Serie divergente

Serie infinita que no es convergente

Les séries divergentes sont en general quelque chose de bien fatal et c'est une honte qu'on ose y fonder aucune démonstration. ("Las series divergentes son en general algo fatal, y es una vergüenza basar cualquier prueba en ellas". A menudo se traduce como "Las series divergentes son una invención del diablo...")

NH Abel , carta a Holmboe, enero de 1826, reimpresa en el volumen 2 de sus documentos recopilados.

En matemáticas , una serie divergente es una serie infinita que no es convergente , lo que significa que la secuencia infinita de las sumas parciales de la serie no tiene un límite finito .

Si una serie converge, los términos individuales de la serie deben tender a cero. Por lo tanto, cualquier serie en la que los términos individuales no se acerquen a cero diverge. Sin embargo, la convergencia es una condición más fuerte: no todas las series cuyos términos se aproximan a cero convergen. Un contraejemplo es la serie armónica

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}.}$

La divergencia de la serie armónica fue demostrada por el matemático medieval Nicole Oresme .

En contextos matemáticos especializados, se pueden asignar valores objetivamente a ciertas series cuyas secuencias de sumas parciales divergen, con el fin de dar sentido a la divergencia de la serie. Un método de sumabilidad o método de sumatoria es una función parcial del conjunto de series a valores. Por ejemplo, la sumatoria de Cesáro asigna la serie divergente de Grandi

${\displaystyle 1-1+1-1+\cdots }$

el valor1/2⁠ . La suma de Cesàro es un método de promediado , ya que se basa en la media aritmética de la secuencia de sumas parciales. Otros métodos implican continuaciones analíticas de series relacionadas. En física , existe una amplia variedad de métodos de sumabilidad; estos se analizan con mayor detalle en el artículo sobre regularización .

Historia

... pero es en general cierto decir que los matemáticos anteriores a Cauchy no preguntaban "¿Cómo definiremos 1 − 1 + 1...?" sino "¿Qué es 1 − 1 + 1...?", y que este hábito mental los condujo a perplejidades y controversias innecesarias que a menudo eran en realidad verbales.

GH Hardy, Serie Divergente, página 6

Antes del siglo XIX, Leonhard Euler y otros utilizaron ampliamente las series divergentes , pero a menudo conducían a resultados confusos y contradictorios. Un problema importante fue la idea de Euler de que cualquier serie divergente debería tener una suma natural, sin definir primero qué se entiende por suma de una serie divergente. Augustin-Louis Cauchy finalmente dio una definición rigurosa de la suma de una serie (convergente), y durante algún tiempo después de esto, las series divergentes fueron excluidas en su mayoría de las matemáticas. Reaparecieron en 1886 con el trabajo de Henri Poincaré sobre series asintóticas. En 1890, Ernesto Cesàro se dio cuenta de que se podía dar una definición rigurosa de la suma de algunas series divergentes y definió la suma de Cesàro . (Este no fue el primer uso de la suma de Cesàro, que fue utilizada implícitamente por Ferdinand Georg Frobenius en 1880; la contribución clave de Cesàro no fue el descubrimiento de este método, sino su idea de que uno debería dar una definición explícita de la suma de una serie divergente.) En los años posteriores al artículo de Cesàro, varios otros matemáticos dieron otras definiciones de la suma de una serie divergente, aunque estas no siempre son compatibles: diferentes definiciones pueden dar diferentes respuestas para la suma de la misma serie divergente; por lo tanto, cuando se habla de la suma de una serie divergente, es necesario especificar qué método de suma se está utilizando.

Ejemplos

• 1 - 1 + 1 - 1 + ⋯ ${\displaystyle {\text{ “ = ” }}{\frac {1}{2}}}$
• 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ ${\displaystyle {\text{ “ = ” }}{\frac {1}{4}}}$
• 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ ${\displaystyle {\text{ “ = ” }}\!\!\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{1+x}}\,dx\approx 0.596\,347\ldots }$
• 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ ${\displaystyle {\text{ “ = ” }}{\frac {1}{3}}}$
• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ ${\displaystyle {\text{ “ = ” }}-1}$
• 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ ${\displaystyle {\text{ “ = ” }}-{\frac {1}{2}}}$
• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ ${\displaystyle {\text{ “ = ” }}-{\frac {1}{12}}}$

Teoremas sobre métodos para sumar series divergentes

Un método de sumabilidad M es regular si concuerda con el límite real de todas las series convergentes . Tal resultado se llama teorema abeliano para M , del teorema de Abel prototípico . Más sutiles son los resultados inversos parciales, llamados teoremas tauberianos , de un prototipo probado por Alfred Tauber . Aquí, inverso parcial significa que si M suma la serie Σ y se cumple alguna condición secundaria, entonces Σ era convergente en primer lugar; sin ninguna condición secundaria, tal resultado diría que M solo suma series convergentes (lo que lo hace inútil como método de suma para series divergentes).

La función que da la suma de una serie convergente es lineal , y del teorema de Hahn-Banach se sigue que puede extenderse a un método de suma que sume cualquier serie con sumas parciales acotadas. Esto se llama límite de Banach . Este hecho no es muy útil en la práctica, ya que hay muchas extensiones de este tipo, incompatibles entre sí, y también porque demostrar que existen tales operadores requiere invocar el axioma de elección o sus equivalentes, como el lema de Zorn . Por lo tanto, no son constructivos.

El tema de las series divergentes, como dominio del análisis matemático , se ocupa principalmente de técnicas explícitas y naturales como la suma de Abel , la suma de Cesáro y la suma de Borel , y sus relaciones. La aparición del teorema de Tauber de Wiener marcó una época en el tema, introduciendo conexiones inesperadas con los métodos del álgebra de Banach en el análisis de Fourier .

La suma de series divergentes también está relacionada con los métodos de extrapolación y las transformaciones de secuencias como técnicas numéricas. Ejemplos de tales técnicas son las aproximaciones de Padé , las transformaciones de secuencias de tipo Levin y las aplicaciones dependientes del orden relacionadas con las técnicas de renormalización para la teoría de perturbaciones de gran orden en mecánica cuántica .

Propiedades de los métodos de suma

Los métodos de suma generalmente se concentran en la secuencia de sumas parciales de la serie. Si bien esta secuencia no converge, a menudo podemos encontrar que cuando tomamos un promedio de números cada vez mayores de términos iniciales de la secuencia, el promedio converge y podemos usar este promedio en lugar de un límite para evaluar la suma de la serie. Un método de suma puede verse como una función de un conjunto de secuencias de sumas parciales a valores. Si A es cualquier método de suma que asigna valores a un conjunto de secuencias, podemos traducirlo mecánicamente a un método de suma de series A ^Σ que asigna los mismos valores a la serie correspondiente. Hay ciertas propiedades que es deseable que posean estos métodos si se pretende llegar a valores correspondientes a límites y sumas, respectivamente.

• Regularidad . Un método de suma es regular si, siempre que la secuencia s converge a x , A ( s ) = x . De manera equivalente, el método de suma de series correspondiente evalúa A ^Σ ( a ) = x .
• Linealidad . A es lineal si es un funcional lineal sobre las sucesiones donde está definido, de modo que A ( k r + s ) = k A ( r ) + A ( s ) para las sucesiones r , s y un escalar real o complejo k . Como los términos a _{n +1} = s _{n +1} − s _n de la serie a son funcionales lineales sobre la sucesión s y viceversa, esto es equivalente a que A ^Σ sea un funcional lineal sobre los términos de la serie.
• Estabilidad (también llamada translatividad ). Si s es una secuencia que comienza en s ₀ y s ′ es la secuencia que se obtiene omitiendo el primer valor y restándolo del resto, de modo que s ′ _n = s _{n +1} − s ₀ , entonces A ( s ) está definido si y solo si A ( s ′) está definido, y A ( s ) = s ₀ + A ( s ′). De manera equivalente, siempre que a ′ _n = a _{n +1} para todo n , entonces A ^Σ ( a ) = a ₀ + A ^Σ ( a ′). ^{[1] [2]} Otra forma de decirlo es que la regla de desplazamiento debe ser válida para las series que se puedan sumar mediante este método.

La tercera condición es menos importante y algunos métodos significativos, como la suma de Borel , no la poseen. ^[3]

También se puede dar una alternativa más débil a la última condición.

• Reindexabilidad finita . Si a y a ′ son dos series tales que existe una biyección tal que a _i = a ′ _{f ( i )} para todo i , y si existe alguna tal que a _i = a ′ _i para todo i  >  N , entonces A ^Σ ( a ) = A ^Σ ( a ′). (En otras palabras, a ′ es la misma serie que a , con sólo un número finito de términos reindexados.) Esta es una condición más débil que la estabilidad , porque cualquier método de suma que exhiba estabilidad también exhibe reindexabilidad finita , pero lo inverso no es cierto.) ${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$

Una propiedad deseable que dos métodos de suma distintos A y B deben compartir es la consistencia : A y B son consistentes si para cada secuencia s a la que ambos asignan un valor, A ( s ) = B ( s ). (Usando este lenguaje, un método de suma A es regular si y solo si es consistente con la suma estándar Σ .) Si dos métodos son consistentes y uno suma más series que el otro, el que suma más series es más fuerte .

Existen métodos de suma numérica potentes que no son ni regulares ni lineales, por ejemplo, las transformaciones de secuencias no lineales como las transformaciones de secuencias de tipo Levin y las aproximaciones de Padé , así como las asignaciones dependientes del orden de series perturbativas basadas en técnicas de renormalización .

Si se toman como axiomas la regularidad, la linealidad y la estabilidad, es posible sumar muchas series divergentes mediante manipulaciones algebraicas elementales. Esto explica en parte por qué muchos métodos de suma diferentes dan la misma respuesta para ciertas series.

Por ejemplo, siempre que r ≠ 1, la serie geométrica

${\displaystyle {\begin{aligned}G(r,c)&=\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k}&&\\&=c+\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k+1}&&{\text{ (stability) }}\\&=c+r\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k}&&{\text{ (linearity) }}\\&=c+r\,G(r,c),&&{\text{ hence }}\\G(r,c)&={\frac {c}{1-r}},{\text{ unless it is infinite}}&&\\\end{aligned}}}$

se puede evaluar independientemente de la convergencia. Más rigurosamente, cualquier método de suma que posea estas propiedades y que asigne un valor finito a la serie geométrica debe asignar este valor. Sin embargo, cuando r es un número real mayor que 1, las sumas parciales aumentan sin límite y los métodos de promediado asignan un límite de infinito.

Métodos de suma clásica

Los dos métodos de suma clásicos para series, la convergencia ordinaria y la convergencia absoluta, definen la suma como un límite de ciertas sumas parciales. Estos se incluyen solo para completar; estrictamente hablando, no son verdaderos métodos de suma para series divergentes ya que, por definición, una serie es divergente solo si estos métodos no funcionan. La mayoría de los métodos de suma para series divergentes, pero no todos, extienden estos métodos a una clase más grande de secuencias.

Convergencia absoluta

La convergencia absoluta define la suma de una secuencia (o conjunto) de números como el límite de la red de todas las sumas parciales a _{k 1} + ... + a _{k n} , si existe. No depende del orden de los elementos de la secuencia, y un teorema clásico dice que una secuencia es absolutamente convergente si y solo si la secuencia de valores absolutos es convergente en el sentido estándar.

Suma de una serie

La definición clásica de Cauchy de la suma de una serie a ₀ + a ₁ + ... define la suma como el límite de la secuencia de sumas parciales a ₀ + ... + a _n . Esta es la definición predeterminada de convergencia de una secuencia.

Nørlund significa

Supongamos que p _n es una secuencia de términos positivos, que comienza en p ₀ . Supongamos también que

${\displaystyle {\frac {p_{n}}{p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{n}}}\rightarrow 0.}$

Si ahora transformamos una secuencia s usando p para dar medias ponderadas, estableciendo

${\displaystyle t_{m}={\frac {p_{m}s_{0}+p_{m-1}s_{1}+\cdots +p_{0}s_{m}}{p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{m}}}}$

entonces el límite de t _n cuando n tiende a infinito es un promedio llamado media de Nørlund N _p ( s ).

La media de Nørlund es regular, lineal y estable. Además, dos medias de Nørlund cualesquiera son consistentes.

Resumen de Cesáro

Las medias de Nørlund más significativas son las sumas de Cesàro. Aquí, si definimos la secuencia p ^k por

${\displaystyle p_{n}^{k}={n+k-1 \choose k-1}}$

entonces la suma de Cesàro C _k se define por C _k ( s ) = N _{( p ^k )} ( s ). Las sumas de Cesàro son medias de Nørlund si k ≥ 0 , y por lo tanto son regulares, lineales, estables y consistentes. C ₀ es suma ordinaria, y C _{1 es} suma ordinaria de Cesàro . Las sumas de Cesàro tienen la propiedad de que si h > k , entonces C _h es más fuerte que C _k .

Abeliano significa

Supóngase que λ = { λ ₀ , λ ₁ , λ ₂ ,... } es una secuencia estrictamente creciente que tiende al infinito, y que λ ₀ ≥ 0 . Supóngase

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}x}}$

converge para todos los números reales x  > 0. Entonces la media abeliana A _λ se define como

${\displaystyle A_{\lambda }(s)=\lim _{x\rightarrow 0^{+}}f(x).}$

De manera más general, si la serie para f solo converge para x grande pero puede continuarse analíticamente para todos los x reales positivos , entonces todavía se puede definir la suma de la serie divergente por el límite anterior.

Una serie de este tipo se conoce como serie de Dirichlet generalizada ; en aplicaciones a la física, esto se conoce como el método de regularización de núcleo de calor .

Las medias abelianas son regulares y lineales, pero no estables y no siempre consistentes entre diferentes opciones de λ . Sin embargo, algunos casos especiales son métodos de suma muy importantes.

Suma de Abel

Si λ _n = n , entonces obtenemos el método de suma de Abel . Aquí

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-nx}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},}$

donde z  = exp(− x ). Entonces el límite de f ( x ) cuando x tiende a 0 a través de números reales positivos es el límite de la serie de potencias para f ( z ) cuando z tiende a 1 desde abajo a través de números reales positivos, y la suma de Abel A ( s ) se define como

${\displaystyle A(s)=\lim _{z\rightarrow 1^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}.}$

La suma de Abel es interesante en parte porque es consistente con la suma de Cesàro, pero más poderosa que ésta : A ( s ) = C _k ( s ) siempre que se defina esta última. La suma de Abel es, por lo tanto, regular, lineal, estable y consistente con la suma de Cesàro.

Suma de Lindelöf

Si λ _n = n log( n ) , entonces (indexando desde uno) tenemos

${\displaystyle f(x)=a_{1}+a_{2}2^{-2x}+a_{3}3^{-3x}+\cdots .}$

Entonces L ( s ), la suma de Lindelöf , ^[4] es el límite de f ( x ) cuando x tiende a cero positivo. La suma de Lindelöf es un método poderoso cuando se aplica a series de potencias, entre otras aplicaciones, sumando series de potencias en la estrella de Mittag-Leffler .

Si g ( z ) es analítica en un disco alrededor de cero, y por lo tanto tiene una serie de Maclaurin G ( z ) con un radio de convergencia positivo, entonces L ( G ( z )) = g ( z ) en la estrella Mittag-Leffler. Además, la convergencia a g ( z ) es uniforme en subconjuntos compactos de la estrella.

Continuación analítica

Varios métodos de suma implican tomar el valor de una continuación analítica de una función.

Continuación analítica de series de potencias

Si Σ a _n x ⁿ converge para un complejo pequeño x y puede continuarse analíticamente a lo largo de algún camino desde x  = 0 hasta el punto x  = 1, entonces la suma de la serie puede definirse como el valor en x  = 1. Este valor puede depender de la elección del camino. Uno de los primeros ejemplos de sumas potencialmente diferentes para una serie divergente, utilizando la continuación analítica, fue dado por Callet, ^[5] quien observó que si entonces ${\displaystyle 1\leq m<n}$

${\displaystyle {\frac {1-x^{m}}{1-x^{n}}}={\frac {1+x+\dots +x^{m-1}}{1+x+\dots x^{n-1}}}=1-x^{m}+x^{n}-x^{n+m}+x^{2n}-\dots }$

Evaluando en , se obtiene ${\displaystyle x=1}$

${\displaystyle 1-1+1-1+\dots ={\frac {m}{n}}.}$

Sin embargo, las lagunas en la serie son clave. Por ejemplo, en realidad obtendríamos ${\displaystyle m=1,n=3}$

${\displaystyle 1-1+0+1-1+0+1-1+\dots ={\frac {1}{3}}}$, por lo que diferentes sumas corresponden a diferentes colocaciones de los ' s. ${\displaystyle 0}$

Otro ejemplo de continuación analítica es la serie alternada divergente , que es una suma de productos de funciones y símbolos de Pochhammer . Utilizando la fórmula de duplicación de la función, se reduce a una serie hipergeométrica generalizada . ${\displaystyle \sum _{k\geq 0}(-1)^{k+1}{\frac {1}{2k-1}}{\binom {2k}{k}}=1+2-2+4-10+28-84+264-858+2860-9724+\cdots }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \ldots =\sum _{k\geq 0}(-4)^{k}{\frac {(-1/2)_{k}}{k!}}={}_{1}F_{0}(-1/2;;-4)={\sqrt {5}}.}$

Suma de Euler

La suma de Euler es esencialmente una forma explícita de continuación analítica. Si una serie de potencias converge para un complejo z pequeño y puede continuarse analíticamente hasta el disco abierto con diámetro de ⁠-1/q  + 1⁠ a 1 y es continua en 1, entonces su valor en q se llama suma de Euler o (E, q ) de la serie Σ a _n . Euler la utilizó antes de que se definiera la continuación analítica en general, y dio fórmulas explícitas para la serie de potencias de la continuación analítica.

La operación de suma de Euler se puede repetir varias veces y esto es esencialmente equivalente a tomar una continuación analítica de una serie de potencias hasta el punto  z  = 1.

Continuación analítica de la serie de Dirichlet

Este método define la suma de una serie como el valor de la continuación analítica de la serie de Dirichlet.

${\displaystyle f(s)={\frac {a_{1}}{1^{s}}}+{\frac {a_{2}}{2^{s}}}+{\frac {a_{3}}{3^{s}}}+\cdots }$

en s  = 0, si existe y es único. Este método a veces se confunde con la regularización de la función zeta.

Si s  = 0 es una singularidad aislada, la suma está definida por el término constante de la expansión de la serie de Laurent.

Regularización de la función zeta

Si la serie

${\displaystyle f(s)={\frac {1}{a_{1}^{s}}}+{\frac {1}{a_{2}^{s}}}+{\frac {1}{a_{3}^{s}}}+\cdots }$

(para valores positivos de a _n ) converge para s reales grandes y puede continuarse analíticamente a lo largo de la línea real hasta s  = −1, entonces su valor en s  = −1 se llama suma regularizada zeta de la serie a ₁  +  a ₂  + ... La regularización de la función zeta no es lineal. En aplicaciones, los números a _i son a veces los valores propios de un operador autoadjunto A con solvencia compacta, y f ( s ) es entonces la traza de A ^{− s} . Por ejemplo, si A tiene valores propios 1, 2, 3, ... entonces f ( s ) es la función zeta de Riemann , ζ ( s ), cuyo valor en s  = −1 es − ⁠1/12⁠ , asignando un valor a la serie divergente 1 + 2 + 3 + 4 + ... . También se pueden usar otros valores de s para asignar valores a las sumas divergentes ζ (0) = 1 + 1 + 1 + ... = − ⁠1/2⁠ , ζ (−2) = 1 + 4 + 9 + ... = 0 y en general

${\displaystyle \zeta (-s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{s}=1^{s}+2^{s}+3^{s}+\cdots =-{\frac {B_{s+1}}{s+1}}\,,}$

donde B _k es un número de Bernoulli . ^[6]

Función integral significa

Si J ( x ) = Σ p _n x ⁿ es una función integral, entonces la suma J de la serie a ₀  + ... se define como

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\sum _{n}p_{n}(a_{0}+\cdots +a_{n})x^{n}}{\sum _{n}p_{n}x^{n}}},}$

Si existe este límite.

Existe una variante de este método en la que la serie para J tiene un radio finito de convergencia r y diverge en x  =  r . En este caso, se define la suma como se indicó anteriormente, excepto que se toma el límite cuando x tiende a r en lugar de a infinito.

Suma de Borel

En el caso especial cuando J ( x ) =  e ^x esto da una forma (débil) de suma de Borel .

El método de Valiron

El método de Valiron es una generalización de la suma de Borel a ciertas funciones integrales más generales J . Valiron demostró que bajo ciertas condiciones es equivalente a definir la suma de una serie como

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt {\frac {H(n)}{2\pi }}}\sum _{h\in Z}e^{-{\frac {1}{2}}h^{2}H(n)}(a_{0}+\cdots +a_{h})}$

donde H es la segunda derivada de G y c ( n ) =  e ^{− G ( n )} , y a ₀  + ... +  a _h debe interpretarse como 0 cuando  h  < 0.

Métodos de momento

Supongamos que dμ es una medida en la línea real tal que todos los momentos

${\displaystyle \mu _{n}=\int x^{n}\,d\mu }$

son finitas. Si un ₀  +  un ₁  + ... es una serie tal que

${\displaystyle a(x)={\frac {a_{0}x^{0}}{\mu _{0}}}+{\frac {a_{1}x^{1}}{\mu _{1}}}+\cdots }$

converge para todo x en el soporte de μ , entonces la suma ( dμ ) de la serie se define como el valor de la integral

${\displaystyle \int a(x)\,d\mu }$

si está definido. (Si los números μ _n aumentan demasiado rápido, entonces no determinan de manera única la medida μ .)

Suma de Borel

Por ejemplo, si dμ  =  e ^{− x}  dx para x positivo y 0 para x negativo entonces μ _n  =  n !, y esto da una versión de la suma de Borel , donde el valor de una suma está dado por

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}\sum {\frac {a_{n}t^{n}}{n!}}\,dt.}$

Hay una generalización de esto dependiendo de una variable α , llamada suma (B′, α ), donde la suma de una serie a ₀  + ... se define como

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}\sum {\frac {a_{n}t^{n\alpha }}{\Gamma (n\alpha +1)}}\,dt}$

si esta integral existe. Otra generalización consiste en reemplazar la suma bajo la integral por su continuación analítica a partir de  t pequeño .

Métodos varios

Suma hiperreal de BGN

Este método de suma funciona mediante el uso de una extensión de los números reales conocida como números hiperreales . Dado que los números hiperreales incluyen valores infinitos distintos, estos números se pueden utilizar para representar los valores de series divergentes. El método clave es designar un valor infinito particular que se está sumando, generalmente , que se utiliza como una unidad de infinito. En lugar de sumar a un infinito arbitrario (como se hace típicamente con ), el método BGN suma al valor infinito hiperreal específico etiquetado como . Por lo tanto, las sumas son de la forma ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \sum _{x=1}^{\omega }f(x)}$

Esto permite el uso de fórmulas estándar para series finitas, como progresiones aritméticas , en un contexto infinito. Por ejemplo, utilizando este método, la suma de la progresión es , o, utilizando solo la parte hiperreal infinita más significativa, . ^[7] ${\displaystyle 1+2+3+\ldots }$ ${\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{2}}+{\frac {\omega }{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{2}}}$

Transformaciones de Hausdorff

Hardy (1949, capítulo 11).

Suma de Hölder

El método de Hutton

En 1812, Hutton introdujo un método para sumar series divergentes comenzando con la secuencia de sumas parciales y aplicando repetidamente la operación de reemplazar una secuencia  s ₀ ,  s ₁ , ... por la secuencia de promedios .s0  +  s1_​​/2⁠ , ⁠y ₁  +  y ₂/2⁠ , ..., y luego tomando el límite. ^[8]

Sumabilidad de Ingham

La serie a ₁  + ... se llama Ingham sumable a s si

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}{\frac {n}{x}}\left[{\frac {x}{n}}\right]=s.}$

Albert Ingham demostró que si δ es cualquier número positivo entonces la sumabilidad de (C,− δ ) (Cesàro) implica la sumabilidad de Ingham, y la sumabilidad de Ingham implica la sumabilidad de (C, δ ). ^[9]

Sumabilidad de Lambert

La serie a ₁  + ... se llama Lambert sumable a s si

${\displaystyle \lim _{y\rightarrow 0^{+}}\sum _{n\geq 1}a_{n}{\frac {nye^{-ny}}{1-e^{-ny}}}=s.}$

Si una serie es (C, k ) (Cesàro) sumable para cualquier k entonces es sumable según Lambert al mismo valor, y si una serie es sumable según Lambert entonces es sumable según Abel al mismo valor. ^[9]

Resumen de Le Roy

La serie a ₀  + ... se llama Le Roy sumable a s si ^[10]

${\displaystyle \lim _{\zeta \rightarrow 1^{-}}\sum _{n}{\frac {\Gamma (1+\zeta n)}{\Gamma (1+n)}}a_{n}=s.}$

Suma de Mittag-Leffler

La serie a ₀  + ... se llama Mittag-Leffler (M) sumable a s si ^[10]

${\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0}\sum _{n}{\frac {a_{n}}{\Gamma (1+\delta n)}}=s.}$

Resumen de Ramanujan

La suma de Ramanujan es un método de asignación de un valor a series divergentes utilizado por Ramanujan y basado en la fórmula de suma de Euler-Maclaurin . La suma de Ramanujan de una serie f (0) + f (1) + ... depende no solo de los valores de f en números enteros, sino también de los valores de la función f en puntos no enteros, por lo que no es realmente un método de suma en el sentido de este artículo.

Sumabilidad de Riemann

La serie a ₁  + ... se llama (R, k ) (o Riemann) sumable a s si ^[11]

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}\sum _{n}a_{n}\left({\frac {\sin nh}{nh}}\right)^{k}=s.}$

La serie a ₁  + ... se llama R ₂ sumable a s si

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {2}{\pi }}\sum _{n}{\frac {\sin ^{2}nh}{n^{2}h}}(a_{1}+\cdots +a_{n})=s.}$

Riesz significa

Si λ _n forma una secuencia creciente de números reales y

${\displaystyle A_{\lambda }(x)=a_{0}+\cdots +a_{n}{\text{ for }}\lambda _{n}<x\leq \lambda _{n+1}}$

entonces la suma de Riesz (R, λ , κ ) de la serie a ₀  + ... se define como

${\displaystyle \lim _{\omega \rightarrow \infty }{\frac {\kappa }{\omega ^{\kappa }}}\int _{0}^{\omega }A_{\lambda }(x)(\omega -x)^{\kappa -1}\,dx.}$

Sumabilidad de Vallée-Poussin

La serie a ₁  + ... se llama VP (o Vallée-Poussin) sumable a s si

${\displaystyle \lim _{m\rightarrow \infty }\sum _{k=0}^{m}a_{k}{\frac {[\Gamma (m+1)]^{2}}{\Gamma (m+1-k)\,\Gamma (m+1+k)}}=\lim _{m\rightarrow \infty }\left[a_{0}+a_{1}{\frac {m}{m+1}}+a_{2}{\frac {m(m-1)}{(m+1)(m+2)}}+\cdots \right]=s,}$

donde es la función gamma. ^[11] ${\displaystyle \Gamma (x)}$

Sumabilidad de Zeldovich

La serie es sumable Zeldovich si

${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0^{+}}\sum _{n}c_{n}e^{-\alpha n^{2}}=s.}$

Véase también

• Teorema de Silverman-Toeplitz

Notas

1. "Métodos de suma". Numericana de Michon .
2. "Traducibilidad". La enciclopedia de las matemáticas . Springer.
3. Muraev, EB (1978), "Suma de Borel de series n -múltiples y funciones completas asociadas con ellas", Akademiya Nauk SSSR , 19 (6): 1332–1340, 1438, MR  0515185Muraev observa que la suma de Borel es traslativa en una de las dos direcciones: aumentar una serie con un cero colocado al principio no cambia la sumabilidad ni el valor de la serie. Sin embargo, afirma que "lo inverso es falso".
4. Volkov 2001.
5. Hardy 1949, pág. 14.
6. Tao, Terence (10 de abril de 2010). "La fórmula de Euler-Maclaurin, los números de Bernoulli, la función zeta y la continuación analítica con variables reales".
7. Bartlett, Jonathan; Gaastra, Logan; Nemati, David (enero de 2020). "Números hiperreales para series divergentes infinitas". Comunicaciones del Instituto Blyth . 2 (1): 7–15. arXiv : 1804.11342 . doi :10.33014/issn.2640-5652.2.1.bartlett-et-al.1. S2CID  119665957.
8. Hardy 1949, pág. 21.
9. Hardy 1949, Apéndice II.
10. Hardy 1949, 4.11.
11. Hardy 1949, 4.17.

Referencias

• Arteca, GA; Fernández, FM; Castro, EA (1990), Teoría de perturbaciones de gran orden y métodos de suma en mecánica cuántica , Berlín: Springer-Verlag.
• Baker, Jr., GA; Graves-Morris, P. (1996), Aproximaciones de Padé , Cambridge University Press.
• Brezinski, C.; Redivo Zaglia, M. (1991), Métodos de extrapolación. Teoría y práctica , Holanda Septentrional.
• Hardy, GH (1949), Serie Divergente, Oxford: Clarendon Press.
• LeGuillou, J.-C.; Zinn-Justin, J. (1990), Comportamiento de gran orden de la teoría de perturbaciones , Ámsterdam: Holanda Septentrional.
• Volkov, II (2001) [1994], "Método de suma de Lindelöf", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Zakharov, AA (2001) [1994], "Método de suma de Abel", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
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• Werner Balser: "De series de potencias divergentes a funciones analíticas", Springer-Verlag, LNM 1582, ISBN 0-387-58268-1 (1994).
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• Alexander I. Saichev y Wojbor Woyczynski: "Distribuciones en las ciencias físicas y de ingeniería, volumen 1", cap. 8 "Suma de series divergentes e integrales", Springer (2018).