Cuantificación de unicidad

Propiedad lógica de ser el único objeto que satisface una condición

En matemáticas y lógica , el término "singularidad" se refiere a la propiedad de ser el único objeto que satisface una determinada condición. ^[1] Este tipo de cuantificación se conoce como cuantificación de unicidad o cuantificación existencial única , y a menudo se denota con los símbolos " ∃ !" ^[2] o "∃ ₌₁ ". Por ejemplo, la declaración formal

${\displaystyle \exists !n\in \mathbb {N} \,(n-2=4)}$

puede leerse como "existe exactamente un número natural tal que ". ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n-2=4}$

Demostrando unicidad

La técnica más común para probar la existencia única de un determinado objeto es probar primero la existencia de la entidad con la condición deseada y luego demostrar que dos entidades cualesquiera (por ejemplo, y ) deben ser iguales entre sí (es  decir, ) . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a=b}$

Por ejemplo, para demostrar que la ecuación tiene exactamente una solución, primero se comenzaría estableciendo que existe al menos una solución, a saber, 3; la prueba de esta parte es simplemente la verificación de que se cumple la siguiente ecuación: ${\displaystyle x+2=5}$

${\displaystyle 3+2=5.}$

Para establecer la unicidad de la solución, se procedería entonces asumiendo que hay dos soluciones, a saber y , que satisfacen . Eso es, ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x+2=5}$

${\displaystyle a+2=5{\text{ and }}b+2=5.}$

Entonces, como la igualdad es una relación transitiva ,

${\displaystyle a+2=b+2.}$

Restando 2 de ambos lados se obtiene

${\displaystyle a=b.}$

lo que completa la prueba de que 3 es la solución única de . ${\displaystyle x+2=5}$

En general, tanto la existencia (existe al menos un objeto) como la unicidad (existe como máximo un objeto) deben ser probadas para concluir que existe exactamente un objeto que satisface dicha condición.

Una forma alternativa de demostrar la unicidad es demostrar que existe un objeto que satisface la condición y luego demostrar que cada objeto que satisface la condición debe ser igual a . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

Reducción a la cuantificación existencial y universal ordinaria

La cuantificación de la unicidad se puede expresar en términos de los cuantificadores existenciales y universales de la lógica de predicados , definiendo la fórmula como significado ${\displaystyle \exists !xP(x)}$

${\displaystyle \exists x\,(P(x)\,\wedge \neg \exists y\,(P(y)\wedge y\neq x)),}$

que es lógicamente equivalente a

${\displaystyle \exists x\,(P(x)\wedge \forall y\,(P(y)\to y=x)).}$

Una definición equivalente que separa las nociones de existencia y unicidad en dos cláusulas, a expensas de la brevedad, es

${\displaystyle \exists x\,P(x)\wedge \forall y\,\forall z\,[(P(y)\wedge P(z))\to y=z].}$

Otra definición equivalente, que tiene la ventaja de ser breve, es

${\displaystyle \exists x\,\forall y\,(P(y)\leftrightarrow y=x).}$

Generalizaciones

La cuantificación de unicidad se puede generalizar a la cuantificación por conteo (o cuantificación numérica ^[3] ). Esto incluye tanto la cuantificación de la forma "existen exactamente k objetos tales que..." como "existen infinitos objetos tales que..." y "sólo existen un número finito de objetos tales que...". La primera de estas formas se puede expresar utilizando cuantificadores ordinarios, pero las dos últimas no se pueden expresar en lógica ordinaria de primer orden . ^[4]

La unicidad depende de una noción de igualdad . Al aflojar esto a alguna relación de equivalencia más burda se obtiene la cuantificación de la unicidad hasta esa equivalencia (bajo este marco, la unicidad regular es "unicidad hasta la igualdad"). Por ejemplo, muchos conceptos en la teoría de categorías se definen como únicos hasta el isomorfismo .

El signo de exclamación también se puede utilizar como símbolo de cuantificación independiente, es decir , donde . Por ejemplo, se puede utilizar con seguridad en el axioma de sustitución , en lugar de . ${\displaystyle !}$ ${\displaystyle (\exists !x.P(x))\leftrightarrow ((\exists x.P(x))\land (!x.P(x)))}$ ${\displaystyle (!x.P(x)):=(\forall a\forall b.P(a)\land P(b)\rightarrow a=b)}$ ${\displaystyle \exists !}$

Ver también

• Esencialmente único
• uno-caliente
• Singleton (matemáticas)
• Teorema de unicidad

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Teorema de unicidad". mathworld.wolfram.com . Consultado el 15 de diciembre de 2019 .
2. "2.5 Argumentos de unicidad". www.whitman.edu . Consultado el 15 de diciembre de 2019 .
3. Helman, Glen (1 de agosto de 2013). «Cuantificación numérica» (PDF) . persweb.wabash.edu . Consultado el 14 de diciembre de 2019 .
4. Esto es una consecuencia del teorema de la compacidad .

Bibliografía

• Kleene, Stephen (1952). Introducción a las Metamatemáticas . Ishi Press Internacional. pag. 199.
• Andrews, Peter B. (2002). Una introducción a la lógica matemática y la teoría de tipos a la verdad mediante la prueba (2. ed.). Dordrecht: Kluwer Acad. Publ. pag. 233.ISBN​ 1-4020-0763-9.