Matriz cuadrada

Matriz con el mismo número de filas y columnas.

Una matriz cuadrada de orden 4. Las entradas forman la diagonal principal de una matriz cuadrada. Por ejemplo, la diagonal principal de la matriz de 4 × 4 anterior contiene los elementos a ₁₁ = 9 , a ₂₂ = 11 , a ₃₃ = 4 , a ₄₄ = 10 . ${\displaystyle a_{ii}}$

En matemáticas , una matriz cuadrada es una matriz con el mismo número de filas y columnas. Una matriz de n por n se conoce como matriz cuadrada de orden . Se pueden sumar y multiplicar dos matrices cuadradas cualesquiera del mismo orden. ${\displaystyle n}$

Las matrices cuadradas se utilizan a menudo para representar transformaciones lineales simples , como corte o rotación . Por ejemplo, si es una matriz cuadrada que representa una rotación ( matriz de rotación ) y es un vector de columna que describe la posición de un punto en el espacio, el producto produce otro vector de columna que describe la posición de ese punto después de esa rotación. Si es un vector fila , se puede obtener la misma transformación usando , donde es la transpuesta de . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle R\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} R^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle R^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle R}$

Diagonal principal

Las entradas ( i = 1, ..., n ) forman la diagonal principal de una matriz cuadrada. Se encuentran en la línea imaginaria que va desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha de la matriz. Por ejemplo, la diagonal principal de la matriz de 4 × 4 anterior contiene los elementos a ₁₁ = 9 , a ₂₂ = 11 , a ₃₃ = 4 , a ₄₄ = 10 . ${\displaystyle a_{ii}}$

La diagonal de una matriz cuadrada desde la esquina superior derecha hasta la esquina inferior izquierda se llama antidiagonal o contradiagonal .

tipos especiales

Matriz diagonal o triangular

Si todas las entradas fuera de la diagonal principal son cero, se llama matriz diagonal . Si solo todas las entradas por encima (o por debajo) de la diagonal principal son cero, se llama matriz triangular superior (o inferior) . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Matriz de identidad

La matriz identidad de tamaño es la matriz en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1 y todos los demás elementos son iguales a 0, por ejemplo ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times n}$

$${\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \ldots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}$$

ymatriz diagonal ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle AI_{n}=I_{m}A=A}$$

m × n . ${\displaystyle A}$

Matriz reversible y su inversa.

Una matriz cuadrada se llama invertible o no singular si existe una matriz tal que ^{[1] [2]} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

$${\displaystyle AB=BA=I_{n}.}$$

matriz inversa,. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{-1}}$

Matriz simétrica o sesgada

Una matriz cuadrada que es igual a su transpuesta, es decir, es una matriz simétrica . Si en cambio , entonces se llama matriz simétrica sesgada . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\mathsf {T}}=A}$ ${\displaystyle A^{\mathsf {T}}=-A}$ ${\displaystyle A}$

Para una matriz cuadrada compleja , a menudo el análogo apropiado de la transpuesta es la transpuesta conjugada , definida como la transpuesta del conjugado complejo de . Una matriz cuadrada compleja que satisface se llama matriz hermitiana . Si en cambio , entonces se llama matriz sesgada-hermitiana . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}=A}$ ${\displaystyle A^{*}=-A}$ ${\displaystyle A}$

Según el teorema espectral , las matrices simétricas reales (o hermitianas complejas) tienen una base propia ortogonal (o unitaria) ; es decir, todo vector se puede expresar como una combinación lineal de vectores propios. En ambos casos, todos los valores propios son reales. ^[3]

matriz definida

Una matriz simétrica n × n se llama definida positiva (respectivamente definida negativa; indefinida), si para todos los vectores distintos de cero la forma cuadrática asociada dada por ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle Q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x} }$$

^[4]

Una matriz simétrica es definida positiva si y sólo si todos sus valores propios son positivos. ^[5] La tabla de la derecha muestra dos posibilidades para matrices de 2×2.

Al permitir como entrada dos vectores diferentes, se obtiene la forma bilineal asociada a A : ^[6]

$${\displaystyle B_{A}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {y} .}$$

matriz ortogonal

Una matriz ortogonal es una matriz cuadrada con entradas reales cuyas columnas y filas son vectores unitarios ortogonales (es decir, vectores ortonormales ). De manera equivalente, una matriz A es ortogonal si su transpuesta es igual a su inversa :

$${\displaystyle A^{\textsf {T}}=A^{-1},}$$

$${\displaystyle A^{\textsf {T}}A=AA^{\textsf {T}}=I,}$$

Imatriz identidad

Una matriz ortogonal A es necesariamente invertible (con inversa A ⁻¹ = A ^T ), unitaria ( A ⁻¹ = A * ) y normal ( A * A = AA * ). El determinante de cualquier matriz ortogonal es +1 o −1. El grupo ortogonal especial consta de matrices ortogonales n × n con determinante +1. ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$

El análogo complejo de una matriz ortogonal es una matriz unitaria .

matriz normal

Una matriz cuadrada real o compleja se llama normal si . Si una matriz cuadrada real es simétrica, asimétrica u ortogonal, entonces es normal. Si una matriz cuadrada compleja es hermitiana, sesgada-hermitiana o unitaria, entonces es normal. Las matrices normales son de interés principalmente porque incluyen los tipos de matrices que acabamos de enumerar y forman la clase más amplia de matrices para las cuales se cumple el teorema espectral . ^[7] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}A=AA^{*}}$

Operaciones

Rastro

La traza , tr( A ) de una matriz cuadrada A es la suma de sus entradas diagonales. Si bien la multiplicación de matrices no es conmutativa, la traza del producto de dos matrices es independiente del orden de los factores:

$${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA).}$$

$${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}B_{ji}=\operatorname {tr} (BA).}$$

$${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} (A^{\mathrm {T} }).}$$

Determinante

Una transformación lineal dada por la matriz indicada. El determinante de esta matriz es −1, ya que el área del paralelogramo verde de la derecha es 1, pero el mapa invierte la orientación , ya que convierte la orientación de los vectores en sentido contrario a las agujas del reloj en el sentido de las agujas del reloj. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

El determinante o de una matriz cuadrada es un número que codifica ciertas propiedades de la matriz. Una matriz es invertible si y sólo si su determinante es distinto de cero. Su valor absoluto es igual al área (en ) o volumen (en ) de la imagen del cuadrado unitario (o cubo), mientras que su signo corresponde a la orientación del mapa lineal correspondiente: el determinante es positivo si y sólo si la orientación es Preservado. ${\displaystyle \det(A)}$ ${\displaystyle |A|}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

El determinante de matrices 2×2 viene dado por

$${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.}$$

regla de SarrusLa fórmula^[8]

El determinante de un producto de matrices cuadradas es igual al producto de sus determinantes: ^[9]

$${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\cdot \det(B)}$$

^[10]expansión de Laplacemenores^[11]sistemas linealesla regla de Cramer^[12]

Valores propios y vectores propios

Un número λ y un vector distinto de cero que satisfacen ${\displaystyle \mathbf {v} }$

$${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }$$

valor propiovector propio,^{[13] [14]}λA de n × nA − λ I _nequivale^[15] ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \det(A-\lambda I)=0.}$$

A _enX indeterminadodet( XI _n − A )polinomio característicoA. polinomio mónicogrado np _A (λ) = 0n^[16]Ateorema de Cayley-Hamiltonp _A ( A ) = 0matriz cero

Ver también

• matriz de cartan

Notas

1. Brown 1991, Definición I.2.28
2. Brown 1991, Definición I.5.13
3. Horn & Johnson 1985, Teorema 2.5.6
4. Horn & Johnson 1985, Capítulo 7
5. Horn & Johnson 1985, Teorema 7.2.1
6. Horn & Johnson 1985, ejemplo 4.0.6, pág. 169
7. Artin, Álgebra , 2.a edición, Pearson, 2018, sección 8.6.
8. Brown 1991, Definición III.2.1
9. Brown 1991, Teorema III.2.12
10. Brown 1991, Corolario III.2.16
11. Mirsky 1990, Teorema 1.4.1
12. Brown 1991, Teorema III.3.18
13. Eigen significa "propio" en alemán y holandés .
14. Brown 1991, Definición III.4.1
15. Brown 1991, Definición III.4.9
16. Brown 1991, Corolario III.4.10

Referencias

• Brown, William C. (1991), Matrices y espacios vectoriales , Nueva York, NY: Marcel Dekker , ISBN 978-0-8247-8419-5
• Cuerno, Roger A .; Johnson, Charles R. (1985), Análisis matricial , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6
• Mirsky, Leonid (1990), Introducción al álgebra lineal, Publicaciones Courier Dover, ISBN 978-0-486-66434-7

enlaces externos

• Medios relacionados con matrices cuadradas en Wikimedia Commons