Continuación analítica

Ampliación del dominio de una función analítica (matemáticas)

En el análisis complejo , una rama de las matemáticas , la continuación analítica es una técnica para ampliar el dominio de definición de una función analítica determinada . La continuación analítica a menudo logra definir más valores de una función, por ejemplo en una nueva región donde la representación de serie infinita que inicialmente definió la función se vuelve divergente .

Sin embargo, la técnica de continuación gradual puede tropezar con dificultades. Estos pueden tener una naturaleza esencialmente topológica, dando lugar a inconsistencias (definiendo más de un valor). Alternativamente, pueden tener que ver con la presencia de singularidades . El caso de varias variables complejas es bastante diferente, ya que las singularidades no tienen por qué ser puntos aislados, y su investigación fue una de las principales razones para el desarrollo de la cohomología de la gavilla .

Discusión inicial

Continuación analítica del logaritmo natural (parte imaginaria)

Supongamos que f es una función analítica definida en un subconjunto abierto no vacío U del plano complejo . Si V es un subconjunto abierto más grande de , que contiene U , y F es una función analítica definida en V tal que ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle F(z)=f(z)\qquad \forall z\in U,}$

entonces F se llama continuación analítica de f . En otras palabras, la restricción de F a U es la función f con la que empezamos.

Las continuaciones analíticas son únicas en el siguiente sentido: si V es el dominio conexo de dos funciones analíticas F ₁ y F ₂ tales que U está contenido en V y para todo z en U

${\displaystyle F_{1}(z)=F_{2}(z)=f(z),}$

entonces

${\displaystyle F_{1}=F_{2}}$

en todo V. Esto se debe a que F ₁  −  F ₂ es una función analítica que desaparece en el dominio abierto y conectado U de f y, por tanto, debe desaparecer en todo su dominio. Esto se deriva directamente del teorema de identidad para funciones holomorfas .

Aplicaciones

Una forma común de definir funciones en análisis complejos consiste en especificar primero la función sólo en un dominio pequeño y luego extenderla mediante una continuación analítica.

En la práctica, esta continuación a menudo se realiza estableciendo primero alguna ecuación funcional en el dominio pequeño y luego usando esta ecuación para extender el dominio. Algunos ejemplos son la función zeta de Riemann y la función gamma .

El concepto de cobertura universal se desarrolló por primera vez para definir un dominio natural para la continuación analítica de una función analítica . La idea de encontrar la continuación analítica máxima de una función condujo a su vez al desarrollo de la idea de las superficies de Riemann .

La continuación analítica se utiliza en variedades de Riemann , soluciones de las ecuaciones de Einstein . Por ejemplo, la continuación analítica de las coordenadas de Schwarzschild en coordenadas Kruskal-Szekeres . ^[1]

Ejemplo resuelto

Continuación analítica de U (centrado en 1) a V (centrado en a=(3+i)/2)

Comience con una función analítica particular . En este caso, viene dada por una serie de potencias centrada en : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z=1}$

$${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(z-1)^{k}.}$$

Según el teorema de Cauchy-Hadamard , su radio de convergencia es 1. Es decir, está definido y es analítico en el conjunto abierto que tiene frontera . De hecho, la serie diverge en . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U=\{|z-1|<1\}}$ ${\displaystyle \partial U=\{|z-1|=1\}}$ ${\displaystyle z=0\in \partial U}$

Finge que no lo sabemos y concéntrate en volver a centrar la serie de potencias en un punto diferente : ${\displaystyle f(z)=1/z}$ ${\displaystyle a\in U}$

$${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(z-a)^{k}.}$$

Calcularemos y determinaremos si esta nueva serie de potencias converge en un conjunto abierto que no está contenido en . Si es así, habremos continuado analíticamente hasta la región que es estrictamente mayor que . ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U\cup V}$ ${\displaystyle U}$

La distancia desde a es . Llevar ; sea ​​el disco de radio alrededor de ; y sea su límite. Entonces . Usando la fórmula de diferenciación de Cauchy para calcular los nuevos coeficientes, se tiene ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \partial U}$ ${\displaystyle \rho =1-|a-1|>0}$ ${\displaystyle 0<r<\rho }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \partial D}$ ${\displaystyle D\cup \partial D\subset U}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}a_{k}&={\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(\zeta )d\zeta }{(\zeta -a)^{k+1}}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(\zeta -1)^{n}d\zeta }{(\zeta -a)^{k+1}}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int _{\partial D}{\frac {(\zeta -1)^{n}d\zeta }{(\zeta -a)^{k+1}}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int _{0}^{2\pi }{\frac {(a+re^{i\theta }-1)^{n}rie^{i\theta }d\theta }{(re^{i\theta })^{k+1}}}\\&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int _{0}^{2\pi }{\frac {(a-1+re^{i\theta })^{n}d\theta }{(re^{i\theta })^{k}}}\\&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\sum _{m=0}^{n}{\binom {n}{m}}(a-1)^{n-m}(re^{i\theta })^{m}d\theta }{(re^{i\theta })^{k}}}\\&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\sum _{m=0}^{n}{\binom {n}{m}}(a-1)^{n-m}\int _{0}^{2\pi }re^{i(m-k)\theta }d\theta \\&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=k}^{\infty }(-1)^{n}{\binom {n}{k}}(a-1)^{n-k}\int _{0}^{2\pi }d\theta \\&=\sum _{n=k}^{\infty }(-1)^{n}{\binom {n}{k}}(1-a)^{n-k}\\&=(-1)^{k}\sum _{m=0}^{\infty }{\binom {m+k}{k}}(a-1)^{m}\\&=(-1)^{k}a^{-k-1}\end{aligned}}.}$$

La última suma resulta de la k- ésima derivación de la serie geométrica , que da la fórmula

$${\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{k+1}}}=\sum _{m=0}^{\infty }{\binom {m+k}{k}}x^{m}.}$$

Entonces,

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(z-a)^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}a^{-k-1}(z-a)^{k}\\&={\frac {1}{a}}\sum _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{a}}\right)^{k}\\&={\frac {1}{a}}{\frac {1}{1-\left(1-{\frac {z}{a}}\right)}}\\&={\frac {1}{z}}\\&={\frac {1}{(z+a)-a}}\end{aligned}}}$$

que tiene un radio de convergencia alrededor de . Si elegimos con , entonces no es un subconjunto de y en realidad tiene un área mayor que . El gráfico muestra el resultado de ${\displaystyle |a|}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a\in U}$ ${\displaystyle |a|>1}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a={\tfrac {1}{2}}(3+i).}$

Podemos continuar el proceso: seleccionar , volver a centrar la serie de potencias en y determinar dónde converge la nueva serie de potencias. Si la región contiene puntos que no están en , entonces habremos continuado analíticamente aún más. Este particular puede continuar analíticamente en todo el plano complejo perforado. ${\displaystyle b\in U\cup V}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle U\cup V}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}.}$

En este caso particular los valores obtenidos de son los mismos cuando los sucesivos centros tienen una parte imaginaria positiva o una parte imaginaria negativa. Este no es siempre el caso; en particular, este no es el caso del logaritmo complejo , la primitiva de la función anterior. ${\displaystyle f(-1)}$

Definición formal de germen

La serie de potencias definida a continuación está generalizada por la idea de germen . La teoría general de la continuación analítica y sus generalizaciones se conoce como teoría de la gavilla . Dejar

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}(z-z_{0})^{k}}$

ser una serie de potencias convergentes en el disco D _r ( z ₀ ), r > 0, definida por

${\displaystyle D_{r}(z_{0})=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<r\}}$.

Tenga en cuenta que sin pérdida de generalidad, aquí y a continuación, siempre asumiremos que se eligió un máximo como r , incluso si ese r es ∞. Tenga en cuenta también que sería equivalente comenzar con una función analítica definida en algún conjunto abierto pequeño. Decimos que el vector

${\displaystyle g=(z_{0},\alpha _{0},\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots )}$

es un germen de f . La base g ₀ de g es z ₀ , la raíz de g es (α ₀ , α ₁ , α ₂ , ...) y la parte superior g ₁ de g es α ₀ . La parte superior de g es el valor de f en z ₀ .

Cualquier vector g = ( z ₀ , α ₀ , α ₁ , ...) es un germen si representa una serie de potencias de una función analítica alrededor de z ₀ con algún radio de convergencia r > 0. Por lo tanto, podemos hablar con seguridad de el conjunto de gérmenes . ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

La topología del conjunto de gérmenes.

Sean g y h gérmenes .​ Si donde r es el radio de convergencia de g y si la serie de potencias definida por g y h especifican funciones idénticas en la intersección de los dos dominios, entonces decimos que h es generada por (o compatible con) g , y escribimos g ≥h .​ Esta condición de compatibilidad no es transitiva, simétrica ni antisimétrica. Si ampliamos la relación por transitividad , obtenemos una relación simétrica, que por tanto también es una relación de equivalencia en gérmenes (pero no un ordenamiento). Esta extensión por transitividad es una definición de continuación analítica. Se denotará la relación de equivalencia . ${\displaystyle |h_{0}-g_{0}|<r}$ ${\displaystyle \cong }$

Podemos definir una topología en . Sea r > 0 y sea ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

${\displaystyle U_{r}(g)=\{h\in {\mathcal {G}}:g\geq h,|g_{0}-h_{0}|<r\}.}$

Los conjuntos U _r ( g ), para todo r > 0 y definen una base de conjuntos abiertos para la topología en . ${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Un componente conectado de (es decir, una clase de equivalencia) se llama gavilla . También observamos que el mapa definido por donde r es el radio de convergencia de g , es un gráfico . El conjunto de tales cartas forma un atlas para , por lo tanto, es una superficie de Riemann . A veces se le llama función analítica universal . ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \phi _{g}(h)=h_{0}:U_{r}(g)\to \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Ejemplos de continuación analítica

${\displaystyle L(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}(z-1)^{k}}$

es una serie de potencias correspondiente al logaritmo natural cerca de z = 1. Esta serie de potencias se puede convertir en un germen

${\displaystyle g=\left(1,0,1,-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},-{\frac {1}{6}},\ldots \right)}$

Este germen tiene un radio de convergencia de 1, por lo que le corresponde un haz S. Esta es la gavilla de la función logarítmica.

El teorema de unicidad para funciones analíticas también se extiende a haces de funciones analíticas: si el haz de una función analítica contiene el germen cero (es decir, el haz es uniformemente cero en alguna vecindad), entonces todo el haz es cero. Con este resultado, podemos ver que si tomamos cualquier germen g de la gavilla S de la función logarítmica, como se describió anteriormente, y lo convertimos en una serie de potencias f ( z ), entonces esta función tendrá la propiedad de que exp( f ( z )) = z . Si hubiéramos decidido utilizar una versión del teorema de la función inversa para funciones analíticas, podríamos construir una amplia variedad de inversas para el mapa exponencial, pero descubriríamos que todas están representadas por algún germen en S. En ese sentido, S es el "único inverso verdadero" del mapa exponencial.

En la literatura más antigua, los haces de funciones analíticas se denominaban funciones multivaluadas . Consulte gavilla para conocer el concepto general.

Límite natural

Supongamos que una serie de potencias tiene un radio de convergencia r y define una función analítica f dentro de ese disco. Considere puntos en el círculo de convergencia. Un punto para el cual existe una vecindad en la que f tiene una extensión analítica es regular , en caso contrario singular . El círculo es un límite natural si todos sus puntos son singulares.

De manera más general, podemos aplicar la definición a cualquier dominio abierto y conectado en el que f sea analítico y clasificar los puntos de la frontera del dominio como regulares o singulares: la frontera del dominio es entonces una frontera natural si todos los puntos son singulares, en los que caso el dominio es un dominio de holomorfia .

Ejemplo I: Una función con un límite natural en cero (la función zeta prima)

Porque definimos la llamada función zeta prima , , como ${\displaystyle \Re (s)>1}$ ${\displaystyle P(s)}$

${\displaystyle P(s):=\sum _{p\ {\text{ prime}}}p^{-s}.}$

Esta función es análoga a la forma sumatoria de la función zeta de Riemann en la medida en que es la misma función sumatoria que , excepto con índices restringidos sólo a los números primos en lugar de tomar la suma de todos los números naturales positivos . La función zeta prima tiene una continuación analítica para todos los complejos s tales que , hecho que se sigue de la expresión de por los logaritmos de la función zeta de Riemann como ${\displaystyle \Re (s)>1}$ ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle 0<\Re (s)<1}$ ${\displaystyle P(s)}$

${\displaystyle P(s)=\sum _{n\geq 1}\mu (n){\frac {\log \zeta (ns)}{n}}.}$

Como tiene un polo simple y no removible en , se puede ver que tiene un polo simple en . Dado que el conjunto de puntos ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle s:=1}$ ${\displaystyle P(s)}$ ${\displaystyle s:={\tfrac {1}{k}},\forall k\in \mathbb {Z} ^{+}}$

${\displaystyle \operatorname {Sing} _{P}:=\left\{k^{-1}:k\in \mathbb {Z} ^{+}\right\}=\left\{1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\ldots \right\}}$

tiene el punto de acumulación 0 (el límite de la secuencia como ), podemos ver que cero forma un límite natural para . Esto implica que no hay continuación analítica para s a la izquierda (o en) cero, es decir, no hay continuación posible para cuando . Como observación, este hecho puede ser problemático si estamos realizando una integral de contorno compleja sobre un intervalo cuyas partes reales son simétricas con respecto a cero, digamos para algunos , donde el integrando es una función con denominador que depende de manera esencial. ${\displaystyle k\mapsto \infty }$ ${\displaystyle P(s)}$ ${\displaystyle P(s)}$ ${\displaystyle P(s)}$ ${\displaystyle 0\geq \Re (s)}$ ${\displaystyle I_{F}\subseteq \mathbb {C} \ {\text{such that}}\ \Re (s)\in (-C,C),\forall s\in I_{F}}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle P(s)}$

Ejemplo II: Una serie lagunar típica (límite natural como subconjuntos del círculo unitario)

Para números enteros , definimos la serie lagunar de orden c mediante la expansión de la serie de potencias ${\displaystyle c\geq 2}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z):=\sum _{n\geq 1}z^{c^{n}},|z|<1.}$

Claramente, dado que existe una ecuación funcional para cualquier z que satisfaga dada por . Tampoco es difícil ver que para cualquier número entero tenemos otra ecuación funcional dada por ${\displaystyle c^{n+1}=c\cdot c^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)}$ ${\displaystyle |z|<1}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)=z^{c}+{\mathcal {L}}_{c}(z^{c})}$ ${\displaystyle m\geq 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)=\sum _{i=0}^{m-1}z^{c^{i}}+{\mathcal {L}}_{c}(z^{c^{m}}),\forall |z|<1.}$

Para cualquier número natural positivo c , la función de serie lagunar diverge en . Consideramos la cuestión de la continuación analítica de a otro complejo z tal que , como veremos, para any , la función diverge en las raíces -ésimas de la unidad. Por lo tanto, dado que el conjunto formado por todas esas raíces es denso en el límite del círculo unitario, no hay continuación analítica del complejo z cuyo módulo excede uno. ${\displaystyle z=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)}$ ${\displaystyle |z|>1.}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)}$ ${\displaystyle c^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)}$

La prueba de este hecho se generaliza a partir de un argumento estándar para el caso en el que ^[2] Es decir, para números enteros , sea ${\displaystyle c:=2.}$ ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{c,n}:=\left\{z\in \mathbb {D} \cup \partial {\mathbb {D} }:z^{c^{n}}=1\right\},}$

donde denota el disco unitario abierto en el plano complejo y , es decir, hay distintos números complejos z que se encuentran sobre o dentro del círculo unitario tales que . Ahora la parte clave de la prueba es usar la ecuación funcional para demostrar que ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle |{\mathcal {R}}_{c,n}|=c^{n}}$ ${\displaystyle c^{n}}$ ${\displaystyle z^{c^{n}}=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)}$ ${\displaystyle |z|<1}$

${\displaystyle \forall z\in {\mathcal {R}}_{c,n},\qquad {\mathcal {L}}_{c}(z)=\sum _{i=0}^{c^{n}-1}z^{c^{i}}+{\mathcal {L}}_{c}(z^{c^{n}})=\sum _{i=0}^{c^{n}-1}z^{c^{i}}+{\mathcal {L}}_{c}(1)=+\infty .}$

Así, para cualquier arco en el límite del círculo unitario, hay un número infinito de puntos z dentro de este arco tales que . Esta condición equivale a decir que el círculo forma un límite natural para la función para cualquier elección fija de Por lo tanto, no hay continuación analítica para estas funciones más allá del interior del círculo unitario. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)=\infty }$ ${\displaystyle C_{1}:=\{z:|z|=1\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {Z} \quad c>1.}$

Teorema de monodromía

El teorema de la monodromía da una condición suficiente para la existencia de una continuación analítica directa (es decir, una extensión de una función analítica a una función analítica en un conjunto mayor).

Supongamos que es un conjunto abierto y f una función analítica en D . Si G es un dominio simplemente conexo que contiene D , tal que f tiene una continuación analítica a lo largo de cada camino en G , comenzando desde algún punto fijo a en D , entonces f tiene una continuación analítica directa a G. ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$

En el lenguaje anterior, esto significa que si G es un dominio simplemente conexo y S es un haz cuyo conjunto de puntos base contiene G , entonces existe una función analítica f sobre G cuyos gérmenes pertenecen a S.

Teorema de la brecha de Hadamard

Para una serie de potencias

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{n_{k}}}$

con

${\displaystyle \liminf _{k\to \infty }{\frac {n_{k+1}}{n_{k}}}>1}$

el círculo de convergencia es un límite natural. Esta serie de potencias se llama lagunar . Este teorema ha sido sustancialmente generalizado por Eugen Fabry (véase el teorema de la brecha de Fabry ) y George Pólya .

Teorema de Polya

Dejar

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}(z-z_{0})^{k}}$

ser una serie de potencias, entonces existe ε _k ∈ {−1, 1} tal que

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\varepsilon _{k}\alpha _{k}(z-z_{0})^{k}}$

tiene el disco de convergencia de f alrededor de z ₀ como límite natural.

La demostración de este teorema hace uso del teorema de la brecha de Hadamard.

Un teorema útil: una condición suficiente para la continuación analítica a los números enteros no positivos

En la mayoría de los casos, si existe una continuación analítica de una función compleja, viene dada por una fórmula integral. El siguiente teorema, siempre que se cumplan sus hipótesis, proporciona una condición suficiente bajo la cual podemos continuar una función analítica desde sus puntos convergentes a lo largo de los reales positivos hasta arbitraria (con la excepción de un número finito de polos). Además, la fórmula proporciona una representación explícita de los valores de la continuación de los números enteros no positivos expresados ​​exactamente mediante derivadas de orden superior (enteras) de la función original evaluada en cero. ^[3] ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$

Hipótesis del teorema

Requerimos que una función cumpla las siguientes condiciones para poder aplicar el teorema de continuación de esta función que se indica a continuación: ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {C} }$

• (T-1). La función debe tener derivadas continuas de todos los órdenes, es decir, . En otras palabras, para cualquier número entero , la derivada de orden integral debe existir, ser continua en y ella misma ser diferenciable , de modo que todas las derivadas de orden superior de F sean funciones suaves de x en los números reales positivos; ${\displaystyle F\in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{+})}$ ${\displaystyle j\geq 1}$ ${\displaystyle j^{th}}$ ${\displaystyle F^{(j)}(x)={\frac {d^{(j)}}{dx^{(j)}}}[F(x)]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$
• (T-2). Requerimos que la función F sea rápidamente decreciente en el sentido de que para todos obtenemos el comportamiento limitante que a medida que t se vuelve ilimitado, tendiendo a infinito; ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle t^{n}F(t)\to 0}$
• (T-3). La transformada de Mellin de F (escala gamma recíproca) existe para todos los complejos s tales que con la excepción de (o para todos los s con partes reales positivas, excepto posiblemente en un número finito de polos excepcionales): ${\displaystyle \Re (s)>0}$ ${\displaystyle s\in \{\zeta _{1}(F),\zeta _{2}(F),\ldots ,\zeta _{k}(F)\}}$

${\displaystyle {\widetilde {\mathcal {M}}}[F](s):={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }t^{s}F(t){\frac {dt}{t}},\qquad \left|{\widetilde {\mathcal {M}}}[F](s)\right|\in (-\infty ,+\infty ),\forall s\in \{z\in \mathbb {C} :\Re (z)>0\}\setminus \{\zeta _{1}(F),\ldots ,\zeta _{k}(F)\}.}$

La conclusión del teorema.

Sea F cualquier función definida en los reales positivos que satisfaga todas las condiciones (T1)-(T3) anteriores. Entonces la representación integral de la transformada de Mellin escalada de F en s , denotada por , tiene una continuación meromórfica en el plano complejo . Además, tenemos que para cualquier no negativo , la continuación de F en el punto viene dada explícitamente por la fórmula ${\displaystyle {\widetilde {\mathcal {M}}}[F](s)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{\zeta _{1}(F),\ldots ,\zeta _{k}(F)\}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle s:=-n}$

${\displaystyle {\widetilde {\mathcal {M}}}[F](-n)=(-1)^{n}\times F^{(n)}(0)\equiv (-1)^{n}\times {\frac {\partial ^{n}}{{\partial x}^{n}}}\left[F(x)\right]|_{x=0}.}$

Ejemplos

Ejemplo I: La conexión de la función zeta de Riemann con los números de Bernoulli

Podemos aplicar el teorema a la función.

${\displaystyle F_{\zeta }(x):={\frac {x}{e^{x}-1}}=\sum _{n\geq 0}B_{n}{\frac {x^{n}}{n!}},}$

que corresponde a la función generadora exponencial de los números de Bernoulli . Para , podemos expresar , ya que podemos calcular que la siguiente fórmula integral para las potencias recíprocas de los números enteros es válida para s en este rango: ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle \Re (s)>1}$ ${\displaystyle \zeta (s)={\widetilde {\mathcal {M}}}[F_{\zeta }](s)}$ ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle {\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{+\infty }t^{s-1}e^{-nt}dt,\Re (s)>1.}$

Ahora bien, dado que el integrando de la última ecuación es una función uniformemente continua de t para cada entero positivo n , tenemos una representación integral para siempre que esté dada por ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle \Re (s)>1}$

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n\geq 1}n^{-s}={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{+\infty }\left(\sum _{n\geq 1}e^{-nt}\right)t^{s-1}dt={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }t^{s-1}{\frac {F_{\zeta }(t)}{t}}dt.}$

Cuando realizamos la integración por partes a la integral de transformada de Mellin para esto , también obtenemos la relación que ${\displaystyle F_{\zeta }(x)}$

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{(s-1)}}{\widetilde {\mathcal {M}}}[F_{\zeta }](s-1).}$

Además, dado que para cualquier potencia polinómica entera fija de t , cumplimos la hipótesis del teorema que requiere que . La aplicación estándar del teorema de Taylor a la función generadora ordinaria de los números de Bernoulli muestra que . En particular, mediante la observación hecha anteriormente para desplazar , y estas observaciones, podemos calcular los valores de los llamados ceros triviales de la función zeta de Riemann (para ) y las constantes de orden enteras impares negativas con valores racionales, de acuerdo con la fórmula ${\displaystyle e^{t}\gg t^{n}}$ ${\displaystyle \lim _{t\to +\infty }t^{n}\cdot F_{\zeta }(t),\forall n\in \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle F_{\zeta }^{(n)}(0)={\frac {B_{n}}{n!}}\times n!=B_{n}}$ ${\displaystyle s\mapsto s-1}$ ${\displaystyle \zeta (-2n)}$ ${\displaystyle \zeta (-(2n+1)),n\geq 0}$

${\displaystyle \zeta (-n)=-{\frac {1}{n+1}}{\widetilde {\mathcal {M}}}[F_{\zeta }](-n-1)={\frac {(-1)^{n}}{n+1}}F_{\zeta }^{(n+1)}(0)={\begin{cases}-{\frac {1}{2}},&n=0;\\\infty ,&n=1;\\(-1)^{n}{\frac {B_{n+1}}{n+1}},&n\geq 2.\end{cases}}}$

Ejemplo II: Una interpretación de F como función sumatoria de alguna secuencia aritmética

Supongamos que F es una función suave y suficientemente decreciente sobre los reales positivos que satisface la condición adicional de que

${\displaystyle \Delta [F](x-1)=F(x)-F(x-1)=:f(x),\forall x\in \mathbb {Z} ^{+}.}$

En aplicación a contextos de teoría de números , consideramos que F es la función sumatoria de la función aritmética f ,

${\displaystyle F(x):={\sum _{n\geq x}}^{\prime }f(n)}$

donde tomamos y la notación prima de la suma anterior corresponde a las convenciones estándar utilizadas para enunciar el teorema de Perron : ${\displaystyle F(x)=0,\forall 0<x<1}$

${\displaystyle F_{f}(x):={\sum _{n\leq x}}^{\prime }f(n)={\begin{cases}\sum _{n\leq [x]}f(n),&x\in \mathbb {R} ^{+}\setminus \mathbb {Z} ;\\\sum _{n\leq x}f(n)-{\frac {f(x)}{2}},&x\in \mathbb {R} ^{+}\cap \mathbb {Z} .\end{cases}}}$

Estamos interesados ​​en la continuación analítica del DGF de f , o equivalentemente de la serie de Dirichlet sobre f en s ,

${\displaystyle D_{f}(s):=\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}.}$

Normalmente, tenemos un valor particular de la abscisa de convergencia , definida de manera que es absolutamente convergente para todos los complejos s que satisfacen , y donde se supone que tiene un polo en y de modo que la serie inicial de Dirichlet para diverge para todos los s tales que . Se sabe que existe una relación entre la transformada de Mellin de la función sumatoria de cualquier f y la continuación de su DGF en de la forma: ${\displaystyle \sigma _{0,f}>0}$ ${\displaystyle D_{f}(s)}$ ${\displaystyle \Re (s)>\sigma _{0,f}}$ ${\displaystyle D_{f}(s)}$ ${\displaystyle s:=\pm \sigma _{0,f}}$ ${\displaystyle D_{f}(s)}$ ${\displaystyle \Re (s)\leq \sigma _{0,f}}$ ${\displaystyle s\mapsto -s}$

${\displaystyle D_{f}(s)={\mathcal {M}}[F](-s)=\int _{1}^{\infty }{\frac {F_{f}(s)}{x^{s+1}}}dx}$

Es decir que, siempre que tenga una continuación al plano complejo a la izquierda del origen, podemos expresar la función sumatoria de cualquier f mediante la transformada de Mellin inversa del DGF de f continuada hasta s con partes reales menores que cero como: ^{[ 4]} ${\displaystyle D_{f}(s)}$

${\displaystyle F_{f}(x)={\mathcal {M}}^{-1}\left[{\mathcal {M}}[F_{f}](-s)\right](x)={\mathcal {M}}^{-1}[D_{f}(-s)](x).}$

Podemos formar la DGF, o función generadora de Dirichlet , de cualquier f prescrita dada nuestra función objetivo suave F realizando una suma por partes como

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{f}(s)&={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{+\infty }\left(\sum _{n\geq 1}(F(n)-F(n-1))e^{-nt}\right)t^{s}dt\\&={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }\lim _{N\to \infty }\left[F(N)e^{-Nt}+\sum _{k=0}^{N-1}F(k)e^{-kt}\left(1-e^{-t}\right)\right]dt\\&={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }t^{s-1}(1-e^{-t})\int _{0}^{\infty }F(r/t)e^{-r}drdt\\&={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }t^{s-1}\left(1-e^{-t}\right){\widetilde {F}}\left({\frac {1}{t}}\right)dt\\&={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\left(1-e^{-1/u}\right)}{u^{s}(1-u)}}F\left({\frac {u}{1-u}}\right)du,\end{aligned}}}$

¿Dónde está la transformada de Laplace-Borel de F , que si ${\displaystyle {\hat {F}}(x)\equiv {\mathcal {L}}[F](x)}$

${\displaystyle F(z):=\sum _{n\geq 0}{\frac {f_{n}}{n!}}z^{n}}$

corresponde a la función generadora exponencial de alguna secuencia enumerada por (según lo prescrito por la expansión en serie de Taylor de F alrededor de cero), entonces ${\displaystyle f_{n}/n!=F^{(n)}(0)/n!}$

${\displaystyle {\widetilde {F}}(z)=\sum _{n\geq 0}f_{n}z^{n}}$

es su forma de función generadora ordinaria sobre la secuencia cuyos coeficientes están enumerados por . ${\displaystyle [z^{n}]{\widetilde {F}}(z)\equiv f_{n}=F^{(n)}(0)}$

Entonces se deduce que si escribimos

${\displaystyle G_{F}(x):={\frac {x}{1-x}}F\left({\frac {x}{1-x}}\right)=\sum _{n\geq 0}\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}[z^{k}]F(z)\right)x^{n+1},}$

interpretado alternativamente como una variante con signo de la transformada binomial de F , entonces podemos expresar el DGF como la siguiente transformada de Mellin en : ${\displaystyle -s}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{f}(s)&={\mathcal {M}}[G_{F}](-s){\mathcal {M}}\left[1-e^{-1/x}\right](-s)\\&={\frac {{\mathcal {M}}[G_{F}](-s)}{s-1}}\left(1-\Gamma (s)\right)\end{aligned}}}$

Finalmente, dado que la función gamma tiene una continuación meromórfica a , tenemos una continuación analítica del DGF para f en -s de la forma ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \mathbb {N} }$ ${\displaystyle s\in \mathbb {C} \setminus \{0,1,2,\ldots \},}$

${\displaystyle D_{f}(-s)=-{\frac {1-\Gamma (-s)}{s+1}}{\mathcal {M}}[G_{F}](s),}$

donde se da una fórmula para números enteros no negativos n de acuerdo con la fórmula del teorema como ${\displaystyle D_{f}(-n)}$

${\displaystyle D_{f}(-n)=(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{{dx}^{n}}}\left[\left(1-e^{-1/x}\right){\frac {x}{1-x}}F\left({\frac {x}{1-x}}\right)\right]{\Biggr |}_{x=0}.}$

Además, siempre que la función aritmética f satisfaga de modo que exista su función inversa de Dirichlet, el DGF de continúa en cualquier , es decir, cualquier complejo s excluyendo s en una llamada franja crítica definida por f o específica de la aplicación dependiente de f . entre las líneas verticales , y el valor de esta función inversa DGF cuando está dado por ^[5] ${\displaystyle f(1)\neq 1}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {C} \cap \{z:\Re (z)\in (-\infty ,-\sigma _{0,f})\cup (\sigma _{0,f},+\infty )\}}$ ${\displaystyle z=\pm \sigma _{0,f}}$ ${\displaystyle \Re (s)<-\sigma _{0,f}}$

${\displaystyle D_{f^{-1}}(-s)={\begin{cases}0,&n\in \mathbb {N} ;\\-{\frac {s+1}{1-\Gamma (-s)}}{\mathcal {M}}[G_{F}^{-1}](s),&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Para continuar el DGF de la función inversa de Dirichlet con s dentro de esta franja crítica definida por f , debemos requerir cierto conocimiento de una ecuación funcional para el DGF, que nos permita relacionar los s de manera que la serie de Dirichlet que define inicialmente esta función es absolutamente convergente a los valores de s dentro de esta franja; en esencia, una fórmula que establece que es necesario definir el DGF en esta franja. ^[6] ${\displaystyle D_{f}(s)}$ ${\displaystyle D_{f}(s)=\xi _{f}(s)\times D_{f}(\sigma _{0,f}-s)}$

Ver también

• Estrella Mittag-Leffler
• Cálculo funcional holomorfo
• Continuación analítica numérica

Referencias

1. Kruskal, MD (1 de septiembre de 1960). "Extensión máxima de la métrica de Schwarzschild". Revisión física . 119 (5): 1743-1745. Código bibliográfico : 1960PhRv..119.1743K. doi : 10.1103/PhysRev.119.1743.
2. Consulte el ejemplo que se proporciona en la página de MathWorld para conocer los límites naturales.
3. Consulte el artículo Los anillos de Fontaine y las funciones L p-ádicas de Pierre Colmez que se encuentran en este enlace (PDF de notas del curso con fecha de 2004).
4. De hecho, se puede decir mucho más sobre las propiedades de tales relaciones entre las continuaciones de un DGF y la función sumatoria de cualquier aritmética f - y, para obtener una breve lista y compendios de identidades, consulte la página de trabajo de la zona de pruebas en Dirichlet inversión en serie . Algunos pares interesantes de relaciones de inversión de función sumatoria a DGF que surgen en aplicaciones no estándar incluyen: , donde es la función de Mertens , o función sumatoria de la función de Moebius , es la función zeta prima y es la función prima de Riemann función de conteo . ${\displaystyle (F_{f}(x),D_{f}(s))\in \left\{(M(x),1/\zeta (s)),(\pi (x),P(s)),(\Pi _{0}(x),\log \zeta (s))\right\}}$ ${\displaystyle M(x)}$ ${\displaystyle P(s)}$ ${\displaystyle \Pi _{0}(x)}$
5. Una observación sobre cómo conciliar cómo los valores de este DGF continuado analíticamente coinciden con lo que sabemos de la integral de Mellin de la función sumatoria de f , observamos que deberíamos tener eso

   ${\displaystyle D_{f}(-s)=-s\int _{1}^{\infty }x^{s-1}F_{f}(x)dx.}$

6. Se observa que esta construcción es similar a la ecuación funcional conocida para la función zeta de Riemann que se relaciona con los valores de for en la franja crítica clásica donde podemos encontrar todos los ceros no triviales de esta función zeta . ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle 1<\Re (s)<2}$ ${\displaystyle \zeta (1-s)}$ ${\displaystyle 0<1-s<1}$

• Lars Ahlfors (1979). Análisis complejo (3 ed.). McGraw-Hill. págs.172, 284.
• Ludwig Bieberbach (1955). Fortaleza analítica . Springer-Verlag.
• P. Dienes (1957). La serie de Taylor: una introducción a la teoría de funciones de una variable compleja . Nueva York: Dover Publications, Inc.

enlaces externos

• "Continuación analítica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Continuación analítica en MathPages
• Weisstein, Eric W. "Continuación analítica". MundoMatemático .