Serie armónica (matemáticas)

Suma divergente de todas las fracciones unitarias positivas

En matemáticas , la serie armónica es la serie infinita formada por la suma de todas las fracciones unitarias positivas :

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots .}$$

Los primeros términos de la serie suman aproximadamente , donde es el logaritmo natural y es la constante de Euler-Mascheroni . Debido a que el logaritmo tiene valores arbitrariamente grandes, la serie armónica no tiene límite finito: es una serie divergente . Su divergencia fue probada en el siglo XIV por Nicole Oresme utilizando un precursor de la prueba de condensación de Cauchy para la convergencia de series infinitas. También se puede demostrar que diverge comparando la suma con una integral , según la prueba integral de convergencia . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \ln n+\gamma }$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle \gamma \approx 0.577}$

Las aplicaciones de la serie armónica y sus sumas parciales incluyen la prueba de Euler de que hay infinitos números primos , el análisis del problema del recolector de cupones sobre cuántas pruebas aleatorias se necesitan para proporcionar una gama completa de respuestas, los componentes conectados de gráficas aleatorias , la problema de apilamiento de bloques sobre qué tan lejos del borde de una mesa se puede colocar una pila de bloques en voladizo y el análisis de caso promedio del algoritmo de clasificación rápida .

Historia

Una onda y sus armónicos, con longitudes de onda. ${\displaystyle 1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},\dots }$

El nombre de serie armónica deriva del concepto de armónicos o armónicos en la música : las longitudes de onda de los armónicos de una cuerda vibrante son , , , etc., de la longitud de onda fundamental de la cuerda . ^{[1] [2]} Cada término de la serie armónica después del primero es la media armónica de los términos vecinos, por lo que los términos forman una progresión armónica ; Las frases media armónica y progresión armónica también derivan de la música. ^[2] Más allá de la música, las secuencias armónicas también han tenido cierta popularidad entre los arquitectos. Esto fue particularmente cierto en el período barroco , cuando los arquitectos los utilizaron para establecer las proporciones de las plantas , los alzados y para establecer relaciones armónicas entre los detalles arquitectónicos interiores y exteriores de iglesias y palacios. ^[3] ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$

La divergencia de la serie armónica fue probada por primera vez en 1350 por Nicole Oresme . ^{[2] [4]} El trabajo de Oresme, y el trabajo contemporáneo de Richard Swineshead en una serie diferente, marcaron la primera aparición de series infinitas distintas de las series geométricas en matemáticas. ^[5] Sin embargo, este logro cayó en la oscuridad. ^[6] Pietro Mengoli ^{[2] [7]} y Jacob Bernoulli publicaron pruebas adicionales en el siglo XVII . ^{[8] [9] [10]} Bernoulli le dio crédito a su hermano Johann Bernoulli por encontrar la prueba, ^[10] y más tarde se incluyó en las obras completas de Johann Bernoulli. ^[11]

Las sumas parciales de las series armónicas fueron denominadas números armónicos , y se les dio su notación habitual , en 1968 por Donald Knuth . ^[12] ${\displaystyle H_{n}}$

Definición y divergencia

La serie armónica es la serie infinita.

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots }$$

fracciones unitariasserie divergentesumas parciales^{[13][1] [13]}

prueba de comparación

Una forma de demostrar la divergencia es comparar la serie armónica con otra serie divergente, donde cada denominador se reemplaza con la siguiente potencia mayor de dos :

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{8}1&+{\frac {1}{2}}&&+{\frac {1}{3}}&&+{\frac {1}{4}}&&+{\frac {1}{5}}&&+{\frac {1}{6}}&&+{\frac {1}{7}}&&+{\frac {1}{8}}&&+{\frac {1}{9}}&&+\cdots \\[5pt]{}\geq 1&+{\frac {1}{2}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {4} }}}&&+{\frac {1}{4}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}&&+{\frac {1}{8}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {16} }}}&&+\cdots \\[5pt]\end{alignedat}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&1+\left({\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right)+\left({\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{16}}\right)+\cdots \\[5pt]{}={}&1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+\cdots .\end{aligned}}}$$

prueba de comparaciónnúmero entero positivo , ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{2^{k}}{\frac {1}{n}}\geq 1+{\frac {k}{2}}}$$

Nicole Oresme^[13]prueba de condensación de Cauchy^[14]

prueba integral

Rectángulos con área dada por la serie armónica y la hipérbola que pasa por las esquinas superiores izquierdas de estos rectángulos ${\displaystyle y=1/x}$

Es posible demostrar que la serie armónica diverge comparando su suma con una integral impropia . Específicamente, considere la disposición de los rectángulos que se muestra en la figura de la derecha. Cada rectángulo tiene 1 unidad de ancho y unidades de alto, por lo que si la serie armónica convergiera, entonces el área total de los rectángulos sería la suma de la serie armónica. La curva permanece completamente por debajo del límite superior de los rectángulos, por lo que el área bajo la curva (en el rango de uno al infinito que está cubierto por rectángulos) sería menor que el área de la unión de los rectángulos. Sin embargo, el área bajo la curva está dada por una integral impropia divergente , ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$ ${\displaystyle y={\tfrac {1}{x}}}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\,dx=\infty .}$$

^[13]

En la figura de la derecha, desplazar cada rectángulo hacia la izquierda 1 unidad produciría una secuencia de rectángulos cuyo límite se encuentra debajo de la curva en lugar de encima de ella. Esto muestra que las sumas parciales de la serie armónica difieren de la integral por una cantidad que está limitada arriba y abajo por la unidad de área del primer rectángulo:

$${\displaystyle \int _{1}^{N+1}{\frac {1}{x}}\,dx<\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{i}}<\int _{1}^{N}{\frac {1}{x}}\,dx+1.}$$

de ${\displaystyle n}$integral de convergencia^[15]

sumas parciales

La suma de los primeros términos de la serie armónica produce una suma parcial , llamada número armónico y denotada : ^[12] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H_{n}}$

$${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}$$

Tasa de crecimiento

Estos números crecen muy lentamente, con un crecimiento logarítmico , como se puede observar en la prueba integral. ^[15] Más precisamente, según la fórmula de Euler-Maclaurin ,

$${\displaystyle H_{n}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\varepsilon _{n}}$$

constante de Euler-Mascheroni^[dieciséis] ${\displaystyle \gamma \approx 0.5772}$ ${\displaystyle 0\leq \varepsilon _{n}\leq 1/8n^{2}}$ ${\displaystyle n}$

Divisibilidad

Ningún número armónico es entero, excepto . ^{[17] [18]} Una forma de demostrar que no es un número entero es considerar la potencia más alta de dos en el rango de 1 a . Si es el mínimo común múltiplo de los números del 1 al , entonces se puede reescribir como una suma de fracciones con iguales denominadores. ${\displaystyle H_{1}=1}$ ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle 2^{k}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H_{k}}$

$${\displaystyle H_{n}=\sum _{i=1}^{n}{\tfrac {M/i}{M}}}$$

,(cuando )^[17][18] ${\displaystyle M/2^{k}}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle M}$

Otra prueba de que los números armónicos no son números enteros observa que el denominador de debe ser divisible por todos los números primos mayores que y utiliza el postulado de Bertrand para demostrar que este conjunto de primos no está vacío. El mismo argumento implica con mayor fuerza que, excepto , y , ningún número armónico puede tener una representación decimal terminal . ^[17] Se ha conjeturado que todo número primo divide a los numeradores de sólo un subconjunto finito de los números armónicos, pero esto aún no se ha demostrado. ^[19] ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle n/2}$ ${\displaystyle H_{1}=1}$ ${\displaystyle H_{2}=1.5}$ ${\displaystyle H_{6}=2.45}$

Interpolación

La función digamma sobre los números complejos.

La función digamma se define como la derivada logarítmica de la función gamma

$${\displaystyle \psi (x)={\frac {d}{dx}}\ln {\big (}\Gamma (x){\big )}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}.}$$

interpolaciónfactoriales. ^[20][21] ${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma }$

Aplicaciones

Muchos problemas matemáticos conocidos tienen soluciones que involucran la serie armónica y sus sumas parciales.

Cruzando un desierto

Solución al problema del jeep , mostrando la cantidad de combustible en cada depósito y en el jeep en cada paso. ${\displaystyle n=3}$

El problema del jeep o problema del cruce del desierto está incluido en una colección de problemas del siglo IX de Alcuino , Propositiones ad Acuendos Juvenes (formulada en términos de camellos en lugar de jeeps), pero con una solución incorrecta. ^[22] El problema es hasta qué punto puede viajar y regresar un jeep en el desierto, partiendo de una base con una gran cantidad de combustible, llevando parte del combustible al desierto y dejándolo en depósitos. La solución óptima pasa por colocar depósitos espaciados a distancias del punto de partida y entre sí, donde es el rango de distancia que puede recorrer el jeep con una sola carga de combustible. En cada viaje de ida y vuelta de la base, el jeep coloca un depósito más, repostando combustible en los otros depósitos a lo largo del camino y colocando todo el combustible que puede en el depósito recién colocado, dejando suficiente para regresar al anterior. depósitos y la base. Por lo tanto, la distancia total alcanzada en el décimo viaje es ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\tfrac {r}{2n}},{\tfrac {r}{2(n-1)}},{\tfrac {r}{2(n-2)}},\dots }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\frac {r}{2n}}+{\frac {r}{2(n-1)}}+{\frac {r}{2(n-2)}}+\cdots ={\frac {r}{2}}H_{n},}$$

número^[23] ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Por ejemplo, para la versión del problema de Alcuino : un camello puede transportar 30 medidas de grano y puede viajar una leuca mientras come una sola medida, donde una leuca es una unidad de distancia aproximadamente igual a 2,3 kilómetros (1,4 millas). El problema tiene : hay 90 medidas de grano, suficientes para abastecer tres viajes. Para la formulación estándar del problema del cruce del desierto, sería posible que el camello viajara leucas y regresara, colocando un depósito de almacenamiento de granos a 5 leucas de la base en el primer viaje y a 12,5 leucas de la base en el segundo viaje. Sin embargo, Alcuino hace una pregunta ligeramente diferente: ¿cuánto grano se puede transportar a una distancia de 30 leucas sin un último viaje de regreso? Y, o deja varados a algunos camellos en el desierto o no tiene en cuenta la cantidad de grano consumido por un camello en su camino. viajes de regreso. ^[22] ${\displaystyle r=30}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle {\tfrac {30}{2}}{\bigl (}{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{1}})=27.5}$

Apilar bloques

El problema del apilamiento de bloques : los bloques alineados según la serie armónica pueden sobresalir del borde de una mesa por los números armónicos

En el problema de apilamiento de bloques , se debe colocar una pila de bloques rectangulares idénticos, uno por capa, de modo que cuelguen lo más posible sobre el borde de una mesa sin caerse. El bloque superior se puede colocar con una longitud que se extienda más allá del siguiente bloque inferior. Si se coloca de esta manera, el siguiente bloque hacia abajo debe colocarse con la mayor parte de su longitud extendiéndose más allá del siguiente bloque inferior, de modo que el centro de masa de los dos bloques superiores quede sostenido y no se caigan. El tercer bloque debe colocarse con la mayor parte de su longitud extendiéndose más allá del siguiente bloque inferior, y así sucesivamente. De esta manera, es posible colocar los bloques de tal manera que se extiendan longitudes más allá de la mesa, donde es el número armónico . ^{[24] [25]} La divergencia de la serie armónica implica que no hay límite sobre hasta qué punto más allá de la mesa puede extenderse la pila de bloques. ^[25] Para pilas con un bloque por capa, no es posible una solución mejor, pero se puede lograr un voladizo significativamente mayor utilizando pilas con más de un bloque por capa. ^[26] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}H_{n}}$ ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Contar primos y divisores

En 1737, Leonhard Euler observó que, como suma formal , la serie armónica es igual a un producto de Euler en el que cada término proviene de un número primo :

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i}}=\prod _{p\in \mathbb {P} }\left(1+{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p^{2}}}+\cdots \right)=\prod _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{1-1/p}},}$$

ley distributivafactorizaciones primasserie geométrica ${\displaystyle \mathbb {P} }$

$${\displaystyle \ln \prod _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{1-1/p}}=\sum _{p\in \mathbb {P} }\ln {\frac {1}{1-1/p}}=\sum _{p\in \mathbb {P} }\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2p^{2}}}+{\frac {1}{3p^{3}}}+\cdots \right)=\sum _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{p}}+K.}$$

serie de Taylorhay infinitos números primos^[27][28]doble logaritmolos teoremas de Mertens^[29]número primo. teorema^[28] ${\displaystyle K}$

Otro problema en la teoría de números estrechamente relacionado con las series armónicas se refiere al número promedio de divisores de los números en un rango de 1 a , formalizado como el orden promedio de la función divisora . ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left\lfloor {\frac {n}{i}}\right\rfloor \leq {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {n}{i}}=H_{n}.}$$

Peter Gustav Lejeune Dirichletletras grandes) . O notaciónproblema del divisor de Dirichlet^[30] ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$ ${\displaystyle \ln n+2\gamma -1+O(1/{\sqrt {n}})}$

Recolectando cupones

Gráfico del número de ítems versus el número esperado de ensayos necesarios para recopilar todos los ítems

Varios juegos o recreaciones comunes implican repetir una selección aleatoria de un conjunto de elementos hasta que se hayan seleccionado todas las opciones posibles; estos incluyen la colección de cromos ^{[31] [32]} y la realización del bingo parkrun , en el que el objetivo es obtener los 60 números posibles de segundos en los tiempos de una secuencia de eventos en carrera. ^[33] Las aplicaciones más serias de este problema incluyen el muestreo de todas las variaciones de un producto fabricado para su control de calidad , ^[34] y la conectividad de gráficos aleatorios . ^[35] En situaciones de esta forma, una vez que quedan elementos por recolectar de un total de elementos igualmente probables, la probabilidad de recolectar un nuevo elemento en una única elección aleatoria es y el número esperado de elecciones aleatorias necesarias hasta que se Se recoge un nuevo artículo . La suma de todos los valores desde abajo hasta 1 muestra que el número total esperado de elecciones aleatorias necesarias para recolectar todos los elementos es , donde es el número armónico . ^[36] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k/n}$ ${\displaystyle n/k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle nH_{n}}$ ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Analizando algoritmos

Animación de la versión de caso promedio de clasificación rápida, con subproblemas recursivos indicados por flechas sombreadas y con pivotes (elementos rojos y líneas azules) elegidos como el último elemento de cada subproblema.

El algoritmo de clasificación rápida para clasificar un conjunto de elementos se puede analizar utilizando números armónicos. El algoritmo opera eligiendo un elemento como "pivote", comparándolo con todos los demás y clasificando recursivamente los dos subconjuntos de elementos cuya comparación los coloca antes y después del pivote. Ya sea en su complejidad de caso promedio (con el supuesto de que todas las permutaciones de entradas son igualmente probables) o en su análisis de tiempo esperado de las entradas del peor caso con una elección aleatoria de pivote, todos los elementos tienen la misma probabilidad de ser elegidos como pivote. . Para tales casos, se puede calcular la probabilidad de que dos elementos se comparen alguna vez entre sí, durante la recursión, como una función del número de otros elementos que los separan en el orden final. Si los elementos y están separados por otros elementos, entonces el algoritmo hará una comparación entre y solo cuando, a medida que avanza la recursión, seleccione o como pivote antes de seleccionar cualquiera de los otros elementos entre ellos. Como cada uno de estos elementos tiene la misma probabilidad de ser elegido primero, esto sucede con probabilidad . El número total esperado de comparaciones, que controla el tiempo total de ejecución del algoritmo, se puede calcular sumando estas probabilidades de todos los pares, lo que da ^[37] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k+2}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{k+2}}}$

$${\displaystyle \sum _{i=2}^{n}\sum _{k=0}^{i-2}{\frac {2}{k+2}}=\sum _{i=1}^{n-1}2H_{i}=O(n\log n).}$$

modelo de comparación de clasificacióntiempo lineal^[38]

Serie relacionada

Serie armónica alterna

Las primeras catorce sumas parciales de la serie armónica alterna (segmentos de línea negra) se muestran convergiendo al logaritmo natural de 2 (línea roja).

Las series

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots }$$

serie armónica alternacondicionalmente convergenteprueba de series alternasabsolutamente convergentelogaritmo natural de 2^[39]

Explícitamente, la expansión asintótica de la serie es

$${\displaystyle {\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+\cdots +{\frac {1}{2n-1}}-{\frac {1}{2n}}=H_{2n}-H_{n}=\ln 2-{\frac {1}{2n}}+O(n^{-2})}$$

El uso de signos alternos con fracciones unitarias impares produce una serie relacionada, la fórmula de Leibniz para π ^[40]

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}.}$$

Función zeta de Riemann

La función zeta de Riemann está definida realmente por la serie convergente ${\displaystyle x>1}$

$${\displaystyle \zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}={\frac {1}{1^{x}}}+{\frac {1}{2^{x}}}+{\frac {1}{3^{x}}}+\cdots ,}$$

continuación analíticafunción holomorfalos números complejos excepto cuandopolo simplelaproblema de Basileala constante de Apéry ,Roger Apérynúmero irracionalparte real ,hipótesis de Riemann^[41] ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle \zeta (2)=\pi ^{2}/6}$ ${\displaystyle \zeta (3)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$

Serie armónica aleatoria

La serie armónica aleatoria es

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {s_{n}}{n}},}$$

variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidasprobabilidad . con probabilidad 1teorema de las tres series de Kolmogorovdesigualdad máxima de Kolmogorov,variable aleatoriafunción de densidad de probabilidadcercana ay ,oque . valores ,. ^{[42] [43]} ${\displaystyle s_{n}}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle -3}$ ${\displaystyle \pm 2}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{8}}-\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon <10^{-42}}$

Serie armónica agotada

Se puede demostrar que la serie armónica agotada donde se eliminan todos los términos en los que aparece el dígito 9 en cualquier parte del denominador converge al valor 22,92067 66192 64150 34816 .... ^[44] De hecho, cuando se eliminan todos los términos que contienen una cadena particular de dígitos (en cualquier base ), la serie converge. ^[45]

Referencias

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6. Derbyshire, John (2003). Prime Obsession: Bernhard Riemann y el mayor problema sin resolver en matemáticas . Washington, DC: Joseph Henry Press. pag. 10.ISBN _ 0-309-08549-7. SEÑOR  1968857.
7. Mengoli, Pietro (1650). "Praefatio [Prefacio]". Novae quadraturae arithmeticae, seu De adicionale fraccionum [ Nueva cuadratura aritmética (es decir, integración), o Sobre la suma de fracciones ] (en latín). Bolonia: Giacomo Monti.La prueba de Mengoli es por contradicción: denotemos la suma de la serie. Agrupa los términos de la serie en tripletes: . Puesto que para , entonces , lo cual es imposible para cualquier finito . Por tanto, la serie diverge. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=1+({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}})+({\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{7}})+\cdots }$ ${\displaystyle x>1}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{x-1}}+{\tfrac {1}{x}}+{\tfrac {1}{x+1}}>{\tfrac {3}{x}}}$ ${\displaystyle S>1+{\tfrac {3}{3}}+{\tfrac {3}{6}}+{\tfrac {3}{9}}+\cdots =1+1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\cdots =1+S}$ ${\displaystyle S}$
8. Bernoulli, Jacob (1689). Propositiones arithmeticae de seriebus infinitis earumque summa finita [ Proposiciones aritméticas sobre series infinitas y sus sumas finitas ]. Basilea: J. Conrad.
9. Bernoulli, Jacob (1713). Ars conjectandi, opus posthumum. Accedit Tractatus de seriebus infinitis [ Teoría de la inferencia, obra póstuma. Con el Tratado sobre las series infinitas… ]. Basilea: Thurneysen. págs. 250-251.
   De la pág. 250, prop. dieciséis:

   " XVI. Summa serei infinita harmonicè progresivaalium, &c. est infinita. Id primus deprehendit Frater:… ${\displaystyle {\tfrac {1}{1}}+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{5}}}$ "

   [dieciséis. La suma de una serie infinita de progresión armónica, es infinita. Mi hermano descubrió esto por primera vez…] ${\displaystyle {\tfrac {1}{1}}+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{5}}+\cdots }$

10. Dunham, William (enero de 1987). "Los Bernoulli y la serie armónica". La revista universitaria de matemáticas . 18 (1): 18–23. doi :10.1080/07468342.1987.11973001. JSTOR  2686312.
11. Bernoulli, Johann (1742). "Corolario III de De seriebus varia". Ópera Omnia . Lausana y Basilea: Marc-Michel Bousquet & Co. vol. 4, pág. 8.La prueba de Johann Bernoulli también es por contradicción. Utiliza una suma telescópica para representar cada término como ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$
    $${\displaystyle {\frac {1}{n}}={\Big (}{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}{\Big )}+{\Big (}{\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+2}}{\Big )}+{\Big (}{\frac {1}{n+2}}-{\frac {1}{n+3}}{\Big )}\cdots }$$
    $${\displaystyle ={\frac {1}{n(n+1)}}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}+{\frac {1}{(n+2)(n+3)}}\cdots }$$
    Cambiar el orden de suma en la serie doble correspondiente da, en notación moderna
    $${\displaystyle S=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=n}^{\infty }{\frac {1}{k(k+1)}}=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{k(k+1)}}}$$
    $${\displaystyle =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k}{k(k+1)}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k+1}}=S-1}$$
    .
12. Knuth, Donald E. (1968). "1.2.7 Números armónicos". El arte de la programación informática, volumen I: algoritmos fundamentales (1ª ed.). Addison-Wesley. págs. 73–78.Knuth escribe sobre las sumas parciales de la serie armónica: "Esta suma no ocurre con mucha frecuencia en las matemáticas clásicas y no existe una notación estándar para ella; pero en el análisis de algoritmos aparece casi cada vez que nos damos la vuelta y usará constantemente el símbolo ... La letra significa "armónico", y lo llamamos "número armónico" porque [la serie infinita] habitualmente se llama serie armónica". ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H_{n}}$
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15. Bressoud, David M. (2007). Un enfoque radical del análisis real. Serie de materiales de recursos para el aula (2ª ed.). Washington, DC: Asociación Matemática de América. págs. 137-138. ISBN 978-0-88385-747-2. SEÑOR  2284828.
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enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Serie armónica". MundoMatemático .