suma alícuota

En teoría de números , la suma alícuota $s (n)$ de un entero positivo $n$ es la suma de todos los divisores propios de $n$ , es decir, todos los divisores de $n$ distintos del propio $n$ . Eso es,

s(n)=\sum _{{d|n,} \atop {d\neq n}}d\,.

Se puede utilizar para caracterizar los números primos , los números perfectos , los números sociables , los números deficientes , los números abundantes y los números intocables , y para definir la secuencia alícuota de un número.

Ejemplos

Por ejemplo, los divisores propios de 12 (es decir, los divisores positivos de 12 que no son iguales a 12) son 1, 2, 3, 4 y 6, por lo que la suma alícuota de 12 es 16, es decir ( 1 + 2 + 3+4+6 ).

Los valores de $s (n)$ para $n$ = 1, 2, 3, ... son:

0, 1, 1, 3, 1, 6, 1, 7, 4, 8, 1, 16, 1, 10, 9, 15, 1, 21, 1, 22, 11, 14, 1, 36, 6, 16, 13, 28, 1, 42, 1, 31, 15, 20, 13, 55, 1, 22, 17, 50, 1, 54, 1, 40, 33, 26, 1, 76, 8, 43, ... (secuencia A001065 en la OEIS )

Caracterización de clases de números.

La función de suma alícuota se puede utilizar para caracterizar varias clases notables de números:

1 es el único número cuya suma alícuota es 0.
Un número es primo si y sólo si su suma alícuota es 1. ^[1]
Las sumas alícuotas de números perfectos , deficientes y abundantes son iguales, menores y mayores que el número mismo, respectivamente. ^[1] Los números cuasiperfectos (si tales números existen) son los números $n$ cuyas sumas alícuotas son iguales $a n + 1$ . Los números casi perfectos (que incluyen las potencias de 2, siendo los únicos números conocidos hasta ahora) son los números $n$ cuyas sumas alícuotas son iguales $a n - 1$ .
Los números intocables son los números que no son la suma alícuota de ningún otro número. Su estudio se remonta al menos a Abu Mansur al-Baghdadi (alrededor del año 1000 d.C.), quien observó que tanto 2 como 5 son intocables. ^[1]^[2] Paul Erdős demostró que su número es infinito. ^[3] La conjetura de que 5 es el único número impar intocable sigue sin demostrarse, pero se derivaría de una forma de conjetura de Goldbach junto con la observación de que, para un número semiprimo $pq$ , la suma alícuota es $p + q + 1$ . ^[1]

Los matemáticos Pollack y Pomerance (2016) señalaron que uno de los "temas de investigación favoritos" de Erdős era la función de suma alícuota.

Iteración

La iteración de la función de suma de alícuotas produce la secuencia de alícuotas $n, s (n), s (s (n)),\dots$ de un entero no negativo $n$ (en esta secuencia, definimos $s (0) = 0$ ).

Los números sociables son números cuya secuencia alícuota es una secuencia periódica . Los números amistosos son números sociables cuya secuencia alícuota tiene período 2.

Aún se desconoce si estas secuencias siempre terminan con un número primo , un número perfecto o una secuencia periódica de números sociables. ^[4]

Ver también

Función de suma de divisores positivos , la suma de las ( $x-$ ésimas potencias de los) divisores positivos de un número
Guillermo de Auberive , numerólogo medieval interesado en las sumas alícuotas

Referencias

^ abcd Pollack, Paul; Pomerance, Carl (2016), "Algunos problemas de Erdős sobre la función de suma de divisores", Transactions of the American Mathematical Society , Serie B, 3 : 1–26, doi : 10.1090/btran/10 , MR 3481968
^ Sesiano, J. (1991), "Dos problemas de la teoría de números en la época islámica", Archivo de Historia de las Ciencias Exactas , 41 (3): 235–238, doi :10.1007/BF00348408, JSTOR 41133889, MR 1107382, S2CID 115235810
^ Erdős, P. (1973), "Über die Zahlen der Form σ ( n ) − n {\displaystyle \sigma (n)-n} und n − ϕ ( n ) {\displaystyle n-\phi (n)} " (PDF) , Elemente der Mathematik , 28 : 83–86, SEÑOR 0337733
^ Weisstein, Eric W. "Conjetura de la secuencia alícuota del catalán". MundoMatemático .

enlaces externos

Weisstein, Eric W. "Función de divisor restringida". MundoMatemático .