el triangulo de pascal

Matriz triangular de los coeficientes binomiales en matemáticas.

${\displaystyle {\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\end{array}}}$

Un diagrama que muestra las primeras ocho filas del triángulo de Pascal.

En matemáticas , el triángulo de Pascal es una matriz triangular de coeficientes binomiales que surgen en la teoría de la probabilidad, la combinatoria y el álgebra. En gran parte del mundo occidental , lleva el nombre del matemático francés Blaise Pascal , aunque otros matemáticos lo estudiaron siglos antes que él en Persia, ^[1] India, ^[2] China, Alemania e Italia. ^[3]

Las filas del triángulo de Pascal se enumeran convencionalmente comenzando con la fila superior (la fila 0). Las entradas en cada fila están numeradas desde la izquierda comenzando con y generalmente están escalonadas con respecto a los números de las filas adyacentes. El triángulo se puede construir de la siguiente manera: En la fila 0 (la fila superior), hay una entrada única distinta de cero, 1. Cada entrada de cada fila subsiguiente se construye sumando el número de arriba y a la izquierda con el número de arriba y a a la derecha, tratando las entradas en blanco como 0. Por ejemplo, el número inicial de la fila 1 (o cualquier otra fila) es 1 (la suma de 0 y 1), mientras que los números 1 y 3 en la fila 3 se suman para producir el número 4 en la fila 4. ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle k=0}$

Fórmula

En el triángulo de Pascal, cada número es la suma de los dos números directamente encima de él.

La entrada en la ésima fila y la ésima columna del triángulo de Pascal se denota . Por ejemplo, la entrada única distinta de cero en la fila superior es . Con esta notación, la construcción del párrafo anterior podrá escribirse de la siguiente manera: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {n \choose k}}$ ${\displaystyle {0 \choose 0}=1}$

${\displaystyle {n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}}$,

para cualquier número entero no negativo y cualquier número entero . ^[4] Esta recurrencia de los coeficientes binomiales se conoce como regla de Pascal . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$

Historia

El triángulo de Yang Hui , representado por los chinos usando números de varilla , aparece en Jade Mirror of the Four Unknowns , una obra matemática de Zhu Shijie , fechada en 1303.

La versión de Pascal del triángulo.

El patrón de números que forma el triángulo de Pascal se conocía mucho antes de la época de Pascal. El matemático persa Al-Karaji (953-1029) escribió un libro ahora perdido que contenía la primera formulación de los coeficientes binomiales y la primera descripción del triángulo de Pascal. ^{[5] [6] [7]} Posteriormente fue repetido por Omar Khayyám (1048-1131), otro matemático persa; por lo tanto, el triángulo también se conoce como triángulo de Khayyam ( مثلث خیام ) en Irán. ^[8] Se conocían varios teoremas relacionados con el triángulo, incluido el teorema del binomio . Khayyam utilizó un método para encontrar raíces n -ésimas basado en la expansión binomial y, por lo tanto, en los coeficientes binomiales. ^[1]

El triángulo de Pascal fue conocido en China a principios del siglo XI como resultado del trabajo del matemático chino Jia Xian (1010-1070). Durante el siglo XIII, Yang Hui (1238-1298) presentó el triángulo y, por lo tanto, todavía se lo conoce como triángulo de Yang Hui (杨辉三角;楊輝三角) en China. ^[9]

En Europa, el triángulo de Pascal apareció por primera vez en la Aritmética de Jordanus de Nemore (siglo XIII). ^[10] Los coeficientes binomiales fueron calculados por Gersonides a principios del siglo XIV, utilizando para ellos la fórmula multiplicativa. ^[11] Petrus Apianus (1495-1552) publicó el triángulo completo en el frontispicio de su libro sobre cálculos comerciales en 1527. ^[12] Michael Stifel publicó una parte del triángulo (desde la segunda columna hasta la del medio en cada fila) en 1544, describiéndola como una tabla de números figurados . ^[11] En Italia, el triángulo de Pascal se conoce como triángulo de Tartaglia , llamado así por el algebrista italiano Niccolò Fontana Tartaglia (1500-1577), quien publicó seis filas del triángulo en 1556. ^[11] Gerolamo Cardano también publicó el triángulo así como las reglas aditivas y multiplicativas para su construcción en 1570. ^[11]

El Traité du Triangle arithmétique ( Tratado sobre el triángulo aritmético ) de Pascal se publicó póstumamente en 1665. ^[13] En él, Pascal recopiló varios resultados entonces conocidos sobre el triángulo y los empleó para resolver problemas en la teoría de la probabilidad . Más tarde, el triángulo recibió el nombre de Pascal por Pierre Raymond de Montmort (1708), quien lo llamó "Table de M. Pascal pour les combinaisons" (en francés: tabla para combinaciones del Sr. Pascal) y Abraham de Moivre (1730), quien lo llamó "Triangulum". Arithmeticum PASCALIANUM" (latín: Triángulo Aritmético de Pascal), que se convirtió en la base del nombre occidental moderno. ^[14]

Expansiones binomiales

Visualización de la expansión binomial hasta la 4ta potencia.

El triángulo de Pascal determina los coeficientes que surgen en las expansiones binomiales . Por ejemplo, considere la expansión

${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}=\mathbf {1} x^{2}y^{0}+\mathbf {2} x^{1}y^{1}+\mathbf {1} x^{0}y^{2}}$.

Los coeficientes son los números de la segunda fila del triángulo de Pascal: , , . ${\displaystyle {2 \choose 0}=1}$ ${\displaystyle {2 \choose 1}=2}$ ${\displaystyle {2 \choose 2}=1}$

En general, cuando un binomio like se eleva a una potencia entera positiva de , la expresión se expande a: ${\displaystyle x+y}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{n-k}y^{k}=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}y+a_{2}x^{n-2}y^{2}+\ldots +a_{n-1}xy^{n-1}+a_{n}y^{n}}$,

donde los coeficientes de esta expansión son precisamente los números de la fila del triángulo de Pascal. En otras palabras, ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle a_{k}={n \choose k}}$.

Este es el teorema del binomio .

Toda la diagonal recta del triángulo de Pascal corresponde al coeficiente de en estas expansiones binomiales, mientras que la siguiente diagonal corresponde al coeficiente de y así sucesivamente. ${\displaystyle y^{n}}$ ${\displaystyle xy^{n-1}}$

Para ver cómo se relaciona el teorema del binomio con la construcción simple del triángulo de Pascal, considere el problema de calcular los coeficientes de expansión de en términos de los coeficientes correspondientes de (configuración por simplicidad). Supongamos entonces que ${\displaystyle (x+y)^{n+1}}$ ${\displaystyle (x+1)^{n}}$ ${\displaystyle y=1}$

${\displaystyle (x+1)^{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}}$.

Ahora

${\displaystyle (x+1)^{n+1}=(x+1)(x+1)^{n}=x(x+1)^{n}+(x+1)^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i+1}+\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}.}$

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\dbinom {0}{0}}\\{\dbinom {1}{0}}\quad {\dbinom {1}{1}}\\{\dbinom {2}{0}}\quad {\dbinom {2}{1}}\quad {\dbinom {2}{2}}\\{\dbinom {3}{0}}\quad {\dbinom {3}{1}}\quad {\dbinom {3}{2}}\quad {\dbinom {3}{3}}\\{\dbinom {4}{0}}\quad {\dbinom {4}{1}}\quad {\dbinom {4}{2}}\quad {\dbinom {4}{3}}\quad {\dbinom {4}{4}}\\{\dbinom {5}{0}}\quad {\dbinom {5}{1}}\quad {\dbinom {5}{2}}\quad {\dbinom {5}{3}}\quad {\dbinom {5}{4}}\quad {\dbinom {5}{5}}\end{array}}}$

Triángulo de Pascal de seis filas como coeficientes binomiales

Las dos sumas se pueden reorganizar de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k+1}+\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}&=\sum _{k=1}^{n+1}a_{k-1}x^{k}+\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}\\[4pt]&=\sum _{k=1}^{n}a_{k-1}x^{k}+\sum _{k=1}^{n}a_{k}x^{k}+a_{0}x^{0}+a_{n}x^{n+1}\\[4pt]&=\sum _{k=1}^{n}(a_{k-1}+a_{k})x^{k}+a_{0}x^{0}+a_{n}x^{n+1}\\[4pt]&=\sum _{k=1}^{n}(a_{k-1}+a_{k})x^{k}+x^{0}+x^{n+1}\end{aligned}}}$

(debido a cómo funciona elevar un polinomio a una potencia ). ${\displaystyle a_{0}=a_{n}=1}$

La expresión encontrada para el polinomio en términos de los coeficientes de (estos son los s) es necesaria para expresar una línea en términos de la línea que está encima de ella. Recuerde que todos los términos en una diagonal que va desde la parte superior izquierda a la inferior derecha corresponden a la misma potencia de , y que los términos son los coeficientes del polinomio , y el objetivo es determinar los coeficientes de . Ahora, para cualquier , el coeficiente del término del polinomio es igual a . De hecho, ésta es la regla simple para construir el triángulo de Pascal fila por fila. ${\displaystyle (x+1)^{n+1}}$ ${\displaystyle (x+1)^{n}}$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (x+1)^{n}}$ ${\displaystyle (x+1)^{n+1}}$ ${\displaystyle 0<k<n+1}$ ${\displaystyle x^{k}}$ ${\displaystyle (x+1)^{n+1}}$ ${\displaystyle a_{k-1}+a_{k}}$

No es difícil convertir este argumento en una prueba (por inducción matemática ) del teorema del binomio.

Dado que , los coeficientes son idénticos en el desarrollo del caso general. ${\displaystyle (a+b)^{n}=b^{n}\left({\frac {a}{b}}+1\right)^{n}}$

Una consecuencia interesante del teorema del binomio se obtiene igualando ambas variables a uno. En este caso se sabe que , y así ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (1+1)^{n}=2^{n}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}={n \choose 0}+{n \choose 1}+\cdots +{n \choose n-1}+{n \choose n}=2^{n}.}$

En otras palabras, la suma de las entradas en la fila del triángulo de Pascal es la potencia de 2. Esto es equivalente a la afirmación de que el número de subconjuntos (la cardinalidad del conjunto de potencias ) de un conjunto de elementos es , como Se puede ver observando que el número de subconjuntos es la suma del número de combinaciones de cada una de las longitudes posibles, que van desde cero hasta . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle n}$

Combinaciones

Una segunda aplicación útil del triángulo de Pascal es en el cálculo de combinaciones . Por ejemplo, el número de combinaciones de elementos tomados a la vez (pronunciado n, elija k ) se puede encontrar mediante la ecuación ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \mathbf {C} (n,k)=\mathbf {C} _{k}^{n}={_{n}C_{k}}={n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$.

Pero ésta es también la fórmula de una celda del triángulo de Pascal. En lugar de realizar el cálculo, simplemente se puede buscar la entrada apropiada en el triángulo. Provista de la primera fila y la primera entrada de una fila numerada 0, la respuesta se ubicará en la entrada de la fila . Por ejemplo, supongamos que es necesario cubrir 8 puestos de trabajo pero hay 10 candidatos; el comité de selección quiere saber cuántas maneras hay de seleccionar 8 de 10. La respuesta es la entrada 8 en la fila 10, que es 45; es decir, 10 elige 8 es 45. ^[15] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$

Relación con la distribución binomial y las convoluciones.

Cuando se divide por , la fila del triángulo de Pascal se convierte en la distribución binomial en el caso simétrico donde . Según el teorema del límite central , esta distribución se acerca a la distribución normal a medida que aumenta. Esto también se puede ver aplicando la fórmula de Stirling a los factoriales involucrados en la fórmula de combinaciones. ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle n}$

Esto está relacionado con la operación de convolución discreta de dos maneras. En primer lugar, la multiplicación polinomial corresponde exactamente a la convolución discreta, de modo que convolucionar repetidamente la secuencia consigo misma corresponde a tomar potencias de y, por tanto, a generar las filas del triángulo. En segundo lugar, convolucionar repetidamente la función de distribución de una variable aleatoria consigo misma corresponde a calcular la función de distribución para una suma de n copias independientes de esa variable; esta es exactamente la situación a la que se aplica el teorema del límite central y, por tanto, da como resultado la distribución normal en el límite. (La operación de tomar repetidamente una convolución de algo consigo mismo se llama poder de convolución ). ${\displaystyle \{\ldots ,0,0,1,1,0,0,\ldots \}}$ ${\displaystyle x+1}$

Patrones y propiedades

El triángulo de Pascal tiene muchas propiedades y contiene muchos patrones de números.

Cada cuadro representa una fila en el triángulo de Pascal. Cada columna de píxeles es un número en binario con el bit menos significativo en la parte inferior. Los píxeles claros representan unos y los píxeles oscuros son ceros.

El número de composiciones de n  +1 en k  +1 particiones ordenadas forman el triángulo de Pascal.

Filas

• La suma de los elementos de una sola fila es el doble de la suma de la fila que la precede. Por ejemplo, la fila 0 (la fila superior) tiene un valor de 1, la fila 1 tiene un valor de 2, la fila 2 tiene un valor de 4, y así sucesivamente. Esto se debe a que cada elemento de una fila produce dos elementos en la siguiente fila: uno izquierdo y otro derecho. La suma de los elementos de la fila  es igual a . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n}}$
• Tomando el producto de los elementos de cada fila, la secuencia de productos (secuencia A001142 en la OEIS ) se relaciona con la base del logaritmo natural, e . ^{[16] [17]} Específicamente, defina la secuencia para todos de la siguiente manera: ${\displaystyle s_{n}}$ ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle s_{n}=\prod _{k=0}^{n}{n \choose k}=\prod _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$
  Entonces, la relación de productos de filas sucesivas es
  $${\displaystyle {\frac {s_{n+1}}{s_{n}}}={\frac {\displaystyle (n+1)!^{n+2}\prod _{k=0}^{n+1}{\frac {1}{k!^{2}}}}{\displaystyle n!^{n+1}\prod _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!^{2}}}}}={\frac {(n+1)^{n}}{n!}}}$$
  y la razón de estas razones es
  $${\displaystyle {\frac {s_{n+1}\cdot s_{n-1}}{s_{n}^{2}}}=\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n},~n\geq 1.}$$
  El lado derecho de la ecuación anterior toma la forma de la definición límite de ${\displaystyle e}$
  $${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$$
  .
• ${\displaystyle \pi }$se puede encontrar en el triángulo de Pascal mediante el uso de la serie infinita de Nilakantha . ^[18]
  $${\displaystyle \pi =3+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {2n+1 \choose 1}{{2n+1 \choose 2}{2n+2 \choose 2}}}}$$
• La fila th se lee como el número para todos . Ver Ampliación a bases arbitrarias. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 11_{a}^{n}}$ ${\displaystyle a}$
• Algunos de los números del triángulo de Pascal se correlacionan con los números del triángulo de Lozanić .
• La suma de los cuadrados de los elementos de la fila  n es igual al elemento central de la fila  2 n . Por ejemplo, 1 ² + 4 ² + 6 ^{2 + 4 2} + 1 ² = 70 . En forma general:
  $${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2}={2n \choose n}.}$$
• En cualquier fila  n , donde n es par, el término medio menos el término dos puntos a la izquierda es igual a un número catalán , específicamente el ( n /2 + 1) ésimo número catalán. Por ejemplo: en la fila 4, 6 − 1 = 5 , que es el 3º número catalán, y 4/2 + 1 = 3 .
• En una fila  p donde p es un número primo , todos los términos de esa fila excepto los unos son múltiplos de  p . Esto se puede demostrar fácilmente, ya que si , entonces p no tiene factores salvo 1 y él mismo. Cada entrada en el triángulo es un número entero, por lo tanto, por definición , y son factores de . Sin embargo, no hay forma posible de que p aparezca en el denominador, por lo que p (o algún múltiplo de él) debe dejarse en el numerador, haciendo que toda la entrada sea un múltiplo de p . ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ ${\displaystyle (p-k)!}$ ${\displaystyle k!}$ ${\displaystyle p!}$
• Paridad : Para contar los términos impares en la fila  n , convierta n a binario . Sea x el número de unos en la representación binaria. Entonces el número de términos impares será 2 ^x . Estos números son los valores de la secuencia de Gould . ^[19]
• Cada entrada en la fila 2 ⁿ  − 1, n  ≥ 0, es impar. ^[20]
• Polaridad : cuando los elementos de una fila del triángulo de Pascal se suman y restan alternativamente, el resultado es 0. Por ejemplo, la fila 6 es 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1, por lo que la fórmula es 1 − 6 + 15 - 20 + 15 - 6 + 1 = 0.

Diagonales

Derivación de números simplex a partir de un triángulo de Pascal justificado a la izquierda

Las diagonales del triángulo de Pascal contienen los números figurados de simples:

• Las diagonales que van a lo largo de los bordes izquierdo y derecho contienen sólo unos.
• Las diagonales al lado de las diagonales de los bordes contienen los números naturales en orden. Los números simples unidimensionales se incrementan en 1 a medida que los segmentos de línea se extienden hasta el siguiente número entero a lo largo de la recta numérica.
• Moviéndose hacia adentro, el siguiente par de diagonales contiene los números triangulares en orden.
• El siguiente par de diagonales contiene los números tetraédricos en orden, y el siguiente par da números pentatópicos .

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}(n)&=P_{d}(0)=1,\\P_{d}(n)&=P_{d}(n-1)+P_{d-1}(n)\\&=\sum _{i=0}^{n}P_{d-1}(i)=\sum _{i=0}^{d}P_{i}(n-1).\end{aligned}}}$

La simetría del triángulo implica que el número n ^- ésimo d-dimensional es igual al d ^{-ésimo número} n -dimensional.

Una fórmula alternativa que no implica recursividad es

$${\displaystyle P_{d}(n)={\frac {1}{d!}}\prod _{k=0}^{d-1}(n+k)={n^{(d)} \over d!}={\binom {n+d-1}{d}},}$$

n ^{( d )}factorial ascendente

El significado geométrico de una función P _d es: P _d (1) = 1 para todo d . Construya un triángulo d - dimensional (un triángulo tridimensional es un tetraedro ) colocando puntos adicionales debajo de un punto inicial, correspondiente a P _d (1) = 1. Coloque estos puntos de manera análoga a la ubicación de los números en el triángulo de Pascal. . Para encontrar P _d ( x ), tenga un total de x puntos que compongan la forma del objetivo. P _d ( x ) entonces es igual al número total de puntos en la forma. Un triángulo de dimensión 0 es un punto y un triángulo de dimensión 1 es simplemente una línea, y por lo tanto P ₀ ( x ) = 1 y P ₁ ( x ) = x , que es la secuencia de números naturales. El número de puntos en cada capa corresponde a P _{d  − 1} ( x ).

Calcular una fila o diagonal por sí misma

Existen algoritmos simples para calcular todos los elementos en una fila o diagonal sin calcular otros elementos o factoriales.

Para calcular la fila con los elementos , comience con . Para cada elemento posterior, el valor se determina multiplicando el valor anterior por una fracción con numerador y denominador que cambian lentamente: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n}{1}},\ldots ,{\tbinom {n}{n}}}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{0}}=1}$

${\displaystyle {n \choose k}={n \choose k-1}\times {\frac {n+1-k}{k}}.}$

Por ejemplo, para calcular la fila 5, las fracciones son  ,  ,  y , y por lo tanto los elementos son  ,   ,   , etc. (Los elementos restantes  se obtienen más fácilmente por simetría). ${\displaystyle {\tfrac {5}{1}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {4}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{4}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$ ${\displaystyle {\tbinom {5}{0}}=1}$ ${\displaystyle {\tbinom {5}{1}}=1\times {\tfrac {5}{1}}=5}$ ${\displaystyle {\tbinom {5}{2}}=5\times {\tfrac {4}{2}}=10}$

Para calcular la diagonal que contiene los elementos, comience de nuevo y obtenga los elementos posteriores multiplicando por ciertas fracciones: ${\displaystyle {\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n+1}{1}},{\tbinom {n+2}{2}},\ldots ,}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{0}}=1}$

${\displaystyle {n+k \choose k}={n+k-1 \choose k-1}\times {\frac {n+k}{k}}.}$

Por ejemplo, para calcular la diagonal que comienza en , las fracciones son  , y los elementos son , etc. Por simetría, estos elementos son iguales a , etc. ${\displaystyle {\tbinom {5}{0}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {6}{1}},{\tfrac {7}{2}},{\tfrac {8}{3}},\ldots }$ ${\displaystyle {\tbinom {5}{0}}=1,{\tbinom {6}{1}}=1\times {\tfrac {6}{1}}=6,{\tbinom {7}{2}}=6\times {\tfrac {7}{2}}=21}$ ${\displaystyle {\tbinom {5}{5}},{\tbinom {6}{5}},{\tbinom {7}{5}}}$

Secuencia de Fibonacci en el triángulo de Pascal

Patrones y propiedades generales.

Una aproximación de nivel 4 a un triángulo de Sierpinski obtenida sombreando las primeras 32 filas de un triángulo de Pascal de blanco si el coeficiente binomial es par y de negro si es impar.

• El patrón obtenido al colorear sólo los números impares en el triángulo de Pascal se parece mucho al fractal conocido como triángulo de Sierpinski . Esta semejanza se vuelve cada vez más precisa a medida que se consideran más filas; en el límite, cuando el número de filas se acerca al infinito, el patrón resultante es el triángulo de Sierpinski, suponiendo un perímetro fijo. De manera más general, los números podrían tener colores diferentes según sean o no múltiplos de 3, 4, etc.; esto da como resultado otros patrones similares.

Como la proporción de números negros tiende a cero al aumentar n , un corolario es que la proporción de coeficientes binomiales impares tiende a cero cuando n tiende a infinito. ^[21]

El triángulo de Pascal superpuesto en una cuadrícula proporciona el número de caminos distintos hacia cada cuadrado, asumiendo que sólo se consideran los movimientos hacia la derecha y hacia abajo.

• En una porción triangular de una cuadrícula (como en las imágenes a continuación), el número de rutas de cuadrícula más cortas desde un nodo dado hasta el nodo superior del triángulo es la entrada correspondiente en el triángulo de Pascal. En un tablero de juego Plinko con forma de triángulo, esta distribución debería indicar las probabilidades de ganar los distintos premios.

• Si las filas del triángulo de Pascal están justificadas a la izquierda, las bandas diagonales (codificadas por colores a continuación) suman los números de Fibonacci .

Construcción como matriz exponencial.

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp {\begin{pmatrix}.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.\\.&2&.&.&.\\.&.&3&.&.\\.&.&.&4&.\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}1&.&.&.&.\\1&1&.&.&.\\1&2&1&.&.\\1&3&3&1&.\\1&4&6&4&1\end{pmatrix}}\\e^{\text{counting}}&={\text{binomial}}\end{aligned}}}$

Matriz binomial como matriz exponencial. Todos los puntos representan 0.

Debido a su sencilla construcción mediante factoriales, se puede dar una representación muy básica del triángulo de Pascal en términos de la matriz exponencial : El triángulo de Pascal es la exponencial de la matriz que tiene en su sucesión la secuencia 1, 2, 3, 4,... subdiagonal y cero en el resto.

Construcción del álgebra de Clifford usando simples

Etiquetar los elementos de cada n-simplex coincide con los elementos básicos del álgebra de Clifford utilizados como formas en álgebra geométrica en lugar de matrices. Reconocer las operaciones geométricas, como las rotaciones, permite descubrir las operaciones de álgebra. Así como cada fila, n , comenzando en 0, del triángulo de Pascal corresponde a un (n-1) -símplejo, como se describe a continuación, también define el número de formas básicas nombradas en álgebra geométrica de n dimensiones . El teorema del binomio se puede utilizar para demostrar la relación geométrica proporcionada por el triángulo de Pascal. ^[22] Esta misma prueba podría aplicarse a los números simples, excepto que la primera columna de todos los unos debe ignorarse, mientras que en álgebra estos corresponden a los números reales, con base 1. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Relación con la geometría de los politopos.

El triángulo de Pascal se puede utilizar como tabla de búsqueda para el número de elementos (como aristas y esquinas) dentro de un politopo (como un triángulo, un tetraedro, un cuadrado o un cubo).

Número de elementos de simples

Comencemos considerando la tercera línea del triángulo de Pascal, con valores 1, 3, 3, 1. Un triángulo bidimensional tiene un elemento bidimensional (él mismo), tres elementos unidimensionales (líneas o aristas) y tres Elementos de 0 dimensiones ( vértices o esquinas). El significado del número final (1) es más difícil de explicar (pero véase más adelante). Siguiendo con nuestro ejemplo, un tetraedro tiene un elemento tridimensional (él mismo), cuatro elementos bidimensionales (caras), seis elementos unidimensionales (aristas) y cuatro elementos bidimensionales (vértices). Sumando nuevamente el 1 final, estos valores corresponden a la 4ta fila del triángulo (1, 4, 6, 4, 1). La línea 1 corresponde a un punto y la línea 2 corresponde a un segmento de línea (díada). Este patrón continúa en hipertetraedros de dimensiones arbitrariamente altas (conocidos como simples ).

Para entender por qué existe este patrón, primero se debe entender que el proceso de construir un n -símplex a partir de un ( n − 1) -símplex consiste simplemente en agregar un nuevo vértice a este último, posicionado de manera que este nuevo vértice quede fuera del patrón. espacio del simplex original y conectándolo a todos los vértices originales. Como ejemplo, consideremos el caso de construir un tetraedro a partir de un triángulo, el último de cuyos elementos están enumerados en la fila 3 del triángulo de Pascal: 1 cara, 3 aristas y 3 vértices. Para construir un tetraedro a partir de un triángulo, coloque un nuevo vértice sobre el plano del triángulo y conecte este vértice a los tres vértices del triángulo original.

El número de un elemento dimensional dado en el tetraedro es ahora la suma de dos números: primero, el número de ese elemento que se encuentra en el triángulo original, más el número de elementos nuevos, cada uno de los cuales está construido sobre elementos de una dimensión menos del triángulo original. triángulo original . Así, en el tetraedro, el número de celdas (elementos poliédricos) es 0 + 1 = 1 ; el número de caras es 1 + 3 = 4 ; el número de aristas es 3 + 3 = 6 ; el número de nuevos vértices es 3 + 1 = 4 . Este proceso de sumar el número de elementos de una dimensión dada con los de una dimensión menos para llegar al número del primero que se encuentra en el siguiente simplex superior es equivalente al proceso de sumar dos números adyacentes en una fila del triángulo de Pascal para obtener el número de abajo. Por lo tanto, se entiende que el significado del número final (1) en una fila del triángulo de Pascal representa el nuevo vértice que se agregará al simplex representado por esa fila para producir el siguiente simplex superior representado por la siguiente fila. Este nuevo vértice se une a cada elemento del simplex original para producir un nuevo elemento de una dimensión superior en el nuevo simplex, y este es el origen del patrón que se considera idéntico al visto en el triángulo de Pascal.

Número de elementos de hipercubos.

Se observa un patrón similar en relación con los cuadrados , a diferencia de los triángulos. Para encontrar el patrón, se debe construir un análogo del triángulo de Pascal, cuyas entradas son los coeficientes de ( x + 2) ^{número de fila} , en lugar de ( x + 1) ^{número de fila} . Hay un par de maneras de hacer esto. Lo más sencillo es comenzar con la fila 0 = 1 y la fila 1 = 1, 2. Proceder a construir los triángulos analógicos según la siguiente regla:

${\displaystyle {n \choose k}=2\times {n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}.}$

Es decir, elegir un par de números según las reglas del triángulo de Pascal, pero duplicar el de la izquierda antes de sumar. Esto resulta en:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{ 1}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 2}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 4}}\quad {\text{ 4}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 6}}\quad {\text{ 12}}\quad {\text{ 8}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 8}}\quad {\text{ 24}}\quad {\text{ 32}}\quad {\text{ 16}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 10}}\quad {\text{ 40}}\quad {\text{ 80}}\quad {\text{ 80}}\quad {\text{ 32}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 12}}\quad {\text{ 60}}\quad 160\quad 240\quad 192\quad {\text{ 64}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 14}}\quad {\text{ 84}}\quad 280\quad 560\quad 672\quad 448\quad 128\end{matrix}}}$

La otra forma de producir este triángulo es comenzar con el triángulo de Pascal y multiplicar cada entrada por 2 ^k , donde k es la posición en la fila del número dado. Por ejemplo, el segundo valor en la fila 4 del triángulo de Pascal es 6 (la pendiente de 1 corresponde a la entrada cero en cada fila). Para obtener el valor que reside en la posición correspondiente en el triángulo analógico, multiplique 6 por 2 ^{número de posición} = 6 × 2 ² = 6 × 4 = 24 . Ahora que se ha construido el triángulo analógico, el número de elementos de cualquier dimensión que componen un cubo de dimensiones arbitrarias (llamado hipercubo ) se puede leer en la tabla de forma análoga al triángulo de Pascal. Por ejemplo, el número de elementos bidimensionales en un cubo bidimensional (un cuadrado) es uno, el número de elementos unidimensionales (lados o líneas) es 4 y el número de elementos bidimensionales (puntos, o vértices) es 4. Esto coincide con la segunda fila de la tabla (1, 4, 4). Un cubo tiene 1 cubo, 6 caras, 12 aristas y 8 vértices, lo que corresponde a la siguiente línea del triángulo analógico (1, 6, 12, 8). Este patrón continúa indefinidamente.

Para entender por qué existe este patrón, primero reconozca que la construcción de un n -cubo a partir de un ( n − 1 ) -cubo se realiza simplemente duplicando la figura original y desplazándola a cierta distancia (para un n -cubo normal, la longitud del borde ) ortogonal al espacio de la figura original, luego conectando cada vértice de la nueva figura a su vértice correspondiente de la original. Este proceso de duplicación inicial es la razón por la cual, para enumerar los elementos dimensionales de un n -cubo, se debe duplicar el primero de un par de números en una fila de este análogo del triángulo de Pascal antes de sumar para obtener el número siguiente. La duplicación inicial produce así el número de elementos "originales" que se encuentran en el siguiente n -cubo superior y, como antes, los nuevos elementos se construyen sobre los de una dimensión menos (aristas sobre vértices, caras sobre aristas, etc.). Nuevamente, el último número de una fila representa el número de nuevos vértices que se agregarán para generar el siguiente n -cubo superior.

En este triángulo, la suma de los elementos de la fila m es igual a 3 ^m . Nuevamente, para usar los elementos de la fila 4 como ejemplo: 1 + 8 + 24 + 32 + 16 = 81 , que es igual a . ${\displaystyle 3^{4}=81}$

Contar los vértices de un cubo por distancia

Cada fila del triángulo de Pascal da el número de vértices a cada distancia de un vértice fijo en un cubo de n dimensiones. Por ejemplo, en tres dimensiones, la tercera fila (1 3 3 1) corresponde al cubo tridimensional habitual : fijando un vértice V , hay un vértice a la distancia 0 de V (es decir, el propio V ), tres vértices en distancia 1, tres vértices a la distancia √ 2 y un vértice a la distancia √ 3 (el vértice opuesto a V ). La segunda fila corresponde a un cuadrado, mientras que las filas con números más grandes corresponden a hipercubos en cada dimensión.

Transformada de Fourier de sin( x ) n +1 / x

Como se indicó anteriormente, los coeficientes de ( x  + 1) ⁿ son la enésima fila del triángulo. Ahora los coeficientes de ( x  − 1) ⁿ son los mismos, excepto que el signo alterna de +1 a −1 y viceversa. Después de una normalización adecuada, el mismo patrón de números ocurre en la transformada de Fourier de sin( x ) ^{n +1} / x . Más precisamente: si n es par, toma la parte real de la transformada, y si n es impar, toma la parte imaginaria . Entonces el resultado es una función escalonada , cuyos valores (adecuadamente normalizados) están dados por la n- ésima fila del triángulo con signos alternos. ^[23] Por ejemplo, los valores de la función escalón que resulta de:

${\displaystyle {\mathfrak {Re}}\left({\text{Fourier}}\left[{\frac {\sin(x)^{5}}{x}}\right]\right)}$

componga la cuarta fila del triángulo, con signos alternos. Esta es una generalización del siguiente resultado básico (utilizado a menudo en ingeniería eléctrica ):

${\displaystyle {\mathfrak {Re}}\left({\text{Fourier}}\left[{\frac {\sin(x)^{1}}{x}}\right]\right)}$

es la función del furgón . ^[24] La fila correspondiente del triángulo es la fila 0, que consta solo del número 1.

Si n es congruente con 2 o con 3 mod 4, entonces los signos comienzan con −1. De hecho, la secuencia de los primeros términos (normalizados) corresponde a las potencias de i , que giran alrededor de la intersección de los ejes con el círculo unitario en el plano complejo:

$${\displaystyle +i,-1,-i,+1,+i,\ldots }$$

Extensiones

El triángulo de Pascal se puede extender hacia arriba, por encima del 1 en el vértice, preservando la propiedad aditiva, pero hay más de una manera de hacerlo. ^[25]

A dimensiones superiores

El triángulo de Pascal tiene generalizaciones de dimensiones superiores . La versión tridimensional se conoce como pirámide de Pascal o tetraedro de Pascal , mientras que las versiones generales se conocen como simples de Pascal .

A números complejos

Cuando la función factorial se define como , el triángulo de Pascal se puede extender más allá de los números enteros hasta , ya que es meromórfico a todo el plano complejo . ^[26] ${\displaystyle z!=\Gamma (z+1)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Gamma (z+1)}$

A bases arbitrarias

Isaac Newton observó una vez que las primeras cinco filas del Triángulo de Pascal, consideradas como cuerdas , son las potencias correspondientes de once. Afirmó sin pruebas que las filas siguientes también generan potencias de once. ^[27] En 1964, el Dr. Robert L. Morton presentó el argumento más generalizado de que cada fila puede leerse como un número de base, donde está la fila terminal hipotética, o límite , del triángulo, y las filas son sus productos parciales. ^[28] Demostró que las entradas de la fila , cuando se interpretan directamente como un número de valor posicional, corresponden a la expansión binomial de . Desde entonces se han desarrollado pruebas más rigurosas. ^{[29] [30]} Para comprender mejor el principio detrás de esta interpretación, aquí hay algunas cosas para recordar sobre los binomios: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }11_{a}^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (a+1)^{n}=11_{a}^{n}}$

• Un número de base en notación posicional (p. ej. ) es un polinomio univariado en la variable , donde el grado de la variable del ésimo término (que comienza con ) es . Por ejemplo, . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 14641_{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i=0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 14641_{a}=1\cdot a^{4}+4\cdot a^{3}+6\cdot a^{2}+4\cdot a^{1}+1\cdot a^{0}}$
• Una fila corresponde a la expansión binomial de . La variable se puede eliminar de la expansión configurando . La expansión ahora tipifica la forma expandida de un número de base, ^{[31] [32]} como se demostró anteriormente. Por lo tanto, cuando las entradas de la fila se concatenan y se leen en base, forman el equivalente numérico de . Si es para , entonces el teorema se cumple con valores impares que producen productos de fila negativos. ^{[33] [34] [35]} ${\displaystyle (a+b)^{n}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b=1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (a+1)^{n}=11_{a}^{n}}$ ${\displaystyle c=a+1}$ ${\displaystyle c<0}$ ${\displaystyle a=\{c-1,-(c+1)\}\;\mathrm {mod} \;2c}$ ${\displaystyle n}$

Al establecer la base de la fila (la variable ) igual a uno y diez, la fila se convierte en el producto y , respectivamente. Para ilustrar, considere , que produce el producto de fila . La representación numérica de se forma concatenando las entradas de la fila . En la imagen de arriba, la duodécima fila indica el producto: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 11_{1}^{n}=2^{n}}$ ${\displaystyle 11_{10}^{n}=11^{n}}$ ${\displaystyle a=n}$ ${\displaystyle n^{n}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=11_{n}^{n}}$ ${\displaystyle 11_{n}^{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle 11_{12}^{12}=1:10:56:164:353:560:650:560:353:164:56:10:1_{12}=27433a9699701_{12}}$

con dígitos compuestos (delimitados por ":") en base . Los dígitos desde hasta son compuestos porque estas entradas de fila calculan valores mayores o iguales a . Para normalizar ^[36] el numeral, simplemente lleve el prefijo de la primera entrada compuesta, es decir, elimine el prefijo del coeficiente desde su dígito más a la izquierda hasta, pero excluyendo, su dígito más a la derecha, y use aritmética de base para sumar el prefijo eliminado con la entrada inmediatamente a la izquierda, luego repita este proceso, avanzando hacia la izquierda, hasta llegar a la entrada más a la izquierda. En este ejemplo particular, la cadena normalizada termina con for all . El dígito más a la izquierda es para , que se obtiene llevando el símbolo de en la entrada . De ello se deduce que la longitud del valor normalizado de es igual a la longitud de la fila, . La parte integral de contiene exactamente un dígito porque (el número de lugares a la izquierda que se ha movido el decimal) es uno menos que la longitud de la fila. A continuación se muestra el valor normalizado de . Los dígitos compuestos permanecen en el valor porque son residuos de base representados en base diez: ${\displaystyle 12}$ ${\displaystyle k=n-1}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle 12}$ ${\displaystyle {n \choose n-1}}$ ${\displaystyle 12}$ ${\displaystyle 01}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 10_{n}}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle 11_{n}^{n}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle 1.1_{n}^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1.1_{1234}^{1234}}$ ${\displaystyle 1234}$

${\displaystyle 1.1_{1234}^{1234}=2.885:2:35:977:696:\overbrace {\ldots } ^{\text{1227 digits}}:0:1_{1234}=2.717181235\ldots _{10}}$

Ver también

• Máquina de frijoles , el "quincunx" de Francis Galton
• Triángulo de campana
• El triángulo de Bernoulli.
• Expansión binomial
• triángulo de euler
• el triangulo de floyd
• Coeficiente binomial gaussiano
• Identidad del palo de hockey
• Triángulo armónico de Leibniz
• Multiplicidades de entradas en el triángulo de Pascal (conjetura de Singmaster)
• matriz de Pascal
• pirámide de pascal
• simplex de Pascal
• RMN de protones , una aplicación del triángulo de Pascal
• Teorema de la estrella de David
• Expansión trinomio
• Triángulo trinomio
• Polinomios que calculan sumas de potencias de progresiones aritméticas.

Referencias

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36. El a priori y de la fila terminal implica un agotamiento y repetición de , lo que conduce a una violación de la identidad de Pascal en la extensión del triángulo de Hilton, es decir, donde es primo (coprimo con ) ya que sus divisores continuarían cíclicamente a través de Z hasta formar productos mayores que Z (cada una de sus clases de residuos contiene exactamente un miembro , incluso si el propio Z se repite de alguna manera). Ya que , en el límite a medida que se acerca . Factorizar a partir de la serie de filas produce , lo que implica la matriz hexagonal. Si , entonces , así , así , así, así , etcétera.Fjelstad, P. (1991), "Extendiendo el triángulo de Pascal", Computadoras y matemáticas con aplicaciones , 21 (9): 3, doi : 10.1016/0898-1221(91)90119-O ${\displaystyle {n \choose n-1}=\{10_{n},0\}}$ ${\displaystyle {n \choose 1}=10_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 10_{n}=n\equiv \{-1,0\}\;\mathrm {mod} \;{\text{“Z + 1”}}}$ ${\displaystyle {\text{“Z + 1”}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$ ${\displaystyle n=k+1}$ ${\displaystyle a=n}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle n^{n}=n!}$ ${\displaystyle 1.1_{n}^{n}}$ ${\displaystyle k={\scriptstyle {n \choose k}}={\scriptstyle {0 \choose 0}={\frac {0}{0}}}}$ ${\displaystyle k+0=k+10_{1}}$ ${\displaystyle k={\scriptstyle {\frac {0}{0}}}=\{(-1)^{Z},Z-Z\}}$ ${\displaystyle k=\{-1,0\}}$ ${\displaystyle k=\{0,1\}}$ ${\displaystyle k=\{1,2\}}$.

enlaces externos

• "Triángulo de Pascal", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "El triángulo de Pascal". MundoMatemático .
• El cuadro del método antiguo de los siete cuadrados multiplicadores (del Ssu Yuan Yü Chien de Chu Shi-Chieh, 1303, que representa las primeras nueve filas del triángulo de Pascal)
• Tratado de Pascal sobre el triángulo aritmético (imágenes de páginas del tratado de Pascal, 1654; resumen)