Serie convergente

Serie matemática con suma finita

En matemáticas , una serie es la suma de los términos de una secuencia infinita de números. Más precisamente, una secuencia infinita define una serie S que se denota ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}$

${\displaystyle S=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots =\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}.}$

La n- ésima suma parcial S _n es la suma de los primeros n términos de la secuencia; es decir,

${\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}.}$

Una serie es convergente (o converge ) si y sólo si la sucesión de sus sumas parciales tiende a un límite ; esto significa que, al sumar una tras otra en el orden dado por los índices , se obtienen sumas parciales que se acercan cada vez más a un número dado. Más precisamente, una serie converge, si y sólo si existe un número tal que para cada número positivo arbitrariamente pequeño , existe un entero (suficientemente grande) tal que para todo , ${\displaystyle (S_{1},S_{2},S_{3},\dots )}$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\geq N}$

${\displaystyle \left|S_{n}-\ell \right|<\varepsilon .}$

Si la serie es convergente, el número (necesariamente único) se llama suma de la serie . ${\displaystyle \ell }$

La misma notación

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$

se utiliza para la serie y, si es convergente, para su suma. Esta convención es similar a la que se utiliza para la adición: a + b denota la operación de sumar a y b así como el resultado de esta adición , que se llama suma de a y b .

Cualquier serie que no es convergente se dice que es divergente o que diverge.

Ejemplos de series convergentes y divergentes

• Los recíprocos de los números enteros positivos producen una serie divergente ( serie armónica ):

  ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+\cdots \rightarrow \infty .}$

• Alternando los signos de los recíprocos de números enteros positivos se obtiene una serie convergente ( serie armónica alternada ):

  ${\displaystyle {1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\ln(2)}$

• Los recíprocos de los números primos producen una serie divergente (por lo que el conjunto de primos es " grande "; ver divergencia de la suma de los recíprocos de los primos ):

  ${\displaystyle {1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+{1 \over 7}+{1 \over 11}+{1 \over 13}+\cdots \rightarrow \infty .}$

• Los recíprocos de números triangulares producen una serie convergente:

  ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+{1 \over 21}+\cdots =2.}$

• Los recíprocos de los factoriales producen una serie convergente (ver e ):

  ${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+\cdots =e.}$

• Los recíprocos de números cuadrados producen una serie convergente (el problema de Basilea ):

  ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 4}+{1 \over 9}+{1 \over 16}+{1 \over 25}+{1 \over 36}+\cdots ={\pi ^{2} \over 6}.}$

• Los recíprocos de potencias de 2 producen una serie convergente (por lo que el conjunto de potencias de 2 es " pequeño "):

  ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+\cdots =2.}$

• Los recíprocos de potencias de cualquier n>1 producen una serie convergente:

  ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over n}+{1 \over n^{2}}+{1 \over n^{3}}+{1 \over n^{4}}+{1 \over n^{5}}+\cdots ={n \over n-1}.}$

• Alternando los signos de los recíprocos de potencias de 2 también se obtiene una serie convergente:

  ${\displaystyle {1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 4}-{1 \over 8}+{1 \over 16}-{1 \over 32}+\cdots ={2 \over 3}.}$

• Alternando los signos de los recíprocos de potencias de cualquier n>1 se obtiene una serie convergente:

  ${\displaystyle {1 \over 1}-{1 \over n}+{1 \over n^{2}}-{1 \over n^{3}}+{1 \over n^{4}}-{1 \over n^{5}}+\cdots ={n \over n+1}.}$

• Los recíprocos de los números de Fibonacci producen una serie convergente (ver ψ ):

  ${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =\psi .}$

Pruebas de convergencia

Hay varios métodos para determinar si una serie converge o diverge .

Si se puede demostrar que la serie azul, , converge, entonces la serie más pequeña, debe converger. Por contraposición, si se demuestra que la serie roja diverge, entonces también debe divergir. ${\displaystyle \Sigma b_{n}}$ ${\displaystyle \Sigma a_{n}}$ ${\displaystyle \Sigma a_{n}}$ ${\displaystyle \Sigma b_{n}}$

Prueba de comparación . Los términos de la secuenciase comparan con los de otra secuencia. Si, para todo n ,yconverge, entonces también lo hace ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}$ ${\displaystyle 0\leq \ a_{n}\leq \ b_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}$

Sin embargo, si, para todo n , , y diverge, entonces también lo hace ${\displaystyle 0\leq \ b_{n}\leq \ a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}$

Prueba de razón . Suponga que para todo n ,no es cero. Suponga que existetal que ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r.}$

Si r < 1, la serie es absolutamente convergente. Si r > 1, la serie diverge. Si r = 1, la prueba de la razón no es concluyente y la serie puede converger o divergir.

Prueba de la raíz o prueba de la raíz n-ésima . Supóngase que los términos de la sucesión en cuestión son no negativos . Defina r de la siguiente manera:

${\displaystyle r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}$

donde "lim sup" denota el límite superior (posiblemente ∞; si el límite existe es el mismo valor).

Si r < 1, la serie converge. Si r > 1, la serie diverge. Si r = 1, la prueba de la raíz no es concluyente y la serie puede converger o divergir.

Tanto la prueba de la razón como la prueba de la raíz se basan en la comparación con una serie geométrica y, como tales, funcionan en situaciones similares. De hecho, si la prueba de la razón funciona (es decir, si el límite existe y no es igual a 1), entonces también lo hace la prueba de la raíz; sin embargo, lo inverso no es cierto. Por lo tanto, la prueba de la raíz es de aplicación más general, pero, en la práctica, el límite suele ser difícil de calcular para los tipos de series más comunes.

Prueba integral . La serie se puede comparar con una integral para establecer la convergencia o divergencia. Seauna función positiva y monótonamente decreciente . Si ${\displaystyle f(n)=a_{n}}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,}$

Entonces la serie converge. Pero si la integral diverge, entonces la serie también lo hace.

Prueba de comparación de límites . Si, y el límiteexiste y no es cero, entoncesconverge si y solo si converge. ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}>0}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$

Prueba de series alternadas . También conocida como criterio de Leibniz , la prueba de series alternadas establece que para una serie alternada de la forma, sies monótonamente decreciente y tiene un límite de 0 en el infinito, entonces la serie converge. ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(-1)^{n}}$ ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$

Prueba de condensación de Cauchy . Sies una secuencia monótona decreciente positiva, entonces converge si y solo siconverge. ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }2^{k}a_{2^{k}}}$

Prueba de Dirichlet

La prueba de Abel

Convergencia condicional y absoluta

Para cualquier secuencia , para todo n . Por lo tanto, ${\displaystyle \left\{a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\dots \right\}}$ ${\displaystyle a_{n}\leq \left|a_{n}\right|}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\leq \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|.}$

Esto significa que si converge, entonces también converge (pero no al revés). ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

Si la serie converge, entonces la serie es absolutamente convergente . La serie de Maclaurin de la función exponencial es absolutamente convergente para cada valor complejo de la variable. ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

Si la serie converge pero diverge, entonces la serie es condicionalmente convergente . La serie de Maclaurin de la función logaritmo es condicionalmente convergente para x = 1 . ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \ln(1+x)}$

El teorema de la serie de Riemann establece que si una serie converge condicionalmente, es posible reorganizar los términos de la serie de tal manera que la serie converja a cualquier valor, o incluso diverja.

Convergencia uniforme

Sea una sucesión de funciones. Se dice que la serie converge uniformemente a f si la sucesión de sumas parciales definida por ${\displaystyle \left\{f_{1},\ f_{2},\ f_{3},\dots \right\}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$ ${\displaystyle \{s_{n}\}}$

${\displaystyle s_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(x)}$

converge uniformemente a f .

Existe un análogo de la prueba de comparación para series infinitas de funciones llamada prueba M de Weierstrass .

Criterio de convergencia de Cauchy

El criterio de convergencia de Cauchy establece que una serie

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

converge si y sólo si la secuencia de sumas parciales es una secuencia de Cauchy . Esto significa que para cada hay un entero positivo tal que para todos tenemos ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\geq m\geq N}$

${\displaystyle \left|\sum _{k=m}^{n}a_{k}\right|<\varepsilon .}$

Esto es equivalente a

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\left(\sup _{n>m}\left|\sum _{k=m}^{n}a_{k}\right|\right)=0.}$

Véase también

• Convergencia normal
• Lista de series matemáticas

Enlaces externos

• "Serie", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric (2005). Teorema de la serie de Riemann. Recuperado el 16 de mayo de 2005.