Número armónico

Suma de los primeros n números enteros recíprocos; 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n

El número armónico con (línea roja) con su límite asintótico (línea azul) donde es la constante de Euler-Mascheroni . ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle n=\lfloor x\rfloor }$ ${\displaystyle \gamma +\ln(x)}$ ${\displaystyle \gamma }$

En matemáticas , el n -ésimo número armónico es la suma de los recíprocos de los primeros n números naturales : ^[1] $${\displaystyle H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}$$

A partir de n = 1 , comienza la secuencia de números armónicos: $${\displaystyle 1,{\frac {3}{2}},{\frac {11}{6}},{\frac {25}{12}},{\frac {137}{60}},\dots }$$

Los números armónicos están relacionados con la media armónica en que el n -ésimo número armónico también es n veces el recíproco de la media armónica de los primeros n números enteros positivos.

Los números armónicos se han estudiado desde la antigüedad y son importantes en varias ramas de la teoría de números . A veces se los denomina de manera imprecisa " series armónicas" , están estrechamente relacionados con la función zeta de Riemann y aparecen en las expresiones de varias funciones especiales .

Los números armónicos se aproximan aproximadamente a la función logaritmo natural ^{[2] : 143} y, por lo tanto, la serie armónica asociada crece sin límite, aunque lentamente. En 1737, Leonhard Euler utilizó la divergencia de la serie armónica para proporcionar una nueva prueba de la infinitud de los números primos . Su trabajo fue extendido al plano complejo por Bernhard Riemann en 1859, lo que condujo directamente a la célebre hipótesis de Riemann sobre la distribución de los números primos .

Cuando el valor de una gran cantidad de elementos tiene una distribución según la ley de Zipf , el valor total de los n elementos más valiosos es proporcional al n -ésimo número armónico. Esto conduce a una variedad de conclusiones sorprendentes con respecto a la cola larga y la teoría del valor de red .

El teorema de Bertrand-Chebyshev implica que, excepto en el caso n = 1 , los números armónicos nunca son enteros. ^[3]

Identidades que involucran números armónicos

Por definición, los números armónicos satisfacen la relación de recurrencia. $${\displaystyle H_{n+1}=H_{n}+{\frac {1}{n+1}}.}$$

Los números armónicos están conectados a los números de Stirling del primer tipo por la relación $${\displaystyle H_{n}={\frac {1}{n!}}\left[{n+1 \atop 2}\right].}$$

Los números armónicos satisfacen las identidades de serie y Estos dos resultados son estrechamente análogos a los resultados integrales correspondientes y $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k}=(n+1)H_{n}-n}$$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k}^{2}=(n+1)H_{n}^{2}-(2n+1)H_{n}+2n.}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{x}\log y\ dy=x\log x-x}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{x}(\log y)^{2}\ dy=x(\log x)^{2}-2x\log x+2x.}$$

Identidades que involucranπ

Hay varias sumas infinitas que involucran números armónicos y potencias de π : ^{[4] [ se necesita una mejor fuente ]} $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n\cdot 2^{n}}}&={\frac {\pi ^{2}}{12}}\\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{2}}{n^{2}}}&={\frac {17}{360}}\pi ^{4}\\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{2}}{(n+1)^{2}}}&={\frac {11}{360}}\pi ^{4}\\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n^{3}}}&={\frac {\pi ^{4}}{72}}\end{aligned}}}$$

Cálculo

Una representación integral dada por Euler ^[5] es $${\displaystyle H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx.}$$

La igualdad anterior se resuelve mediante la simple identidad algebraica $${\displaystyle {\frac {1-x^{n}}{1-x}}=1+x+\cdots +x^{n-1}.}$$

Usando la sustitución x = 1 − u , otra expresión para H _n es $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}&=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx=\int _{0}^{1}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\left[\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}(-u)^{k-1}\right]\,du=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}\int _{0}^{1}(-u)^{k-1}\,du\\[6pt]&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}.\end{aligned}}}$$

Gráfico que muestra una conexión entre los números armónicos y el logaritmo natural . El número armónico H _n se puede interpretar como una suma de Riemann de la integral: ${\displaystyle \int _{1}^{n+1}{\frac {dx}{x}}=\ln(n+1).}$

El número armónico n es aproximadamente tan grande como el logaritmo natural de n . La razón es que la suma se aproxima mediante la integral cuyo valor es ln n . $${\displaystyle \int _{1}^{n}{\frac {1}{x}}\,dx,}$$

Los valores de la secuencia H _n − ln n disminuyen monótonamente hacia el límite donde γ ≈ 0,5772156649 es la constante de Euler-Mascheroni . La expansión asintótica correspondiente es donde B _k son los números de Bernoulli . $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(H_{n}-\ln n\right)=\gamma ,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}&\sim \ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}\\&=\ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\cdots ,\end{aligned}}}$$

Funciones generadoras

Una función generadora para los números armónicos es donde ln( z ) es el logaritmo natural . Una función generadora exponencial es donde Ein( z ) es la integral exponencial completa . La integral exponencial también se puede expresar como donde Γ(0, z ) es la función gamma incompleta . $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n}={\frac {-\ln(1-z)}{1-z}},}$$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}H_{n}=e^{z}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}{\frac {z^{k}}{k!}}=e^{z}\operatorname {Ein} (z)}$$ $${\displaystyle \operatorname {Ein} (z)=\mathrm {E} _{1}(z)+\gamma +\ln z=\Gamma (0,z)+\gamma +\ln z}$$

Propiedades aritméticas

Los números armónicos tienen varias propiedades aritméticas interesantes. Es bien sabido que es un entero si y solo si , un resultado a menudo atribuido a Taeisinger. ^[6] De hecho, utilizando la valoración 2-ádica , no es difícil demostrar que para el numerador de es un número impar mientras que el denominador de es un número par. Más precisamente, con algunos enteros impares y . ${\textstyle H_{n}}$ ${\textstyle n=1}$ ${\textstyle n\geq 2}$ ${\textstyle H_{n}}$ ${\textstyle H_{n}}$ $${\displaystyle H_{n}={\frac {1}{2^{\lfloor \log _{2}(n)\rfloor }}}{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$$ ${\textstyle a_{n}}$ ${\textstyle b_{n}}$

Como consecuencia del teorema de Wolstenholme , para cualquier número primo el numerador de es divisible por . Además, Eisenstein ^[7] demostró que para todo número primo impar se cumple donde es un cociente de Fermat , con la consecuencia de que divide al numerador de si y solo si es un primo de Wieferich . ${\displaystyle p\geq 5}$ ${\displaystyle H_{p-1}}$ ${\textstyle p^{2}}$ ${\textstyle p}$ $${\displaystyle H_{(p-1)/2}\equiv -2q_{p}(2){\pmod {p}}}$$ ${\textstyle q_{p}(2)=(2^{p-1}-1)/p}$ ${\textstyle p}$ ${\displaystyle H_{(p-1)/2}}$ ${\textstyle p}$

En 1991, Eswarathasan y Levine ^[8] definieron como el conjunto de todos los números enteros positivos tales que el numerador de es divisible por un número primo. Demostraron que para todos los números primos y definieron los primos armónicos como los primos tales que tienen exactamente 3 elementos. ${\displaystyle J_{p}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle p.}$ $${\displaystyle \{p-1,p^{2}-p,p^{2}-1\}\subseteq J_{p}}$$ ${\displaystyle p\geq 5,}$ ${\textstyle p}$ ${\displaystyle J_{p}}$

Eswarathasan y Levine también conjeturaron que es un conjunto finito para todos los primos y que hay infinitos primos armónicos. Boyd ^[9] verificó que es finito para todos los números primos hasta excepto 83, 127 y 397; y dio una heurística que sugiere que la densidad de los primos armónicos en el conjunto de todos los primos debería ser . Sanna ^[10] demostró que tiene densidad asintótica cero , mientras que Bing-Ling Wu y Yong-Gao Chen ^[11] demostraron que el número de elementos de no exceder es como máximo , para todos los . ${\displaystyle J_{p}}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle J_{p}}$ ${\displaystyle p=547}$ ${\displaystyle 1/e}$ ${\displaystyle J_{p}}$ ${\displaystyle J_{p}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 3x^{{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{25\log p}}}}$ ${\displaystyle x\geq 1}$

Aplicaciones

Los números armónicos aparecen en varias fórmulas de cálculo, como la función digamma. Esta relación también se utiliza con frecuencia para definir la extensión de los números armónicos a n no entero . Los números armónicos también se utilizan con frecuencia para definir γ utilizando el límite introducido anteriormente: aunque converge más rápidamente. $${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma .}$$ $${\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(H_{n}-\ln(n)\right)},}$$ $${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\left(H_{n}-\ln \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\right)}}$$

En 2002, Jeffrey Lagarias demostró ^[12] que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que es verdadera para todo entero n ≥ 1 con desigualdad estricta si n > 1 ; aquí σ ( n ) denota la suma de los divisores de n . $${\displaystyle \sigma (n)\leq H_{n}+(\log H_{n})e^{H_{n}},}$$

Los valores propios del problema no local en están dados por , donde por convención , y las funciones propias correspondientes están dadas por los polinomios de Legendre . ^[13] ${\displaystyle L^{2}([-1,1])}$ $${\displaystyle \lambda \varphi (x)=\int _{-1}^{1}{\frac {\varphi (x)-\varphi (y)}{|x-y|}}\,dy}$$ ${\displaystyle \lambda =2H_{n}}$ ${\displaystyle H_{0}=0}$ ${\displaystyle \varphi (x)=P_{n}(x)}$

Generalizaciones

Números armónicos generalizados

El n -ésimo número armónico generalizado de orden m está dado por $${\displaystyle H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{m}}}.}$$

(En algunas fuentes, esto también puede denotarse con o ) ${\textstyle H_{n}^{(m)}}$ ${\textstyle H_{m}(n).}$

El caso especial m = 0 da El caso especial m = 1 se reduce al número armónico habitual: ${\displaystyle H_{n,0}=n.}$ $${\displaystyle H_{n,1}=H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}$$

El límite de cuando n → ∞ es finito si m > 1 , con el número armónico generalizado acotado por y convergiendo a la función zeta de Riemann ${\textstyle H_{n,m}}$ $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }H_{n,m}=\zeta (m).}$$

El número natural más pequeño k tal que k ⁿ no divide al denominador del número armónico generalizado H ( k , n ) ni al denominador del número armónico generalizado alterno H′ ( k , n ) es, para n = 1, 2, ... :

77, 20, 94556602, 42, 444, 20, 104, 42, 76, 20, 77, 110, 3504, 20, 903, 42, 1107, 20, 104, 42, 77, 20, 2948, 110, 136, 20, 76, 42, 903, 20, 77, 42, 268, 20, 7004, 110, 1752, 20, 19203, 42, 77, 20, 104, 42, 76, 20, 370, 110, 1107, 20, ... (secuencia A128670 en la OEIS )

La suma relacionada aparece en el estudio de los números de Bernoulli ; los números armónicos también aparecen en el estudio de los números de Stirling . ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{m}}$

Algunas integrales de números armónicos generalizados son y donde A es la constante de Apéry ζ (3), y $${\displaystyle \int _{0}^{a}H_{x,2}\,dx=a{\frac {\pi ^{2}}{6}}-H_{a}}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{a}H_{x,3}\,dx=aA-{\frac {1}{2}}H_{a,2},}$$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k,m}=(n+1)H_{n,m}-H_{n,m-1}{\text{ for }}m\geq 0.}$$

Cada número armónico generalizado de orden m puede escribirse como una función de números armónicos de orden usando   por ejemplo: ${\displaystyle m-1}$ $${\displaystyle H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {H_{k,m-1}}{k(k+1)}}+{\frac {H_{n,m-1}}{n}}}$$ ${\displaystyle H_{4,3}={\frac {H_{1,2}}{1\cdot 2}}+{\frac {H_{2,2}}{2\cdot 3}}+{\frac {H_{3,2}}{3\cdot 4}}+{\frac {H_{4,2}}{4}}}$

Una función generadora para los números armónicos generalizados es donde es el polilogaritmo y | z | < 1 . La función generadora dada anteriormente para m = 1 es un caso especial de esta fórmula. $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n,m}={\frac {\operatorname {Li} _{m}(z)}{1-z}},}$$ ${\displaystyle \operatorname {Li} _{m}(z)}$

Un argumento fraccionario para números armónicos generalizados se puede introducir de la siguiente manera:

Para cada entero, entero o no, tenemos de las funciones poligammas: donde es la función zeta de Riemann . La relación de recurrencia relevante es Algunos valores especiales son donde G es la constante de Catalan . En el caso especial de que , obtenemos ${\displaystyle p,q>0}$ ${\displaystyle m>1}$ $${\displaystyle H_{q/p,m}=\zeta (m)-p^{m}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(q+pk)^{m}}}}$$ ${\displaystyle \zeta (m)}$ $${\displaystyle H_{a,m}=H_{a-1,m}+{\frac {1}{a^{m}}}.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{{\frac {1}{4}},2}&=16-{\tfrac {5}{6}}\pi ^{2}-8G\\H_{{\frac {1}{2}},2}&=4-{\frac {\pi ^{2}}{3}}\\H_{{\frac {3}{4}},2}&={\frac {16}{9}}-{\frac {5}{6}}\pi ^{2}+8G\\H_{{\frac {1}{4}},3}&=64-\pi ^{3}-27\zeta (3)\\H_{{\frac {1}{2}},3}&=8-6\zeta (3)\\H_{{\frac {3}{4}},3}&=\left({\frac {4}{3}}\right)^{3}+\pi ^{3}-27\zeta (3)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle p=1}$ $${\displaystyle H_{n,m}=\zeta (m,1)-\zeta (m,n+1),}$$

donde es la función zeta de Hurwitz . Esta relación se utiliza para calcular numéricamente los números armónicos. ${\displaystyle \zeta (m,n)}$

Fórmulas de multiplicación

El teorema de la multiplicación se aplica a los números armónicos. Utilizando funciones poligammas , obtenemos o, de forma más general, $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2x}&={\frac {1}{2}}\left(H_{x}+H_{x-{\frac {1}{2}}}\right)+\ln 2\\H_{3x}&={\frac {1}{3}}\left(H_{x}+H_{x-{\frac {1}{3}}}+H_{x-{\frac {2}{3}}}\right)+\ln 3,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle H_{nx}={\frac {1}{n}}\left(H_{x}+H_{x-{\frac {1}{n}}}+H_{x-{\frac {2}{n}}}+\cdots +H_{x-{\frac {n-1}{n}}}\right)+\ln n.}$$

Para números armónicos generalizados, tenemos donde es la función zeta de Riemann . $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2x,2}&={\frac {1}{2}}\left(\zeta (2)+{\frac {1}{2}}\left(H_{x,2}+H_{x-{\frac {1}{2}},2}\right)\right)\\H_{3x,2}&={\frac {1}{9}}\left(6\zeta (2)+H_{x,2}+H_{x-{\frac {1}{3}},2}+H_{x-{\frac {2}{3}},2}\right),\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \zeta (n)}$

Números hiperarmónicos

La siguiente generalización fue discutida por JH Conway y RK Guy en su libro de 1995 The Book of Numbers . ^{[2] : 258} Sea Entonces el n-ésimo número hiperarmónico de orden r ( r>0 ) se define recursivamente como En particular, es el número armónico ordinario . $${\displaystyle H_{n}^{(0)}={\frac {1}{n}}.}$$ $${\displaystyle H_{n}^{(r)}=\sum _{k=1}^{n}H_{k}^{(r-1)}.}$$ ${\displaystyle H_{n}^{(1)}}$ ${\displaystyle H_{n}}$

Números armónicos romanos

Los números armónicos romanos, ^[14] llamados así por Steven Roman , fueron introducidos por Daniel Loeb y Gian-Carlo Rota en el contexto de una generalización del cálculo umbral con logaritmos. ^[15] Hay muchas definiciones posibles, pero una de ellas, para , es y Por supuesto, ${\displaystyle n,k\geq 0}$ $${\displaystyle c_{n}^{(0)}=1,}$$ $${\displaystyle c_{n}^{(k+1)}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {c_{i}^{(k)}}{i}}.}$$ $${\displaystyle c_{n}^{(1)}=H_{n}.}$$

Si , satisfacen las fórmulas de forma cerrada, donde los números de Stirling del primer tipo se generalizan al primer argumento negativo, y que fue encontrado por Donald Knuth . ${\displaystyle n\neq 0}$ $${\displaystyle c_{n}^{(k+1)}-{\frac {c_{n}^{(k)}}{n}}=c_{n-1}^{(k+1)}.}$$ $${\displaystyle c_{n}^{(k)}=n!(-1)^{k}s(-n,k),}$$ ${\displaystyle s(-n,k)}$ $${\displaystyle c_{n}^{(k)}=\sum _{j=1}^{n}{\binom {n}{j}}{\frac {(-1)^{j-1}}{j^{k}}},}$$

De hecho, estos números se definieron de una manera más general utilizando números romanos y factoriales romanos, que incluyen valores negativos para . Esta generalización fue útil en su estudio para definir logaritmos armónicos. ${\displaystyle n}$

Números armónicos para valores reales y complejos

Las fórmulas dadas anteriormente son una representación integral y en serie de una función que interpola los números armónicos y, mediante la continuación analítica , extiende la definición al plano complejo distinto de los enteros negativos x . La función de interpolación está, de hecho, estrechamente relacionada con la función digamma, donde ψ ( x ) es la función digamma y γ es la constante de Euler-Mascheroni . El proceso de integración puede repetirse para obtener $${\displaystyle H_{x}=\int _{0}^{1}{\frac {1-t^{x}}{1-t}}\,dt=\sum _{k=1}^{\infty }{x \choose k}{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}}$$ $${\displaystyle H_{x}=\psi (x+1)+\gamma ,}$$ $${\displaystyle H_{x,2}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}{x \choose k}H_{k}.}$$

La serie de Taylor para los números armónicos es la que proviene de la serie de Taylor para la función digamma ( es la función zeta de Riemann ). $${\displaystyle H_{x}=\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}\zeta (k)\;x^{k-1}\quad {\text{ for }}|x|<1}$$ ${\displaystyle \zeta }$

Formulación alternativa asintótica

Cuando se busca aproximar  H _x para un número complejo  x , es eficaz calcular primero  H _m para algún entero grande  m . Usar eso como una aproximación para el valor de  H _{m + x} . Luego usar la relación de recursión H _n = H _{n −1} + 1/ n hacia atrás  m veces, para desenrollarla a una aproximación para  H _x . Además, esta aproximación es exacta en el límite cuando  m tiende a infinito.

En concreto, para un entero fijo  n , se da el caso de que $${\displaystyle \lim _{m\rightarrow \infty }\left[H_{m+n}-H_{m}\right]=0.}$$

Si  n no es un entero, entonces no es posible decir si esta ecuación es verdadera porque todavía no hemos definido (en esta sección) los números armónicos para los números no enteros. Sin embargo, obtenemos una extensión única de los números armónicos para los números no enteros al insistir en que esta ecuación sigue siendo válida cuando el entero arbitrario  n se reemplaza por un número complejo arbitrario  x .

$${\displaystyle \lim _{m\rightarrow \infty }\left[H_{m+x}-H_{m}\right]=0\,.}$$Intercambiando el orden de los dos lados de esta ecuación y luego restándolos de  H _x obtenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{x}&=\lim _{m\rightarrow \infty }\left[H_{m}-(H_{m+x}-H_{x})\right]\\[6pt]&=\lim _{m\rightarrow \infty }\left[\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)-\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{x+k}}\right)\right]\\[6pt]&=\lim _{m\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{m}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{x+k}}\right)=x\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(x+k)}}\,.\end{aligned}}}$$

Esta serie infinita converge para todos los números complejos  x excepto los enteros negativos, que fallan porque intentar usar la relación de recursión H _n = H _{n −1} + 1/ n hacia atrás a través del valor  n = 0 implica una división por cero. Por esta construcción, la función que define el número armónico para valores complejos es la única función que satisface simultáneamente (1) H ₀ = 0 , (2) H _x = H _{x −1} + 1/ x para todos los números complejos  x excepto los enteros no positivos, y (3) lim _{m →+∞} ( H _{m + x} − H _m ) = 0 para todos los valores complejos  x .

Esta última fórmula se puede utilizar para demostrar que donde  γ es la constante de Euler-Mascheroni o, más generalmente, para cada  n tenemos: $${\displaystyle \int _{0}^{1}H_{x}\,dx=\gamma ,}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{n}H_{x}\,dx=n\gamma +\ln(n!).}$$

Valores especiales para argumentos fraccionarios

Existen los siguientes valores analíticos especiales para argumentos fraccionarios entre 0 y 1, dados por la integral $${\displaystyle H_{\alpha }=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{\alpha }}{1-x}}\,dx\,.}$$

Se pueden generar más valores a partir de la relación de recurrencia o de la relación de reflexión. $${\displaystyle H_{\alpha }=H_{\alpha -1}+{\frac {1}{\alpha }}\,,}$$ $${\displaystyle H_{1-\alpha }-H_{\alpha }=\pi \cot {(\pi \alpha )}-{\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{1-\alpha }}\,.}$$

Por ejemplo: $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\frac {1}{2}}&=2-2\ln 2\\H_{\frac {1}{3}}&=3-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3}{2}}\ln 3\\H_{\frac {2}{3}}&={\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3}{2}}\ln 3\\H_{\frac {1}{4}}&=4-{\frac {\pi }{2}}-3\ln 2\\H_{\frac {3}{4}}&={\frac {4}{3}}+{\frac {\pi }{2}}-3\ln 2\\H_{\frac {1}{6}}&=6-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\pi -2\ln 2-{\frac {3}{2}}\ln 3\\H_{\frac {1}{8}}&=8-{\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\pi -4\ln {2}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\ln \left(2+{\sqrt {2}}\right)-\ln \left(2-{\sqrt {2}}\right)\right)\\H_{\frac {1}{12}}&=12-\left(1+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)\pi -3\ln {2}-{\frac {3}{2}}\ln {3}+{\sqrt {3}}\ln \left(2-{\sqrt {3}}\right)\end{aligned}}}$$

Que se calculan a través del teorema de Gauss , que establece esencialmente que para los números enteros positivos p y q con p < q $${\displaystyle H_{\frac {p}{q}}={\frac {q}{p}}+2\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {q-1}{2}}\rfloor }\cos \left({\frac {2\pi pk}{q}}\right)\ln \left({\sin \left({\frac {\pi k}{q}}\right)}\right)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {\pi p}{q}}\right)-\ln \left(2q\right)}$$

Relación con la función zeta de Riemann

Algunas derivadas de números armónicos fraccionarios se dan por $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{n}H_{x}}{dx^{n}}}&=(-1)^{n+1}n!\left[\zeta (n+1)-H_{x,n+1}\right]\\[6pt]{\frac {d^{n}H_{x,2}}{dx^{n}}}&=(-1)^{n+1}(n+1)!\left[\zeta (n+2)-H_{x,n+2}\right]\\[6pt]{\frac {d^{n}H_{x,3}}{dx^{n}}}&=(-1)^{n+1}{\frac {1}{2}}(n+2)!\left[\zeta (n+3)-H_{x,n+3}\right].\end{aligned}}}$$

Y usando la serie de Maclaurin , tenemos para x < 1 que $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{x}&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}x^{n}\zeta (n+1)\\[5pt]H_{x,2}&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}(n+1)x^{n}\zeta (n+2)\\[5pt]H_{x,3}&={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}(n+1)(n+2)x^{n}\zeta (n+3).\end{aligned}}}$$

Para argumentos fraccionarios entre 0 y 1 y para a > 1, $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1/a}&={\frac {1}{a}}\left(\zeta (2)-{\frac {1}{a}}\zeta (3)+{\frac {1}{a^{2}}}\zeta (4)-{\frac {1}{a^{3}}}\zeta (5)+\cdots \right)\\[6pt]H_{1/a,\,2}&={\frac {1}{a}}\left(2\zeta (3)-{\frac {3}{a}}\zeta (4)+{\frac {4}{a^{2}}}\zeta (5)-{\frac {5}{a^{3}}}\zeta (6)+\cdots \right)\\[6pt]H_{1/a,\,3}&={\frac {1}{2a}}\left(2\cdot 3\zeta (4)-{\frac {3\cdot 4}{a}}\zeta (5)+{\frac {4\cdot 5}{a^{2}}}\zeta (6)-{\frac {5\cdot 6}{a^{3}}}\zeta (7)+\cdots \right).\end{aligned}}}$$

Véase también

• Estimador de Watterson
• La D de Tajima
• Problema del coleccionista de cupones
• Problema con el Jeep
• Problema de los 100 prisioneros
• Función zeta de Riemann
• Lista de sumas de recíprocos
• Tasa de falsos descubrimientos # procedimiento Benjamin-Yekutieli
• Problema de apilamiento de bloques

Notas

1. Knuth, Donald (1997). El arte de la programación informática (3.ª ed.). Addison-Wesley. págs. 75-79. ISBN 0-201-89683-4.
2. John H., Conway; Richard K., Guy (1995). El libro de los números . Copérnico.
3. Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994). Matemáticas concretas . Addison-Wesley.
4. Sondow, Jonathan y Weisstein, Eric W. "Número armónico". De MathWorld, un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/HarmonicNumber.html
5. Sandifer, C. Edward (2007), Cómo lo hizo Euler, MAA Spectrum, Asociación Matemática de América, pág. 206, ISBN 9780883855638.
6. Weisstein, Eric W. (2003). Enciclopedia concisa de matemáticas del CRC . Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC. pág. 3115. ISBN 978-1-58488-347-0.
7. Eisenstein, Ferdinand Gotthold Max (1850). "Eine neue Gattung zahlentheoretischer Funktionen, welche von dos Wei Elementen ahhängen und durch gewisse lineare Funktional-Gleichungen definirt werden". Berichte Königl. Preuβ. Akád. Wiss. Berlín . 15 : 36–42.
8. Eswarathasan, Arulappah; Levine, Eugene (1991). "sumas armónicas p-integrales". Matemáticas discretas . 91 (3): 249–257. doi : 10.1016/0012-365X(90)90234-9 .
9. Boyd, David W. (1994). "Un estudio p-ádico de las sumas parciales de las series armónicas". Matemáticas experimentales . 3 (4): 287–302. CiteSeerX 10.1.1.56.7026 . doi :10.1080/10586458.1994.10504298. 
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Referencias

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Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Número armónico". MathWorld .

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