numero perfecto

Entero igual a la suma de sus divisores propios

Ilustración del estado del número perfecto del número 6.

En teoría de números , un número perfecto es un número entero positivo que es igual a la suma de sus divisores positivos , excluyendo el número mismo. Por ejemplo, 6 tiene divisores 1, 2 y 3 (excluido él mismo), y 1 + 2 + 3 = 6, por lo que 6 es un número perfecto.

La suma de los divisores de un número, excluyendo el número en sí, se llama suma alícuota , por lo que un número perfecto es aquel que es igual a su suma alícuota. De manera equivalente, un número perfecto es un número que es la mitad de la suma de todos sus divisores positivos, incluido él mismo; en símbolos, donde está la función de suma de divisores . Por ejemplo, 28 es perfecto ya que 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. ${\displaystyle \sigma _{1}(n)=2n}$ ${\displaystyle \sigma _{1}}$

Esta definición es antigua y aparece ya en los Elementos de Euclides (VII.22), donde se la llama τέλειος ἀριθμός ( número perfecto , ideal o completo ). Euclides también demostró una regla de formación (IX.36) según la cual es un número par perfecto siempre que sea primo de la forma de entero positivo , lo que ahora se llama primo de Mersenne . Dos milenios después, Leonhard Euler demostró que todos los números pares perfectos tienen esta forma. ^[1] Esto se conoce como teorema de Euclides-Euler . ${\displaystyle q(q+1)/2}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle 2^{p}-1}$ ${\displaystyle p}$

No se sabe si existen números perfectos impares ni si existen infinitos números perfectos. Los primeros números perfectos son 6 , 28 , 496 y 8128 (secuencia A000396 en OEIS ).

Historia

Aproximadamente en el año 300 a. C., Euclides demostró que si 2 ^p  − 1 es primo, entonces 2 ^{p −1} (2 ^p  − 1) es perfecto. Los primeros cuatro números perfectos fueron los únicos conocidos por las primeras matemáticas griegas , y el matemático Nicómaco anotó 8128 ya alrededor del año 100 d.C. ^[2] En el lenguaje moderno, Nicómaco afirma sin pruebas que todo número perfecto tiene la forma donde es primo . ^{[3] [4]} Parece no ser consciente de que n en sí mismo tiene que ser primo. También dice (erróneamente) que los números perfectos terminan en 6 u 8 alternativamente. (Los primeros 5 números perfectos terminan con los dígitos 6, 8, 6, 8, 6; pero el sexto también termina en 6.) Filón de Alejandría en su libro del primer siglo "Sobre la creación" menciona los números perfectos, afirmando que el mundo se creó en 6 días y la luna orbita en 28 días porque 6 y 28 son perfectos. A Filón le siguen Orígenes , ^[5] y Dídimo el Ciego , quien añade la observación de que sólo hay cuatro números perfectos que son menores que 10.000. (Comentario sobre Génesis 1, 14-19). ^[6] San Agustín define los números perfectos en Ciudad de Dios (Libro XI, Capítulo 30) a principios del siglo V d.C., repitiendo la afirmación de que Dios creó el mundo en 6 días porque 6 es el número perfecto más pequeño. El matemático egipcio Ismail ibn Fallūs (1194-1252) mencionó los siguientes tres números perfectos (33.550.336; 8.589.869.056; y 137.438.691.328) y enumeró algunos más que ahora se sabe que son incorrectos. ^[7] La ​​primera mención europea conocida del quinto número perfecto es un manuscrito escrito entre 1456 y 1461 por un matemático desconocido. ^[8] En 1588, el matemático italiano Pietro Cataldi identificó el sexto (8.589.869.056) y el séptimo (137.438.691.328) números perfectos, y también demostró que todo número perfecto obtenido de la regla de Euclides termina en un 6 o en un 8. ^{[9] [10 ] [11]} ${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$ ${\displaystyle 2^{n}-1}$

Incluso números perfectos

Problema no resuelto en matemáticas :

¿Existen infinitos números perfectos?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Euclides demostró que es un número par perfecto siempre que sea primo ( Elementos , Proposición IX.36). ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$ ${\displaystyle 2^{p}-1}$

Por ejemplo, los primeros cuatro números perfectos se generan mediante la fórmula con p un número primo , de la siguiente manera: ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1),}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}p=2&:\quad 2^{1}(2^{2}-1)=2\times 3=6\\p=3&:\quad 2^{2}(2^{3}-1)=4\times 7=28\\p=5&:\quad 2^{4}(2^{5}-1)=16\times 31=496\\p=7&:\quad 2^{6}(2^{7}-1)=64\times 127=8128.\end{aligned}}}$$

Los números primos de la forma se conocen como primos de Mersenne , en honor al monje Marin Mersenne del siglo XVII , que estudió la teoría de números y los números perfectos. Para que p sea primo, es necesario que p sea también primo. Sin embargo, no todos los números de la forma primo p son primos; por ejemplo, 2 ¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89 no es un número primo. ^[a] De hecho, los números primos de Mersenne son muy raros: de los 2.610.944 números primos p hasta 43.112.609 , ^[12] es primo solo para 47 de ellos. ${\displaystyle 2^{p}-1}$ ${\displaystyle 2^{p}-1}$ ${\displaystyle 2^{p}-1}$ ${\displaystyle 2^{p}-1}$

Mientras que Nicómaco había afirmado (sin pruebas) que todos los números perfectos tenían la forma donde es primo (aunque lo afirmó de manera un tanto diferente), Ibn al-Haytham (Alhazen) alrededor del año 1000 d.C. no estaba dispuesto a llegar tan lejos, declarando en cambio (también sin pruebas) prueba) de que la fórmula arrojaba sólo todos los números pares perfectos. ^[13] No fue hasta el siglo XVIII que Leonhard Euler demostró que la fórmula producirá todos los números pares perfectos. Por tanto, existe una correspondencia uno a uno entre los números pares perfectos y los primos de Mersenne; cada primo de Mersenne genera un número par perfecto y viceversa. Este resultado suele denominarse teorema de Euclides-Euler . ${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$ ${\displaystyle 2^{n}-1}$ ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$

Una búsqueda exhaustiva realizada por el proyecto de computación distribuida GIMPS ha demostrado que los primeros 48 números pares perfectos son para ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609 y 57885161 (secuencia A000043 en la OEIS ). ^[14]

También se han descubierto tres números perfectos superiores, concretamente aquellos para los que p = 74207281, 77232917 y 82589933. Aunque todavía es posible que haya otros dentro de este rango, las pruebas iniciales pero exhaustivas realizadas por GIMPS no han revelado otros números perfectos para p inferior . 109332539. A diciembre de 2018 ^[actualizar], se conocen 51 números primos de Mersenne ^[15] y, por lo tanto, 51 números pares perfectos (el mayor de los cuales es 2 ^82589932 × (2 ^82589933 − 1) con 49 724 095 dígitos). No se sabe si hay infinitos números perfectos, ni si hay infinitos números primos de Mersenne.

Además de tener la forma , cada número par perfecto es el -ésimo número triangular (y por tanto igual a la suma de los números enteros del 1 al ) y el -ésimo número hexagonal . Además, cada número par perfecto excepto 6 es el -ésimo número no agonal centrado y es igual a la suma de los primeros cubos impares (cubos impares hasta el cubo de ): ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$ ${\displaystyle (2^{p}-1)}$ ${\displaystyle 2^{p}-1}$ ${\displaystyle 2^{p-1}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2^{p}+1}{3}}}$ ${\displaystyle 2^{\frac {p-1}{2}}}$ ${\displaystyle 2^{\frac {p+1}{2}}-1}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}6&=2^{1}(2^{2}-1)&&=1+2+3,\\[8pt]28&=2^{2}(2^{3}-1)&&=1+2+3+4+5+6+7\\&&&=1^{3}+3^{3}\\[8pt]496&=2^{4}(2^{5}-1)&&=1+2+3+\cdots +29+30+31\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}\\[8pt]8128&=2^{6}(2^{7}-1)&&=1+2+3+\cdots +125+126+127\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3}\\[8pt]33550336&=2^{12}(2^{13}-1)&&=1+2+3+\cdots +8189+8190+8191\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+\cdots +123^{3}+125^{3}+127^{3}\end{alignedat}}}$$

Incluso los números perfectos (excepto el 6) tienen la forma

$${\displaystyle T_{2^{p}-1}=1+{\frac {(2^{p}-2)\times (2^{p}+1)}{2}}=1+9\times T_{(2^{p}-2)/3}}$$

con cada número triangular resultante T ₇ = 28 , T ₃₁ = 496 , T ₁₂₇ = 8128 (después de restar 1 del número perfecto y dividir el resultado por 9) terminando en 3 o 5, la secuencia que comienza con T ₂ = 3 , T ₁₀ = 55 , T ₄₂ = 903 , T ₂₇₃₀ = 3727815, ... ^[16] Se deduce que al sumar los dígitos de cualquier número par perfecto (excepto 6), luego sumar los dígitos del número resultante y repetir este proceso hasta que se obtiene un solo dígito (llamado raíz digital ), siempre produce el número 1. Por ejemplo, la raíz digital de 8128 es 1, porque 8 + 1 + 2 + 8 = 19 , 1 + 9 = 10 y 1 + 0 = 1 . Esto funciona con todos los números perfectos con p primo impar y, de hecho, con todos los números de la forma para entero impar (no necesariamente primo) m . ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$ ${\displaystyle 2^{m-1}(2^{m}-1)}$

Debido a su forma, todo número par perfecto se representa en forma binaria como p unos seguidos de p − 1 ceros; Por ejemplo: ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1),}$

$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}6_{10}=&2^{2}+2^{1}&=110_{2}\\28_{10}=&2^{4}+2^{3}+2^{2}&=11100_{2}\\496_{10}=&2^{8}+2^{7}+2^{6}+2^{5}+2^{4}&=111110000_{2}\\8128_{10}=&\!\!2^{12}+2^{11}+2^{10}+2^{9}+2^{8}+2^{7}+2^{6}\!\!&=1111111000000_{2}\end{array}}}$$

Por tanto, todo número par perfecto es un número pernicioso .

Todo número par perfecto es también un número práctico (cf. Conceptos relacionados).

números perfectos impares

Problema no resuelto en matemáticas :

¿Existen números perfectos impares?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Se desconoce si existen números perfectos impares, aunque se han obtenido varios resultados. En 1496, Jacques Lefèvre afirmó que la regla de Euclides da todos los números perfectos, ^[17] implicando así que no existe ningún número perfecto impar. Euler afirmó: "Si... hay números perfectos impares es una cuestión muy difícil". ^[18] Más recientemente, Carl Pomerance ha presentado un argumento heurístico que sugiere que, de hecho, no debería existir ningún número perfecto impar. ^[19] Todos los números perfectos son también números divisores armónicos , y también se ha conjeturado que no hay números divisores armónicos impares distintos de 1. Muchas de las propiedades demostradas sobre los números perfectos impares también se aplican a los números de Descartes , y Pace Nielsen ha sugirió que un estudio suficiente de esos números puede conducir a una prueba de que no existen números perfectos impares. ^[20]

Cualquier número perfecto impar N debe cumplir las siguientes condiciones:

• norte > 10 ¹⁵⁰⁰ . ^[21]
• N no es divisible por 105. ^[22]
• N es de la forma N ≡ 1 (mod 12) o N ≡ 117 (mod 468) o N ≡ 81 (mod 324). ^[23]
• N es de la forma

${\displaystyle N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\cdots p_{k}^{2e_{k}},}$

dónde:

• q ,  p ₁ , ...,  p _k son primos impares distintos (Euler).
• q ≡ α ≡ 1 ( mod 4) (Euler).
• El factor primo más pequeño de N es como máximo ^[24] ${\displaystyle {\frac {k-1}{2}}.}$
• O q ^α  > 10 ⁶² , o p _j ^{2 e _j}  > 10 ⁶² para algunos j . ^[21]
• ${\displaystyle N<2^{(4^{k+1}-2^{k+1})}}$^{[25] [26]}
• ${\displaystyle \alpha +2e_{1}+2e_{2}+2e_{3}+\cdots +2e_{k}\geq {\frac {99k-224}{37}}}$. ^{[24] [27] [28]}
• ${\displaystyle qp_{1}p_{2}p_{3}\cdots p_{k}<2N^{\frac {17}{26}}}$. ^[29]

• El mayor factor primo de N es mayor que 10 ^{8 [30]} y menor que ^[31] ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{3N}}.}$
• El segundo factor primo más grande es mayor que 10 ⁴ , ^[32] y menor que . ^[33] ${\displaystyle {\sqrt[{5}]{2N}}}$
• El tercer factor primo más grande es mayor que 100, ^[34] y menor que ^[35] ${\displaystyle {\sqrt[{6}]{2N}}.}$
• N tiene al menos 101 factores primos y al menos 10 factores primos distintos. ^{[21] [36]} Si 3 no es uno de los factores de N , entonces N tiene al menos 12 factores primos distintos. ^[37]

Además, se conocen varios resultados menores sobre los exponentes e ₁ , ...,  e _k .

• No todos e _i  ≡ 1 ( mod 3). ^[38]
• No todos e _i  ≡ 2 ( mod 5). ^[39]
• Si todo e _i  ≡ 1 ( mod 3) o 2 ( mod 5), entonces el factor primo más pequeño de N debe estar entre 10 ⁸ y 10 ¹⁰⁰⁰ . ^[39]
• De manera más general, si todos los 2 e _i +1 tienen un factor primo en un conjunto finito dado S , entonces el factor primo más pequeño de N debe ser menor que una constante efectivamente computable que dependa sólo de S. ^[39]
• Si ( e ₁ , ...,  e _k ) = (1, ..., 1, 2, ..., 2) con t unos y u dos, entonces . ^[40] ${\displaystyle (t-1)/4\leq u\leq 2t+{\sqrt {\alpha }}}$
• ( mi ₁ , ...,  mi _k ) ≠ (1, ..., 1, 3), ^[41] (1, ..., 1, 5), (1, ..., 1, 6) . ^[42]
• Si e ₁ = ... = e _k = e , entonces
  • e no puede ser 3, ^[43] 5, 24, ^[44] 6, 8, 11, 14 o 18. ^[42]
  • ${\displaystyle k\leq 2e^{2}+8e+2}$y . ^[45] ${\displaystyle N<2^{4^{2e^{2}+8e+3}}}$

En 1888, Sylvester afirmó: ^[46]

... una meditación prolongada sobre el tema me ha convencido de que la existencia de tal [número perfecto impar] -su escape, por así decirlo, de la compleja red de condiciones que lo rodean por todos lados- sería poco corto de un milagro.

Resultados menores

Todos los números pares perfectos tienen una forma muy precisa; Los números perfectos impares no existen o son raros. Hay una serie de resultados sobre números perfectos que en realidad son bastante fáciles de demostrar pero, sin embargo, superficialmente impresionantes; algunos de ellos también están sujetos a la fuerte ley de los números pequeños de Richard Guy :

• El único número par perfecto de la forma n ³  + 1 es 28 (Makowski 1962). ^[47]
• 28 es también el único número par perfecto que es suma de dos cubos positivos de números enteros (Gallardo 2010). ^[48]
• Los recíprocos de los divisores de un número perfecto N deben sumar 2 (para obtener esto, toma la definición de número perfecto, y divide ambos lados por n ): ${\displaystyle \sigma _{1}(n)=2n}$
  • Para 6, tenemos ; ${\displaystyle 1/6+1/3+1/2+1/1=2}$
  • Para 28, tenemos , etc. ${\displaystyle 1/28+1/14+1/7+1/4+1/2+1/1=2}$
• El número de divisores de un número perfecto (ya sea par o impar) debe ser par, porque N no puede ser un cuadrado perfecto. ^[49]
  • De estos dos resultados se deduce que todo número perfecto es un número armónico de Ore .
• Los números pares perfectos no son números trapezoidales ; es decir, no se pueden representar como la diferencia de dos números triangulares positivos no consecutivos . Sólo hay tres tipos de números no trapezoidales: los números pares perfectos, las potencias de dos y los números de la forma formada como el producto de un primo de Fermat con una potencia de dos, de forma similar a la construcción de números pares perfectos a partir de Primos de Mersenne. ^[50] ${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}+1)}$ ${\displaystyle 2^{n}+1}$
• El número de números perfectos menores que n es menor que , donde c > 0 es una constante. ^[51] De hecho lo es , usando notación o pequeña . ^[52] ${\displaystyle c{\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle o({\sqrt {n}})}$
• Todo número par perfecto termina en 6 o 28, base diez; y, con la única excepción de 6, termina en 1 en base 9. ^{[53] [54]} Por lo tanto, en particular, la raíz digital de todo número par perfecto distinto de 6 es 1.
• El único número perfecto sin cuadrados es 6. ^[55]

Conceptos relacionados

Diagrama de Euler de números menores de 100:

   Abundante

   Primitivo abundante

   Muy abundante

   Sobreabundante y muy compuesto.

   Colosalmente abundante y superior altamente compuesto.

   Extraño

   Perfecto

   Compuesto

   Deficiente

La suma de divisores propios da varios otros tipos de números. Los números donde la suma es menor que el número mismo se llaman deficientes , y cuando es mayor que el número, abundantes . Estos términos, junto con el propio perfecto , provienen de la numerología griega . Un par de números que son la suma de los divisores propios de cada uno se denominan amistosos , y los ciclos de números más grandes se denominan sociables . Un número entero positivo tal que cada número entero positivo más pequeño sea una suma de sus distintos divisores es un número práctico .

Por definición, un número perfecto es un punto fijo de la función divisora ​​restringida s ( n ) = σ ( n ) − n , y la secuencia alícuota asociada con un número perfecto es una secuencia constante. Todos los números perfectos también lo son : números perfectos o números de Granville . ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Un número semiperfecto es un número natural que es igual a la suma de todos o algunos de sus divisores propios. Un número semiperfecto que es igual a la suma de todos sus divisores propios es un número perfecto. Los números más abundantes también son semiperfectos; Los números abundantes que no son semiperfectos se llaman números extraños .

Ver también

• Número hiperperfecto
• grupo leinster
• Lista de números primos y perfectos de Mersenne
• multiplicar numero perfecto
• números superperfectos
• numero unitario perfecto
• Número divisor armónico

Notas

1. Todos los factores de son congruentes con 1 mod 2 p . Por ejemplo, 2 ¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89 , y tanto 23 como 89 dan un resto de 1 cuando se dividen entre 22. Además, siempre que p es un primo de Sophie Germain —es decir, 2 p + 1 también es primo— y 2 p + 1 es congruente con 1 o 7 mod 8, entonces 2 p + 1 será un factor de lo cual es el caso para p = 11, 23, 83, 131, 179, 191, 239, 251, ... OEIS : A002515 . ${\displaystyle 2^{p}-1}$ ${\displaystyle 2^{p}-1,}$

Referencias

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4. En Introducción a la Aritmética , Capítulo 16, dice de los números perfectos: "Existe un método para producirlos, claro e infalible, que no pasa por alto ninguno de los números perfectos ni deja de diferenciar ninguno de los que no lo son, que se lleva a cabo de la siguiente manera." Luego pasa a explicar un procedimiento que equivale a encontrar un número triangular basado en un primo de Mersenne.
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Fuentes

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Otras lecturas

• Nankar, ML: "Historia de los números perfectos", Ganita Bharati 1, no. 1–2 (1979), 7–8.
• Hagis, P. (1973). "Un límite inferior para el conjunto de números primos perfectos impares". Matemáticas de la Computación . 27 (124): 951–953. doi : 10.2307/2005530 . JSTOR  2005530.
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• Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Manual de teoría de números II . Dordrecht: Académico Kluwer. págs. 15–98. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl  1079.11001.

enlaces externos

• "Número perfecto", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• David Moews: números perfectos, amigables y sociables
• Números perfectos – Historia y Teoría
• Weisstein, Eric W. "Número perfecto". MundoMatemático .
• Secuencia OEIS A000396 (Números perfectos)
• OddPerfect.org Un proyecto de computación distribuida proyectado para buscar números perfectos impares.
• Gran búsqueda de Mersenne Prime en Internet (GIMPS)
• Perfect Numbers, foro de matemáticas en Drexel.
• Grimes, James. "8128: Números perfectos". Numéfilo . Brady Harán . Archivado desde el original el 31 de mayo de 2013 . Consultado el 2 de abril de 2013 .