Serie alternada

Serie infinita cuyos términos se alternan en signo

En matemáticas , una serie alternada es una serie infinita de la forma o con un _n > 0 para todo  n . Los signos de los términos generales alternan entre positivo y negativo. Como cualquier serie, una serie alternada converge si y solo si la secuencia asociada de sumas parciales converge . $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}}$$ $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n+1}a_{n}}$$

Ejemplos

La serie geométrica ⁠ 1 / 2 ⁠ − ⁠ 1 / 4 ⁠ + ⁠ 1 / 8 ⁠ − ⁠ 1 / 16 ⁠ + ⋯ suma ⁠ 1 / 3 ⁠ .

La serie armónica alterna tiene una suma finita, pero la serie armónica no.

La serie de Mercator proporciona una expresión analítica del logaritmo natural : $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}\;=\;\ln(1+x).}$$

Las funciones seno y coseno utilizadas en trigonometría pueden definirse como series alternadas en cálculo , aunque se introducen en el álgebra elemental como la razón de los lados de un triángulo rectángulo. De hecho, y Cuando se elimina el factor alternante (–1) ⁿ de estas series se obtienen las funciones hiperbólicas senh y cosh utilizadas en cálculo. $${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}},}$$ $${\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}.}$$

Para un número entero o de índice positivo α, la función de Bessel de primer tipo puede definirse con la serie alternada donde Γ( z ) es la función gamma . $${\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }}$$

Si s es un número complejo , la función eta de Dirichlet se forma como una serie alternada que se utiliza en la teoría analítica de números . $${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots }$$

Prueba de series alternadas

El teorema conocido como "Prueba de Leibniz" o prueba de series alternadas nos dice que una serie alternada convergerá si los términos a _n convergen a 0 monótonamente .

Demostración: Supongamos que la sucesión converge a cero y es monótona decreciente. Si es impar y , obtenemos la estimación mediante el siguiente cálculo: ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m<n}$ ${\displaystyle S_{n}-S_{m}\leq a_{m}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}-S_{m}&=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{m}\,(-1)^{k}\,a_{k}\ =\sum _{k=m+1}^{n}\,(-1)^{k}\,a_{k}\\&=a_{m+1}-a_{m+2}+a_{m+3}-a_{m+4}+\cdots +a_{n}\\&=a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3})-(a_{m+4}-a_{m+5})-\cdots -a_{n}\leq a_{m+1}\leq a_{m}.\end{aligned}}}$$

Como es monótonamente decreciente, los términos son negativos. Por lo tanto, tenemos la desigualdad final: . De manera similar, se puede demostrar que . Como converge a , nuestras sumas parciales forman una sucesión de Cauchy (es decir, la serie satisface el criterio de Cauchy ) y, por lo tanto, convergen. El argumento a favor de par es similar. ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle -(a_{m}-a_{m+1})}$ ${\displaystyle S_{n}-S_{m}\leq a_{m}}$ ${\displaystyle -a_{m}\leq S_{n}-S_{m}}$ ${\displaystyle a_{m}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle S_{m}}$ ${\displaystyle m}$

Aproximación de sumas

La estimación anterior no depende de . Por lo tanto, si se acerca a 0 de forma monótona, la estimación proporciona un límite de error para aproximar sumas infinitas mediante sumas parciales: Eso no significa que esta estimación siempre encuentre el primer elemento después del cual el error es menor que el módulo del siguiente término de la serie. De hecho, si toma e intenta encontrar el término después del cual el error es como máximo 0,00005, la desigualdad anterior muestra que la suma parcial hasta es suficiente, pero de hecho esto es el doble de términos de los necesarios. De hecho, el error después de sumar los primeros 9999 elementos es 0,0000500025, por lo que tomar la suma parcial hasta es suficiente. Resulta que esta serie tiene la propiedad de que construir una nueva serie con también da una serie alternada donde se aplica la prueba de Leibniz y, por lo tanto, hace que este simple límite de error no sea óptimo. Esto fue mejorado por el límite de Calabrese, ^[1] descubierto en 1962, que dice que esta propiedad permite un resultado 2 veces menor que con el límite de error de Leibniz. De hecho, esto tampoco es óptimo para series donde esta propiedad se aplica 2 o más veces, lo que se describe mediante el límite de error de Johnsonbaugh . ^[2] Si uno puede aplicar la propiedad un número infinito de veces, se aplica la transformada de Euler . ^[3] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{n}}$ $${\displaystyle \left|\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{m}\,(-1)^{k}\,a_{k}\right|\leq |a_{m+1}|.}$$ ${\displaystyle 1-1/2+1/3-1/4+...=\ln 2}$ ${\displaystyle a_{20000}}$ ${\displaystyle a_{10000}}$ ${\displaystyle a_{n}-a_{n+1}}$

Convergencia absoluta

Una serie converge absolutamente si la serie converge. ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum |a_{n}|}$

Teorema: Las series absolutamente convergentes son convergentes.

Demostración: Supongamos que es absolutamente convergente. Entonces, es convergente y se deduce que también converge. Como , la serie converge según el criterio de comparación . Por lo tanto, la serie converge como la diferencia de dos series convergentes . ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum |a_{n}|}$ ${\textstyle \sum 2|a_{n}|}$ ${\textstyle 0\leq a_{n}+|a_{n}|\leq 2|a_{n}|}$ ${\textstyle \sum (a_{n}+|a_{n}|)}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum a_{n}=\sum (a_{n}+|a_{n}|)-\sum |a_{n}|}$

Convergencia condicional

Una serie es condicionalmente convergente si converge pero no converge absolutamente.

Por ejemplo, la serie armónica diverge, mientras que la versión alterna converge mediante la prueba de la serie alterna. $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}},}$$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}},}$$

Reordenamientos

Para cualquier serie, podemos crear una nueva serie reorganizando el orden de suma. Una serie es incondicionalmente convergente si cualquier reordenamiento crea una serie con la misma convergencia que la serie original. Las series absolutamente convergentes son incondicionalmente convergentes . Pero el teorema de series de Riemann establece que las series condicionalmente convergentes pueden reorganizarse para crear una convergencia arbitraria. ^[4] El principio general es que la adición de sumas infinitas solo es conmutativa para series absolutamente convergentes.

Por ejemplo, una prueba falsa de que 1=0 explota la falla de la asociatividad para sumas infinitas.

Como otro ejemplo, por la serie Mercator $${\displaystyle \ln(2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots .}$$

Pero, como la serie no converge absolutamente, podemos reordenar los términos para obtener una serie para : ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}\ln(2)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots \right)={\frac {1}{2}}\ln(2).\end{aligned}}}$$

Aceleración en serie

En la práctica, la suma numérica de una serie alternada se puede acelerar utilizando cualquiera de las diversas técnicas de aceleración de series . Una de las técnicas más antiguas es la suma de Euler , y existen muchas técnicas modernas que pueden ofrecer una convergencia aún más rápida.

Véase también

• La serie de Grandi
• Integral de Nörlund-Rice

Notas

1. Calabrese, Philip (marzo de 1962). "Una nota sobre series alternadas". The American Mathematical Monthly . 69 (3): 215–217. doi :10.2307/2311056. JSTOR  2311056.
2. Johnsonbaugh, Richard (octubre de 1979). "Suma de una serie alternada". The American Mathematical Monthly . 86 (8): 637–648. doi :10.2307/2321292. JSTOR  2321292.
3. Villarino, Mark B. (27 de noviembre de 2015). "El error en una serie alternada". arXiv : 1511.08568 [math.CA].
4. Mallik, AK (2007). "Consecuencias curiosas de secuencias simples". Resonancia . 12 (1): 23–37. doi :10.1007/s12045-007-0004-7. S2CID  122327461.

Referencias

• Earl D. Rainville (1967) Infinite Series , págs. 73-6, Macmillan Publishers .
• Weisstein, Eric W. "Series alternadas". MathWorld .