathbf {G} =m_{1}\mathbf {g} _{1}+m_{2}\mathbf {g} _{2}+m_{3}\mathbf {g} _{3}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {g} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {g_{i}} \cdot \mathbf {a_{j}} =2\pi \delta _{ij}}$ ${\displaystyle \delta _{ij}=1}$ ${\displaystyle i=j}$ ${\displaystyle \delta _{ij}=0}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle \mathbf {G} \cdot \mathbf {r} =\left(m_{1}\mathbf {g} _{1}+m_{2}\mathbf {g} _{2}+m_{3}\mathbf {g} _{3}\right)\cdot \left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right)=2\pi \left(x_{1}{\frac {m_{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {m_{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {m_{3}}{a_{3}}}\right).}$$

Entonces está claro que en nuestra expansión de , la suma en realidad es sobre vectores reticulares recíprocos: ${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=f(\mathbf {r} )}$

$${\displaystyle f(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {G} }h(\mathbf {G} )\cdot e^{i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} },}$$

dónde

$${\displaystyle h(\mathbf {G} )={\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}dx_{3}\,{\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}\,{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}\,f\left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right)\cdot e^{-i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} }.}$$

Asumiendo

$${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}},}$$

determinante jacobiano ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{3}}$

$${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial y}}&{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial z}}\\[12pt]{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial y}}&{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial z}}\\[12pt]{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial y}}&{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial z}}\end{vmatrix}}}$$

$${\displaystyle {\frac {a_{1}a_{2}a_{3}}{\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}}}$$

(Para simplificar los cálculos, puede resultar ventajoso trabajar en un sistema de coordenadas rectangular de este tipo, en el que resulta que es paralelo al eje x , se encuentra en el plano xy y tiene componentes de los tres ejes) . El denominador es exactamente el volumen de la celda unitaria primitiva que está encerrada por los tres vectores primitivos , y . En particular, ahora sabemos que ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{3}}$

$${\displaystyle dx_{1}\,dx_{2}\,dx_{3}={\frac {a_{1}a_{2}a_{3}}{\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}}\cdot dx\,dy\,dz.}$$

Ahora podemos escribir como una integral con el sistema de coordenadas tradicional sobre el volumen de la celda primitiva, en lugar de con las variables , y : ${\displaystyle h(\mathbf {G} )}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{3}}$

$${\displaystyle h(\mathbf {G} )={\frac {1}{\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}}\int _{C}d\mathbf {r} f(\mathbf {r} )\cdot e^{-i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} }}$$

${\displaystyle d\mathbf {r} }$ ${\displaystyle dx\,dy\,dz}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}$

Interpretación del espacio de Hilbert

En el lenguaje de los espacios de Hilbert , el conjunto de funciones es una base ortonormal para el espacio de funciones integrables al cuadrado en . Este espacio es en realidad un espacio de Hilbert con un producto interno dado para dos elementos cualesquiera y por: ${\displaystyle \left\{e_{n}=e^{inx}:n\in \mathbb {Z} \right\}}$ ${\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ])}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \langle f,\,g\rangle \;\triangleq \;{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)g^{*}(x)\,dx,}$¿Dónde está el conjugado complejo de ${\displaystyle g^{*}(x)}$ ${\displaystyle g(x).}$

El resultado básico de la serie de Fourier para espacios de Hilbert se puede escribir como

${\displaystyle f=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\langle f,e_{n}\rangle \,e_{n}.}$

Los senos y cosenos forman un conjunto ortogonal, como se ilustra arriba. La integral del seno, el coseno y su producto es cero (las áreas verde y roja son iguales y se cancelan) cuando , o las funciones son diferentes, y π sólo si y son iguales, y la función utilizada es la misma. Formarían un conjunto ortonormal, si la integral fuera igual a 1 (es decir, cada función debería ser escalada por ). ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {\pi }}}$

Esto corresponde exactamente a la formulación exponencial compleja dada anteriormente. La versión con senos y cosenos también se justifica con la interpretación del espacio de Hilbert. De hecho, los senos y cosenos forman un conjunto ortogonal :

$${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\cos(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\cos((n-m)x)+\cos((n+m)x)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1,}$$

$${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\sin(mx)\,\sin(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\cos((n-m)x)-\cos((n+m)x)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1}$$

δ _mndelta de Kronecker

$${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\sin(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\sin((n+m)x)+\sin((n-m)x)\,dx=0;}$$

base ortonormalnteorema de Stone-Weierstrassnúcleo de Fejér ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ])}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}\cos(nx)}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}\sin(nx)}$

Teorema de Fourier que demuestra la convergencia de series de Fourier

Estos teoremas, y sus variaciones informales que no especifican las condiciones de convergencia, a veces se denominan genéricamente teorema de Fourier o teorema de Fourier . ^{[21] [22] [23] [24]}

La ecuación anterior 3 :

${\displaystyle s_{_{N}}(x)=\sum _{n=-N}^{N}S[n]\ e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x},}$

es un polinomio trigonométrico de grado que generalmente se puede expresar como : ${\displaystyle N}$

${\displaystyle p_{_{N}}(x)=\sum _{n=-N}^{N}p[n]\ e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}.}$

Propiedad de mínimos cuadrados

El teorema de Parseval implica que:

Teorema  :  el polinomio trigonométrico es el mejor polinomio trigonométrico de grado aproximado , en el sentido de que, para cualquier polinomio trigonométrico de grado , tenemos: ${\displaystyle s_{_{N}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle p_{_{N}}\neq s_{_{N}}}$ ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle \|s_{_{N}}-s\|_{2}<\|p_{_{N}}-s\|_{2},}$$

donde la norma espacial de Hilbert se define como:

$${\displaystyle \|g\|_{2}={\sqrt {{1 \over P}\int _{P}|g(x)|^{2}\,dx}}.}$$

Teoremas de convergencia

Debido a la propiedad de los mínimos cuadrados y a la completitud de la base de Fourier, obtenemos un resultado de convergencia elemental.

Teorema  :  si pertenece a (un intervalo de longitud ), entonces converge a in , es decir,  converge a 0 como . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle L^{2}(P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle s_{\infty }}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle L^{2}(P)}$ ${\displaystyle \|s_{_{N}}-s\|_{2}}$ ${\displaystyle N\to \infty }$

Ya hemos mencionado que si es continuamente diferenciable, entonces lo es el coeficiente de Fourier de la derivada . Se deduce, esencialmente de la desigualdad de Cauchy-Schwarz , que es absolutamente sumable. La suma de esta serie es una función continua, igual a , ya que la serie de Fourier converge en la media a : ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle (i\cdot n)S[n]}$ ${\displaystyle n^{\text{th}}}$ ${\displaystyle s'}$ ${\displaystyle s_{\infty }}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$

Teorema  :  si , entonces converge uniformemente (y por lo tanto también puntualmente ). ${\displaystyle s\in C^{1}(\mathbb {T} )}$ ${\displaystyle s_{\infty }}$ ${\displaystyle s}$

Este resultado se puede probar fácilmente si se supone además que es , ya que en ese caso tiende a cero como . De manera más general, la serie de Fourier es absolutamente sumable, por lo tanto converge uniformemente a , siempre que satisfaga una condición de orden de Hölder . En el caso absolutamente sumable, la desigualdad: ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle n^{2}S[n]}$ ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \alpha >1/2}$

${\displaystyle \sup _{x}|s(x)-s_{_{N}}(x)|\leq \sum _{|n|>N}|S[n]|}$

demuestra una convergencia uniforme.

Se conocen muchos otros resultados sobre la convergencia de las series de Fourier , que van desde el resultado moderadamente simple de que la serie converge en si es diferenciable en , hasta el resultado mucho más sofisticado de Lennart Carleson de que la serie de Fourier de una función en realidad converge en casi todas partes . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Divergencia

Dado que las series de Fourier tienen tan buenas propiedades de convergencia, muchos se sorprenden con algunos de los resultados negativos. Por ejemplo, la serie de Fourier de una función periódica T continua no necesita converger puntualmente. ^{[ cita necesaria ]} El principio de acotación uniforme produce una prueba simple no constructiva de este hecho.

En 1922, Andrey Kolmogorov publicó un artículo titulado Une série de Fourier-Lebesgue divergente presque partout en el que dio un ejemplo de una función integrable de Lebesgue cuya serie de Fourier diverge en casi todas partes. Posteriormente construyó un ejemplo de función integrable cuya serie de Fourier diverge en todas partes. ^[25]

Ver también

• teorema ATS
• teorema de carleson
• Núcleo de Dirichlet
• Transformada discreta de Fourier
• Transformada rápida de Fourier
• teorema de fejér
• análisis de Fourier
• Series de senos y cosenos de Fourier
• Transformada de Fourier
• fenómeno de gibbs
• Serie Fourier de media gama
• Serie de Laurent – ​​la sustitución q  =  e ^ix transforma una serie de Fourier en una serie de Laurent, o viceversa. Esto se utiliza en la expansión en serie q del invariante j .
• Análisis espectral de mínimos cuadrados
• Transformación multidimensional
• Teoría espectral
• Teoría de Sturm-Liouville
• Integrales del teorema del residuo de f ( z ), singularidades, polos

Notas

1. Pero , en general. ${\displaystyle C_{-n}\neq C_{n}^{*}}$
2. Dado que la integral que define la transformada de Fourier de una función periódica no es convergente, es necesario ver la función periódica y su transformada como distribuciones . En este sentido es una función delta de Dirac , que es un ejemplo de distribución. ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\}}$
3. Estos tres hicieron algunos trabajos iniciales importantes sobre la ecuación de onda , especialmente D'Alembert. El trabajo de Euler en esta área fue en su mayor parte contemporáneo/en colaboración con Bernoulli , aunque este último hizo algunas contribuciones independientes a la teoría de ondas y vibraciones. (Ver Fetter y Walecka 2003, págs. 209-210).
4. Estas palabras no son estrictamente de Fourier. Si bien el artículo citado menciona al autor como Fourier, una nota a pie de página indica que el artículo fue realmente escrito por Poisson (que no fue escrito por Fourier también queda claro por el uso constante de la tercera persona para referirse a él) y que es , "por razones de interés histórico", presentado como si fuera la memoria original de Fourier.

Referencias

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Otras lecturas

• William E. Boyce; Richard C. DiPrima (2005). Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de valores en la frontera (8ª ed.). Nueva Jersey: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-43338-1.
• Joseph Fourier, traducido por Alexander Freeman (2003). La teoría analítica del calor . Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-49531-0.2003 republicación íntegra de la traducción al inglés de 1878 realizada por Alexander Freeman de la obra de Fourier Théorie Analytique de la Chaleur , publicada originalmente en 1822.
• Enrique A. González-Velasco (1992). "Conexiones en el análisis matemático: el caso de las series de Fourier". Mensual Matemático Estadounidense . 99 (5): 427–441. doi :10.2307/2325087. JSTOR  2325087.
• Fetter, Alexander L.; Walecka, John Dirk (2003). Mecánica Teórica de Partículas y Continua. Mensajero. ISBN 978-0-486-43261-8.
• Felix Klein , Desarrollo de las matemáticas en el siglo XIX . Mathsci Press Brookline, Mass, 1979. Traducido por M. Ackerman de Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert , Springer, Berlín, 1928.
• Walter Rudin (1976). Principios de análisis matemático (3ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill, Inc. ISBN 0-07-054235-X.
• A. Zygmund (2002). Serie trigonométrica (tercera ed.). Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-89053-5.La primera edición se publicó en 1935.

enlaces externos

• "Serie de Fourier", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Hobson, Ernesto (1911). "Serie de Fourier"  . Enciclopedia Británica . vol. 10 (11ª ed.). págs. 753–758.
• Weisstein, Eric W. "Serie Fourier". MundoMatemático .
• Joseph Fourier: un sitio sobre la vida de Fourier que se utilizó para la sección histórica de este artículo en Wayback Machine (archivado el 5 de diciembre de 2001)

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