¿Está cada par de números cuadrados y números pronicos (ambos mayores que uno) separados por al menos un número primo?
La conjetura de Oppermann es un problema no resuelto en matemáticas sobre la distribución de números primos . [1] Está estrechamente relacionada, pero más fuerte que, con la conjetura de Legendre , la conjetura de Andrica y la conjetura de Brocard . Lleva el nombre del matemático danés Ludvig Oppermann , quien lo anunció en una conferencia inédita en marzo de 1877. [2]
La conjetura establece que, para cada número entero x > 1, existe al menos un número primo entre
y al menos otro primo entre
También se puede expresar de manera equivalente diciendo que la función de conteo de primos debe tomar valores desiguales en los extremos de cada rango. [3] Es decir:
siendo π ( x ) el número de números primos menores o iguales a x . Los puntos finales de estos dos rangos son un cuadrado entre dos números pronicos , siendo cada uno de los números pronicos dos veces un par de números triangulares . La suma del par de números triangulares es el cuadrado.
Si la conjetura es cierta, entonces el tamaño de la brecha sería del orden de
Esto también significa que habría al menos dos primos entre x 2 y ( x + 1) 2 (uno en el rango de x 2 a x ( x + 1) y el segundo en el rango de x ( x + 1) a ( x + 1) 2 ), fortaleciendo la conjetura de Legendre de que hay al menos un primo en este rango. Debido a que hay al menos un no primo entre dos primos impares, también implicaría la conjetura de Brocard de que hay al menos cuatro primos entre los cuadrados de primos impares consecutivos. [1] Además, implicaría que las mayores brechas posibles entre dos números primos consecutivos podrían ser, como máximo, proporcionales al doble de la raíz cuadrada de los números, como afirma la conjetura de Andrica .
La conjetura también implica que se puede encontrar al menos un número primo en cada cuarto de revolución de la espiral de Ulam .
Incluso para valores pequeños de x , el número de números primos en los rangos dados por la conjetura es mucho mayor que 1, lo que proporciona una fuerte evidencia de que la conjetura es cierta. Sin embargo, la conjetura de Oppermann no ha sido probada hasta 2011. [1][actualizar]
