serie laurent

Serie de potencias con potencias negativas.

Una serie de Laurent se define con respecto a un punto particular y un camino de integración γ. El camino de integración debe discurrir en un anillo, indicado aquí por el color rojo, en cuyo interior hay un holomorfo ( analítico ). ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f(z)}$

En matemáticas , la serie de Laurent de una función compleja es una representación de esa función como una serie de potencias que incluye términos de grado negativo. Puede usarse para expresar funciones complejas en los casos en que no se puede aplicar una expansión en serie de Taylor . La serie Laurent lleva el nombre de Pierre Alphonse Laurent y fue publicada por primera vez en 1843. Es posible que Karl Weierstrass la descubriera por primera vez en un artículo escrito en 1841, pero no se publicó hasta después de su muerte. ^[1] ${\displaystyle f(z)}$

Definición

La serie de Laurent para una función compleja respecto de un punto viene dada por ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle c}$

$${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n},}$$

integral de contornola fórmula integral de Cauchy ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a_{n}}$

$${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-c)^{n+1}}}\,dz.}$$

El camino de integración es en sentido antihorario alrededor de una curva de Jordan que encierra y se encuentra en un anillo en el que es holomorfo (analítico). La expansión para será válida en cualquier lugar dentro del anillo. El anillo se muestra en rojo en la figura de la derecha, junto con un ejemplo de una ruta de integración adecuada denominada . Si tomamos como círculo , donde , esto equivale simplemente a calcular los coeficientes complejos de Fourier de la restricción de a . El hecho de que estas integrales no cambien por una deformación del contorno es una consecuencia inmediata del teorema de Green . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle |z-c|=\varrho }$ ${\displaystyle r<\varrho <R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

También se puede obtener la serie de Laurent para una función compleja en . Sin embargo, esto es lo mismo que cuando (vea el ejemplo a continuación). ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle z=\infty }$ ${\displaystyle R\rightarrow \infty }$

En la práctica, es posible que la fórmula integral anterior no ofrezca el método más práctico para calcular los coeficientes de una función determinada ; en cambio, a menudo se reconstruye la serie de Laurent combinando expansiones de Taylor conocidas. Debido a que la expansión de Laurent de una función es única siempre que exista, cualquier expresión de esta forma que sea igual a la función dada en algún anillo debe en realidad ser la expansión de Laurent de . ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(z)}$

Serie Laurent convergente

e ^{−1/ x 2} y aproximaciones de Laurent: consulte el texto para obtener la clave. A medida que aumenta el grado negativo de la serie de Laurent, se acerca a la función correcta.

e ^{−1/ x 2} y sus aproximaciones de Laurent con el grado negativo creciente. La vecindad alrededor de la singularidad cero nunca puede aproximarse.

Las series de Laurent con coeficientes complejos son una herramienta importante en el análisis complejo , especialmente para investigar el comportamiento de funciones cercanas a singularidades .

Considere, por ejemplo, la función con . Como función real, es infinitamente diferenciable en todas partes; como función compleja, sin embargo, no es diferenciable en . Reemplazando con en la serie de potencias de la función exponencial , obtenemos su serie de Laurent que converge y es igual a para todos los números complejos excepto en la singularidad . El gráfico de al lado muestra en negro y sus aproximaciones de Laurent. ${\displaystyle f(x)=e^{-1/x^{2}}}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -1/x^{2}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle e^{-1/x^{2}}}$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}(-1)^{n}\,{x^{-2n} \over n!}}$$

123456750 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N\to \infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=0}$

De manera más general, las series de Laurent se pueden usar para expresar funciones holomorfas definidas en un anillo , de la misma manera que las series de potencias se usan para expresar funciones holomorfas definidas en un disco .

Suponer

$${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}}$$

únicos ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$

• La serie de Laurent converge en el anillo abierto . Al decir que la serie de Laurent converge, queremos decir que convergen tanto la serie de potencias de grado positivo como la serie de potencias de grado negativo. Además, esta convergencia será uniforme en conjuntos compactos . Finalmente, la serie convergente define una función holomorfa en el anillo abierto. ${\displaystyle A=\{z:r<|z-c|<R\}}$ ${\displaystyle f(z)}$
• Fuera del anillo, la serie de Laurent diverge. Es decir, en cada punto del exterior de , la serie de potencias de grado positivo o la serie de potencias de grado negativo divergen. ${\displaystyle A}$
• Sobre el límite del anillo, no se puede hacer una afirmación general, excepto decir que hay al menos un punto en el límite interior y un punto en el límite exterior tales que no se puede continuar holomórficamente hasta esos puntos. ${\displaystyle f(z)}$

Es posible que sea cero o infinito; en el otro extremo, no es necesariamente cierto que sea menor que . Estos radios se pueden calcular de la siguiente manera: ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}r&=\limsup _{n\to \infty }|a_{-n}|^{\frac {1}{n}},\\{1 \over R}&=\limsup _{n\to \infty }|a_{n}|^{\frac {1}{n}}.\end{aligned}}}$$

Consideramos infinito cuando este último lim sup es cero. ${\displaystyle R}$

Por el contrario, si comenzamos con un anillo de la forma y una función holomorfa definida en , entonces siempre existe una serie de Laurent única con centro que converge (al menos) en y representa la función . ${\displaystyle A=\{z:r<|z-c|<R\}}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(z)}$

Como ejemplo, considere la siguiente función racional, junto con su expansión en fracción parcial :

$${\displaystyle f(z)={\frac {1}{(z-1)(z-2i)}}={\frac {1+2i}{5}}\left({\frac {1}{z-1}}-{\frac {1}{z-2i}}\right).}$$

Esta función tiene singularidades en y , donde el denominador de la expresión es cero y, por lo tanto, la expresión no está definida. Una serie de Taylor aproximadamente (que produce una serie de potencias) sólo convergerá en un disco de radio 1, ya que "golpea" la singularidad en 1. ${\displaystyle z=1}$ ${\displaystyle z=2i}$ ${\displaystyle z=0}$

Sin embargo, hay tres posibles expansiones de Laurent alrededor de 0, dependiendo del radio de : ${\displaystyle z}$

• Se define una serie en el disco interior donde | z | < 1 ; es lo mismo que la serie de Taylor,
  $${\displaystyle f(z)={\frac {1+2i}{5}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{(2i)^{n+1}}}-1\right)z^{n}.}$$
  Esto se desprende de la forma de fracción parcial de la función, junto con la fórmula para la suma de una serie geométrica ,
  $${\displaystyle {\frac {1}{z-a}}=-{\frac {1}{a}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\tfrac {z}{a}}\right)^{n}}$$
  para . ${\displaystyle |z|<|a|}$
• La segunda serie se define en el anillo medio donde queda atrapada entre las dos singularidades: ${\displaystyle 1<z<2}$
  $${\displaystyle f(z)={\frac {1+2i}{5}}\left(\sum _{n=1}^{\infty }z^{-n}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2i)^{n+1}}}z^{n}\right).}$$
  Aquí usamos la forma alternativa de la suma de series geométricas,
  $${\displaystyle {\frac {1}{z-a}}={\frac {1}{z}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {a}{z}}\right)^{n}}$$
  para . ${\displaystyle |z|>|a|}$
• La tercera serie se define en el anillo exterior infinito donde (que también es la expansión de Laurent en ) ${\displaystyle 2<z<\infty }$ ${\displaystyle z=\infty }$
  $${\displaystyle f(z)={\frac {1+2i}{5}}\sum _{n=1}^{\infty }\left(1-(2i)^{n-1}\right)z^{-n}.}$$
  Esta serie se puede derivar usando series geométricas como antes, o realizando una división polinómica larga de 1 entre , sin detenerse en un resto sino continuando en términos; de hecho, la serie de Laurent "exterior" de una función racional es análoga a la forma decimal de una fracción. (La expansión "interna" de la serie de Taylor se puede obtener de manera similar, simplemente invirtiendo el orden de los términos en el algoritmo de división). ${\displaystyle (x-1)(x-2i)}$ ${\displaystyle x^{-n}}$

El caso ; es decir, una función holomorfa que puede no estar definida en un solo punto , es especialmente importante. El coeficiente de expansión de Laurent de tal función se llama residuo de en la singularidad ; juega un papel destacado en el teorema del residuo . Como ejemplo de esto, considere ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a_{-1}}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle c}$

$${\displaystyle f(z)={e^{z} \over z}+e^{{1}/{z}}.}$$

Esta función es holomorfa en todas partes excepto en . ${\displaystyle z=0}$

Para determinar la expansión de Laurent , utilizamos nuestro conocimiento de la serie de Taylor de la función exponencial : ${\displaystyle c=0}$

$${\displaystyle f(z)=\cdots +\left({1 \over 3!}\right)z^{-3}+\left({1 \over 2!}\right)z^{-2}+2z^{-1}+2+\left({1 \over 2!}\right)z+\left({1 \over 3!}\right)z^{2}+\left({1 \over 4!}\right)z^{3}+\cdots .}$$

Encontramos que el residuo es 2.

Un ejemplo para ampliar sobre : ${\displaystyle z=\infty }$

$${\displaystyle f(z)={\sqrt {1+z^{2}}}-z=z\left({\sqrt {1+{\frac {1}{z^{2}}}}}-1\right)=z\left({\frac {1}{2z^{2}}}-{\frac {1}{8z^{4}}}+{\frac {1}{16z^{6}}}-\cdots \right)={\frac {1}{2z}}-{\frac {1}{8z^{3}}}+{\frac {1}{16z^{5}}}-\cdots .}$$

Unicidad

Supongamos que una función holomorfa en el anillo tiene dos series de Laurent: ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle r<|z-c|<R}$

$${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}(z-c)^{n}.}$$

Multiplica ambos lados por , donde k es un número entero arbitrario, e integra en una trayectoria γ dentro del anillo, ${\displaystyle (z-c)^{-k-1}}$

$${\displaystyle \oint _{\gamma }\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n-k-1}\,dz=\oint _{\gamma }\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}(z-c)^{n-k-1}\,dz.}$$

La serie converge uniformemente en , donde ε es un número positivo lo suficientemente pequeño como para que γ esté contenido en el anillo cerrado restringido, por lo que la integración y la suma se pueden intercambiar. Sustituyendo la identidad ${\displaystyle r+\varepsilon \leq |z-c|\leq R-\varepsilon }$

$${\displaystyle \oint _{\gamma }\,(z-c)^{n-k-1}\,dz=2\pi i\delta _{nk}}$$

$${\displaystyle a_{k}=b_{k}.}$$

De ahí que la serie Laurent sea única.

Polinomios de Laurent

Un polinomio de Laurent es una serie de Laurent en la que sólo un número finito de coeficientes son distintos de cero. Los polinomios de Laurent se diferencian de los polinomios ordinarios en que pueden tener términos de grado negativo.

parte principal

La parte principal de una serie de Laurent es la serie de términos con grado negativo, es decir

$${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{-1}a_{k}(z-c)^{k}.}$$

Si la parte principal de es una suma finita, entonces tiene un polo en de orden igual (negativo) al grado del término más alto; por otro lado, si tiene una singularidad esencial en , la parte principal es una suma infinita (lo que significa que tiene infinitos términos distintos de cero). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$

Si el radio de convergencia interior de la serie de Laurent para es 0, entonces tiene una singularidad esencial en si y sólo si la parte principal es una suma infinita, y tiene un polo en caso contrario. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$

Si el radio de convergencia interior es positivo, puede tener infinitos términos negativos pero seguir siendo regular en , como en el ejemplo anterior, en cuyo caso se representa mediante una serie de Laurent diferente en un disco alrededor de  . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$

Las series de Laurent con sólo un número finito de términos negativos se comportan bien (son una serie de potencias divididas por y pueden analizarse de manera similar), mientras que las series de Laurent con un número infinito de términos negativos tienen un comportamiento complicado en el círculo interno de convergencia. ${\displaystyle z^{k}}$

Multiplicación y suma

Las series de Laurent, en general, no se pueden multiplicar. Algebraicamente, la expresión de los términos del producto puede implicar sumas infinitas que no necesitan converger (no se puede tomar la convolución de secuencias enteras). Geométricamente, las dos series de Laurent pueden tener anillos de convergencia que no se superpongan.

Se pueden multiplicar dos series de Laurent con sólo un número finito de términos negativos: algebraicamente, todas las sumas son finitas; geométricamente, estos tienen polos en , y un radio de convergencia interior 0, por lo que ambos convergen en un anillo superpuesto. ${\displaystyle c}$

Por lo tanto, al definir la serie formal de Laurent , se requiere una serie de Laurent con un número finito de términos negativos.

De manera similar, la suma de dos series de Laurent convergentes no necesita converger, aunque siempre se define formalmente, pero la suma de dos series de Laurent acotadas por debajo (o cualquier serie de Laurent en un disco perforado) tiene un anillo de convergencia no vacío.

Además, para un campo , mediante la suma y multiplicación definidas anteriormente, la serie formal de Laurent formaría un campo que también es el campo de fracciones del anillo de la serie de potencias formal . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F((x))}$ ${\displaystyle F[[x]]}$

Ver también

• serie Puiseux
• Teorema de Mittag-Leffler
• Serie formal de Laurent  : serie de Laurent considerada formalmente , con coeficientes de un anillo conmutativo arbitrario , sin tener en cuenta la convergencia y con solo un número finito de términos negativos, de modo que la multiplicación siempre está definida.
• Transformada Z  : el caso especial en el que la serie de Laurent se toma alrededor de cero tiene mucha utilidad en el análisis de series temporales.
• Serie de Fourier  : la sustitución transforma una serie de Laurent en una serie de Fourier, o viceversa. Esto se utiliza en la expansión en serie q del invariante j . ${\displaystyle z=e^{\pi iw}}$
• Padé aproximante  : otra técnica que se utiliza cuando una serie de Taylor no es viable.

Referencias

1. Rodríguez, Rubi; Kra, Irwin; Gilman, Jane P. (2012), Análisis complejo: en el espíritu de Lipman Bers, Textos de posgrado en matemáticas, vol. 245, Springer, pág. 12, ISBN 9781441973238.

enlaces externos

• "Serie Laurent", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Laurent series", Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
• Weisstein, Eric W. "Serie Laurent". MundoMatemático .
• Serie Laurent y Mandelbrot ambientada por Robert Munafo