Función zeta de Riemann

Función analítica en matemáticas.

La función zeta de Riemann ζ ( z ) representada con coloración de dominio . ^[1]

El polo en y dos ceros en la línea crítica. ${\displaystyle z=1}$

La función zeta de Riemann o función zeta de Euler-Riemann , denotada por la letra griega ζ ( zeta ), es una función matemática de una variable compleja definida como

$${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots }$$

ycontinuación analítica^[2] ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$

La función zeta de Riemann desempeña un papel fundamental en la teoría analítica de números y tiene aplicaciones en física , teoría de probabilidades y estadística aplicada .

Leonhard Euler introdujo y estudió por primera vez la función sobre los reales en la primera mitad del siglo XVIII. El artículo de Bernhard Riemann de 1859 " Sobre el número de primos menores que una magnitud dada " amplió la definición de Euler a una variable compleja , demostró su continuación meromórfica y ecuación funcional , y estableció una relación entre sus ceros y la distribución de los números primos . Este artículo también contenía la hipótesis de Riemann , una conjetura sobre la distribución de ceros complejos de la función zeta de Riemann que muchos matemáticos consideran el problema sin resolver más importante en matemáticas puras . ^[3]

Euler calculó los valores de la función zeta de Riemann en números enteros pares positivos. El primero de ellos, ζ (2) , proporciona una solución al problema de Basilea . En 1979 Roger Apéry demostró la irracionalidad de ζ (3) . Los valores en puntos enteros negativos, también encontrados por Euler, son números racionales y juegan un papel importante en la teoría de las formas modulares . Se conocen muchas generalizaciones de la función zeta de Riemann, como la serie de Dirichlet , las funciones L de Dirichlet y las funciones L.

Definición

Artículo de Bernhard Riemann Sobre el número de números primos por debajo de una magnitud determinada

La función zeta de Riemann ζ ( s ) es una función de una variable compleja s = σ + it , donde σ y t son números reales. (La notación s , σ y t se usa tradicionalmente en el estudio de la función zeta, siguiendo a Riemann). Cuando Re( s ) = σ > 1 , la función se puede escribir como una suma convergente o como una integral:

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x\,,}$

dónde

${\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\,e^{-x}\,\mathrm {d} x}$

es la función gamma . La función zeta de Riemann se define para otros valores complejos mediante la continuación analítica de la función definida para σ > 1 .

Leonhard Euler consideró la serie anterior en 1740 para valores enteros positivos de s , y más tarde Chebyshev amplió la definición a ^[4] ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1.}$

La serie anterior es una serie prototípica de Dirichlet que converge absolutamente a una función analítica para s tal que σ > 1 y diverge para todos los demás valores de s . Riemann demostró que la función definida por la serie en el semiplano de convergencia puede continuar analíticamente para todos los valores complejos s ≠ 1 . Para s = 1 , la serie es la serie armónica que diverge a +∞ , y

$${\displaystyle \lim _{s\to 1}(s-1)\zeta (s)=1.}$$

función meromorfaholomorfapolo simples = 1residuo 1

Fórmula del producto de Euler

En 1737, Euler descubrió la conexión entre la función zeta y los números primos y demostró la identidad.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}},}$

donde, por definición, el lado izquierdo es ζ ( s ) y el producto infinito del lado derecho se extiende sobre todos los números primos p (tales expresiones se llaman productos de Euler ):

${\displaystyle \prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}={\frac {1}{1-2^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-5^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-11^{-s}}}\cdots {\frac {1}{1-p^{-s}}}\cdots }$

Ambos lados de la fórmula del producto de Euler convergen para Re( s ) > 1 . La prueba de identidad de Euler utiliza únicamente la fórmula de la serie geométrica y el teorema fundamental de la aritmética . Dado que la serie armónica , obtenida cuando s = 1 , diverge, la fórmula de Euler (que se convierte en Π _p pag/pag -1) implica que hay infinitos números primos . ^[5] Dado que el logaritmo depag/pag -1es aproximadamente1/pag, la fórmula también se puede utilizar para demostrar el resultado más sólido de que la suma de los recíprocos de los números primos es infinita. Por otro lado, combinar eso con el tamiz de Eratóstenes muestra que la densidad del conjunto de números primos dentro del conjunto de números enteros positivos es cero.

La fórmula del producto de Euler se puede utilizar para calcular la probabilidad asintótica de que números enteros seleccionados aleatoriamente sean coprimos por conjuntos . Intuitivamente, la probabilidad de que cualquier número sea divisible por un primo (o cualquier número entero) p es1/pag. Por tanto, la probabilidad de que s números sean todos divisibles por este primo es1/ps^​, y la probabilidad de que al menos uno de ellos no lo sea es 1 −1/ps^​. Ahora, para primos distintos, estos eventos de divisibilidad son mutuamente independientes porque los divisores candidatos son coprimos (un número es divisible por divisores coprimos n y m si y sólo si es divisible por  nm , un evento que ocurre con probabilidad 1/Nuevo Méjico). Por tanto, la probabilidad asintótica de que s números sean coprimos viene dada por un producto de todos los primos,

${\displaystyle \prod _{p{\text{ prime}}}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\left(\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\right)^{-1}={\frac {1}{\zeta (s)}}.}$

Ecuación funcional de Riemann

Esta función zeta satisface la ecuación funcional

$${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s),}$$

Γ( s )función gammaplano complejos1 − sζ ( s )s = −2 nceros trivialesζ ( s )ssin(πs/2)Γ(1 − s )Γ(1 − s ) tiene un polo

Prueba de la ecuación funcional de Riemann

Una prueba de la ecuación funcional procede de la siguiente manera: Observamos que si , entonces ${\displaystyle \sigma >0}$

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{{1 \over 2}{s}-1}e^{-n^{2}\pi x}\,dx={\Gamma \left({s \over 2}\right) \over {n^{s}\pi ^{s \over 2}}}.}$$

Como resultado, si entonces ${\displaystyle \sigma >1}$

$${\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)}{\pi ^{s/2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }x^{{s \over 2}-1}e^{-n^{2}\pi x}\,dx=\int _{0}^{\infty }x^{{s \over 2}-1}\sum _{n=1}^{\infty }e^{-n^{2}\pi x}\,dx,}$$

con la inversión de los procesos limitantes justificada por la convergencia absoluta (de ahí el requisito más estricto en ). ${\displaystyle \sigma }$

Por conveniencia, deje

$${\displaystyle \psi (x):=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-n^{2}\pi x}}$$

que es un caso especial de la función theta . Entonces

$${\displaystyle \zeta (s)={\pi ^{s \over 2} \over \Gamma ({s \over 2})}\int _{0}^{\infty }x^{{1 \over 2}{s}-1}\psi (x)\,dx.}$$

Por la fórmula de suma de Poisson tenemos

$${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{-n^{2}\pi x}}={1 \over {\sqrt {x}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{-n^{2}\pi \over x}},}$$

de modo que

$${\displaystyle 2\psi (x)+1={1 \over {\sqrt {x}}}\left\{2\psi \left({1 \over x}\right)+1\right\}.}$$

Por eso

$${\displaystyle \pi ^{-{s \over 2}}\Gamma \left({s \over 2}\right)\zeta (s)=\int _{0}^{1}x^{{s \over 2}-1}\psi (x)\,dx+\int _{1}^{\infty }x^{{s \over 2}-1}\psi (x)\,dx.}$$

Esto es equivalente a

$${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{{s \over 2}-1}\left\{{1 \over {\sqrt {x}}}\psi \left({1 \over x}\right)+{1 \over 2{\sqrt {x}}}-{1 \over 2}\right\}\,dx+\int _{1}^{\infty }x^{{s \over 2}-1}\psi (x)\,dx}$$

o

$${\displaystyle {1 \over {s-1}}-{1 \over s}+\int _{0}^{1}x^{{s \over 2}-{3 \over 2}}\psi \left({1 \over x}\right)\,dx+\int _{1}^{\infty }x^{{s \over 2}-1}\psi (x)\,dx.}$$

Entonces

$${\displaystyle \pi ^{-{s \over 2}}\Gamma \left({s \over 2}\right)\zeta (s)={1 \over {s({s-1})}}+\int _{1}^{\infty }\left({x^{-{{s} \over 2}-{1 \over 2}}+x^{{{s} \over 2}-1}}\right)\psi (x)\,dx}$$

que es convergente para todos s , por lo que se cumple por continuación analítica. Además, el RHS no cambia si s se cambia a 1 −  s . Por eso

$${\displaystyle \pi ^{-{s \over 2}}\Gamma \left({s \over 2}\right)\zeta (s)=\pi ^{-{1 \over 2}+{s \over 2}}\Gamma \left({1 \over 2}-{s \over 2}\right)\zeta (1-s)}$$

cual es la ecuación funcional. CE Titchmarsh (1986). La teoría de la función Zeta de Riemann (2ª ed.). Oxford : Publicaciones científicas de Oxford. págs. 21-22. ISBN 0-19-853369-1.Atribuido a Bernhard Riemann .

La ecuación funcional fue establecida por Riemann en su artículo de 1859 " Sobre el número de primos menores que una magnitud dada " y se utilizó para construir la continuación analítica en primer lugar. Euler había conjeturado una relación equivalente más de cien años antes, en 1749, para la función eta de Dirichlet (la función zeta alterna):

$${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}=\left(1-{2^{1-s}}\right)\zeta (s).}$$

Por cierto, esta relación da una ecuación para calcular ζ ( s ) en la región 0 < Re( s ) < 1, es decir

$${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{1-{2^{1-s}}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}}$$

ηconvergenteno absolutamentes > 0^{[6] [7]}

Riemann también encontró una versión simétrica de la ecuación funcional que se aplica a la función xi:

$${\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}\pi ^{-{\frac {s}{2}}}s(s-1)\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s),}$$

$${\displaystyle \xi (s)=\xi (1-s).}$$

( El ξ ( t ) original de Riemann era ligeramente diferente).

El factor no fue bien comprendido en la época de Riemann, hasta la tesis de John Tate (1950) , en la que se demostró que este llamado "factor Gamma" es en realidad el factor L local correspondiente al lugar de Arquímedes. , siendo los otros factores en la expansión del producto de Euler los factores L locales de los lugares no arquímedes. ${\displaystyle \pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)}$

Ceros, la línea crítica y la hipótesis de Riemann

Espiral zeta de Riemann a lo largo de la línea crítica desde la altura 999000 hasta un millón (de rojo a violeta)

La función zeta de Riemann no tiene ceros a la derecha de σ = 1 o (aparte de los ceros triviales) a la izquierda de σ = 0 (ni los ceros pueden estar demasiado cerca de esas líneas). Además, los ceros no triviales son simétricos con respecto al eje real y la recta σ =1/2y, según la hipótesis de Riemann , todos se encuentran en la recta σ =1/2.

Esta imagen muestra un gráfico de la función zeta de Riemann a lo largo de la línea crítica para valores reales de t que van de 0 a 34. Los primeros cinco ceros en la franja crítica son claramente visibles como el lugar donde las espirales pasan por el origen.

La parte real (roja) y la parte imaginaria (azul) de la función zeta de Riemann a lo largo de la línea crítica Re( s ) = 1/2. Los primeros ceros no triviales se pueden ver en Im( s ) = ±14,135, ±21,022 y ±25,011.

La ecuación funcional muestra que la función zeta de Riemann tiene ceros en −2, −4,... . Estos se llaman ceros triviales . Son triviales en el sentido de que su existencia es relativamente fácil de probar, por ejemplo, a partir del pecado.π s/2siendo 0 en la ecuación funcional. Los ceros no triviales han captado mucha más atención porque su distribución no sólo se comprende mucho menos sino que, lo que es más importante, su estudio arroja resultados importantes sobre los números primos y los objetos relacionados en la teoría de números. Se sabe que cualquier cero no trivial se encuentra en la franja abierta , que se llama franja crítica . El conjunto se llama línea crítica . La hipótesis de Riemann , considerada uno de los mayores problemas sin resolver de las matemáticas, afirma que todos los ceros no triviales están en la línea crítica. En 1989, Conrey demostró que más del 40% de los ceros no triviales de la función zeta de Riemann están en la línea crítica. ^[8] ${\displaystyle \{s\in \mathbb {C} :0<\operatorname {Re} (s)<1\}}$ ${\displaystyle \{s\in \mathbb {C} :\operatorname {Re} (s)=1/2\}}$

Para conocer la función zeta de Riemann en la línea crítica, consulte Función Z.

Número de ceros en la franja crítica

Sea el número de ceros de en la franja crítica , cuyas partes imaginarias están en el intervalo . Trudgian demostró que, si , entonces ^[11] ${\displaystyle N(T)}$ ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle 0<\operatorname {Re} (s)<1}$ ${\displaystyle 0<\operatorname {Im} (s)<T}$ ${\displaystyle T>e}$

${\displaystyle \left|N(T)-{\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi e}}\right|\leq 0.112\log T+0.278\log \log T+3.385+{\frac {0.2}{T}}}$.

Las conjeturas de Hardy-Littlewood

En 1914, Godfrey Harold Hardy demostró que ζ (1/2+ it ) tiene infinitos ceros reales. ^[12]

Hardy y John Edensor Littlewood formularon dos conjeturas sobre la densidad y la distancia entre los ceros de ζ (1/2+ it ) en intervalos de grandes números reales positivos. En lo sucesivo, N ( T ) es el número total de ceros reales y N ₀ ( T ) el número total de ceros de orden impar de la función ζ (1/2+ it ) que se encuentra en el intervalo (0, T ] .

1. Para cualquier ε > 0 , existe un T ₀ ( ε ) > 0 tal que cuando

   ${\displaystyle T\geq T_{0}(\varepsilon )\quad {\text{ and }}\quad H=T^{{\frac {1}{4}}+\varepsilon },}$

   el intervalo ( T , T + H ] contiene un cero de orden impar.
2. Para cualquier ε > 0 , existe un T ₀ ( ε ) > 0 y c _ε > 0 tal que la desigualdad

   ${\displaystyle N_{0}(T+H)-N_{0}(T)\geq c_{\varepsilon }H}$

   se sostiene cuando

   ${\displaystyle T\geq T_{0}(\varepsilon )\quad {\text{ and }}\quad H=T^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }.}$

Estas dos conjeturas abrieron nuevas direcciones en la investigación de la función zeta de Riemann.

Región libre de cero

La ubicación de los ceros de la función zeta de Riemann es de gran importancia en la teoría de números. El teorema de los números primos equivale al hecho de que no hay ceros de la función zeta en la recta Re( s ) = 1 . ^[13] Un mejor resultado ^[14] que se desprende de una forma efectiva del teorema del valor medio de Vinogradov es que ζ ( σ + it ) ≠ 0 siempre y | t | ≥ 3 . ${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{57.54(\log {|t|})^{\frac {2}{3}}(\log {\log {|t|}})^{\frac {1}{3}}}}}$

En 2015, Mossinghoff y Trudgian demostraron ^[15] que zeta no tiene ceros en la región

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{5.573412\log |t|}}}$

para | t | ≥ 2 . Esta es la región libre de cero más grande conocida en la franja crítica para . ${\displaystyle 3.06\cdot 10^{10}<|t|<\exp(10151.5)\approx 5.5\cdot 10^{4408}}$

El resultado más fuerte de este tipo que uno puede esperar es la verdad de la hipótesis de Riemann, que tendría muchas consecuencias profundas en la teoría de números.

Otros resultados

Se sabe que hay infinitos ceros en la línea crítica. Littlewood demostró que si la secuencia ( γ _n ) contiene las partes imaginarias de todos los ceros en el semiplano superior en orden ascendente, entonces

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(\gamma _{n+1}-\gamma _{n}\right)=0.}$

El teorema de la línea crítica afirma que una proporción positiva de ceros no triviales se encuentra en la línea crítica. (La hipótesis de Riemann implicaría que esta proporción es 1.)

En la franja crítica, el cero con la parte imaginaria no negativa más pequeña es1/2+ 14.13472514... yo ( OEIS : A058303 ). El hecho de que

${\displaystyle \zeta (s)={\overline {\zeta ({\overline {s}})}}}$

para todo complejo s ≠ 1 implica que los ceros de la función zeta de Riemann son simétricos con respecto al eje real. Combinando esta simetría con la ecuación funcional, además, se ve que los ceros no triviales son simétricos con respecto a la línea crítica Re( s ) =1/2.

También se sabe que no hay ceros en la recta con la parte real 1.

Valores específicos

Para cualquier entero par positivo 2 n ,

$${\displaystyle \zeta (2n)={\frac {|{B_{2n}}|(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}},}$$

B _{2 n}2 nnúmero de BernoulliKValores especialesfunciones L.

Para números enteros no positivos, se tiene

$${\displaystyle \zeta (-n)=-{\frac {B_{n+1}}{n+1}}}$$

n ≥ 0B ₁ =1/2ζB _m = 0los m

A través de la continuación analítica , se puede demostrar que

$${\displaystyle \zeta (-1)=-{\tfrac {1}{12}}}$$

1 + 2 + 3 + 4 + ⋯suma de Ramanujanla teoría de cuerdas^[16]

$${\displaystyle \zeta (0)=-{\tfrac {1}{2}}}$$

1 + 1 + 1 + 1 + ⋯

El valor

$${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}=-1.46035450880958681288\ldots }$$

^{[17] [18]}

A pesar de

$${\displaystyle \zeta (1)=1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\cdots }$$

valor principal de Cauchy

$${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\zeta (1+\varepsilon )+\zeta (1-\varepsilon )}{2}}}$$

constante de Euler-Mascheroni γ = 0,5772...^[19]

La demostración del valor particular.

$${\displaystyle \zeta (2)=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$$

problema de Basilea¿Cuál es la probabilidad de que dos números seleccionados al azar sean primos relativos ? ^[20]

$${\displaystyle \zeta (3)=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots =1.202056903159594285399...}$$

la constante de Apéry

Tomando el límite a través de los números reales, se obtiene . Pero en el infinito complejo en la esfera de Riemann la función zeta tiene una singularidad esencial . ^[2] ${\displaystyle s\rightarrow +\infty }$ ${\displaystyle \zeta (+\infty )=1}$

Varias propiedades

Para sumas que involucran la función zeta en valores enteros y semienteros, consulte series zeta racionales .

Recíproco

El recíproco de la función zeta se puede expresar como una serie de Dirichlet sobre la función de Möbius μ ( n ) :

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

para cada número complejo s con parte real mayor que 1. Hay varias relaciones similares que involucran varias funciones multiplicativas bien conocidas ; éstos se dan en el artículo sobre la serie de Dirichlet .

La hipótesis de Riemann equivale a afirmar que esta expresión es válida cuando la parte real de s es mayor que1/2.

Universalidad

La franja crítica de la función zeta de Riemann tiene la notable propiedad de universalidad . Esta universalidad de la función zeta establece que existe alguna ubicación en la franja crítica que se aproxima arbitrariamente bien a cualquier función holomorfa . Dado que las funciones holomorfas son muy generales, esta propiedad es bastante notable. La primera prueba de universalidad fue proporcionada por Sergei Mikhailovitch Voronin en 1975. ^[21] Trabajos más recientes han incluido versiones efectivas del teorema de Voronin ^[22] y lo han extendido a las funciones L de Dirichlet . ^{[23] [24]}

Estimaciones del máximo del módulo de la función zeta.

Dejemos que las funciones F ( T ; H ) y G ( s ₀ ;Δ) estén definidas por las igualdades

${\displaystyle F(T;H)=\max _{|t-T|\leq H}\left|\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)\right|,\qquad G(s_{0};\Delta )=\max _{|s-s_{0}|\leq \Delta }|\zeta (s)|.}$

Aquí T es un número positivo suficientemente grande, 0 < H ≪ log log T , s ₀ = σ ₀ + iT ,1/2≤ σ ₀ ≤ 1 , 0 < Δ <1/3. La estimación de los valores F y G desde abajo muestra qué tan grandes (en módulo) pueden tomar los valores ζ ( s ) en intervalos cortos de la línea crítica o en pequeñas vecindades de puntos que se encuentran en la franja crítica 0 ≤ Re( s ) ≤ 1 .

El caso H ≫ log log T fue estudiado por Kanakanahalli Ramachandra ; el caso Δ > c , donde c es una constante suficientemente grande, es trivial.

Anatolii Karatsuba demostró, ^{[25] [26]} en particular, que si los valores H y Δ exceden ciertas constantes suficientemente pequeñas, entonces las estimaciones

${\displaystyle F(T;H)\geq T^{-c_{1}},\qquad G(s_{0};\Delta )\geq T^{-c_{2}},}$

mantener, donde c ₁ y c ₂ son ciertas constantes absolutas.

El argumento de la función zeta de Riemann

La función

${\displaystyle S(t)={\frac {1}{\pi }}\arg {\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}}$

se llama argumento de la función zeta de Riemann. Aquí arg ζ (1/2+ it ) es el incremento de una rama continua arbitraria de arg ζ ( s ) a lo largo de la línea discontinua que une los puntos 2 , 2 + it y1/2+ eso .

Existen algunos teoremas sobre las propiedades de la función S ( t ) . Entre esos resultados ^{[27] [28]} se encuentran los teoremas del valor medio para S ( t ) y su primera integral

${\displaystyle S_{1}(t)=\int _{0}^{t}S(u)\,\mathrm {d} u}$

sobre intervalos de la recta real, y también el teorema que afirma que todo intervalo ( T , T + H ] para

${\displaystyle H\geq T^{{\frac {27}{82}}+\varepsilon }}$

contiene al menos

${\displaystyle H{\sqrt[{3}]{\ln T}}e^{-c{\sqrt {\ln \ln T}}}}$

puntos donde la función S ( t ) cambia de signo. Atle Selberg obtuvo anteriormente resultados similares para el caso

${\displaystyle H\geq T^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }.}$

Representaciones

Serie Dirichlet [29]

Se puede obtener una extensión del área de convergencia reordenando la serie original. Las series

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {n}{(n+1)^{s}}}-{\frac {n-s}{n^{s}}}\right)}$

converge para Re( s ) > 0 , mientras que

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n(n+1)}{2}}\left({\frac {2n+3+s}{(n+1)^{s+2}}}-{\frac {2n-1-s}{n^{s+2}}}\right)}$

convergen incluso para Re( s ) > −1 . De esta manera, el área de convergencia se puede extender a Re( s ) > − k para cualquier entero negativo − k .

La conexión de recurrencia es claramente visible en la expresión válida para Re( s ) > −2, lo que permite una mayor expansión mediante integración por partes.

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s)=&1+{\frac {1}{s-1}}-{\frac {s}{2!}}[\zeta (s+1)-1]\\-&{\frac {s(s+1)}{3!}}[\zeta (s+2)-1]\\&-{\frac {s(s+1)(s+2)}{3!}}\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {t^{3}dt}{(n+t)^{s+3}}}\end{aligned}}}$

Integrales tipo Mellin

La transformada de Mellin de una función f ( x ) se define como ^[30]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)x^{s}\,{\frac {\mathrm {d} x}{x}}}$

en la región donde se define la integral. Existen varias expresiones para la función zeta como integrales tipo transformada de Mellin. Si la parte real de s es mayor que uno, tenemos

${\displaystyle \Gamma (s)\zeta (s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x\quad }$y , ${\displaystyle \quad \Gamma (s)\zeta (s)={\frac {1}{2s}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s}}{\cosh(x)-1}}\,\mathrm {d} x}$

donde Γ denota la función gamma . Modificando el contorno , Riemann demostró que

${\displaystyle 2\sin(\pi s)\Gamma (s)\zeta (s)=i\oint _{H}{\frac {(-x)^{s-1}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x}$

para todos los s (donde H denota el contorno de Hankel ).

También podemos encontrar expresiones que se relacionan con los números primos y el teorema de los números primos . Si π ( x ) es la función de conteo de primos , entonces

${\displaystyle \ln \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }{\frac {\pi (x)}{x(x^{s}-1)}}\,\mathrm {d} x,}$

para valores con Re( s ) > 1 .

Una transformada de Mellin similar implica la función de Riemann J ( x ) , que cuenta las potencias primas p ⁿ con un peso de1/norte, de modo que

${\displaystyle J(x)=\sum {\frac {\pi \left(x^{\frac {1}{n}}\right)}{n}}.}$

Ahora

${\displaystyle \ln \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }J(x)x^{-s-1}\,\mathrm {d} x.}$

Estas expresiones se pueden utilizar para demostrar el teorema de los números primos mediante la transformada inversa de Mellin. Es más fácil trabajar con la función de conteo de primos de Riemann , y π ( x ) se puede recuperar mediante la inversión de Möbius .

funciones theta

La función zeta de Riemann puede estar dada por una transformada de Mellin ^[31]

${\displaystyle 2\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)=\int _{0}^{\infty }{\bigl (}\theta (it)-1{\bigr )}t^{{\frac {s}{2}}-1}\,\mathrm {d} t,}$

en términos de la función theta de Jacobi

${\displaystyle \theta (\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi in^{2}\tau }.}$

Sin embargo, esta integral sólo converge si la parte real de s es mayor que 1, pero se puede regularizar. Esto da la siguiente expresión para la función zeta, que está bien definida para todos los s excepto 0 y 1:

${\displaystyle \pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}-{\frac {1}{s}}+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\left(\theta (it)-t^{-{\frac {1}{2}}}\right)t^{{\frac {s}{2}}-1}\,\mathrm {d} t+{\frac {1}{2}}\int _{1}^{\infty }{\bigl (}\theta (it)-1{\bigr )}t^{{\frac {s}{2}}-1}\,\mathrm {d} t.}$

serie laurent

La función zeta de Riemann es meromorfa con un solo polo de orden uno en s = 1 . Por tanto, puede ampliarse como una serie de Laurent sobre s = 1 ; el desarrollo de la serie es entonces ^[32]

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\gamma _{n}}{n!}}(1-s)^{n}.}$

Las constantes γ _n aquí se denominan constantes de Stieltjes y pueden definirse por el límite

${\displaystyle \gamma _{n}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\left(\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {(\ln k)^{n}}{k}}\right)-{\frac {(\ln m)^{n+1}}{n+1}}\right)}.}$

El término constante γ ₀ es la constante de Euler-Mascheroni .

Integral

Para todo s ∈ C , s ≠ 1 , la relación integral (cf. fórmula de Abel-Plana )

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan t)}{\left(1+t^{2}\right)^{s/2}\left(e^{2\pi t}-1\right)}}\,\mathrm {d} t}$

es cierto, que puede usarse para una evaluación numérica de la función zeta.

factorial ascendente

Otro desarrollo de series que utiliza el factorial ascendente válido para todo el plano complejo es ^[29]

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {s}{s-1}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (s+n)-1{\bigr )}{\frac {s(s+1)\cdots (s+n-1)}{(n+1)!}}.}$

Esto se puede utilizar de forma recursiva para ampliar la definición de la serie de Dirichlet a todos los números complejos.

La función zeta de Riemann también aparece en una forma similar a la transformada de Mellin en una integral sobre el operador Gauss-Kuzmin-Wirsing que actúa sobre x ^{s - 1} ; ese contexto da lugar a una expansión en serie en términos del factorial decreciente . ^[33]

Producto Hadamard

Sobre la base del teorema de factorización de Weierstrass , Hadamard dio la expansión del producto infinito

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {e^{\left(\log(2\pi )-1-{\frac {\gamma }{2}}\right)s}}{2(s-1)\Gamma \left(1+{\frac {s}{2}}\right)}}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)e^{\frac {s}{\rho }},}$

donde el producto está sobre los ceros no triviales ρ de ζ y la letra γ nuevamente denota la constante de Euler-Mascheroni . Una expansión de producto infinito más simple es

${\displaystyle \zeta (s)=\pi ^{\frac {s}{2}}{\frac {\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)}{2(s-1)\Gamma \left(1+{\frac {s}{2}}\right)}}.}$

Esta forma muestra claramente el polo simple en s = 1 , los ceros triviales en −2, −4, ... debido al término de la función gamma en el denominador y los ceros no triviales en s = ρ . (Para garantizar la convergencia en la última fórmula, el producto debe tomarse como "pares coincidentes" de ceros, es decir, se deben combinar los factores para un par de ceros de la forma ρ y 1 − ρ .)

Series globalmente convergentes

Una serie globalmente convergente para la función zeta, válida para todos los números complejos s excepto s = 1 +2πyo​/en 2n para algún número entero n , fue conjeturada por Konrad Knopp en 1926 ^[34] y probada por Helmut Hasse en 1930 ^[35] (cf. suma de Euler ):

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{1-2^{1-s}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{s}}}.}$

La serie apareció en un apéndice del artículo de Hasse y fue publicada por segunda vez por Jonathan Sondow en 1994. ^[36]

Hasse también demostró la serie globalmente convergente.

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{s-1}}}}$

en la misma publicación. ^[35] La investigación de Iaroslav Blagouchine ^{[37] [34] ha descubierto que} Joseph Ser publicó una serie similar y equivalente en 1926. ^[38]

En 1997, K. Maślanka dio otra serie globalmente convergente (excepto s = 1 ) para la función zeta de Riemann:

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\biggl (}\prod _{i=1}^{k}(i-{\frac {s}{2}}){\biggl )}{\frac {A_{k}}{k!}}={\frac {1}{s-1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\biggl (}1-{\frac {s}{2}}{\biggl )}_{k}{\frac {A_{k}}{k!}}}$

donde los coeficientes reales están dados por: ${\displaystyle A_{k}}$

${\displaystyle A_{k}=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{\binom {k}{j}}(2j+1)\zeta (2j+2)=\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}{\frac {B_{2j+2}\pi ^{2j+2}}{\left(2\right)_{j}\left({\frac {1}{2}}\right)_{j}}}}$

Aquí están los números de Bernoulli y denota el símbolo de Pochhammer. ^{[39] [40]} ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle (x)_{k}}$

Tenga en cuenta que esta representación de la función zeta es esencialmente una interpolación con nodos, donde los nodos son puntos , es decir, exactamente aquellos donde los valores zeta se conocen con precisión, como demostró Euler. Philippe Flajolet presentó en 2006 una prueba elegante y muy breve de esta representación de la función zeta, basada en el teorema de Carlson. ^[41] ${\displaystyle s=2,4,6,\ldots }$

El comportamiento asintótico de los coeficientes es bastante curioso: para valores crecientes, observamos oscilaciones regulares con una amplitud casi exponencialmente decreciente y una frecuencia que disminuye lentamente (aproximadamente como ). Utilizando el método del punto de silla podemos demostrar que ${\displaystyle A_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k^{-2/3}}$

${\displaystyle A_{k}\sim {\frac {4\pi ^{3/2}}{\sqrt {3\kappa }}}\exp {\biggl (}-{\frac {3\kappa }{2}}+{\frac {\pi ^{2}}{4\kappa }}{\biggl )}\cos {\biggl (}{\frac {4\pi }{3}}-{\frac {3{\sqrt {3}}\kappa }{2}}+{\frac {{\sqrt {3}}\pi ^{2}}{4\kappa }}{\biggl )}}$

donde significa: ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle \kappa :={\sqrt[{3}]{\pi ^{2}k}}}$

(ver ^[42] para más detalles).

A partir de esta representación, Luis Báez-Duarte proporcionó en 2003 un nuevo criterio para la hipótesis de Riemann. ^{[43] [44] [45]} Es decir, si definimos los coeficientes como ${\displaystyle c_{k}}$

${\displaystyle c_{k}:=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{\binom {k}{j}}{\frac {1}{\zeta (2j+2)}}}$

entonces la hipótesis de Riemann es equivalente a

${\displaystyle c_{k}={\mathcal {O}}{\biggl (}k^{-3/4+\varepsilon }{\biggl )}\qquad (\forall \varepsilon >0)}$

Series rápidamente convergentes

Peter Borwein desarrolló un algoritmo que aplica polinomios de Chebyshev a la función eta de Dirichlet para producir una serie rápidamente convergente adecuada para cálculos numéricos de alta precisión . ^[46]

Representación de series en números enteros positivos a través del primorial

${\displaystyle \zeta (k)={\frac {2^{k}}{2^{k}-1}}+\sum _{r=2}^{\infty }{\frac {(p_{r-1}\#)^{k}}{J_{k}(p_{r}\#)}}\qquad k=2,3,\ldots .}$

Aquí p _n # es la secuencia primordial y J _k es la función totient de Jordan . ^[47]

Representación de series mediante números poli-Bernoulli incompletos

La función ζ se puede representar, para Re( s ) > 1 , por la serie infinita

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n,\geq 2}^{(s)}{\frac {(W_{k}(-1))^{n}}{n!}},}$

donde k ∈ {−1, 0} , W _k es la k ésima rama de la función W de Lambert y B^{( μ )}
_{norte , ≥2}es un número poli-Bernoulli incompleto. ^[48]

La transformada de Mellin del mapa de Engel

La función se itera para encontrar los coeficientes que aparecen en las expansiones de Engel . ^[49] ${\displaystyle g(x)=x\left(1+\left\lfloor x^{-1}\right\rfloor \right)-1}$

La transformada de Mellin del mapa está relacionada con la función zeta de Riemann mediante la fórmula ${\displaystyle g(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}g(x)x^{s-1}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{\frac {1}{n+1}}^{\frac {1}{n}}(x(n+1)-1)x^{s-1}\,dx\\[6pt]&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{-s}(s-1)+(n+1)^{-s-1}(n^{2}+2n+1)+n^{-s-1}s-n^{1-s}}{(s+1)s(n+1)}}\\[6pt]&={\frac {\zeta (s+1)}{s+1}}-{\frac {1}{s(s+1)}}\end{aligned}}}$

Secuencia Thue-Morse

Ciertas combinaciones lineales de series de Dirichlet cuyos coeficientes son términos de la secuencia Thue-Morse dan lugar a identidades que involucran la función Riemann Zeta (Tóth, 2022 ^[50] ). Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {5t_{n-1}+3t_{n}}{n^{2}}}&=4\zeta (2)={\frac {2\pi ^{2}}{3}},\\\sum _{n\geq 1}{\frac {9t_{n-1}+7t_{n}}{n^{3}}}&=8\zeta (3),\end{aligned}}}$

¿Dónde está el término de la secuencia Thue-Morse? De hecho, para todos los que tienen una parte real mayor que , tenemos ${\displaystyle (t_{n})_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle n^{\rm {th}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle (2^{s}+1)\sum _{n\geq 1}{\frac {t_{n-1}}{n^{s}}}+(2^{s}-1)\sum _{n\geq 1}{\frac {t_{n}}{n^{s}}}=2^{s}\zeta (s).}$

Algoritmos numéricos

Un algoritmo clásico, en uso antes de 1930 aproximadamente, procede aplicando la fórmula de Euler-Maclaurin para obtener, para n y m enteros positivos,

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{j=1}^{n-1}j^{-s}+{\tfrac {1}{2}}n^{-s}+{\frac {n^{1-s}}{s-1}}+\sum _{k=1}^{m}T_{k,n}(s)+E_{m,n}(s)}$

donde, dejando denotar el número de Bernoulli indicado , ${\displaystyle B_{2k}}$

${\displaystyle T_{k,n}(s)={\frac {B_{2k}}{(2k)!}}n^{1-s-2k}\prod _{j=0}^{2k-2}(s+j)}$

y el error satisface

${\displaystyle |E_{m,n}(s)|<\left|{\frac {s+2m+1}{\sigma +2m+1}}T_{m+1,n}(s)\right|,}$

con σ = Re( s ). ^[51]

Un algoritmo numérico moderno es el algoritmo de Odlyzko-Schönhage .

Aplicaciones

La función zeta ocurre en la estadística aplicada (ver Ley de Zipf y Ley de Zipf-Mandelbrot ).

La regularización de la función Zeta se utiliza como un posible medio de regularización de series divergentes e integrales divergentes en la teoría cuántica de campos . En un ejemplo notable, la función zeta de Riemann aparece explícitamente en un método para calcular el efecto Casimir . La función zeta también es útil para el análisis de sistemas dinámicos . ^[52]

Afinación musical

En la teoría de las afinaciones musicales , la función zeta se puede utilizar para encontrar divisiones iguales de la octava (EDO) que se aproximan mucho a los intervalos de la serie armónica . Para valores crecientes de , el valor de ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \left\vert \zeta \left({\frac {1}{2}}+{\frac {2\pi {i}}{\ln {(2)}}}t\right)\right\vert }$

picos cerca de números enteros que corresponden a tales EDO. ^[53] Los ejemplos incluyen opciones populares como 12, 19 y 53. ^[54]

Series infinitas

La función zeta evaluada en números enteros positivos equidistantes aparece en representaciones en series infinitas de una serie de constantes. ^[55]

• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\bigl (}\zeta (n)-1{\bigr )}=1}$

De hecho, los términos pares e impares dan las dos sumas.

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (2n)-1{\bigr )}={\frac {3}{4}}}$

y

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (2n+1)-1{\bigr )}={\frac {1}{4}}}$

Las versiones parametrizadas de las sumas anteriores están dadas por

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(\zeta (2n)-1)\,t^{2n}={\frac {t^{2}}{t^{2}-1}}+{\frac {1}{2}}\left(1-\pi t\cot(t\pi )\right)}$

y

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(\zeta (2n+1)-1)\,t^{2n}={\frac {t^{2}}{t^{2}-1}}-{\frac {1}{2}}\left(\psi ^{0}(t)+\psi ^{0}(-t)\right)-\gamma }$

con y donde y son la función poligamma y la constante de Euler , respectivamente, así como ${\displaystyle |t|<2}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \gamma }$

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n}}\,t^{2n}=\log \left({\dfrac {1-t^{2}}{\operatorname {sinc} (\pi \,t)}}\right)}$

todos los cuales son continuos en . Otras sumas incluyen ${\displaystyle t=1}$

• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\zeta (n)-1}{n}}=1-\gamma }$
• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\zeta (n)-1}{n}}\left(\left({\tfrac {3}{2}}\right)^{n-1}-1\right)={\frac {1}{3}}\ln \pi }$
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (4n)-1{\bigr )}={\frac {7}{8}}-{\frac {\pi }{4}}\left({\frac {e^{2\pi }+1}{e^{2\pi }-1}}\right).}$
• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\zeta (n)-1}{n}}\operatorname {Im} {\bigl (}(1+i)^{n}-(1+i)^{n}{\bigr )}={\frac {\pi }{4}}}$

donde Im denota la parte imaginaria de un número complejo.

Hay aún más fórmulas en el artículo Número armónico.

Generalizaciones

Hay una serie de funciones zeta relacionadas que pueden considerarse generalizaciones de la función zeta de Riemann. Estos incluyen la función zeta de Hurwitz.

${\displaystyle \zeta (s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+q)^{s}}}}$

(la representación de la serie convergente fue dada por Helmut Hasse en 1930, ^[35] cf. Función zeta de Hurwitz ), que coincide con la función zeta de Riemann cuando q = 1 (el límite inferior de suma en la función zeta de Hurwitz es 0, no 1 ), las funciones L de Dirichlet y la función zeta de Dedekind . Para otras funciones relacionadas, consulte los artículos Función zeta y Función L.

El polilogaritmo está dado por

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{s}}}}$

que coincide con la función zeta de Riemann cuando z = 1 . La función de Clausen Cl _s ( θ ) se puede elegir como la parte real o imaginaria de Li _s ( e ^iθ ) .

El trascendente de Lerch viene dado por

${\displaystyle \Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}}$

que coincide con la función zeta de Riemann cuando z = 1 y q = 1 (el límite inferior de suma en el trascendente de Lerch es 0, no 1).

Las múltiples funciones zeta están definidas por

${\displaystyle \zeta (s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n})=\sum _{k_{1}>k_{2}>\cdots >k_{n}>0}{k_{1}}^{-s_{1}}{k_{2}}^{-s_{2}}\cdots {k_{n}}^{-s_{n}}.}$

Se pueden continuar analíticamente estas funciones hasta el espacio complejo n -dimensional. Los valores especiales tomados por estas funciones en argumentos enteros positivos son llamados valores zeta múltiples por los teóricos de los números y se han relacionado con muchas ramas diferentes de las matemáticas y la física.

Ver también

• 1 + 2 + 3 + 4 + ···
• Función zeta aritmética
• Hipótesis de Riemann generalizada
• par lehmer
• Función zeta principal
• Función de Riemann Xi
• Renormalización
• Función theta de Riemann-Siegel
• ZetaGrid

Notas

1. "Visor de portátiles Jupyter". Nbviewer.ipython.org . Consultado el 4 de enero de 2017 .
2. Steuding, Jörn; Suriajaya, Ade Irma (1 de noviembre de 2020). "Distribución de valor de la función Zeta de Riemann según sus líneas de Julia". Métodos computacionales y teoría de funciones . 20 (3): 389–401. doi : 10.1007/s40315-020-00316-x . hdl : 2324/4483207 . ISSN  2195-3724. S2CID  216323223. El teorema 2 implica que ζ tiene una singularidad esencial en el infinito
3. Bombieri, Enrico. "La hipótesis de Riemann: descripción oficial del problema" (PDF) . Instituto de Matemáticas Clay . Archivado desde el original (PDF) el 22 de diciembre de 2015 . Consultado el 8 de agosto de 2014 .
4. Devlin, Keith (2002). Los problemas del milenio: los siete mayores acertijos matemáticos sin resolver de nuestro tiempo . Nueva York: Barnes & Noble. págs. 43–47. ISBN 978-0-7607-8659-8.
5. Sandifer, Charles Edward (2007). Cómo lo hizo Euler . Asociación Matemática de América. pag. 193.ISBN​ 978-0-88385-563-8.
6. Blagouchine, IV (1 de marzo de 2018). La historia de la ecuación funcional de la función zeta. Seminario de Historia de las Matemáticas. San Petersburgo, RU: Instituto Steklov de Matemáticas; "PDF en línea". Archivado desde el original el 2 de mayo de 2018 . Consultado el 2 de mayo de 2018 .
7. Blagouchine, IV (2014). "Redescubrimiento de las integrales de Malmsten, su evaluación mediante métodos de integración de contornos y algunos resultados relacionados". El diario Ramanujan . 35 (1): 21-110. doi :10.1007/s11139-013-9528-5. S2CID  120943474.
   Blagouchine, IV (2017). "Apéndice". El diario Ramanujan . 42 : 777–781. doi :10.1007/s11139-015-9763-z. S2CID  125198685. Archivado desde el original el 2 de mayo de 2018 . Consultado el 2 de mayo de 2018 .
8. Conrey, JB (1989). "Más de dos quintas partes de los ceros de la función zeta de Riemann se encuentran en la línea crítica". J. Reina Angew. Matemáticas . 1989 (399): 1–26. doi :10.1515/crll.1989.399.1. SEÑOR  1004130. S2CID  115910600.
9. Eric Weisstein . "Ceros de función Zeta de Riemann" . Consultado el 24 de abril de 2021 .
10. La base de datos de formas modulares y funciones L. "Ceros de ζ(s)".
11. Trudgian, Timothy S. (2014). "Un límite superior mejorado para el argumento de la función zeta de Riemann en la línea crítica II". J. Teoría de números . 134 : 280–292. arXiv : 1208.5846 . doi :10.1016/j.jnt.2013.07.017.
12. Resistente, GH; Fekete, M.; Littlewood, JE (1 de septiembre de 1921). "Los ceros de la función Zeta de Riemann en la línea crítica". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . T1-1 : 15-19. doi :10.1112/jlms/s1-1.1.15.
13. Diamante, Harold G. (1982). "Métodos elementales en el estudio de la distribución de números primos". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 7 (3): 553–89. doi : 10.1090/S0273-0979-1982-15057-1 . SEÑOR  0670132.
14. Ford, K. (2002). "Integral de Vinogradov y límites de la función zeta de Riemann". Proc. Matemáticas de Londres. Soc . 85 (3): 565–633. arXiv : 1910.08209 . doi :10.1112/S0024611502013655. S2CID  121144007.
15. Mossinghoff, Michael J.; Trudgian, Timothy S. (2015). "Polinomios trigonométricos no negativos y una región libre de cero para la función zeta de Riemann". J. Teoría de números . 157 : 329–349. arXiv : 1410.3926 . doi :10.1016/J.JNT.2015.05.010. S2CID  117968965.
16. Polchinski, José (1998). Introducción a la cuerda bosónica . Teoria de las cuerdas. vol. I. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 22.ISBN​ 978-0-521-63303-1.
17. Kainz, AJ; Titular, UM (1992). "Un método preciso de momento de dos corrientes para problemas cinéticos de capa límite de ecuaciones cinéticas lineales". J. Física. R: Matemáticas. Gen.​ 25 (7): 1855–1874. Código Bib : 1992JPhA...25.1855K. doi :10.1088/0305-4470/25/7/026.
18. Más dígitos y referencias para esta constante están disponibles en OEIS : A059750 .
19. Sondow, Jonathan (1998). "Una fórmula antisimétrica para la constante de Euler". Revista Matemáticas . 71 (3): 219–220. doi :10.1080/0025570X.1998.11996638. Archivado desde el original el 4 de junio de 2011 . Consultado el 29 de mayo de 2006 .
20. Ogilvy, CS ; Anderson, JT (1988). Excursiones en Teoría de Números . Publicaciones de Dover. págs. 29–35. ISBN 0-486-25778-9.
21. Voronin, SM (1975). "Teorema de la universalidad de la función Zeta de Riemann". Izv. Akád. Nauk SSSR, ser. Matem . 39 : 475–486.Reimpreso en Matemáticas. URSS Izv. (1975) 9 : 443–445.
22. Ramūnas Garunkštis; Antanas Laurinčikas; Kohji Matsumoto; Jörn Steuding; Rasa Steuding (2010). "Aproximación uniforme efectiva mediante la función zeta de Riemann". Publicaciones Matemáticas . 54 (1): 209–219. doi :10.5565/PUBLMAT_54110_12. JSTOR  43736941.
23. Bhaskar Bagchi (1982). "Un teorema de universalidad conjunta para las funciones L de Dirichlet". Mathematische Zeitschrift . 181 (3): 319–334. doi :10.1007/bf01161980. ISSN  0025-5874. S2CID  120930513.
24. Steuding, Jörn (2007). Distribución de valor de funciones L. Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1877. Berlín: Springer. pag. 19. arXiv : 1711.06671 . doi :10.1007/978-3-540-44822-8. ISBN 978-3-540-26526-9.
25. Karatsuba, AA (2001). "Límites inferiores para el módulo máximo de ζ ( s ) en pequeños dominios de la franja crítica". Estera. Zametki . 70 (5): 796–798.
26. Karatsuba, AA (2004). "Límites inferiores del módulo máximo de la función zeta de Riemann en segmentos cortos de la línea crítica". Izv. Ross. Akád. Nauk, ser. Estera . 68 (8): 99-104. Código Bib : 2004IzMat..68.1157K. doi :10.1070/IM2004v068n06ABEH000513. S2CID  250796539.
27. Karatsuba, AA (1996). "Teorema de densidad y comportamiento del argumento de la función zeta de Riemann". Estera. Zametki (60): 448–449.
28. Karatsuba, AA (1996). "Sobre la función S ( t ) ". Izv. Ross. Akád. Nauk, ser. Estera . 60 (5): 27–56.
29. Knopp, Konrad (1947). Teoría de funciones, segunda parte. Nueva York, publicaciones de Dover. págs. 51–55.
30. Riemann, Bernhard (1859). " Sobre el número de números primos menores que una magnitud determinada ". Monatsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin .traducido y reimpreso en Edwards, HM (1974). Función Zeta de Riemann . Nueva York: Academic Press. ISBN 0-12-232750-0. Zbl  0315.10035.
31. Neukirch, Jürgen (1999). Teoría algebraica de números . Saltador. pag. 422.ISBN​ 3-540-65399-6.
32. Hashimoto, Yasufumi; Iijima, Yasuyuki; Kurokawa, Nobushige; Wakayama, Masato (2004). "Constantes de Euler para las funciones zeta de Selberg y Dedekind". Boletín de la Sociedad Matemática Belga, Simon Stevin . 11 (4): 493–516. doi : 10.36045/bbms/1102689119 . SEÑOR  2115723.
33. "Una representación en serie del Riemann Zeta derivada del operador Gauss-Kuzmin-Wirsing" (PDF) . Linas.org . Consultado el 4 de enero de 2017 .
34. Blagouchine, Iaroslav V. (2018). "Tres notas sobre las representaciones de Ser y Hasse para las funciones Zeta". ENTEROS: Revista electrónica de teoría combinatoria de números . 18A : 1–45. arXiv : 1606.02044 . Código Bib : 2016arXiv160602044B.
35. Hasse, Helmut (1930). "Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ -Reihe" [Un método de suma para la serie de Riemann ζ]. Mathematische Zeitschrift (en alemán). 32 (1): 458–464. doi :10.1007/BF01194645. S2CID  120392534.
36. Sondow, Jonathan (1994). "Continuación analítica de la función zeta de Riemann y valores en números enteros negativos mediante la transformación de series de Euler" (PDF) . Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 120 (2): 421–424. doi : 10.1090/S0002-9939-1994-1172954-7 .
37. Blagouchine, Iaroslav V. (2016). "Expansiones de las constantes de Euler generalizadas en la serie de polinomios en π ⁻² y en la serie envolvente formal con coeficientes racionales únicamente". Revista de teoría de números . 158 : 365–396. arXiv : 1501.00740 . doi :10.1016/j.jnt.2015.06.012.
38. Ser, José (1926). "Sur une expresión de la fonction ζ(s) de Riemann" [Sobre una expresión de la función ζ de Riemann]. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences (en francés). 182 : 1075-1077.
39. Maślanka, Krzysztof (1997). "La belleza de la nada". Acta Cosmológica . XXIII-I: 13-17.
40. Báez-Duarte, Luis (2010). "Sobre la representación de Maslanka de la función Riemann Zeta". Revista Internacional de Matemáticas y Ciencias Matemáticas . 2010 : 1–9. arXiv : matemáticas/0307214 . doi : 10.1155/2010/714147 .
41. Flajolet, Philippe; Vepstas, Linas (2008). "Sobre las diferencias de los valores Zeta". Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 220 (1-2 de octubre): 58–73. arXiv : matemáticas/0611332 . Código Bib : 2008JCoAM.220...58F. doi :10.1016/j.cam.2007.07.040.
42. Maślanka, Krzysztof; Koleżyński, Andrzej (2022). "El cálculo numérico de alta precisión de las constantes de Stieltjes. Algoritmo simple y rápido". Métodos Computacionales en Ciencia y Tecnología . 28 (2): 47–59. arXiv : 2210.04609 . doi :10.12921/cmst.2022.0000014. S2CID  252780397.
43. Báez-Duarte, Luis (2003). "Una nueva condición necesaria y suficiente para la hipótesis de Riemann". Teoría de los números . arXiv : matemáticas/0307215 . Código Bib : 2003 matemáticas ...... 7215B.
44. Maślanka, Krzysztof (2006). "Criterio de Báez-Duarte para la hipótesis de Riemann y las integrales de Rice". Teoría de los números . arXiv : matemáticas/0603713v2 . Código Bib : 2006 matemáticas ...... 3713M.
45. Lobo, Marek (2014). "Algunas observaciones sobre el criterio de Báez-Duarte para la Hipótesis de Riemann". Métodos Computacionales en Ciencia y Tecnología . 20 (2): 39–47. doi : 10.12921/cmst.2014.20.02.39-47 .
46. Borwein, Peter (2000). "Un algoritmo eficiente para la función Zeta de Riemann" (PDF) . En Théra, Michel A. (ed.). Análisis constructivo, experimental y no lineal . Actas de la conferencia, Sociedad Canadiense de Matemáticas. vol. 27. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , en nombre de la Sociedad Matemática Canadiense . págs. 29–34. ISBN 978-0-8218-2167-1. Archivado desde el original (PDF) el 26 de julio de 2011 . Consultado el 25 de noviembre de 2017 .
47. Mező, István (2013). "La función primordial y Riemann zeta". El Mensual Matemático Estadounidense . 120 (4): 321.
48. Komatsu, Takao; Mező, István (2016). "Números incompletos de poli-Bernoulli asociados con números de Stirling incompletos". Publicaciones Mathematicae Debrecen . 88 (3–4): 357–368. arXiv : 1510.05799 . doi :10.5486/pmd.2016.7361. S2CID  55741906.
49. "A220335 - OEIS". oeis.org . Consultado el 17 de abril de 2019 .
50. Tóth, László (2022). "Combinaciones lineales de series de Dirichlet asociadas con la secuencia Thue-Morse". Enteros . 22 (artículo 98). arXiv : 2211.13570 .
51. Odlyzko, soy ; Schönhage, A. (1988). "Algoritmos rápidos para múltiples evaluaciones de la función zeta de Riemann". Trans. América. Matemáticas. Soc . 309 (2): 797–809. doi : 10.2307/2000939 . JSTOR  2000939. SEÑOR  0961614..
52. "Trabajo sobre cadenas giratorias de A. Knauf, et. Al". Empslocal.ex.ac.uk . Consultado el 4 de enero de 2017 .
53. Gene Ward Smith. "Entero más cercano a las ubicaciones de picos cada vez más grandes de abs (zeta (0,5 + i*2*Pi/log(2)*t)) para aumentar la t real". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Consultado el 4 de marzo de 2022 .
54. William A. Sethares (2005). Afinación, timbre, espectro, escala (2ª ed.). Springer-Verlag Londres. pag. 74. ...hay muchas maneras diferentes de evaluar la bondad, razonabilidad, idoneidad o calidad de una escala... Bajo algunas medidas, 12-tet es el ganador, en otras 19-tet parece mejor, 53-tet a menudo aparece entre los vencedores...
55. La mayoría de las fórmulas de esta sección provienen del § 4 de JM Borwein et al. (2000)

Referencias

• Apóstol, TM (2010). "Zeta y funciones relacionadas". En Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.). Manual de funciones matemáticas del NIST . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-19225-5. SEÑOR  2723248..
• Borwein, Jonathan ; Bradley, David M.; Crandall, Richard (2000). "Estrategias computacionales para la función Riemann Zeta" (PDF) . J. Computación. Aplica. Matemáticas . 121 (1–2): 247–296. Código Bib : 2000JCoAM.121..247B. doi : 10.1016/S0377-0427(00)00336-8 . Archivado desde el original (PDF) el 13 de diciembre de 2013.
• Cvijović, Djurdje; Klinowski, Jacek (2002). "Representaciones integrales de la función Riemann Zeta para argumentos enteros impares". J. Computación. Aplica. Matemáticas . 142 (2): 435–439. Código Bib : 2002JCoAM.142..435C. doi : 10.1016/S0377-0427(02)00358-8 . SEÑOR  1906742.
• Cvijović, Djurdje; Klinowski, Jacek (1997). "Expansiones en fracciones continuas para la función zeta de Riemann y polilogaritmos". Proc. América. Matemáticas. Soc . 125 (9): 2543–2550. doi : 10.1090/S0002-9939-97-04102-6 .
• Edwards, HM (1974). Función Zeta de Riemann . Prensa académica. ISBN 0-486-41740-9.Tiene una traducción al inglés del artículo de Riemann.
• Hadamard, Jacques (1896). "Sobre la distribución de los ceros de la función ζ(s) et ses conséquences arithmétiques". Boletín de la Société Mathématique de France . 14 : 199–220. doi : 10.24033/bsmf.545 .
• Hardy, GH (1949). Serie Divergente . Prensa de Clarendon, Oxford.
• Hasse, Helmut (1930). "Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ -Reihe". Matemáticas. Z.​ 32 : 458–464. doi :10.1007/BF01194645. SEÑOR  1545177. S2CID  120392534.(Expresión de series globalmente convergentes).
• Ivic, A. (1985). La función Zeta de Riemann . John Wiley e hijos. ISBN 0-471-80634-X.
• Motohashi, Y. (1997). Teoría espectral de la función Zeta de Riemann . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0521445205.
• Karatsuba, AA ; Voronin, SM (1992). La función Zeta de Riemann . Berlín: W. de Gruyter.
• Mező, István; Dil, Ayhan (2010). "Serie hiperarmónica que involucra la función zeta de Hurwitz". Revista de teoría de números . 130 (2): 360–369. doi :10.1016/j.jnt.2009.08.005. hdl : 2437/90539 . SEÑOR  2564902. S2CID  122707401.
• Montgomery, Hugh L .; Vaughan, Robert C. (2007). Teoría de números multiplicativos. I. Teoría clásica . Tratados de Cambridge sobre matemáticas avanzadas. vol. 97. Prensa de la Universidad de Cambridge. Cap. 10.ISBN​ 978-0-521-84903-6.
• Newman, Donald J. (1998). Teoría analítica de números . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 177. Springer-Verlag. Cap. 6.ISBN​ 0-387-98308-2.
• Raoh, Guo (1996). "La distribución de la derivada logarítmica de la función Zeta de Riemann". Actas de la Sociedad Matemática de Londres . T3–72: 1–27. doi :10.1112/plms/s3-72.1.1.
• Riemann, Bernhard (1859). "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse". Monatsberichte der Berliner Akademie .. En Gesammelte Werke , Teubner, Leipzig (1892), reimpreso por Dover, Nueva York (1953).
• Sondow, Jonathan (1994). "Continuación analítica de la función zeta de Riemann y valores en números enteros negativos mediante la transformación de series de Euler" (PDF) . Proc. América. Matemáticas. Soc . 120 (2): 421–424. doi : 10.1090/S0002-9939-1994-1172954-7 .
• Titchmarsh, CE (1986). Heath-Brown (ed.). La teoría de la función Zeta de Riemann (2ª ed. rev.). Prensa de la Universidad de Oxford.
• Whittaker, et al ; Watson, GN (1927). Un curso de análisis moderno (4ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. Cap. 13.
• Zhao, Jianqiang (1999). "Continuación analítica de múltiples funciones zeta". Proc. América. Matemáticas. Soc . 128 (5): 1275-1283. doi : 10.1090/S0002-9939-99-05398-8 . SEÑOR  1670846.

enlaces externos

• Medios relacionados con la función Riemann zeta en Wikimedia Commons
• "Función Zeta". Enciclopedia de Matemáticas . Prensa EMS . 2001 [1994].
• Función Riemann Zeta, en Wolfram Mathworld: una explicación con un enfoque más matemático
• Tablas de ceros seleccionados Archivado el 17 de mayo de 2009 en Wayback Machine.
• Los números primos se enganchan Una descripción general, no técnica, del significado de la función zeta en relación con los números primos.
• Rayos X de la función Zeta Investigación orientada visualmente de dónde zeta es real o puramente imaginario.
• Fórmulas e identidades para la función Riemann Zeta funciones.wolfram.com
• Función Zeta de Riemann y otras sumas de potencias recíprocas, sección 23.2 de Abramowitz y Stegun
• Frenkel, Eduardo . "Problema matemático del millón de dólares" (vídeo) . Brady Harán . Archivado desde el original el 11 de diciembre de 2021 . Consultado el 11 de marzo de 2014 .
• Transformada de Mellin y la ecuación funcional de la función Zeta de Riemann: ejemplos computacionales de métodos de transformada de Mellin que involucran la función Zeta de Riemann
• Visualización de la función zeta de Riemann y continuación analítica de un vídeo de 3Blue1Brown