En matemáticas , la aceleración de series forma parte de un conjunto de transformaciones de secuencias para mejorar la tasa de convergencia de una serie . Las técnicas de aceleración en serie se aplican a menudo en el análisis numérico , donde se utilizan para mejorar la velocidad de la integración numérica . También se pueden utilizar técnicas de aceleración en serie, por ejemplo, para obtener una variedad de identidades en funciones especiales . Por lo tanto, la transformada de Euler aplicada a la serie hipergeométrica proporciona algunas de las identidades clásicas y conocidas de las series hipergeométricas.
Definición
Dada una secuencia
![{\displaystyle S=\{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
teniendo un limite
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\ell ,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
una serie acelerada es una segunda secuencia
![{\displaystyle S'=\{s'_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
que converge más rápido que la secuencia original, en el sentido de que![{\displaystyle\ell}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {s'_{n}-\ell }{s_{n}-\ell }}=0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si la secuencia original es divergente , la transformación de secuencia actúa como un método de extrapolación al antilímite .![{\displaystyle\ell}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Las asignaciones de la serie original a la transformada pueden ser lineales (como se define en el artículo Transformaciones de secuencia ) o no lineales. En general, las transformaciones de secuencias no lineales tienden a ser más poderosas.
Descripción general
Dos técnicas clásicas para la aceleración en series son la transformación de series de Euler [1] y la transformación de series de Kummer . [2] En el siglo XX se desarrolló una variedad de herramientas de casos especiales y mucho más rápidamente convergentes, incluida la extrapolación de Richardson , introducida por Lewis Fry Richardson a principios del siglo XX pero también conocida y utilizada por Katahiro Takebe en 1722; el proceso delta cuadrado de Aitken , introducido por Alexander Aitken en 1926 pero también conocido y utilizado por Takakazu Seki en el siglo XVIII; el método épsilon propuesto por Peter Wynn en 1956; la transformada u de Levin; y el método Wilf-Zeilberger-Ekhad o método WZ .
Para series alternas , Cohen et al describen varias técnicas poderosas que ofrecen tasas de convergencia desde todo el camino hasta una suma de términos . [3]![{\displaystyle 5.828^{-n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 17,93^{-n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
la transformada de euler
Un ejemplo básico de transformación de secuencia lineal , que ofrece una convergencia mejorada, es la transformada de Euler. Está destinado a ser aplicado a una serie alterna; esta dado por
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n} {\frac {(\Delta ^{n}a)_{0}}{2^{n+1}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
¿Dónde está el operador de diferencia directa , para el cual se tiene la fórmula?![{\displaystyle \Delta}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (\Delta ^{n}a)_{0}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a_{nk}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si la serie original, en el lado izquierdo, sólo converge lentamente, las diferencias directas tenderán a volverse pequeñas con bastante rapidez; la potencia adicional de dos mejora aún más la velocidad a la que converge el lado derecho.
Una implementación numérica particularmente eficiente de la transformada de Euler es la transformación de van Wijngaarden . [4]
Mapeos conformes
Una serie
![{\displaystyle S=\sum _ {n=0}^{\infty }a_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
se puede escribir como , donde la función f se define como
![{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La función puede tener singularidades en el plano complejo ( singularidades de punto de ramificación , polos o singularidades esenciales ), que limitan el radio de convergencia de la serie. Si el punto está cerca o en el límite del disco de convergencia, la serie para convergerá muy lentamente. Luego se puede mejorar la convergencia de la serie mediante un mapeo conforme que mueva las singularidades de manera que el punto mapeado termine más profundamente en el nuevo disco de convergencia.![{\displaystyle f(z)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle z=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle z=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La transformada conforme debe elegirse de manera que , y normalmente se elige una función que tiene una derivada finita en w = 0. Se puede suponer que sin pérdida de generalidad, ya que siempre se puede reescalar w para redefinir . Luego consideramos la función![{\displaystyle z=\Phi (w)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Phi (0)=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Phi (1)=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Phi}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g(w)=f(\Phi (w)).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Dado que tenemos . Podemos obtener la expansión en serie de poniendo la expansión en serie de porque ; los primeros términos del desarrollo en serie para producirán los primeros términos del desarrollo en serie para if . Al incluir esa expansión en serie, se obtendrá una serie tal que, si converge, convergerá al mismo valor que la serie original.![{\displaystyle \Phi (1)=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(1)=g(1)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g(w)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle z=\Phi (w)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(z)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Phi (0)=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(z)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g(w)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Phi '(0)\neq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle w=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Transformaciones de secuencia no lineal.
Ejemplos de tales transformaciones de secuencia no lineales son las aproximantes de Padé , la transformación de Shanks y las transformaciones de secuencia de tipo Levin.
Especialmente las transformaciones de secuencias no lineales a menudo proporcionan métodos numéricos poderosos para la suma de series divergentes o series asintóticas que surgen, por ejemplo, en la teoría de perturbaciones , y pueden usarse como métodos de extrapolación altamente efectivos .
método aitken
Una transformación de secuencia no lineal simple es la extrapolación de Aitken o método delta cuadrado,
![{\displaystyle \mathbb {A} :S\to S'=\mathbb {A} (S)={(s'_{n})}_{n\in \mathbb {N} }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
definido por
![{\displaystyle s'_{n}=s_{n+2}-{\frac {(s_{n+2}-s_{n+1})^{2}}{s_{n+2}-2s_ {n+1}+s_{n}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Esta transformación se usa comúnmente para mejorar la tasa de convergencia de una secuencia que converge lentamente; heurísticamente elimina la mayor parte del error absoluto .
Ver también
Referencias
- ^ Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 3, ecuación 3.6.27". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. pag. 16.ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. SEÑOR 0167642. LCCN 65-12253.
- ^ Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 3, ecuación 3.6.26". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. pag. 16.ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. SEÑOR 0167642. LCCN 65-12253.
- ^ Henri Cohen , Fernando Rodríguez Villegas y Don Zagier , "Aceleración de convergencia de series alternas", Matemáticas experimentales , 9 :1 (2000) página 3.
- ^ William H. Press, et al. , Recetas numéricas en C , (1987) Cambridge University Press, ISBN 0-521-43108-5 (Ver sección 5.1).
- C. Brezinski y M. Redivo Zaglia , Métodos de extrapolación. Teoría y práctica , Holanda Septentrional, 1991.
- GA Baker Jr. y P. Graves-Morris, Padé Approximants , Cambridge UP, 1996.
- Weisstein, Eric W. "Mejora de la convergencia". MundoMatemático .
- Herbert HH Homeier: Transformaciones de secuencia escalar tipo Levin , Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 122, núm. 1–2, pág. 81 (2000). Más hogareño, HHH (2000). "Transformaciones de secuencia escalar tipo Levin". Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 122 (1–2): 81–147. arXiv : matemáticas/0005209 . Código Bib : 2000JCoAM.122...81H. doi :10.1016/S0377-0427(00)00359-9., arXiv : matemáticas/0005209.
- Brezinski Claude y Redivo-Zaglia Michela: "La génesis y los primeros desarrollos del proceso de Aitken, la transformación de Shanks, el algoritmo - y los métodos de punto fijo relacionados", Algoritmos numéricos, Vol.80, No.1, (2019), págs.11 -133.
![{\displaystyle\epsilon}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Delahaye JP: "Transformaciones de secuencia", Springer-Verlag, Berlín, ISBN 978-3540152835 (1988).
- Sidi Avram: "Métodos de extrapolación de vectores con aplicaciones", SIAM, ISBN 978-1-61197-495-9 (2017).
- Brezinski Claude, Redivo-Zaglia Michela y Saad Yousef: "Transformaciones de secuencia de Shanks y aceleración de Anderson", SIAM Review, Vol.60, No.3 (2018), págs.646–669. doi:10.1137/17M1120725.
- Brezinski Claude: "Reminiscencias de Peter Wynn ", Algoritmos numéricos, Vol.80 (2019), págs.5-10.
- Brezinski Claude y Redivo-Zaglia Michela: "Extrapolación y aproximación racional", Springer, ISBN 978-3-030-58417-7 (2020).
enlaces externos
- Aceleración de convergencia de series.
- Biblioteca científica GNU, Aceleración de series
- Biblioteca Digital de Funciones Matemáticas