Teorema de la serie de Riemann

Las series incondicionalmente convergentes convergen absolutamente

En matemáticas , el teorema de la serie de Riemann , también llamado teorema de reordenamiento de Riemann , llamado así por el matemático alemán del siglo XIX Bernhard Riemann , dice que si una serie infinita de números reales es condicionalmente convergente , entonces sus términos pueden ordenarse en una permutación de modo que la nueva serie converja a un número real arbitrario, y reordenarse de modo que la nueva serie diverja . Esto implica que una serie de números reales es absolutamente convergente si y solo si es incondicionalmente convergente . ^{[1] [2]}

Como ejemplo, la serie

${\displaystyle 1-1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{4}}+\dots }$

converge a 0 (para un número suficientemente grande de términos, la suma parcial se acerca arbitrariamente a 0); pero al reemplazar todos los términos con sus valores absolutos se obtiene

${\displaystyle 1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}+\dots }$

que suma hasta el infinito. Por lo tanto, la serie original es condicionalmente convergente y se puede reorganizar (tomando los dos primeros términos positivos seguidos del primer término negativo, seguido de los dos términos positivos siguientes y luego el siguiente término negativo, etc.) para dar una serie que converge a una suma diferente, como

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}-1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{2}}+\dots }$

que evalúa a ln 2. De manera más general, al utilizar este procedimiento con p positivos seguidos de q negativos se obtiene la suma ln( p / q ). Otros reordenamientos dan otras sumas finitas o no convergen a ninguna suma.

Historia

Un resultado básico es que la suma de un número finito de números no depende del orden en el que se suman. Por ejemplo, 2 + 6 + 7 = 7 + 2 + 6. La observación de que la suma de una secuencia infinita de números puede depender del orden en el que se suman se atribuye comúnmente a Augustin-Louis Cauchy en 1833. ^[3] Analizó la serie armónica alternada , mostrando que ciertos reordenamientos de sus sumandos dan como resultado límites diferentes. Casi al mismo tiempo, Peter Gustav Lejeune Dirichlet destacó que tales fenómenos se descartan en el contexto de la convergencia absoluta , y dio más ejemplos del fenómeno de Cauchy para algunas otras series que no son absolutamente convergentes. ^[4]

En el curso de su análisis de las series de Fourier y la teoría de la integración de Riemann , Bernhard Riemann dio una caracterización completa de los fenómenos de reordenamiento. ^[5] Demostró que en el caso de una serie convergente que no converge absolutamente (conocida como convergencia condicional ), se pueden encontrar reordenamientos de modo que la nueva serie converja a cualquier número real prescrito arbitrariamente. ^[6] El teorema de Riemann ahora se considera como una parte básica del campo del análisis matemático . ^[7]

Para cualquier serie, se puede considerar el conjunto de todas las sumas posibles, correspondientes a todos los reordenamientos posibles de los sumandos. El teorema de Riemann puede formularse diciendo que, para una serie de números reales, este conjunto está vacío, es un único punto (en el caso de convergencia absoluta) o es la recta numérica real entera (en el caso de convergencia condicional). En esta formulación, el teorema de Riemann fue extendido por Paul Lévy y Ernst Steinitz a series cuyos sumandos son números complejos o, incluso de manera más general, elementos de un espacio vectorial real de dimensión finita . ^{[8] [9]} Demostraron que el conjunto de sumas posibles forma un subespacio afín real. Varios autores han considerado extensiones del teorema de Lévy-Steinitz a series en espacios de dimensión infinita. ^[10]

Definiciones

Una serie converge si existe un valor tal que la secuencia de las sumas parciales ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle (S_{1},S_{2},S_{3},\ldots ),\quad S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k},}$

converge a . Es decir, para cualquier ε  > 0, existe un entero N tal que si n  ≥  N , entonces ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle \left\vert S_{n}-\ell \right\vert \leq \varepsilon .}$

Una serie converge condicionalmente si la serie converge pero la serie diverge. ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left\vert a_{n}\right\vert }$

Una permutación es simplemente una biyección del conjunto de números enteros positivos hacia sí mismo. Esto significa que si es una permutación, entonces para cualquier número entero positivo existe exactamente un número entero positivo tal que En particular, si , entonces . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \sigma (a)=b.}$ ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle \sigma (x)\neq \sigma (y)}$

Enunciado del teorema

Supongamos que es una sucesión de números reales y que es condicionalmente convergente. Sea un número real. Entonces existe una permutación tal que ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=M.}$

También existe una permutación tal que ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=\infty .}$

La suma también puede reorganizarse para divergir o no aproximarse a ningún límite, finito o infinito. ${\displaystyle -\infty }$

Serie armónica alternada

Cambiando la suma

La serie armónica alternada es un ejemplo clásico de una serie condicionalmente convergente: es convergente, mientras que es la serie armónica ordinaria , que diverge. Aunque en la presentación estándar la serie armónica alternada converge a ln(2) , sus términos pueden organizarse para converger a cualquier número, o incluso para diverger. $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}$$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\right|=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$$

Un ejemplo de esto es el siguiente: comience con la serie escrita en el orden habitual,

${\displaystyle \ln(2)=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}\cdots }$

y reorganizar y reagrupar los términos como:

${\displaystyle {\begin{aligned}&1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\=&{}\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots \end{aligned}}}$

donde el patrón es: los dos primeros términos son 1 y −1/2, cuya suma es 1/2. El siguiente término es −1/4. Los dos siguientes términos son 1/3 y −1/6, cuya suma es 1/6. El siguiente término es −1/8. Los dos siguientes términos son 1/5 y −1/10, cuya suma es 1/10. En general, dado que cada entero impar ocurre una vez de forma positiva y cada entero par ocurre una vez de forma negativa (la mitad de ellos como múltiplos de 4, la otra mitad como enteros dos veces impares), la suma se compone de bloques de tres que se pueden simplificar como:

${\displaystyle \left({\frac {1}{2k-1}}-{\frac {1}{2(2k-1)}}\right)-{\frac {1}{4k}}=\left({\frac {1}{2(2k-1)}}\right)-{\frac {1}{4k}},\quad k=1,2,\dots .}$

Por lo tanto, la serie anterior puede escribirse de hecho como:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}+\cdots +{\frac {1}{2(2k-1)}}-{\frac {1}{2(2k)}}+\cdots \\={}&{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-\cdots \right)={\frac {1}{2}}\ln(2)\end{aligned}}}$

que es la mitad de la suma original, y solo puede ser igual a la secuencia original si el valor fuera cero. Se puede demostrar que esta serie es mayor que cero mediante la prueba del teorema de Leibniz usando que la segunda suma parcial es la mitad. ^[11] Alternativamente, el valor al que converge no puede ser cero. Por lo tanto, se muestra que el valor de la secuencia depende del orden en el que se calcula la serie. ${\displaystyle \ln(2)}$

Es cierto que la secuencia:

${\displaystyle \{b_{n}\}=1,-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{4}},{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{6}},-{\frac {1}{8}},{\frac {1}{5}},-{\frac {1}{10}},-{\frac {1}{12}},{\frac {1}{7}},-{\frac {1}{14}},-{\frac {1}{16}},\cdots }$

contiene todos los elementos de la secuencia:

${\displaystyle \{a_{n}\}=1,-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},-{\frac {1}{6}},{\frac {1}{7}},-{\frac {1}{8}},{\frac {1}{9}},-{\frac {1}{10}},{\frac {1}{11}},-{\frac {1}{12}},{\frac {1}{13}},-{\frac {1}{14}},{\frac {1}{15}},\cdots }$

Sin embargo, dado que la suma se define como y , el orden de los términos puede influir en el límite. ^[11] ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}:=\lim _{n\to \infty }\left(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}\right)}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}:=\lim _{n\to \infty }\left(b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{n}\right)}$

Obtener una suma arbitraria

Una forma eficiente de recuperar y generalizar el resultado de la sección anterior es utilizar el hecho de que

${\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+\cdots +{1 \over n}=\gamma +\ln n+o(1),}$

donde γ es la constante de Euler-Mascheroni , y donde la notación o (1) denota una cantidad que depende de la variable actual (aquí, la variable es  n ) de tal manera que esta cantidad tiende a 0 cuando la variable tiende a infinito.

De ello se deduce que la suma de q términos pares satisface

${\displaystyle {1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 6}+\cdots +{1 \over 2q}={1 \over 2}\,\gamma +{1 \over 2}\ln q+o(1),}$

y tomando la diferencia, se ve que la suma de p términos impares satisface

${\displaystyle {1}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+\cdots +{1 \over 2p-1}={1 \over 2}\,\gamma +{1 \over 2}\ln p+\ln 2+o(1).}$

Supongamos que se dan dos números enteros positivos a y b , y que se forma un reordenamiento de la serie armónica alternada tomando, en orden, a términos positivos de la serie armónica alternada, seguidos de b términos negativos, y repitiendo este patrón hasta el infinito (la serie alternada en sí misma corresponde a a = b = 1 , el ejemplo de la sección anterior corresponde a a  = 1, b  = 2):

${\displaystyle {1}+{1 \over 3}+\cdots +{1 \over 2a-1}-{1 \over 2}-{1 \over 4}-\cdots -{1 \over 2b}+{1 \over 2a+1}+\cdots +{1 \over 4a-1}-{1 \over 2b+2}-\cdots }$

Entonces la suma parcial de orden ( a  +  b ) n de esta serie reordenada contiene p = an términos impares positivos y q = bn términos pares negativos, por lo tanto

${\displaystyle S_{(a+b)n}={1 \over 2}\ln p+\ln 2-{1 \over 2}\ln q+o(1)={1 \over 2}\ln \left({\frac {a}{b}}\right)+\ln 2+o(1).}$

De ello se deduce que la suma de esta serie reordenada es ^[12]

${\displaystyle {1 \over 2}\ln \left({\frac {a}{b}}\right)+\ln 2=\ln \left(2{\sqrt {\frac {a}{b}}}\right).}$

Supongamos ahora que, de manera más general, una serie reordenada de la serie armónica alternada está organizada de tal manera que la razón p _n / q _n entre el número de términos positivos y negativos en la suma parcial de orden n tiende a un límite positivo r . Entonces, la suma de tal reordenamiento será

${\displaystyle \ln \left(2{\sqrt {r}}\right),}$

y esto explica que cualquier número real x puede obtenerse como suma de una serie reordenada de la serie armónica alterna: basta formar un reordenamiento para el cual el límite r sea igual a e ^{2 x} / 4 .

Prueba

Existencia de un reordenamiento que suma cualquier número real positivoMETRO

La descripción que hace Riemann del teorema y su prueba se lee en su totalidad: ^[13]

… las series infinitas se dividen en dos clases distintas, según si siguen siendo convergentes cuando todos los términos se hacen positivos. En la primera clase, los términos pueden reordenarse arbitrariamente; en la segunda, por el contrario, el valor depende del orden de los términos. En efecto, si denotamos los términos positivos de una serie de la segunda clase por a ₁ , a ₂ , a ₃ , ... y los términos negativos por − b ₁ , − b ₂ , − b ₃ , ... entonces es claro que Σ a así como Σ b deben ser infinitos. Pues si ambos fueran finitos, la serie seguiría siendo convergente después de hacer que todos los signos sean iguales. Si sólo uno fuera infinito, entonces la serie divergiría. Claramente ahora un valor arbitrario dado C puede obtenerse mediante un reordenamiento adecuado de los términos. Tomamos alternativamente los términos positivos de la serie hasta que la suma sea mayor que C , y luego los términos negativos hasta que la suma sea menor que C . La desviación con respecto a C nunca es mayor que el tamaño del término en el último lugar en el que se cambiaron los signos. Ahora bien, como tanto el número a como los números b se vuelven infinitamente pequeños a medida que aumenta el índice, también lo son las desviaciones con respecto a C. Si avanzamos lo suficiente en la serie, la desviación se vuelve arbitrariamente pequeña, es decir, la serie converge a C.

Esto se puede explicar con más detalle de la siguiente manera. ^[14] Recordemos que una serie de términos reales condicionalmente convergentes tiene tanto un número infinito de términos negativos como un número infinito de términos positivos. Primero, definamos dos cantidades y : ${\displaystyle a_{n}^{+}}$ ${\displaystyle a_{n}^{-}}$

${\displaystyle a_{n}^{+}={\begin{cases}a_{n}&{\text{if }}a_{n}\geq 0\\0&{\text{if }}a_{n}<0,\end{cases}}\qquad a_{n}^{-}={\begin{cases}0&{\text{if }}a_{n}\geq 0\\a_{n}&{\text{if }}a_{n}<0.\end{cases}}}$

Es decir, la serie incluye todos los a _n positivos, con todos los términos negativos reemplazados por ceros, y la serie incluye todos los a _n negativos, con todos los términos positivos reemplazados por ceros. Como es condicionalmente convergente, tanto la serie "positiva" como la "negativa" divergen. Sea M cualquier número real. Tome la cantidad justa de términos positivos para que su suma exceda a M . Es decir, sea p ₁ el entero positivo más pequeño tal que ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{+}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{-}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}^{+}}$

${\displaystyle M<\sum _{n=1}^{p_{1}}a_{n}^{+}.}$

Esto es posible porque las sumas parciales de la serie tienden a . Ahora sea q ₁ el entero positivo más pequeño tal que ${\displaystyle a_{n}^{+}}$ ${\displaystyle +\infty }$

${\displaystyle M>\sum _{n=1}^{p_{1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{1}}a_{n}^{-}.}$

Este número existe porque las sumas parciales de tienden a . Ahora, continúe inductivamente, definiendo p ₂ como el entero más pequeño mayor que p ₁ tal que ${\displaystyle a_{n}^{-}}$ ${\displaystyle -\infty }$

${\displaystyle M<\sum _{n=1}^{p_{2}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{1}}a_{n}^{-},}$

y así sucesivamente. El resultado puede verse como una nueva secuencia.

${\displaystyle a_{1}^{+},\ldots ,a_{p_{1}}^{+},a_{1}^{-},\ldots ,a_{q_{1}}^{-},a_{p_{1}+1}^{+},\ldots ,a_{p_{2}}^{+},a_{q_{1}+1}^{-},\ldots ,a_{q_{2}}^{-},a_{p_{2}+1}^{+},\ldots .}$

Además, las sumas parciales de esta nueva secuencia convergen a M . Esto se puede ver por el hecho de que para cualquier i ,

${\displaystyle \sum _{n=1}^{p_{i+1}-1}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i}}a_{n}^{-}\leq M<\sum _{n=1}^{p_{i+1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i}}a_{n}^{-},}$

con la primera desigualdad manteniéndose debido al hecho de que p _{i +1} ha sido definido como el número más pequeño mayor que p _i lo que hace que la segunda desigualdad sea verdadera; como consecuencia, se cumple que

${\displaystyle 0<\left(\sum _{n=1}^{p_{i+1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i}}a_{n}^{-}\right)-M\leq a_{p_{i+1}}^{+}.}$

Puesto que el lado derecho converge a cero debido al supuesto de convergencia condicional, esto muestra que la ( p _{i +1} + q _i ) 'ésima suma parcial de la nueva secuencia converge a M a medida que i aumenta. De manera similar, la ( p _{i +1} + q _{i +1} ) 'ésima suma parcial también converge a M . Puesto que las ( p _{i +1} + q _i + 1) 'ésima, ( p _{i +1} + q _i + 2) 'ésima, ... ( p _{i +1} + q _{i +1} − 1) 'ésima sumas parciales se valoran entre las ( p _{i +1} + q _i ) 'ésima y ( p _{i +1} + q _{i +1} ) 'ésima sumas parciales, se deduce que toda la secuencia de sumas parciales converge a M .

Cada entrada de la secuencia original a _n aparece en esta nueva secuencia cuyas sumas parciales convergen a M . Las entradas de la secuencia original que sean cero aparecerán dos veces en la nueva secuencia (una en la secuencia "positiva" y otra en la secuencia "negativa"), y cada segunda aparición de esa clase puede eliminarse, lo que no afecta a la suma de ninguna manera. La nueva secuencia es, por tanto, una permutación de la secuencia original.

Existencia de un reordenamiento que diverge hasta el infinito

Sea una serie condicionalmente convergente. La siguiente es una prueba de que existe un reordenamiento de esta serie que tiende a (se puede utilizar un argumento similar para demostrar que también se puede lograr). ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

La prueba anterior de la formulación original de Riemann sólo necesita ser modificada para que p _{i +1} sea seleccionado como el entero más pequeño mayor que p _i tal que

${\displaystyle i+1<\sum _{n=1}^{p_{i+1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i}}a_{n}^{-},}$

y con q _{i +1} seleccionado como el entero más pequeño mayor que q _i tal que

${\displaystyle i+1>\sum _{n=1}^{p_{i+1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i+1}}a_{n}^{-}.}$

La elección de i + 1 en el lado izquierdo es irrelevante, ya que podría reemplazarse por cualquier secuencia creciente hasta el infinito. Dado que converge a cero cuando n aumenta, para i suficientemente grande hay ${\displaystyle a_{n}^{-}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{p_{i+1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i+1}}a_{n}^{-}>i,}$

y esto prueba (al igual que con el análisis de convergencia anterior) que la secuencia de sumas parciales de la nueva secuencia diverge hasta el infinito.

Existencia de un reordenamiento que no logra acercarse a ningún límite, finito o infinito.

La prueba anterior sólo necesita modificarse para que p _{i +1} se seleccione como el entero más pequeño mayor que p _i tal que

${\displaystyle 1<\sum _{n=1}^{p_{i+1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i}}a_{n}^{-},}$

y con q _{i +1} seleccionado como el entero más pequeño mayor que q _i tal que

${\displaystyle -1>\sum _{n=1}^{p_{i+1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i+1}}a_{n}^{-}.}$

Esto muestra directamente que la secuencia de sumas parciales contiene infinitas entradas que son mayores que 1, y también infinitas entradas que son menores que −1 , de modo que la secuencia de sumas parciales no puede converger.

Generalizaciones

Teorema de Sierpinski

Dada una serie infinita , podemos considerar un conjunto de "puntos fijos" , y estudiar los números reales que la serie puede sumar si solo se nos permite permutar los índices en . Es decir, dejamos que Con esta notación, tenemos: ${\displaystyle a=(a_{1},a_{2},...)}$ ${\displaystyle I\subset \mathbb {N} }$ ${\displaystyle I}$ $${\displaystyle S(a,I)=\left\{\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{\pi (n)}:\pi {\text{ is a permutation on }}\mathbb {N} ,{\text{ such that }}\forall n\not \in I,\pi (n)=n,{\text{ and the summation converges.}}\right\}}$$

• Si es finito, entonces . Aquí significa diferencia simétrica . ${\displaystyle I\mathbin {\triangle } I'}$ ${\displaystyle S(a,I)=S(a,I')}$ ${\displaystyle \triangle }$
• Si entonces . ${\displaystyle I\subset I'}$ ${\displaystyle S(a,I)\subset S(a,I')}$
• Si la serie es una suma absolutamente convergente, entonces para cualquier . ${\displaystyle S(a,I)=\left\{\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}\right\}}$ ${\displaystyle I}$
• Si la serie es una suma condicionalmente convergente, entonces, por el teorema de la serie de Riemann, . ${\displaystyle S(a,\mathbb {N} )=[-\infty ,+\infty ]}$

Sierpiński demostró que reordenando solo los términos positivos se puede obtener una serie que converge a cualquier valor prescrito menor o igual a la suma de la serie original, pero en general no se pueden obtener valores mayores. ^{[15] [16] [17]} Es decir, sea una suma condicionalmente convergente, entonces contiene , pero no hay garantía de que contenga cualquier otro número. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle S(a,\{n\in \mathbb {N} :a_{n}>0\})}$ ${\displaystyle \left[-\infty ,\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}\right]}$

De manera más general, sea un ideal de , entonces podemos definir . ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle S(a,J)=\cup _{I\in J}S(a,I)}$

Sea el conjunto de todos los conjuntos asintóticos de densidad cero , es decir, . Es claro que es un ideal de . ${\displaystyle J_{d}}$ ${\displaystyle I\subset \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {|[0,n]\cap I|}{n}}=0}$ ${\displaystyle J_{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

(Władysław, 2007) ^[18]  —  Si es una suma condicionalmente convergente, entonces (es decir, es suficiente reorganizar un conjunto de índices de densidad asintótica cero). ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle S(a,J_{d})=[-\infty ,\infty ]}$

Esquema de demostración: Dado , una suma condicionalmente convergente, construya alguna tal que y sean ambos condicionalmente convergentes. Luego, basta con reordenar para converger a cualquier número en . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle I\in J_{d}}$ ${\displaystyle \sum _{n\in I}a_{n}}$ ${\displaystyle \sum _{n\not \in I}a_{n}}$ ${\displaystyle \sum _{n\in I}a_{n}}$ ${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$

Filipów y Szuca demostraron que otros ideales también tienen esta propiedad. ^[19]

Teorema de Steinitz

Dada una serie convergente de números complejos , pueden ocurrir varios casos al considerar el conjunto de sumas posibles para todas las series obtenidas al reordenar (permutar) los términos de esa serie: ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum a_{\sigma (n)}}$

• la serie puede converger incondicionalmente; entonces, todas las series reordenadas convergen y tienen la misma suma: el conjunto de sumas de las series reordenadas se reduce a un punto; ${\textstyle \sum a_{n}}$
• la serie puede no converger incondicionalmente; si S denota el conjunto de sumas de aquellas series reordenadas que convergen, entonces, o bien el conjunto S es una línea L en el plano complejo  C , de la forma o bien el conjunto S es todo el plano complejo  C . ${\textstyle \sum a_{n}}$ $${\displaystyle L=\{a+tb:t\in \mathbb {R} \},\quad a,b\in \mathbb {C} ,\ b\neq 0,}$$

De manera más general, dada una serie convergente de vectores en un espacio vectorial real de dimensión finita E , el conjunto de sumas de series reordenadas convergentes es un subespacio afín de  E .

Véase también

• Convergencia absoluta § Reordenamientos y convergencia incondicional

Referencias

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10. Banaszczyk 1991, sección 10; Mauldin 2015, Problema 28 y Problema 106.
11. Spivak, Michael (2008). Cálculo (4.ª ed.). Houston, Texas: Publish or Perish. págs. 482–483. ISBN 978-0-914098-91-1.
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14. Apostol 1967, Sección 10.21; Whittaker & Watson 2021, Sección II.17.
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Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Teorema de la serie de Riemann". MathWorld . Consultado el 1 de febrero de 2023 .