secuencia Fibonacci

Números obtenidos sumando los dos anteriores

Un mosaico con cuadrados cuyas longitudes de lados son números de Fibonacci sucesivos: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 y 21.

En matemáticas, la secuencia de Fibonacci es una secuencia en la que cada número es la suma de los dos anteriores. Los números que forman parte de la secuencia de Fibonacci se conocen como números de Fibonacci , comúnmente denotados como F _n  . La secuencia comúnmente comienza desde 0 y 1, aunque algunos autores comienzan la secuencia desde 1 y 1 o, a veces (como lo hizo Fibonacci) desde 1 y 2. A partir de 0 y 1, la secuencia comienza

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, .... ^[1]

Los números de Fibonacci se describieron por primera vez en las matemáticas indias ya en el año 200 a. C. en un trabajo de Pingala sobre la enumeración de posibles patrones de poesía sánscrita formados a partir de sílabas de dos longitudes. ^{[2] [3] [4]} Llevan el nombre del matemático italiano Leonardo de Pisa, también conocido como Fibonacci , quien introdujo la secuencia en las matemáticas de Europa occidental en su libro Liber Abaci de 1202 . ^[5]

Los números de Fibonacci aparecen con una frecuencia inesperada en matemáticas, hasta el punto de que hay una revista entera dedicada a su estudio, el Fibonacci Quarterly . Las aplicaciones de los números de Fibonacci incluyen algoritmos informáticos como la técnica de búsqueda de Fibonacci y la estructura de datos del montón de Fibonacci , y gráficos llamados cubos de Fibonacci que se utilizan para interconectar sistemas paralelos y distribuidos. También aparecen en entornos biológicos , como la ramificación de los árboles, la disposición de las hojas en un tallo , los brotes del fruto de una piña , la floración de una alcachofa y la disposición de las brácteas de una piña , aunque no ocurren. en todas las especies.

Los números de Fibonacci también están fuertemente relacionados con la proporción áurea : la fórmula de Binet expresa el n -ésimo número de Fibonacci en términos de n y la proporción áurea, e implica que la proporción de dos números de Fibonacci consecutivos tiende a la proporción áurea a medida que n aumenta. Los números de Fibonacci también están estrechamente relacionados con los números de Lucas , que obedecen a la misma relación de recurrencia y con los números de Fibonacci forman un par complementario de secuencias de Lucas .

Definición

La espiral de Fibonacci: una aproximación de la espiral dorada creada dibujando arcos circulares que conectan las esquinas opuestas de los cuadrados en el mosaico de Fibonacci (ver imagen anterior)

Los números de Fibonacci pueden definirse mediante la relación de recurrencia ^[6]

$${\displaystyle F_{0}=0,\quad F_{1}=1,}$$

$${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}$$

norte > 1

En algunas definiciones anteriores, el valor se omite, de modo que la secuencia comienza con y la recurrencia es válida para n > 2 . ^{[7] [8]} ${\displaystyle F_{0}=0}$ ${\displaystyle F_{1}=F_{2}=1,}$ ${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}$

Los primeros 20 números de Fibonacci F _n son: ^[1]

Historia

India

Trece ( F ₇ ) formas de organizar sílabas largas y cortas en una cadencia de seis longitudes. Ocho ( F ₆ ) terminan con una sílaba corta y cinco ( F ₅ ) terminan con una sílaba larga.

La secuencia de Fibonacci aparece en las matemáticas indias , en relación con la prosodia sánscrita . ^{[3] [9] [10]} En la tradición poética sánscrita, había interés en enumerar todos los patrones de sílabas largas (L) de 2 unidades de duración, yuxtapuestas con sílabas cortas (S) de 1 unidad de duración. Contar los diferentes patrones de L y S sucesivos con una duración total dada da como resultado los números de Fibonacci: el número de patrones de duración m unidades es F _{m +1} . ^[4]

El conocimiento de la secuencia de Fibonacci se expresó ya en Pingala ( c.  450 a. C.-200 a. C.). Singh cita la fórmula críptica de Pingala, misrau cha ("los dos están mezclados") y los estudiosos que la interpretan en contexto dicen que el número de patrones para m tiempos ( F _{m +1} ) se obtiene sumando uno [S] al F _m casos y uno [L] a los casos F _{m −1 .} ^[11] Bharata Muni también expresa conocimiento de la secuencia en el Natya Shastra (c. 100 a. C. – c. 350 d. C.). ^{[12] [2]} Sin embargo, la exposición más clara de la secuencia surge en la obra de Virahanka (c. 700 d. C.), cuyo propio trabajo se ha perdido, pero está disponible en una cita de Gopala (c. 1135): ^[10]

Variaciones de dos metros anteriores [es la variación]... Por ejemplo, para [un metro de longitud] cuatro, al estar mezcladas variaciones de metros de dos [y] tres, sucede cinco. [resuelve los ejemplos 8, 13, 21]... De esta manera, el proceso debe seguirse en todos los mātrā-vṛttas [combinaciones prosódicas]. ^[a]

A Hemachandra (c. 1150) también se le atribuye el conocimiento de la secuencia, ^[2] escribiendo que "la suma del último y el anterior al último es el número... del siguiente mātrā-vṛtta". ^{[14] [15]}

Europa

Una página del Liber Abaci de Fibonacci de la Biblioteca Nazionale di Firenze que muestra (en el recuadro de la derecha) 13 entradas de la secuencia de Fibonacci: los índices desde el presente hasta el XII (meses) como ordinales latinos y números romanos y los números (de pares de conejos). ) como números hindú-árabes que comienzan con 1, 2, 3, 5 y terminan con 377.

La secuencia de Fibonacci aparece por primera vez en el libro Liber Abaci ( El libro del cálculo , 1202) de Fibonacci ^{[16] [17]} donde se utiliza para calcular el crecimiento de las poblaciones de conejos. ^{[18] [19]} Fibonacci considera el crecimiento de una población de conejos idealizada ( biológicamente irreal) , asumiendo que: una pareja de conejos reproductores recién nacidos se pone en un campo; cada pareja reproductora se aparea a la edad de un mes, y al final del segundo mes siempre producen otra pareja de conejos; y los conejos nunca mueren, sino que continúan reproduciéndose para siempre. Fibonacci planteó el enigma: ¿cuántos pares habrá en un año?

• Al final del primer mes se aparean, pero todavía queda sólo 1 pareja.
• Al final del segundo mes producen un nuevo par, por lo que hay 2 pares en el campo.
• Al final del tercer mes, la pareja original produce una segunda pareja, pero la segunda pareja sólo se aparea para gestar durante un mes, por lo que hay 3 parejas en total.
• Al final del cuarto mes, la pareja original ha producido otro par nuevo, y la pareja nacida hace dos meses también produce su primer par, formando 5 pares.

Al final del n -ésimo mes, el número de parejas de conejos es igual al número de parejas maduras (es decir, el número de parejas en el mes n – 2 ) más el número de parejas vivas el último mes (mes n – 1 ). El número del enésimo mes es el enésimo número de Fibonacci. ^[20]

El nombre "secuencia de Fibonacci" fue utilizado por primera vez por el teórico de números del siglo XIX Édouard Lucas . ^[21]

En una población idealizada en crecimiento, el número de parejas de conejos forma la secuencia de Fibonacci. Al final del enésimo mes, el número de pares es igual a F _n.

Relación con la proporción áurea

Expresión de forma cerrada

Como toda secuencia definida por una recurrencia lineal con coeficientes constantes , los números de Fibonacci tienen una expresión de forma cerrada . Se la conoce como fórmula de Binet , en honor al matemático francés Jacques Philippe Marie Binet , aunque ya era conocida por Abraham de Moivre y Daniel Bernoulli : ^[22]

$${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-\psi ^{n}}{\varphi -\psi }}={\frac {\varphi ^{n}-\psi ^{n}}{\sqrt {5}}},}$$

dónde

$${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.61803\,39887\ldots }$$

es la proporción áurea , y ψ es su conjugado : ^[23]

$${\displaystyle \psi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=1-\varphi =-{1 \over \varphi }\approx -0.61803\,39887\ldots .}$$

Dado que esta fórmula también se puede escribir como ${\displaystyle \psi =-\varphi ^{-1}}$

$${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{2\varphi -1}}.}$$

Para ver la relación entre la secuencia y estas constantes, ^[24] observe que φ y ψ son soluciones de la ecuación y, por lo tanto, las potencias de φ y ψ satisfacen la recursividad de Fibonacci. En otras palabras, ${\textstyle x^{2}=x+1}$ ${\displaystyle x^{n}=x^{n-1}+x^{n-2},}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{n}&=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2},\\[3mu]\psi ^{n}&=\psi ^{n-1}+\psi ^{n-2}.\end{aligned}}}$$

De ello se deduce que para cualquier valor a y b , la secuencia definida por

$${\displaystyle U_{n}=a\varphi ^{n}+b\psi ^{n}}$$

satisface la misma recurrencia,

$${\displaystyle {\begin{aligned}U_{n}&=a\varphi ^{n}+b\psi ^{n}\\[3mu]&=a(\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2})+b(\psi ^{n-1}+\psi ^{n-2})\\[3mu]&=a\varphi ^{n-1}+b\psi ^{n-1}+a\varphi ^{n-2}+b\psi ^{n-2}\\[3mu]&=U_{n-1}+U_{n-2}.\end{aligned}}}$$

Si se eligen a y b de modo que U ₀ = 0 y U ₁ = 1 , entonces la secuencia resultante U _n debe ser la secuencia de Fibonacci. Esto es lo mismo que exigir que a y b satisfagan el sistema de ecuaciones:

$${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}a+b&=0\\\varphi a+\psi b&=1\end{aligned}}\right.}$$

que tiene solución

$${\displaystyle a={\frac {1}{\varphi -\psi }}={\frac {1}{\sqrt {5}}},\quad b=-a,}$$

produciendo la fórmula requerida.

Tomando los valores iniciales U ₀ y U ₁ como constantes arbitrarias, una solución más general es:

$${\displaystyle U_{n}=a\varphi ^{n}+b\psi ^{n}}$$

dónde

$${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {U_{1}-U_{0}\psi }{\sqrt {5}}},\\[3mu]b&={\frac {U_{0}\varphi -U_{1}}{\sqrt {5}}}.\end{aligned}}}$$

Cálculo por redondeo

Dado que para todo n ≥ 0 , el número F _n es el entero más cercano a . Por lo tanto, se puede encontrar redondeando , usando la función entera más cercana: ${\textstyle \left|{\frac {\psi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right|<{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}}$

$${\displaystyle F_{n}=\left\lfloor {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right\rceil ,\ n\geq 0.}$$

De hecho, el error de redondeo es muy pequeño, siendo inferior a 0,1 para n ≥ 4 y inferior a 0,01 para n ≥ 8 . Esta fórmula se invierte fácilmente para encontrar un índice de un número de Fibonacci F :

$${\displaystyle n(F)=\left\lfloor \log _{\varphi }{\sqrt {5}}F\right\rceil ,\ F\geq 1.}$$

En lugar de utilizar la función suelo , se obtiene el índice más grande de un número de Fibonacci que no es mayor que F :

$${\displaystyle n_{\mathrm {largest} }(F)=\left\lfloor \log _{\varphi }{\sqrt {5}}(F+1/2)\right\rfloor ,\ F\geq 0,}$$

^[25][26] ${\displaystyle \log _{\varphi }(x)=\ln(x)/\ln(\varphi )=\log _{10}(x)/\log _{10}(\varphi )}$ ${\displaystyle \ln(\varphi )=0.481211\ldots }$ ${\displaystyle \log _{10}(\varphi )=0.208987\ldots }$

Magnitud

Como F _n es asintótico con , el número de dígitos en F _n es asintótico con . Como consecuencia, por cada número entero d > 1 hay 4 o 5 números de Fibonacci con d dígitos decimales. ${\displaystyle \varphi ^{n}/{\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle n\log _{10}\varphi \approx 0.2090\,n}$

De manera más general, en la representación de base b , el número de dígitos en F _n es asintótico a ${\displaystyle n\log _{b}\varphi ={\frac {n\log \varphi }{\log b}}.}$

Límite de cocientes consecutivos

Johannes Kepler observó que la proporción de números de Fibonacci consecutivos converge . Escribió que "como 5 es a 8, así es 8 a 13, prácticamente, y como 8 es a 13, así es 13 a 21 casi", y concluyó que estas proporciones se acercan a la proporción áurea ^{[27] [28]} ${\displaystyle \varphi \colon }$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\varphi .}$$

Esta convergencia se mantiene independientemente de los valores iniciales y , a menos que . Esto se puede verificar utilizando la fórmula de Binet. Por ejemplo, los valores iniciales 3 y 2 generan la secuencia 3, 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, 81, 131, 212, 343, 555,.... La proporción de términos consecutivos en esta secuencia muestra la misma convergencia hacia la proporción áurea. ${\displaystyle U_{0}}$ ${\displaystyle U_{1}}$ ${\displaystyle U_{1}=-U_{0}/\varphi }$

En general, porque las proporciones entre números de Fibonacci consecutivos se aproximan a . ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+m}}{F_{n}}}=\varphi ^{m}}$ ${\displaystyle \varphi }$

Mosaicos sucesivos del plano y una gráfica de aproximaciones a la proporción áurea calculada dividiendo cada número de Fibonacci por el anterior.

Descomposición de poderes

Dado que la proporción áurea satisface la ecuación

$${\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1,}$$

esta expresión se puede usar para descomponer potencias superiores como una función lineal de potencias inferiores, que a su vez se puede descomponer hasta una combinación lineal de y 1. Las relaciones de recurrencia resultantes producen números de Fibonacci como coeficientes lineales : ${\displaystyle \varphi ^{n}}$ ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle \varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1}.}$$

demostrarinducciónn ≥ 1

$${\displaystyle \varphi ^{n+1}=(F_{n}\varphi +F_{n-1})\varphi =F_{n}\varphi ^{2}+F_{n-1}\varphi =F_{n}(\varphi +1)+F_{n-1}\varphi =(F_{n}+F_{n-1})\varphi +F_{n}=F_{n+1}\varphi +F_{n}.}$$

${\displaystyle \psi =-1/\varphi }$ ${\displaystyle \psi ^{2}=\psi +1}$

$${\displaystyle \psi ^{n}=F_{n}\psi +F_{n-1}.}$$

Estas expresiones también son verdaderas para n < 1 si la secuencia de Fibonacci F _n se extiende a enteros negativos usando la regla de Fibonacci. ${\displaystyle F_{n}=F_{n+2}-F_{n+1}.}$

Identificación

La fórmula de Binet proporciona una prueba de que un entero positivo x es un número de Fibonacci si y sólo si al menos uno de o es un cuadrado perfecto . ^[29] Esto se debe a que la fórmula de Binet, que se puede escribir como , se puede multiplicar y resolver como una ecuación cuadrática mediante la fórmula cuadrática : ${\displaystyle 5x^{2}+4}$ ${\displaystyle 5x^{2}-4}$ ${\displaystyle F_{n}=(\varphi ^{n}-(-1)^{n}\varphi ^{-n})/{\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {5}}\varphi ^{n}}$ ${\displaystyle \varphi ^{n}}$

$${\displaystyle \varphi ^{n}={\frac {F_{n}{\sqrt {5}}\pm {\sqrt {5{F_{n}}^{2}+4(-1)^{n}}}}{2}}.}$$

Comparando esto con , se deduce que ${\displaystyle \varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1}=(F_{n}{\sqrt {5}}+F_{n}+2F_{n-1})/2}$

$${\displaystyle 5{F_{n}}^{2}+4(-1)^{n}=(F_{n}+2F_{n-1})^{2}\,.}$$

En particular, el lado izquierdo es un cuadrado perfecto.

forma matricial

Un sistema bidimensional de ecuaciones en diferencias lineales que describe la secuencia de Fibonacci es

$${\displaystyle {F_{k+2} \choose F_{k+1}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{F_{k+1} \choose F_{k}}}$$

$${\displaystyle {\vec {F}}_{k+1}=\mathbf {A} {\vec {F}}_{k},}$$

cuyos rendimientos . Los valores propios de la matriz A son y correspondientes a los respectivos vectores propios ${\displaystyle {\vec {F}}_{n}=\mathbf {A} ^{n}{\vec {F}}_{0}}$ ${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})}$ ${\displaystyle \psi =-\varphi ^{-1}={\frac {1}{2}}(1-{\sqrt {5}})}$

$${\displaystyle {\vec {\mu }}={\varphi \choose 1}}$$

$${\displaystyle {\vec {\nu }}={-\varphi ^{-1} \choose 1}.}$$

$${\displaystyle {\vec {F}}_{0}={1 \choose 0}={\frac {1}{\sqrt {5}}}{\vec {\mu }}-{\frac {1}{\sqrt {5}}}{\vec {\nu }},}$$

n-

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {F}}_{n}&={\frac {1}{\sqrt {5}}}A^{n}{\vec {\mu }}-{\frac {1}{\sqrt {5}}}A^{n}{\vec {\nu }}\\&={\frac {1}{\sqrt {5}}}\varphi ^{n}{\vec {\mu }}-{\frac {1}{\sqrt {5}}}(-\varphi )^{-n}{\vec {\nu }}~\\&={\cfrac {1}{\sqrt {5}}}\left({\cfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}{\varphi \choose 1}-{\cfrac {1}{\sqrt {5}}}\left({\cfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}{-\varphi ^{-1} \choose 1},\end{aligned}}}$$

enésimoexpresión de forma cerrada

$${\displaystyle F_{n}={\cfrac {1}{\sqrt {5}}}\left({\cfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-{\cfrac {1}{\sqrt {5}}}\left({\cfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}.}$$

De manera equivalente, el mismo cálculo se puede realizar diagonalizando A mediante el uso de su descomposición propia :

$${\displaystyle {\begin{aligned}A&=S\Lambda S^{-1},\\A^{n}&=S\Lambda ^{n}S^{-1},\end{aligned}}}$$

n.ésimo ${\displaystyle \Lambda ={\begin{pmatrix}\varphi &0\\0&-\varphi ^{-1}\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle S={\begin{pmatrix}\varphi &-\varphi ^{-1}\\1&1\end{pmatrix}}.}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{F_{n+1} \choose F_{n}}&=A^{n}{F_{1} \choose F_{0}}\\&=S\Lambda ^{n}S^{-1}{F_{1} \choose F_{0}}\\&=S{\begin{pmatrix}\varphi ^{n}&0\\0&(-\varphi )^{-n}\end{pmatrix}}S^{-1}{F_{1} \choose F_{0}}\\&={\begin{pmatrix}\varphi &-\varphi ^{-1}\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\varphi ^{n}&0\\0&(-\varphi )^{-n}\end{pmatrix}}{\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{pmatrix}1&\varphi ^{-1}\\-1&\varphi \end{pmatrix}}{1 \choose 0},\end{aligned}}}$$

que nuevamente cede

$${\displaystyle F_{n}={\cfrac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}.}$$

La matriz A tiene un determinante de −1 y, por tanto, es una matriz unimodular de 2 × 2 .

Esta propiedad se puede entender en términos de la representación de fracción continua para la proporción áurea:

$${\displaystyle \varphi =1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}.}$$

Los números de Fibonacci ocurren como la proporción de convergentes sucesivos de la fracción continua para φ , y la matriz formada a partir de convergentes sucesivos de cualquier fracción continua tiene un determinante de +1 o −1. La representación matricial da la siguiente expresión en forma cerrada para los números de Fibonacci:

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{pmatrix}}.}$$

Para un n dado , esta matriz se puede calcular en O (log n ) operaciones aritméticas, utilizando el método de exponenciación por elevación al cuadrado .

Tomando el determinante de ambos lados de esta ecuación se obtiene la identidad de Cassini ,

$${\displaystyle (-1)^{n}=F_{n+1}F_{n-1}-{F_{n}}^{2}.}$$

Además, dado que A ⁿ A ^m = A ^{n + m} para cualquier matriz cuadrada A , se pueden derivar las siguientes identidades (se obtienen a partir de dos coeficientes diferentes del producto matricial , y se puede deducir fácilmente el segundo del primero mediante cambiando n en n + 1 ),

$${\displaystyle {\begin{aligned}{F_{m}}{F_{n}}+{F_{m-1}}{F_{n-1}}&=F_{m+n-1},\\F_{m}F_{n+1}+F_{m-1}F_{n}&=F_{m+n}.\end{aligned}}}$$

En particular, con m = n ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{2n-1}&={F_{n}}^{2}+{F_{n-1}}^{2}\\[5pt]F_{2n{\phantom {{}-1}}}&=(F_{n-1}+F_{n+1})F_{n}\\[5pt]&=(2F_{n-1}+F_{n})F_{n}\\[5pt]&=(2F_{n+1}-F_{n})F_{n}.\end{aligned}}}$$

Estas dos últimas identidades proporcionan una manera de calcular los números de Fibonacci de forma recursiva en operaciones aritméticas O (log n ) . Esto coincide con el tiempo para calcular el enésimo número de Fibonacci a partir de la fórmula matricial de forma cerrada, pero con menos pasos redundantes si se evita volver a calcular un número de Fibonacci ya calculado (recursión con memorización ). ^[30]

Identidades combinatorias

Pruebas combinatorias

La mayoría de las identidades que involucran números de Fibonacci se pueden probar usando argumentos combinatorios usando el hecho de que puede interpretarse como el número de secuencias (posiblemente vacías) de 1 y 2 cuya suma es . Esto se puede tomar como la definición de con las convenciones , lo que significa que no existe tal secuencia cuya suma sea −1, y , lo que significa que la secuencia vacía "suma" 0. A continuación, se muestra la cardinalidad de un conjunto : ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle F_{0}=0}$ ${\displaystyle F_{1}=1}$ ${\displaystyle |{...}|}$

${\displaystyle F_{0}=0=|\{\}|}$

${\displaystyle F_{1}=1=|\{()\}|}$

${\displaystyle F_{2}=1=|\{(1)\}|}$

${\displaystyle F_{3}=2=|\{(1,1),(2)\}|}$

${\displaystyle F_{4}=3=|\{(1,1,1),(1,2),(2,1)\}|}$

${\displaystyle F_{5}=5=|\{(1,1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1),(2,2)\}|}$

De esta manera la relación de recurrencia

$${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}$$

${\displaystyle F_{n}}$

$${\displaystyle F_{n}=|\{(1,...),(1,...),...\}|+|\{(2,...),(2,...),...\}|}$$

${\displaystyle n-2}$ ${\displaystyle n-3}$ ${\displaystyle F_{n-1}}$ ${\displaystyle F_{n-2}}$ ${\displaystyle F_{n-1}+F_{n-2}}$ ${\displaystyle F_{n}}$

De manera similar se puede demostrar que la suma de los primeros números de Fibonacci hasta el n -ésimo es igual al ( n + 2) -ésimo número de Fibonacci menos 1. ^[31] En símbolos:

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=F_{n+2}-1}$$

Esto se puede ver dividiendo todas las secuencias que se suman según la ubicación de los primeros 2. Específicamente, cada conjunto consta de aquellas secuencias que comienzan hasta los dos últimos conjuntos, cada uno con cardinalidad 1. ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle (2,...),(1,2,...),...,}$ ${\displaystyle \{(1,1,...,1,2)\},\{(1,1,...,1)\}}$

Siguiendo la misma lógica que antes, sumando la cardinalidad de cada conjunto vemos que

${\displaystyle F_{n+2}=F_{n}+F_{n-1}+...+|\{(1,1,...,1,2)\}|+|\{(1,1,...,1)\}|}$

... donde los dos últimos términos tienen el valor . De esto se deduce que . ${\displaystyle F_{1}=1}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=F_{n+2}-1}$

Un argumento similar, agrupar las sumas por la posición del primero 1 en lugar de los primeros 2 da dos identidades más:

$${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}F_{2i+1}=F_{2n}}$$

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{2i}=F_{2n+1}-1.}$$

impar(2 n )par(2 n + 1)^[32] ${\displaystyle F_{2n-1}}$ ${\displaystyle F_{2n}}$

Se puede utilizar un truco diferente para demostrar

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}^{2}=F_{n}F_{n+1}}$$

n( n + 1)áreas ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle F_{n}\times F_{n+1}}$ ${\displaystyle F_{n},F_{n-1},...,F_{1}}$

método simbólico

La secuencia también se considera utilizando el método simbólico . ^[33] Más precisamente, esta secuencia corresponde a una clase combinatoria especificable . La especificación de esta secuencia es . De hecho, como se indicó anteriormente, el -ésimo número de Fibonacci es igual al número de composiciones combinatorias ( particiones ordenadas ) que utilizan los términos 1 y 2. ${\displaystyle (F_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \operatorname {Seq} ({\mathcal {Z+Z^{2}}})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n-1}$

De ello se deduce que la función generadora ordinaria de la secuencia de Fibonacci, es la función racional ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }F_{i}z^{i}}$ ${\displaystyle {\frac {z}{1-z-z^{2}}}.}$

Pruebas de inducción

Las identidades de Fibonacci a menudo pueden demostrarse fácilmente mediante inducción matemática .

Por ejemplo, reconsiderar

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=F_{n+2}-1.}$$

${\displaystyle F_{n+1}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}+F_{n+1}=F_{n+1}+F_{n+2}-1}$

y entonces tenemos la fórmula para ${\displaystyle n+1}$

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n+1}F_{i}=F_{n+3}-1}$$

De manera similar, agregue a ambos lados de ${\displaystyle {F_{n+1}}^{2}}$

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}^{2}=F_{n}F_{n+1}}$$

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}^{2}+{F_{n+1}}^{2}=F_{n+1}\left(F_{n}+F_{n+1}\right)}$$

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n+1}F_{i}^{2}=F_{n+1}F_{n+2}}$$

Pruebas de la fórmula de Binet

La fórmula de Binet es

$${\displaystyle {\sqrt {5}}F_{n}=\varphi ^{n}-\psi ^{n}.}$$

Por ejemplo, para demostrar que nota que el lado izquierdo multiplicado por se convierte en ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=F_{n+2}-1}$ ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}1+&\varphi +\varphi ^{2}+\dots +\varphi ^{n}-\left(1+\psi +\psi ^{2}+\dots +\psi ^{n}\right)\\&={\frac {\varphi ^{n+1}-1}{\varphi -1}}-{\frac {\psi ^{n+1}-1}{\psi -1}}\\&={\frac {\varphi ^{n+1}-1}{-\psi }}-{\frac {\psi ^{n+1}-1}{-\varphi }}\\&={\frac {-\varphi ^{n+2}+\varphi +\psi ^{n+2}-\psi }{\varphi \psi }}\\&=\varphi ^{n+2}-\psi ^{n+2}-(\varphi -\psi )\\&={\sqrt {5}}(F_{n+2}-1)\\\end{aligned}}}$$

${\textstyle \varphi \psi =-1}$ ${\textstyle \varphi -\psi ={\sqrt {5}}}$

Otras identidades

Se pueden derivar muchas otras identidades utilizando varios métodos. Éstos son algunos de ellos: ^[34]

Las identidades de Cassini y Catalan

La identidad de Cassini afirma que

$${\displaystyle {F_{n}}^{2}-F_{n+1}F_{n-1}=(-1)^{n-1}}$$

$${\displaystyle {F_{n}}^{2}-F_{n+r}F_{n-r}=(-1)^{n-r}{F_{r}}^{2}}$$

La identidad de d'Ocagne

$${\displaystyle F_{m}F_{n+1}-F_{m+1}F_{n}=(-1)^{n}F_{m-n}}$$

$${\displaystyle F_{2n}={F_{n+1}}^{2}-{F_{n-1}}^{2}=F_{n}\left(F_{n+1}+F_{n-1}\right)=F_{n}L_{n}}$$

L _nenésimo número den

$${\displaystyle F_{3n}=2{F_{n}}^{3}+3F_{n}F_{n+1}F_{n-1}=5{F_{n}}^{3}+3(-1)^{n}F_{n}}$$

$${\displaystyle F_{3n+1}={F_{n+1}}^{3}+3F_{n+1}{F_{n}}^{2}-{F_{n}}^{3}}$$

$${\displaystyle F_{3n+2}={F_{n+1}}^{3}+3{F_{n+1}}^{2}F_{n}+{F_{n}}^{3}}$$

$${\displaystyle F_{4n}=4F_{n}F_{n+1}\left({F_{n+1}}^{2}+2{F_{n}}^{2}\right)-3{F_{n}}^{2}\left({F_{n}}^{2}+2{F_{n+1}}^{2}\right)}$$

la reducción de redtamiz de campo numérico especialfactorizar

De manera más general, ^[34]

$${\displaystyle F_{kn+c}=\sum _{i=0}^{k}{k \choose i}F_{c-i}{F_{n}}^{i}{F_{n+1}}^{k-i}.}$$

o alternativamente

$${\displaystyle F_{kn+c}=\sum _{i=0}^{k}{k \choose i}F_{c+i}{F_{n}}^{i}{F_{n-1}}^{k-i}.}$$

Al poner k = 2 en esta fórmula, se obtienen nuevamente las fórmulas del final de la sección anterior en forma matricial.

función generadora

La función generadora de la secuencia de Fibonacci es la serie de potencias.

$${\displaystyle s(z)=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}z^{k}=0+z+z^{2}+2z^{3}+3z^{4}+\dots .}$$

Esta serie es convergente para cualquier número complejo que satisfaga y su suma tiene una forma cerrada simple: ^[35] ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z|<1/\varphi ,}$

$${\displaystyle s(z)={\frac {z}{1-z-z^{2}}}.}$$

Esto se puede demostrar multiplicando por : ${\textstyle (1-z-z^{2})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}(1-z-z^{2})s(z)&=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}z^{k}-\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}z^{k+1}-\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}z^{k+2}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}z^{k}-\sum _{k=1}^{\infty }F_{k-1}z^{k}-\sum _{k=2}^{\infty }F_{k-2}z^{k}\\&=0z^{0}+1z^{1}-0z^{1}+\sum _{k=2}^{\infty }(F_{k}-F_{k-1}-F_{k-2})z^{k}\\&=z,\end{aligned}}}$$

donde todos los términos que involucran for se cancelan debido a la relación de recurrencia de Fibonacci que define. ${\displaystyle z^{k}}$ ${\displaystyle k\geq 2}$

La descomposición en fracciones parciales viene dada por

$${\displaystyle s(z)={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1}{1-\varphi z}}-{\frac {1}{1-\psi z}}\right)}$$

conjugado ${\textstyle \varphi ={\tfrac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)}$ ${\displaystyle \psi ={\tfrac {1}{2}}\left(1-{\sqrt {5}}\right)}$

La función relacionada es la función generadora de los números negafibonacci y satisface la ecuación funcional . ${\textstyle z\mapsto -s\left(-1/z\right)}$ ${\displaystyle s(z)}$

$${\displaystyle s(z)=s\!\left(-{\frac {1}{z}}\right).}$$

El uso de igual a cualquiera de 0,01, 0,001, 0,0001, etc. establece los primeros números de Fibonacci en la expansión decimal de . Por ejemplo, ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle s(z)}$ ${\displaystyle s(0.001)={\frac {0.001}{0.998999}}={\frac {1000}{998999}}=0.001001002003005008013021\ldots .}$

Sumas recíprocas

Las sumas infinitas sobre números recíprocos de Fibonacci a veces pueden evaluarse en términos de funciones theta . Por ejemplo, la suma de cada número de Fibonacci recíproco impar se puede escribir como

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2k-1}}}={\frac {\sqrt {5}}{4}}\;\vartheta _{2}\!\left(0,{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{2},}$$

y la suma de números de Fibonacci recíprocos al cuadrado como

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{{F_{k}}^{2}}}={\frac {5}{24}}\!\left(\vartheta _{2}\!\left(0,{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{4}-\vartheta _{4}\!\left(0,{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{4}+1\right).}$$

Si sumamos 1 a cada número de Fibonacci en la primera suma, también existe la forma cerrada

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{1+F_{2k-1}}}={\frac {\sqrt {5}}{2}},}$$

y hay una suma anidada de números de Fibonacci al cuadrado que dan el recíproco de la proporción áurea ,

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{\sum _{j=1}^{k}{F_{j}}^{2}}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}.}$$

La suma de todos los números recíprocos pares de Fibonacci es ^[36]

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2k}}}={\sqrt {5}}\left(L(\psi ^{2})-L(\psi ^{4})\right)}$$

serie Lambert ${\displaystyle \textstyle L(q):=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}},}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{F_{2k}}}={\sqrt {5}}\left({\frac {\psi ^{2k}}{1-\psi ^{2k}}}-{\frac {\psi ^{4k}}{1-\psi ^{4k}}}\right)\!.}$

Entonces la constante recíproca de Fibonacci es ^[37]

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{k}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2k-1}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2k}}}=3.359885666243\dots }$$

Además, Richard André-Jeannin ha demostrado que esta cifra es irracional . ^[38]

La serie de Millin da la identidad ^[39]

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{F_{2^{k}}}}={\frac {7-{\sqrt {5}}}{2}},}$$

N

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{N}{\frac {1}{F_{2^{k}}}}=3-{\frac {F_{2^{N}-1}}{F_{2^{N}}}}.}$$

Primos y divisibilidad

Propiedades de divisibilidad

Cada tercer número de la secuencia es par (un múltiplo de ) y, de manera más general, cada k -ésimo número de la secuencia es un múltiplo de F _k . Así, la secuencia de Fibonacci es un ejemplo de secuencia de divisibilidad . De hecho, la secuencia de Fibonacci satisface la propiedad de divisibilidad más fuerte ^{[40] [41]} ${\displaystyle F_{3}=2}$

$${\displaystyle \gcd(F_{a},F_{b},F_{c},\ldots )=F_{\gcd(a,b,c,\ldots )}\,}$$

mcdmáximo común divisor

En particular, tres números de Fibonacci consecutivos son coprimos por pares porque ambos y . Eso es, ${\displaystyle F_{1}=1}$ ${\displaystyle F_{2}=1}$

${\displaystyle \gcd(F_{n},F_{n+1})=\gcd(F_{n},F_{n+2})=\gcd(F_{n+1},F_{n+2})=1}$

por cada n .

Cada número primo p divide un número de Fibonacci que puede ser determinado por el valor de p módulo  5. Si p es congruente con 1 o 4 módulo 5, entonces p divide a F _{p −1} , y si p es congruente con 2 o 3 módulo 5 , entonces, p divide a F _{p +1} . El caso restante es que p = 5 , y en este caso p divide a F _p .

$${\displaystyle {\begin{cases}p=5&\Rightarrow p\mid F_{p},\\p\equiv \pm 1{\pmod {5}}&\Rightarrow p\mid F_{p-1},\\p\equiv \pm 2{\pmod {5}}&\Rightarrow p\mid F_{p+1}.\end{cases}}}$$

Estos casos se pueden combinar en una fórmula única, no por partes , utilizando el símbolo de Legendre : ^[42]

$${\displaystyle p\mid F_{p\;-\,\left({\frac {5}{p}}\right)}.}$$

Pruebas de primalidad

La fórmula anterior se puede utilizar como prueba de primalidad en el sentido de que si

$${\displaystyle n\mid F_{n\;-\,\left({\frac {5}{n}}\right)},}$$

símbolo de Jacobinnncompuestonpseudoprimo de FibonaccimbitsF _m (mod n )

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}F_{m+1}&F_{m}\\F_{m}&F_{m-1}\end{pmatrix}}\equiv {\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{m}{\pmod {n}}.}$$

^Am seexponenciación modularadaptar a matrices^[43]

primos de Fibonacci

Un número primo de Fibonacci es un número de Fibonacci que es primo . Los primeros son: ^[44]

2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229, ...

Se han encontrado números primos de Fibonacci con miles de dígitos, pero no se sabe si son infinitos. ^[45]

F _kn es divisible por F _n , por lo que, aparte de F ₄ = 3 , cualquier primo de Fibonacci debe tener un índice primo. Así como hayseries arbitrariamente largas de números compuestos , también hay series arbitrariamente largas de números compuestos de Fibonacci.

Ningún número de Fibonacci mayor que F ₆ = 8 es uno mayor o uno menor que un número primo. ^[46]

El único número de Fibonacci cuadrado no trivial es 144. ^[47] Attila Pethő demostró en 2001 que sólo existe un número finito de números de Fibonacci de potencia perfecta . ^[48] ​​En 2006, Y. Bugeaud, M. Mignotte y S. Siksek demostraron que 8 y 144 son los únicos poderes perfectos no triviales. ^[49]

1, 3, 21 y 55 son los únicos números triangulares de Fibonacci, conjeturados por Vern Hoggatt y demostrados por Luo Ming. ^[50]

Ningún número de Fibonacci puede ser un número perfecto . ^[51] De manera más general, ningún número de Fibonacci distinto de 1 puede ser multiplicado perfecto , ^[52] y ninguna proporción de dos números de Fibonacci puede ser perfecta. ^[53]

Divisores primos

Con las excepciones de 1, 8 y 144 ( F ₁ = F ₂ , F ₆ y F ₁₂ ), cada número de Fibonacci tiene un factor primo que no es factor de ningún número de Fibonacci más pequeño ( teorema de Carmichael ). ^[54] Como resultado, 8 y 144 ( F ₆ y F ₁₂ ) son los únicos números de Fibonacci que son producto de otros números de Fibonacci. ^[55]

La divisibilidad de los números de Fibonacci por un primo p está relacionada con el símbolo de Legendre que se evalúa de la siguiente manera: ${\displaystyle \left({\tfrac {p}{5}}\right)}$

$${\displaystyle \left({\frac {p}{5}}\right)={\begin{cases}0&{\text{if }}p=5\\1&{\text{if }}p\equiv \pm 1{\pmod {5}}\\-1&{\text{if }}p\equiv \pm 2{\pmod {5}}.\end{cases}}}$$

Si p es un número primo entonces

$${\displaystyle F_{p}\equiv \left({\frac {p}{5}}\right){\pmod {p}}\quad {\text{and}}\quad F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right)}\equiv 0{\pmod {p}}.}$$

^{[56] [57]}

Por ejemplo,

$${\displaystyle {\begin{aligned}({\tfrac {2}{5}})&=-1,&F_{3}&=2,&F_{2}&=1,\\({\tfrac {3}{5}})&=-1,&F_{4}&=3,&F_{3}&=2,\\({\tfrac {5}{5}})&=0,&F_{5}&=5,\\({\tfrac {7}{5}})&=-1,&F_{8}&=21,&F_{7}&=13,\\({\tfrac {11}{5}})&=+1,&F_{10}&=55,&F_{11}&=89.\end{aligned}}}$$

No se sabe si existe un primo p tal que

$${\displaystyle F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right)}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}.}$$

Estos primos (si los hay) se denominarían primos Muro-Sol-Sol .

Además, si p ≠ 5 es un número primo impar entonces: ^[58]

$${\displaystyle 5{F_{\frac {p\pm 1}{2}}}^{2}\equiv {\begin{cases}{\tfrac {1}{2}}\left(5\left({\frac {p}{5}}\right)\pm 5\right){\pmod {p}}&{\text{if }}p\equiv 1{\pmod {4}}\\{\tfrac {1}{2}}\left(5\left({\frac {p}{5}}\right)\mp 3\right){\pmod {p}}&{\text{if }}p\equiv 3{\pmod {4}}.\end{cases}}}$$

Ejemplo 1. p = 7 , en este caso p ≡ 3 (mod 4) y tenemos:

$${\displaystyle ({\tfrac {7}{5}})=-1:\qquad {\tfrac {1}{2}}\left(5({\tfrac {7}{5}})+3\right)=-1,\quad {\tfrac {1}{2}}\left(5({\tfrac {7}{5}})-3\right)=-4.}$$

$${\displaystyle F_{3}=2{\text{ and }}F_{4}=3.}$$

$${\displaystyle 5{F_{3}}^{2}=20\equiv -1{\pmod {7}}\;\;{\text{ and }}\;\;5{F_{4}}^{2}=45\equiv -4{\pmod {7}}}$$

Ejemplo 2. p = 11 , en este caso p ≡ 3 (mod 4) y tenemos:

$${\displaystyle ({\tfrac {11}{5}})=+1:\qquad {\tfrac {1}{2}}\left(5({\tfrac {11}{5}})+3\right)=4,\quad {\tfrac {1}{2}}\left(5({\tfrac {11}{5}})-3\right)=1.}$$

$${\displaystyle F_{5}=5{\text{ and }}F_{6}=8.}$$

$${\displaystyle 5{F_{5}}^{2}=125\equiv 4{\pmod {11}}\;\;{\text{ and }}\;\;5{F_{6}}^{2}=320\equiv 1{\pmod {11}}}$$

Ejemplo 3. p = 13 , en este caso p ≡ 1 (mod 4) y tenemos:

$${\displaystyle ({\tfrac {13}{5}})=-1:\qquad {\tfrac {1}{2}}\left(5({\tfrac {13}{5}})-5\right)=-5,\quad {\tfrac {1}{2}}\left(5({\tfrac {13}{5}})+5\right)=0.}$$

$${\displaystyle F_{6}=8{\text{ and }}F_{7}=13.}$$

$${\displaystyle 5{F_{6}}^{2}=320\equiv -5{\pmod {13}}\;\;{\text{ and }}\;\;5{F_{7}}^{2}=845\equiv 0{\pmod {13}}}$$

Ejemplo 4. p = 29 , en este caso p ≡ 1 (mod 4) y tenemos:

$${\displaystyle ({\tfrac {29}{5}})=+1:\qquad {\tfrac {1}{2}}\left(5({\tfrac {29}{5}})-5\right)=0,\quad {\tfrac {1}{2}}\left(5({\tfrac {29}{5}})+5\right)=5.}$$

$${\displaystyle F_{14}=377{\text{ and }}F_{15}=610.}$$

$${\displaystyle 5{F_{14}}^{2}=710645\equiv 0{\pmod {29}}\;\;{\text{ and }}\;\;5{F_{15}}^{2}=1860500\equiv 5{\pmod {29}}}$$

Para n impar , todos los divisores primos impares de F _n son congruentes con 1 módulo 4, lo que implica que todos los divisores impares de F _n (como productos de los divisores primos impares) son congruentes con 1 módulo 4. ^[59]

Por ejemplo,

$${\displaystyle F_{1}=1,\ F_{3}=2,\ F_{5}=5,\ F_{7}=13,\ F_{9}=34=2\cdot 17,\ F_{11}=89,\ F_{13}=233,\ F_{15}=610=2\cdot 5\cdot 61.}$$

Todos los factores conocidos de los números de Fibonacci F ( i ) para todo i < 50000 se recopilan en los repositorios correspondientes. ^{[60] [61]}

módulo de periodicidad norte

Si los miembros de la secuencia de Fibonacci se toman mod  n , la secuencia resultante es periódica con un período como máximo  de 6 n . ^[62] La duración de los períodos para varios n forma los llamados períodos Pisano . ^[63] Determinar una fórmula general para los períodos de Pisano es un problema abierto , que incluye como subproblema una instancia especial del problema de encontrar el orden multiplicativo de un entero modular o de un elemento en un cuerpo finito . Sin embargo, para cualquier n particular , el período de Pisano puede encontrarse como un caso de detección de ciclo .

Generalizaciones

La secuencia de Fibonacci es una de las secuencias más simples y antiguas conocidas, definida por una relación de recurrencia y, específicamente, por una ecuación en diferencias lineal . Todas estas secuencias pueden verse como generalizaciones de la secuencia de Fibonacci. En particular, la fórmula de Binet se puede generalizar a cualquier secuencia que sea una solución de una ecuación en diferencias lineal homogénea con coeficientes constantes .

Algunos ejemplos específicos que se acercan, en cierto sentido, a la secuencia de Fibonacci incluyen:

• Generalizando el índice a números enteros negativos para producir los números negafibonacci.
• Generalizando el índice a números reales mediante una modificación de la fórmula de Binet. ^[34]
• Comenzando con otros números enteros. Los números de Lucas tienen L ₁ = 1 , L ₂ = 3 y L _n = L _{n −1} + L _{n −2} . Las secuencias Primefree utilizan la recursión de Fibonacci con otros puntos de partida para generar secuencias en las que todos los números son compuestos.
• Dejar que un número sea una función lineal (distinta de la suma) de los 2 números anteriores. Los números de Pell tienen P _n = 2 P _{n −1} + P _{n −2} . Si al coeficiente del valor anterior se le asigna un valor de variable x , el resultado es la secuencia de polinomios de Fibonacci .
• Sin sumar los números inmediatamente anteriores. La secuencia de Padovan y los números de Perrin tienen P ( n ) = P ( n − 2) + P ( n − 3 ) .
• Generar el siguiente número sumando 3 números (números de tribonacci), 4 números (números de tetranacci) o más. Las secuencias resultantes se conocen como números de Fibonacci de n pasos . ^[64]

Aplicaciones

Matemáticas

Los números de Fibonacci son las sumas de las diagonales (mostradas en rojo) de un triángulo de Pascal justificado a la izquierda .

Los números de Fibonacci ocurren como sumas de coeficientes binomiales en las diagonales "superficiales" del triángulo de Pascal : ^[65]

$${\displaystyle F_{n}=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }{\binom {n-k-1}{k}}.}$$

$${\displaystyle {\frac {x}{1-x-x^{2}}}=x+x^{2}(1+x)+x^{3}(1+x)^{2}+\dots +x^{k+1}(1+x)^{k}+\dots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }F_{n}x^{n}}$$

${\displaystyle x^{n}}$

Para ver cómo se usa la fórmula, podemos ordenar las sumas según el número de términos presentes:

que es , donde elegimos las posiciones de k dos de n − k −1 términos. ${\displaystyle {\binom {5}{0}}+{\binom {4}{1}}+{\binom {3}{2}}}$

Uso de la secuencia de Fibonacci para contar composiciones restringidas en {1, 2}

Estos números también dan la solución a ciertos problemas enumerativos, ^[66] el más común de los cuales es el de contar el número de formas de escribir un número dado n como una suma ordenada de 1 y 2 (llamadas composiciones ); hay F _{n +1} formas de hacer esto (de manera equivalente, también es el número de mosaicos de dominó del rectángulo). Por ejemplo, hay F ₅₊₁ = F ₆ = 8 maneras de subir una escalera de 5 escalones, subiendo uno o dos escalones a la vez: ${\displaystyle 2\times n}$

La figura muestra que 8 se puede descomponer en 5 (el número de formas de subir 4 escalones, seguido de un escalón simple) más 3 (el número de formas de subir 3 escalones, seguido de un escalón doble). El mismo razonamiento se aplica recursivamente hasta un único escalón, del cual sólo hay un camino para subir.

Los números de Fibonacci se pueden encontrar de diferentes formas entre el conjunto de cadenas binarias , o de manera equivalente, entre los subconjuntos de un conjunto determinado.

• El número de cadenas binarias de longitud n sin 1 s consecutivos es el número de Fibonacci F _{n +2} . Por ejemplo, de las 16 cadenas binarias de longitud 4, hay F ₆ = 8 sin 1 consecutivos : son 0000, 0001, 0010, 0100, 0101, 1000, 1001 y 1010. Estas cadenas son las representaciones binarias de Números fibinarios . De manera equivalente, F _{n +2} es el número de subconjuntos S de {1, ..., n } sin enteros consecutivos, es decir, aquellos S para los cuales { i , i + 1} ⊈ S para cada i . Una biyección con las sumas de n +1 consiste en reemplazar 1 con 0 y 2 con 10, y eliminar el último cero.
• El número de cadenas binarias de longitud n sin un número impar de 1 s consecutivos es el número de Fibonacci F _{n +1} . Por ejemplo, de las 16 cadenas binarias de longitud 4, hay F ₅ = 5 sin un número impar de 1 consecutivos : son 0000, 0011, 0110, 1100, 1111. De manera equivalente, el número de subconjuntos S de {1 , ..., n } sin un número impar de enteros consecutivos es F _{n +1} . Una biyección con las sumas de n consiste en reemplazar 1 con 0 y 2 con 11.
• El número de cadenas binarias de longitud n sin un número par de 0 s o 1 s consecutivos es 2 F _n . Por ejemplo, de las 16 cadenas binarias de longitud 4, hay 2 F ₄ = 6 sin un número par de 0 s o 1 s consecutivos: son 0001, 0111, 0101, 1000, 1010, 1110. Hay un equivalente declaración sobre subconjuntos.
• Yuri Matiyasevich pudo demostrar que los números de Fibonacci se pueden definir mediante una ecuación diofántica , lo que le llevó a resolver el décimo problema de Hilbert . ^[67]
• Los números de Fibonacci también son un ejemplo de secuencia completa . Esto significa que cada número entero positivo se puede escribir como una suma de números de Fibonacci, donde cualquier número se usa una vez como máximo.
• Además, cada número entero positivo se puede escribir de forma única como la suma de uno o más números de Fibonacci distintos, de tal manera que la suma no incluya dos números de Fibonacci consecutivos. Esto se conoce como teorema de Zeckendorf , y una suma de números de Fibonacci que satisface estas condiciones se denomina representación de Zeckendorf. La representación Zeckendorf de un número se puede utilizar para derivar su codificación Fibonacci .
• A partir de 5, cada segundo número de Fibonacci es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con lados enteros, o en otras palabras, el número más grande en un triple pitagórico , obtenido a partir de la fórmula
  $${\displaystyle (F_{n}F_{n+3})^{2}+(2F_{n+1}F_{n+2})^{2}={F_{2n+3}}^{2}.}$$
  La secuencia de triángulos pitagóricos obtenida a partir de esta fórmula tiene lados de longitudes (3,4,5), (5,12,13), (16,30,34), (39,80,89),.... El lado medio de cada uno de estos triángulos es la suma de los tres lados del triángulo anterior. ^[68]
• El cubo de Fibonacci es un gráfico no dirigido con un número de nodos de Fibonacci que ha sido propuesto como topología de red para computación paralela .
• Los números de Fibonacci aparecen en el lema del anillo , utilizado para demostrar conexiones entre el teorema de empaquetamiento del círculo y los mapas conformes . ^[69]

Ciencias de la Computación

Árbol de Fibonacci de altura 6. Factores de equilibrio verde; alturas rojas.
Las claves del lomo izquierdo son números de Fibonacci.

• Los números de Fibonacci son importantes en el análisis computacional en tiempo de ejecución del algoritmo de Euclides para determinar el máximo común divisor de dos números enteros: la entrada en el peor de los casos para este algoritmo es un par de números de Fibonacci consecutivos. ^[70]
• Los números de Fibonacci se utilizan en una versión polifásica del algoritmo de ordenación por fusión en el que una lista sin ordenar se divide en dos listas cuyas longitudes corresponden a números de Fibonacci secuenciales, dividiendo la lista de modo que las dos partes tengan longitudes en la proporción aproximada φ . En The Art of Computer Programming se describió una implementación de unidad de cinta del tipo de fusión polifásica .
• Un árbol de Fibonacci es un árbol binario cuyos árboles secundarios (recursivamente) difieren en altura exactamente en 1. Por lo tanto, es un árbol AVL y uno con la menor cantidad de nodos para una altura determinada: el árbol AVL "más delgado". Estos árboles tienen una cantidad de vértices que es un número de Fibonacci menos uno, un hecho importante en el análisis de los árboles AVL. ^[71]
• Algunos generadores de números pseudoaleatorios utilizan los números de Fibonacci .
• Los números de Fibonacci surgen en el análisis de la estructura de datos del montón de Fibonacci .
• Un método de optimización unidimensional, llamado técnica de búsqueda de Fibonacci , utiliza números de Fibonacci. ^[72]
• La serie de números de Fibonacci se utiliza para la compresión con pérdida opcional en el formato de archivo de audio IFF 8SVX utilizado en las computadoras Amiga . La serie numérica expande la onda de audio original de manera similar a los métodos logarítmicos como la ley μ . ^{[73] [74]}
• Algunos equipos ágiles utilizan una serie modificada llamada "Serie Fibonacci modificada" en la planificación del póquer , como herramienta de estimación. Planning Poker es una parte formal del Scaled Agile Framework . ^[75]
• Codificación de Fibonacci
• Codificación Negafibonacci

Naturaleza

Cabeza de manzanilla amarilla que muestra la disposición en 21 (azul) y 13 (cian) espirales. Este tipo de disposiciones que implican números de Fibonacci consecutivos aparecen en una amplia variedad de plantas.

Las secuencias de Fibonacci aparecen en entornos biológicos, ^[76] como la ramificación de los árboles, la disposición de las hojas en un tallo , los frutos de una piña , ^[77] la floración de la alcachofa , la disposición de una piña , ^[78] y la familia árbol de abejas . ^{[79] [80]} Kepler señaló la presencia de la secuencia de Fibonacci en la naturaleza, usándola para explicar la forma pentagonal (relacionada con la proporción áurea ) de algunas flores. ^[81] Las margaritas de campo suelen tener pétalos en números de Fibonacci. ^[82] En 1830, KF Schimper y A. Braun descubrieron que las parasticquias ( filotaxia espiral ) de las plantas se expresaban frecuentemente como fracciones que involucraban números de Fibonacci. ^[83]

Przemysław Prusinkiewicz avanzó la idea de que las instancias reales pueden entenderse en parte como la expresión de ciertas restricciones algebraicas sobre grupos libres , específicamente como ciertas gramáticas de Lindenmayer . ^[84]

Ilustración del modelo de Vogel para n = 1 ... 500

 Helmut Vogel [de] propuso un modelo para el patrón de floretes en la cabeza de un girasol en 1979. ^[85] Tiene la forma

$${\displaystyle \theta ={\frac {2\pi }{\varphi ^{2}}}n,\ r=c{\sqrt {n}}}$$

donde n es el número índice de la flor y c es un factor de escala constante; Por tanto, los floretes se encuentran en la espiral de Fermat . El ángulo de divergencia , de aproximadamente 137,51°, es el ángulo áureo , que divide el círculo en la proporción áurea. Debido a que esta proporción es irracional, ningún florete tiene un vecino exactamente en el mismo ángulo desde el centro, por lo que los floretes se empaquetan de manera eficiente. Debido a que las aproximaciones racionales a la proporción áurea son de la forma F (  j ): F (  j + 1) , los vecinos más cercanos del número de florete n son aquellos en n ± F (  j ) para algún índice j , que depende de r , la distancia desde el centro. Los girasoles y flores similares suelen tener espirales de floretes en el sentido de las agujas del reloj y en el sentido contrario a las agujas del reloj en la cantidad de números de Fibonacci adyacentes, ^[86] normalmente contados por el rango más externo de radios. ^[87]

Los números de Fibonacci también aparecen en los pedigríes de las abejas idealizadas, según las siguientes reglas:

• Si una hembra no apareada pone un huevo, nace un macho o una abeja zángano .
• Sin embargo, si un óvulo es fecundado por un macho, nace una hembra.

Por lo tanto, una abeja macho siempre tiene un padre y una abeja hembra tiene dos. Si uno rastrea el pedigrí de cualquier abeja macho (1 abeja), tiene 1 padre (1 abeja), 2 abuelos, 3 bisabuelos, 5 tatarabuelos, etc. Esta secuencia de números de padres es la secuencia de Fibonacci. El número de ancestros en cada nivel, F _n , es el número de ancestros femeninos, que es F _{n −1} , más el número de ancestros masculinos, que es F _{n −2} . ^[88] Esto se basa en la suposición poco realista de que los antepasados ​​en cada nivel no están relacionados.

El número de posibles ancestros en la línea de herencia del cromosoma X en una generación ancestral determinada sigue la secuencia de Fibonacci. (Según Hutchison, L. "Hacer crecer el árbol genealógico: el poder del ADN en la reconstrucción de las relaciones familiares". ^[89] )

Se ha observado que el número de posibles ancestros en la línea de herencia del cromosoma X humano en una generación ancestral determinada también sigue la secuencia de Fibonacci. ^[89] Un individuo masculino tiene un cromosoma X, que recibió de su madre, y un cromosoma Y , que recibió de su padre. El varón cuenta como el “origen” de su propio cromosoma X ( ), y en la generación de sus padres, su cromosoma X provino de un solo progenitor ( ) . La madre del varón recibió un cromosoma X de su madre (la abuela materna del hijo) y uno de su padre (el abuelo materno del hijo), por lo que dos abuelos contribuyeron al cromosoma X del descendiente masculino ( ) . El abuelo materno recibió su cromosoma X de su madre, y la abuela materna recibió los cromosomas X de ambos padres, por lo que tres bisabuelos contribuyeron al cromosoma X del descendiente masculino ( ) . Cinco tatarabuelos contribuyeron al cromosoma X del descendiente masculino ( ) , etc. (Esto supone que todos los antepasados ​​de un descendiente determinado son independientes, pero si se rastrea alguna genealogía lo suficientemente atrás en el tiempo, los antepasados ​​comienzan a aparecer en múltiples líneas de la genealogía, hasta que eventualmente aparece un fundador de población en todas las líneas de la genealogía.) ${\displaystyle F_{1}=1}$ ${\displaystyle F_{2}=1}$ ${\displaystyle F_{3}=2}$ ${\displaystyle F_{4}=3}$ ${\displaystyle F_{5}=5}$

Otro

• En óptica , cuando un haz de luz brilla en ángulo a través de dos placas transparentes apiladas de diferentes materiales con diferentes índices de refracción , puede reflejarse en tres superficies: las superficies superior, media e inferior de las dos placas. El número de trayectorias de haz diferentes que tienen k reflexiones, para k > 1 , es el k -ésimo número de Fibonacci. (Sin embargo, cuando k = 1 , hay tres caminos de reflexión, no dos, uno para cada una de las tres superficies) ^.
• Los niveles de retroceso de Fibonacci se utilizan ampliamente en el análisis técnico para las operaciones en los mercados financieros.
• Dado que el factor de conversión 1,609344 para millas a kilómetros está cerca de la proporción áurea, la descomposición de la distancia en millas en una suma de números de Fibonacci se vuelve casi la suma de kilómetros cuando los números de Fibonacci son reemplazados por sus sucesores. Este método equivale a desplazar un registro numérico de base 2 en proporción áurea base φ . Para convertir de kilómetros a millas, cambie el registro hacia abajo en la secuencia de Fibonacci. ^[91]
• Los valores medidos de voltajes y corrientes en el circuito de cadena de resistencia infinita (también llamado escalera de resistencia o circuito infinito en serie-paralelo) siguen la secuencia de Fibonacci. Los resultados intermedios de sumar las series alternas y las resistencias paralelas producen fracciones compuestas de números de Fibonacci consecutivos. La resistencia equivalente de todo el circuito es igual a la proporción áurea. ^[92]
• Brasch et al. 2012 muestran cómo una secuencia de Fibonacci generalizada también puede conectarse al campo de la economía . ^[93] En particular, se muestra cómo una secuencia de Fibonacci generalizada entra en la función de control de problemas de optimización dinámica de horizonte finito con un estado y una variable de control. El procedimiento se ilustra en un ejemplo al que a menudo se hace referencia como modelo de crecimiento económico de Brock-Mirman.
• Mario Merz incluyó la secuencia de Fibonacci en algunas de sus obras de arte a partir de 1970. ^[94]
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Ver también

• La Asociación Fibonacci  – Organización para la investigación de los números de Fibonacci
• Los números de Fibonacci en la cultura popular
• Palabra de Fibonacci  : secuencia binaria de la recurrencia de Fibonacci
• Secuencia aleatoria de Fibonacci  : secuencia matemática aleatoria basada en la secuencia de Fibonacci
• Matriz Wythoff  : matriz infinita de números enteros derivada de la secuencia de Fibonacci

Referencias

Notas explicativas

1. "Para cuatro, variaciones de metros de dos [y] tres mezclados, ocurre cinco. Para cinco, variaciones de dos anteriores: tres [y] cuatro, mezclados, se obtiene ocho. De esta manera, para seis, [variaciones ] de cuatro [y] de cinco mezclados, sucede trece. Y así, variaciones de dos metros anteriores mezclados, siete morae [son] veintiuno. De esta manera, el proceso debe seguirse en todos los mātrā-vṛttas" ^[13]

Citas

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Trabajos citados

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enlaces externos

• Girasoles y Fibonacci - Numberphile en YouTube
• Períodos de secuencias de Fibonacci Mod m en MathPages
• Los científicos encuentran pistas sobre la formación de espirales de Fibonacci en la naturaleza
• Secuencia de Fibonacci en In Our Time en la BBC
• "Números de Fibonacci", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Secuencia OEIS A000045 (números de Fibonacci)