El postulado de Bertrand

José Luis François Bertrand

Existencia de un número primo entre cualquier número y su doble

En teoría de números , el postulado de Bertrand es el teorema de que para cualquier número entero existe al menos un número primo con ${\displaystyle n>3}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle n<p<2n-2.}$

Una formulación menos restrictiva es: para cada , siempre hay al menos un primo tal que ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle n<p<2n.}$

Otra formulación, donde está el -ésimo primo, es: para ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle p_{n+1}<2p_{n}.}$^[1]

Esta afirmación fue conjeturada por primera vez en 1845 por Joseph Bertrand ^[2] (1822-1900). El propio Bertrand verificó su afirmación para todos los números enteros . ${\displaystyle 2\leq n\leq 3\,000\,000}$

Su conjetura fue completamente demostrada por Chebyshev (1821-1894) en 1852 ^[3] , por lo que el postulado también se denomina teorema de Bertrand-Chebyshev o teorema de Chebyshev . El teorema de Chebyshev también se puede expresar como una relación con , la función de recuento de primos (número de primos menor o igual que ): ${\displaystyle \pi (x)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \pi (x)-\pi {\bigl (}{\tfrac {x}{2}}{\bigr )}\geq 1,{\text{ for all }}x\geq 2.}$

Teorema de los números primos

El teorema de los números primos (PNT) implica que el número de primos hasta x es aproximadamente x /ln( x ), por lo que si reemplazamos x con 2 x entonces vemos que el número de primos hasta 2 x es asintóticamente el doble del número de primos hasta x (los términos ln(2 x ) y ln( x ) son asintóticamente equivalentes). Por lo tanto, el número de primos entre n y 2 n es aproximadamente n /ln( n ) cuando n es grande, por lo que, en particular, hay muchos más primos en este intervalo de los que garantiza el postulado de Bertrand. De modo que el postulado de Bertrand es comparativamente más débil que el del PNT. Pero el PNT es un teorema profundo, mientras que el Postulado de Bertrand puede enunciarse de manera más memorable y demostrarse más fácilmente, y también hace afirmaciones precisas sobre lo que sucede con valores pequeños de n . (Además, el teorema de Chebyshev fue demostrado antes del PNT y por eso tiene interés histórico).

La conjetura de Legendre, similar y aún sin resolver, pregunta si para cada n  ≥ 1, existe un primo p tal que n ² < p < ( n  + 1) ² . Nuevamente esperamos que haya no solo uno sino muchos primos entre n ² y ( n  + 1) ² , pero en este caso el PNT no ayuda: el número de primos hasta x ² es asintótico con x ² /ln ( x ² ) mientras que el número de primos hasta ( x  + 1) ² es asintótico con respecto a ( x  + 1) ² /ln(( x  + 1) ² ), que es asintótico con la estimación de los primos hasta x ² . Entonces, a diferencia del caso anterior de x y 2 x, no obtenemos una prueba de la conjetura de Legendre ni siquiera para todos los n grandes . Las estimaciones de error en el PNT no son (de hecho, no pueden ser) suficientes para probar la existencia de ni siquiera un primo en este intervalo.

Generalizaciones

En 1919, Ramanujan (1887-1920) utilizó las propiedades de la función Gamma para dar una prueba más sencilla que la de Chebyshev. ^[4] Su breve artículo incluía una generalización del postulado, del que más tarde surgiría el concepto de primos de Ramanujan . También se han descubierto más generalizaciones de los números primos de Ramanujan; por ejemplo, hay una prueba de que

${\displaystyle 2p_{i-n}>p_{i}{\text{ for }}i>k{\text{ where }}k=\pi (p_{k})=\pi (R_{n})\,,}$

con p _k el k -ésimo primo y R _n el n- ésimo primo de Ramanujan.

Se han obtenido otras generalizaciones del postulado de Bertrand utilizando métodos elementales. (A continuación, n recorre el conjunto de números enteros positivos). En 1973, Denis Hanson demostró que existe un número primo entre 3 n y 4 n . ^[5] En 2006, aparentemente inconsciente del resultado de Hanson, M. El Bachraoui propuso una prueba de que existe un número primo entre 2 n y 3 n . ^[6]

El postulado de Bertrand sobre los enteros gaussianos es una extensión de la idea de la distribución de números primos, pero en este caso en el plano complejo. Así, como los números primos gaussianos se extienden sobre el plano y no sólo a lo largo de una recta, y duplicar un número complejo no es simplemente multiplicarlo por 2 sino duplicar su norma (multiplicar por 1+i), diferentes definiciones conducen a diferentes resultados, algunos de ellos siguen siendo conjeturas. , algunos probados. ^[7]

Teorema de Sylvester

El postulado de Bertrand fue propuesto para aplicaciones a grupos de permutación . Sylvester (1814-1897) generalizó el enunciado más débil con el enunciado: el producto de k enteros consecutivos mayores que k es divisible por un primo mayor que k . El postulado (más débil) de Bertrand se deriva de esto tomando k  =  n y considerando los k números n  + 1, n  + 2, hasta n  +  k = 2 n inclusive , donde n  > 1. Según la generalización de Sylvester, uno de estos números tiene un factor primo mayor que  k . Dado que todos estos números son menores que 2 ( k  + 1), el número con un factor primo mayor que  k tiene solo un factor primo y, por lo tanto, es primo. Tenga en cuenta que 2 n no es primo y, por lo tanto, ahora sabemos que existe un primo  p con n  <  p  < 2 n .

Teoremas de Erdős

En 1932, Erdős (1913-1996) también publicó una prueba más sencilla utilizando coeficientes binomiales y la función de Chebyshev , definida como: ${\displaystyle \vartheta }$

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p=2}^{x}\ln(p)}$

donde p ≤ x pasa por números primos. Vea la prueba del postulado de Bertrand para más detalles. ^[8]

Erdős demostró en 1934 que para cualquier entero positivo k , existe un número natural N tal que para todo n  >  N , hay al menos k primos entre n y 2 n . Ramanujan había demostrado una afirmación equivalente en 1919 (ver Ramanujan prime ).

Mejores resultados

Del teorema de los números primos se deduce que para cualquier real existe un tal que para todo existe un primo tal que . Se puede demostrar, por ejemplo, que ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle n_{0}>0}$ ${\displaystyle n>n_{0}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n<p<(1+\varepsilon )n}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\pi ((1+\varepsilon )n)-\pi (n)}{n/\log n}}=\varepsilon ,}$

lo que implica que va al infinito (y, en particular, es mayor que 1 para lo suficientemente grande ). ^[9] ${\displaystyle \pi ((1+\varepsilon )n)-\pi (n)}$ ${\displaystyle n}$

También se han demostrado límites no asintóticos. En 1952, Jitsuro Nagura demostró que siempre hay un número primo entre y . ^[10] ${\displaystyle n\geq 25}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\bigl (}1+{\tfrac {1}{5}}{\bigr )}n}$

En 1976, Lowell Schoenfeld demostró que para , siempre hay un primo en el intervalo abierto . ^[11] ${\displaystyle n\geq 2\,010\,760}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n<p<{\bigl (}1+{\tfrac {1}{16\,597}}{\bigr )}n}$

En su tesis doctoral de 1998, Pierre Dusart mejoró el resultado anterior, demostrando que para , y en particular para , existe un primo en el intervalo . ^[12] ${\displaystyle k\geq 463}$ ${\displaystyle p_{k+1}\leq \left(1+{\frac {1}{2\ln ^{2}{p_{k}}}}\right)p_{k}}$ ${\displaystyle x\geq 3\,275}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x<p\leq \left(1+{\frac {1}{2\ln ^{2}{x}}}\right)x}$

En 2010, Pierre Dusart demostró que hay al menos un primo en el intervalo . ^[13] ${\displaystyle x\geq 396\,738}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x<p\leq \left(1+{\frac {1}{25\ln ^{2}{x}}}\right)x}$

En 2016, Pierre Dusart mejoró su resultado de 2010, demostrando (Proposición 5.4) que si , hay al menos un primo en el intervalo . ^[14] También muestra (Corolario 5.5) que para , hay al menos un primo en el intervalo . ${\displaystyle x\geq 89\,693}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x<p\leq \left(1+{\frac {1}{\ln ^{3}{x}}}\right)x}$ ${\displaystyle x\geq 468\,991\,632}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x<p\leq \left(1+{\frac {1}{5\,000\ln ^{2}{x}}}\right)x}$

Baker, Harman y Pintz demostraron que existe un primo en el intervalo para todo lo suficientemente grande . ^[15] ${\displaystyle [x-x^{0.525},\,x]}$ ${\displaystyle x}$

Dudek demostró que para todos hay al menos un primo entre y . ^[dieciséis] ${\displaystyle n\geq e^{e^{33.3}}}$ ${\displaystyle n^{3}}$ ${\displaystyle (n+1)^{3}}$

Dudek también demostró que la hipótesis de Riemann implica que para todo existe un primo que satisface ${\displaystyle x\geq 2}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle x-{\frac {4}{\pi }}{\sqrt {x}}\log x<p\leq x.}$^[17]

Consecuencias

• La secuencia de números primos, junto con el 1, es una secuencia completa ; cualquier número entero positivo se puede escribir como una suma de números primos (y 1) usando cada uno de ellos como máximo una vez.
• El único número armónico que es entero es el número 1. ^[18]

Ver también

• La conjetura de Oppermann.
• brecha principal
• Prueba del postulado de Bertrand
• Ramanujan principal

Notas

1. Ribenboim, Paulo (2004). El pequeño libro de los primos más grandes . Nueva York: Springer-Verlag. pag. 181.ISBN​ 978-0-387-20169-6.
2. Bertrand, Joseph (1845), "Mémoire sur le nombre de valeurs que peut prendre une fonction quand on y permute les lettres qu'elle renferme.", Journal de l'École Royale Polytechnique (en francés), 18 (Cahier 30) : 123-140.
3. Tchebychev, P. (1852), "Mémoire sur les nombres premiers". (PDF) , Journal de mathématiques pures et appliquées , Série 1 (en francés): 366–390. (Prueba del postulado: 371-382). Véase también Tchebychev, P. (1854), "Mémoire sur les nombres premiers.", Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg (en francés), 7 : 15–33.
4. Ramanujan, S. (1919), "Una prueba del postulado de Bertrand", Revista de la Sociedad Matemática de la India , 11 : 181–182
5. Hanson, Denis (1973), "Sobre un teorema de Sylvester y Schur", Canadian Mathematical Bulletin , 16 (2): 195–199, doi : 10.4153/CMB-1973-035-3.
6. El Bachraoui, Mohamed (2006), "Primos en el intervalo [2n,3n]", Revista Internacional de Ciencias Matemáticas Contemporáneas , 1
7. Madhuparna Das (2019), Generalización del postulado de Bertrand para los primos gaussianos , arXiv : 1901.07086v2
8. Erdős, P. (1932), "Beweis eines Satzes von Tschebyschef" (PDF) , Acta Litt. Ciencia. (Szeged) (en alemán), 5 (1930-1932): 194-198
9. GH Hardy y EM Wright, Introducción a la teoría de números , 6ª ed., Oxford University Press, 2008, pág. 494.
10. Nagura, J (1952), "Sobre el intervalo que contiene al menos un número primo", Actas de la Academia de Japón, Serie A , 28 (4): 177–181, doi : 10.3792/pja/1195570997
11. Lowell Schoenfeld (abril de 1976), "Límites más nítidos para las funciones de Chebyshev θ ( x ) y ψ ( x ), II", Matemáticas de la Computación , 30 (134): 337–360, doi :10.2307/2005976, JSTOR  2005976
12. Dusart, Pierre (1998), Autour de la fonction qui compte le nombre de nombres premiers (PDF) (tesis doctoral) (en francés)
13. Dusart, Pierre (2010). "Estimaciones de algunas funciones sobre números primos sin RH". arXiv : 1002.0442 [matemáticas.NT].
14. Dusart, Pierre (2016), "Estimaciones explícitas de algunas funciones sobre números primos", The Ramanujan Journal , 45 : 227–251, doi :10.1007/s11139-016-9839-4, S2CID  125120533
15. Panadero, RC; Harman, G.; Pintz, J. (2001), "La diferencia entre números primos consecutivos, II", Actas de la Sociedad Matemática de Londres , 83 (3): 532–562, CiteSeerX 10.1.1.360.3671 , doi :10.1112/plms/83.3.532 , S2CID  8964027 
16. Dudek, Adrian (diciembre de 2016), "Un resultado explícito para números primos entre cubos", Funct. Aprox. , 55 (2): 177–197, arXiv : 1401.4233 , doi : 10.7169/facm/2016.55.2.3, S2CID  119143089
17. Dudek, Adrian W. (21 de agosto de 2014), "Sobre la hipótesis de Riemann y la diferencia entre números primos", Revista Internacional de Teoría de Números , 11 (3): 771–778, arXiv : 1402.6417 , Bibcode : 2014arXiv1402.6417D, doi :10.1142/S1793042115500426, ISSN  1793-0421, S2CID  119321107
18. Ronald L., Graham; Donald E., Knuth; Oren, Patashnik (1994). Matemáticas concretas: una base para la informática . Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-55802-9.

Bibliografía

• P. Erdős (1934), "Un teorema de Sylvester y Schur", Revista de la Sociedad Matemática de Londres , 9 (4): 282–288, doi :10.1112/jlms/s1-9.4.282
• Jitsuro Nagura (1952), "Sobre el intervalo que contiene al menos un número primo", Proc. Académico de Japón. , 28 (4): 177–181, doi : 10.3792/pja/1195570997
• Chris Caldwell, postulado de Bertrand en el glosario de Prime Pages .
• H. Ricardo (2005), "La conjetura de Goldbach implica el postulado de Bertrand", Amer. Matemáticas. Mensual , 112 : 492
• Hugh L. Montgomery ; Robert C. Vaughan (2007). Teoría de los números multiplicativos I. Teoría clásica . Tratados de Cambridge sobre matemáticas avanzadas. vol. 97. Cambridge: Universidad de Cambridge. Prensa. pag. 49.ISBN​ 978-0-521-84903-6.
• J. Sondow (2009), "Los primos de Ramanujan y el postulado de Bertrand", Amer. Matemáticas. Mensual , 116 (7): 630–635, arXiv : 0907.5232 , doi : 10.4169/193009709x458609

enlaces externos

• Sondow, Jonathan y Weisstein, Eric W. "Postulado de Bertrand". MundoMatemático .
• Una prueba de la versión débil en el sistema Mizar : http://mizar.org/version/current/html/nat_4.html#T56
• Postulado de Bertrand − Una prueba de la versión débil en www.dimostriamogoldbach.it/en/