Matriz unitaria

Matriz compleja cuya transpuesta conjugada es igual a su inversa

En álgebra lineal , una matriz cuadrada compleja invertible U es unitaria si su matriz inversa U ⁻¹ es igual a su transpuesta conjugada U ^* , es decir, si

$${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I,}$$

donde I es la matriz identidad .

En física, especialmente en mecánica cuántica, la transpuesta conjugada se conoce como el adjunto hermitiano de una matriz y se denota con una daga (†), por lo que la ecuación anterior se escribe

$${\displaystyle U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I.}$$

Una matriz compleja U es unitaria especial si es unitaria y su determinante matricial es igual a 1 .

Para números reales , el análogo de una matriz unitaria es una matriz ortogonal . Las matrices unitarias tienen una importancia significativa en la mecánica cuántica porque preservan las normas y, por tanto, las amplitudes de probabilidad .

Propiedades

Para cualquier matriz unitaria U de tamaño finito, se cumple lo siguiente:

• Dados dos vectores complejos x e y , la multiplicación por U conserva su producto interno ; es decir, ⟨ U x , U y ⟩ = ⟨ x , y ⟩ .
• U es normal ( ). ${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}}$
• U es diagonalizable ; es decir, U es unitariamente similar a una matriz diagonal, como consecuencia del teorema espectral . Por tanto, U tiene una descomposición de la forma donde V es unitario y D es diagonal y unitario. ${\displaystyle U=VDV^{*},}$
• ${\displaystyle \left|\det(U)\right|=1}$. Es decir, estará en la circunferencia unitaria del plano complejo. ${\displaystyle \det(U)}$
• Sus espacios propios son ortogonales.
• U se puede escribir como U = e ^iH , donde e indica la matriz exponencial , i es la unidad imaginaria y H es una matriz hermitiana .

Para cualquier entero no negativo n , el conjunto de todas las matrices unitarias n  ×  n con multiplicación de matrices forma un grupo , llamado grupo unitario U( n ) .

Cualquier matriz cuadrada con norma euclidiana unitaria es el promedio de dos matrices unitarias. ^[1]

Condiciones equivalentes

Si U es una matriz cuadrada compleja, entonces las siguientes condiciones son equivalentes: ^[2]

1. ${\displaystyle U}$es unitario.
2. ${\displaystyle U^{*}}$ es unitario.
3. ${\displaystyle U}$es invertible con . ${\displaystyle U^{-1}=U^{*}}$
4. Las columnas de forman una base ortonormal con respecto al producto interno habitual. En otras palabras, . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle U^{*}U=I}$
5. Las filas de forman una base ortonormal con respecto al producto interno habitual. En otras palabras, . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle UU^{*}=I}$
6. ${\displaystyle U}$es una isometría con respecto a la norma habitual. Es decir, para todos , donde . ${\displaystyle \|Ux\|_{2}=\|x\|_{2}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\textstyle \|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}}$
7. ${\displaystyle U}$es una matriz normal (de manera equivalente, hay una base ortonormal formada por vectores propios de ) con valores propios que se encuentran en el círculo unitario . ${\displaystyle U}$

Construcciones elementales

matriz unitaria 2 × 2

Una expresión general de una matriz unitaria de 2 × 2 es

$${\displaystyle U={\begin{bmatrix}a&b\\-e^{i\varphi }b^{*}&e^{i\varphi }a^{*}\\\end{bmatrix}},\qquad \left|a\right|^{2}+\left|b\right|^{2}=1\ ,}$$

que depende de 4 parámetros reales (la fase de a , la fase de b , la magnitud relativa entre a y b , y el ángulo φ ). El formulario está configurado de modo que el determinante de dicha matriz sea

$${\displaystyle \det(U)=e^{i\varphi }~.}$$

El subgrupo de esos elementos se llama grupo unitario especial SU(2). ${\displaystyle \ U\ }$ ${\displaystyle \ \det(U)=1\ }$

Entre varias formas alternativas, la matriz U se puede escribir de esta forma:

$${\displaystyle \ U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\alpha }\cos \theta &e^{i\beta }\sin \theta \\-e^{-i\beta }\sin \theta &e^{-i\alpha }\cos \theta \\\end{bmatrix}}\ ,}$$

donde y arriba, y los ángulos pueden tomar cualquier valor. ${\displaystyle \ e^{i\alpha }\cos \theta =a\ }$ ${\displaystyle \ e^{i\beta }\sin \theta =b\ ,}$ ${\displaystyle \ \varphi ,\alpha ,\beta ,\theta \ }$

Introduciendo y tiene la siguiente factorización: ${\displaystyle \ \alpha =\psi +\delta \ }$ ${\displaystyle \ \beta =\psi -\delta \ ,}$

$${\displaystyle U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\psi }&0\\0&e^{-i\psi }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\delta }&0\\0&e^{-i\delta }\end{bmatrix}}~.}$$

Esta expresión resalta la relación entre matrices unitarias de 2 × 2 y matrices ortogonales de ángulo θ de 2 × 2 .

Otra factorización es ^[3]

$${\displaystyle U={\begin{bmatrix}\cos \rho &-\sin \rho \\\sin \rho &\;\cos \rho \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\xi }&0\\0&e^{i\zeta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\;\cos \sigma &\sin \sigma \\-\sin \sigma &\cos \sigma \\\end{bmatrix}}~.}$$

Son posibles muchas otras factorizaciones de una matriz unitaria en matrices básicas. ^{[4] [5] [6 ] [7 ] [8] [9]}

Ver también

• matriz hermitiana y

Matriz sesgada-hermitiana

• Descomposición matricial
• Grupo ortogonal O ( n )
• Grupo ortogonal especial SO( n )
• matriz ortogonal
• Matriz semiortogonal
• Puerta lógica cuántica
• Grupo unitario especial SU( n )
• matriz simpléctica
• Grupo unitario U( n )
• Operador unitario

Referencias

1. Li, Chi-Kwong; Poon, Edward (2002). "Descomposición aditiva de matrices reales". Álgebra lineal y multilineal . 50 (4): 321–326. doi :10.1080/03081080290025507. S2CID  120125694.
2. Cuerno, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Análisis matricial . Prensa de la Universidad de Cambridge . doi :10.1017/CBO9781139020411. ISBN 9781139020411.
3. Führ, Hartmut; Rzeszotnik, Ziemowit (2018). "Una nota sobre la factorización de matrices unitarias". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 547 : 32–44. doi : 10.1016/j.laa.2018.02.017 . ISSN  0024-3795. S2CID  125455174.
4. Williams, Colin P. (2011). "Puertas cuánticas". En Williams, Colin P. (ed.). Exploraciones en Computación Cuántica . Textos en Informática. Londres, Reino Unido: Springer. pag. 82. doi :10.1007/978-1-84628-887-6_2. ISBN 978-1-84628-887-6.
5. Nielsen, MA ; Chuang, Isaac (2010). Computación cuántica e información cuántica. Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press . pag. 20.ISBN _ 978-1-10700-217-3. OCLC  43641333.
6. Barenco, Adriano; Bennett, Charles H.; Cleve, Richard; DiVincenzo, David P.; Margolus, normando; Corto, Peter; et al. (1 de noviembre de 1995). "Puertas elementales para la computación cuántica". Revisión física A. Sociedad Estadounidense de Física (APS). 52 (5): 3457–3467, esp.p. 3465. arXiv : quant-ph/9503016 . doi :10.1103/physreva.52.3457. ISSN  1050-2947. PMID  9912645. S2CID  8764584.
7. Marvian, Iman (10 de enero de 2022). "Restricciones a operaciones unitarias realizables impuestas por simetría y localidad". Física de la Naturaleza . 18 (3): 283–289. arXiv : 2003.05524 . doi :10.1038/s41567-021-01464-0. ISSN  1745-2481. S2CID  245840243.
8. Jarlskog, Cecilia (2006). "Parametrización recursiva y fases invariantes de matrices unitarias". arXiv : math-ph/0510034 .
9. Alhambra, Álvaro M. (10 de enero de 2022). "Prohibido por simetría". Noticias y vistas. Física de la Naturaleza . 18 (3): 235–236. doi :10.1038/s41567-021-01483-x. ISSN  1745-2481. S2CID  256745894. La física de grandes sistemas suele entenderse como el resultado de las operaciones locales entre sus componentes. Ahora se ha demostrado que esta imagen puede ser incompleta en sistemas cuánticos cuyas interacciones están limitadas por simetrías.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Matriz unitaria". MundoMatemático . Todd Rowland.
• Ivanova, OA (2001) [1994], "Matriz unitaria", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• "Demostrar que los valores propios de una matriz unitaria tienen módulo 1". Intercambio de pila . 28 de marzo de 2016.