Postulado de Bertrand

José Luis François Bertrand

Existencia de un número primo entre cualquier número y su doble

En teoría de números , el postulado de Bertrand es el teorema que establece que para cualquier número entero existe al menos un número primo con ${\displaystyle n>3}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle n<p<2n-2.}$

Una formulación menos restrictiva es: para cada , siempre hay al menos un primo tal que ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle n<p<2n.}$

Otra formulación, donde es el -ésimo primo, es: para ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle p_{n+1}<2p_{n}.}$^[1]

Esta afirmación fue formulada por primera vez en 1845 por Joseph Bertrand ^[2] (1822-1900). El propio Bertrand verificó su afirmación para todos los números enteros . ${\displaystyle 2\leq n\leq 3\,000\,000}$

Su conjetura fue demostrada completamente por Chebyshev (1821-1894) en 1852 ^[3] y por eso el postulado también se llama teorema de Bertrand-Chebyshev o teorema de Chebyshev . El teorema de Chebyshev también puede enunciarse como una relación con , la función de conteo de primos (número de primos menores o iguales a ): ${\displaystyle \pi (x)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \pi (x)-\pi {\bigl (}{\tfrac {x}{2}}{\bigr )}\geq 1,{\text{ for all }}x\geq 2.}$

Teorema de los números primos

El teorema de los números primos (TNP) implica que el número de primos hasta x es aproximadamente x /ln( x ), por lo que si reemplazamos x por 2 x entonces vemos que el número de primos hasta 2 x es asintóticamente el doble del número de primos hasta x (los términos ln(2 x ) y ln( x ) son asintóticamente equivalentes). Por lo tanto, el número de primos entre n y 2 n es aproximadamente n /ln( n ) cuando n es grande, y por lo tanto, en particular, hay muchos más primos en este intervalo de los que garantiza el postulado de Bertrand. Por lo tanto, el postulado de Bertrand es comparativamente más débil que el TNP. Pero el TNP es un teorema profundo, mientras que el Postulado de Bertrand puede enunciarse de manera más memorable y demostrarse más fácilmente, y también hace afirmaciones precisas sobre lo que sucede para valores pequeños de n . (Además, el teorema de Chebyshev fue demostrado antes del TNP y, por lo tanto, tiene interés histórico).

La conjetura de Legendre, similar y aún sin resolver, pregunta si para cada n  ≥ 1, existe un primo p tal que n ² < p < ( n  + 1) ² . Nuevamente esperamos que no solo haya uno sino muchos primos entre n ² y ( n  + 1) ² , pero en este caso el PNT no ayuda: el número de primos hasta x ² es asintótico a x ² /ln( x ² ) mientras que el número de primos hasta ( x  + 1) ² es asintótico a ( x  + 1) ² /ln(( x  + 1) ² ), que es asintótico a la estimación de primos hasta x ² . Entonces, a diferencia del caso anterior de x y 2 x , no obtenemos una prueba de la conjetura de Legendre incluso para todos los n grandes . Las estimaciones de error en el PNT no son (de hecho, no pueden ser) suficientes para demostrar la existencia de siquiera un primo en este intervalo.

Generalizaciones

En 1919, Ramanujan (1887-1920) utilizó propiedades de la función Gamma para dar una prueba más simple que la de Chebyshev. ^[4] Su breve artículo incluía una generalización del postulado, del que luego surgiría el concepto de primos de Ramanujan . También se han descubierto más generalizaciones de los primos de Ramanujan; por ejemplo, hay una prueba de que

${\displaystyle 2p_{i-n}>p_{i}{\text{ for }}i>k{\text{ where }}k=\pi (p_{k})=\pi (R_{n})\,,}$

siendo p _k el k -ésimo primo y R _n el n- ésimo primo de Ramanujan.

Se han obtenido otras generalizaciones del postulado de Bertrand utilizando métodos elementales. (En lo que sigue, n recorre el conjunto de los enteros positivos). En 1973, Denis Hanson demostró que existe un primo entre 3 n y 4 n . ^[5] En 2006, aparentemente sin saber del resultado de Hanson, M. El Bachraoui propuso una prueba de que existe un primo entre 2 n y 3 n . ^[6] Shevelev, Greathouse y Moses (2013) analizan resultados relacionados para intervalos similares. ^[7]

El postulado de Bertrand sobre los números enteros de Gauss es una extensión de la idea de la distribución de los números primos, pero en este caso sobre el plano complejo. Así, como los números primos de Gauss se extienden sobre el plano y no sólo sobre una línea, y duplicar un número complejo no es simplemente multiplicarlo por 2 sino duplicar su norma (multiplicarlo por 1+i), distintas definiciones conducen a distintos resultados, algunos de los cuales siguen siendo conjeturas, otros demostrados. ^[8]

Teorema de Sylvester

El postulado de Bertrand fue propuesto para aplicaciones a grupos de permutación . Sylvester (1814–1897) generalizó el enunciado más débil con el enunciado: el producto de k enteros consecutivos mayores que k es divisible por un primo mayor que k . El postulado (más débil) de Bertrand se deduce de esto tomando k  =  n y considerando los k números n  + 1, n  + 2, hasta n  +  k = 2 n inclusive , donde n  > 1. Según la generalización de Sylvester, uno de estos números tiene un factor primo mayor que  k . Como todos estos números son menores que 2( k  + 1), el número con un factor primo mayor que  k tiene solo un factor primo y, por lo tanto, es primo. Nótese que 2 n no es primo y, por lo tanto, ahora sabemos que existe un primo  p con n  <  p  < 2 n .

Teoremas de Erdös

En 1932, Erdős (1913-1996) también publicó una prueba más simple utilizando coeficientes binomiales y la función de Chebyshev , definida como: ${\displaystyle \vartheta }$

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p=2}^{x}\ln(p)}$

donde p ≤ x se extiende sobre números primos. Véase la prueba del postulado de Bertrand para más detalles. ^[9]

Erdős demostró en 1934 que para cualquier entero positivo k , existe un número natural N tal que para todo n  >  N , existen al menos k primos entre n y 2 n . Una afirmación equivalente había sido demostrada en 1919 por Ramanujan (véase Ramanujan primo ).

Mejores resultados

Del teorema de los números primos se deduce que para cualquier número real existe un número tal que para todo hay un número primo tal que . Se puede demostrar, por ejemplo, que ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle n_{0}>0}$ ${\displaystyle n>n_{0}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n<p<(1+\varepsilon )n}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\pi ((1+\varepsilon )n)-\pi (n)}{n/\log n}}=\varepsilon ,}$

lo que implica que tiende al infinito (y, en particular, es mayor que 1 para suficientemente grande ). ^[10] ${\displaystyle \pi ((1+\varepsilon )n)-\pi (n)}$ ${\displaystyle n}$

También se han demostrado límites no asintóticos. En 1952, Jitsuro Nagura demostró que para α siempre hay un primo entre α y α . ^[11] ${\displaystyle n\geq 25}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\bigl (}1+{\tfrac {1}{5}}{\bigr )}n}$

En 1976, Lowell Schoenfeld demostró que para , siempre hay un primo en el intervalo abierto . ^[12] ${\displaystyle n\geq 2\,010\,760}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n<p<{\bigl (}1+{\tfrac {1}{16\,597}}{\bigr )}n}$

En su tesis doctoral de 1998, Pierre Dusart mejoró el resultado anterior, mostrando que para , , y en particular para , existe un primo en el intervalo . ^[13] ${\displaystyle k\geq 463}$ ${\displaystyle p_{k+1}\leq \left(1+{\frac {1}{2\ln ^{2}{p_{k}}}}\right)p_{k}}$ ${\displaystyle x\geq 3\,275}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x<p\leq \left(1+{\frac {1}{2\ln ^{2}{x}}}\right)x}$

En 2010, Pierre Dusart demostró que para α hay al menos un primo en el intervalo . ^[14] ${\displaystyle x\geq 396\,738}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x<p\leq \left(1+{\frac {1}{25\ln ^{2}{x}}}\right)x}$

En 2016, Pierre Dusart mejoró su resultado de 2010, mostrando (Proposición 5.4) que si , hay al menos un primo en el intervalo . ^[15] También muestra (Corolario 5.5) que para , hay al menos un primo en el intervalo . ${\displaystyle x\geq 89\,693}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x<p\leq \left(1+{\frac {1}{\ln ^{3}{x}}}\right)x}$ ${\displaystyle x\geq 468\,991\,632}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x<p\leq \left(1+{\frac {1}{5\,000\ln ^{2}{x}}}\right)x}$

Baker, Harman y Pintz demostraron que existe un primo en el intervalo para todos los números suficientemente grandes . ^[16] ${\displaystyle [x-x^{0.525},\,x]}$ ${\displaystyle x}$

Dudek demostró que para todo , hay al menos un primo entre y . ^[17] ${\displaystyle n\geq e^{e^{33.3}}}$ ${\displaystyle n^{3}}$ ${\displaystyle (n+1)^{3}}$

Dudek también demostró que la hipótesis de Riemann implica que para todo existe un primo que satisface ${\displaystyle x\geq 2}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle x-{\frac {4}{\pi }}{\sqrt {x}}\log x<p\leq x.}$^[18]

Consecuencias

• La secuencia de números primos, junto con 1, es una secuencia completa ; cualquier número entero positivo puede escribirse como una suma de números primos (y 1) utilizando cada uno como máximo una vez.
• El único número armónico que es entero es el número 1. ^[19]

Véase también

• Conjetura de Oppermann
• Brecha principal
• Prueba del postulado de Bertrand
• Ramanujan, el primer libro

Notas

1. Ribenboim, Paulo (2004). El pequeño libro de los números primos más grandes . Nueva York: Springer-Verlag. p. 181. ISBN 978-0-387-20169-6.
2. Bertrand, Joseph (1845), "Mémoire sur le nombre de valeurs que peut prendre une fonction quand on y permute les lettres qu'elle renferme.", Journal de l'École Royale Polytechnique (en francés), 18 (Cahier 30) : 123-140.
3. Tchebychev, P. (1852), "Mémoire sur les nombres premiers". (PDF) , Journal de mathématiques pures et appliquées , Série 1 (en francés): 366–390. (Prueba del postulado: 371-382). Véase también Tchebychev, P. (1854), "Mémoire sur les nombres premiers.", Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg (en francés), 7 : 15–33.
4. Ramanujan, S. (1919), "Una prueba del postulado de Bertrand", Revista de la Sociedad Matemática de la India , 11 : 181–182
5. Hanson, Denis (1973), "Sobre un teorema de Sylvester y Schur", Canadian Mathematical Bulletin , 16 (2): 195–199, doi : 10.4153/CMB-1973-035-3.
6. El Bachraoui, Mohamed (2006), "Números primos en el intervalo [2n,3n]", Revista Internacional de Ciencias Matemáticas Contemporáneas , 1
7. Shevelev, Vladimir; Greathouse, Charles R.; Moses, Peter JC (2013), "Sobre intervalos (kn,(k + 1)n) que contienen un primo para todos los n > 1" (PDF) , Journal of Integer Sequences , 16 (7), ISSN  1530-7638
8. Madhuparna Das (2019), Generalización del postulado de Bertrand para primos gaussianos , arXiv : 1901.07086v2
9. Erdős, P. (1932), "Beweis eines Satzes von Tschebyschef" (PDF) , Acta Litt. Ciencia. (Szeged) (en alemán), 5 (1930-1932): 194-198
10. GH Hardy y EM Wright, Introducción a la teoría de números , 6.ª ed., Oxford University Press, 2008, pág. 494.
11. Nagura, J (1952), "Sobre el intervalo que contiene al menos un número primo", Actas de la Academia Japonesa, Serie A , 28 (4): 177–181, doi : 10.3792/pja/1195570997
12. Lowell Schoenfeld (abril de 1976), "Límites más precisos para las funciones de Chebyshev θ ( x ) y ψ ( x ), II", Matemáticas de la computación , 30 (134): 337–360, doi :10.2307/2005976, JSTOR  2005976
13. Dusart, Pierre (1998), Autour de la fonction qui compte le nombre de nombres premiers (PDF) (tesis doctoral) (en francés)
14. Dusart, Pierre (2010). "Estimaciones de algunas funciones sobre números primos sin RH". arXiv : 1002.0442 [math.NT].
15. Dusart, Pierre (2016), "Estimaciones explícitas de algunas funciones sobre números primos", The Ramanujan Journal , 45 : 227–251, doi :10.1007/s11139-016-9839-4, S2CID  125120533
16. Baker, RC; Harman, G.; Pintz, J. (2001), "La diferencia entre primos consecutivos, II", Actas de la London Mathematical Society , 83 (3): 532–562, CiteSeerX 10.1.1.360.3671 , doi :10.1112/plms/83.3.532, S2CID  8964027 
17. Dudek, Adrian (diciembre de 2016), "Un resultado explícito para primos entre cubos", Funct. App. , 55 (2): 177–197, arXiv : 1401.4233 , doi :10.7169/facm/2016.55.2.3, S2CID  119143089
18. Dudek, Adrian W. (21 de agosto de 2014), "Sobre la hipótesis de Riemann y la diferencia entre números primos", International Journal of Number Theory , 11 (3): 771–778, arXiv : 1402.6417 , Bibcode :2014arXiv1402.6417D, doi :10.1142/S1793042115500426, ISSN  1793-0421, S2CID  119321107
19. Ronald L., Graham; Donald E., Knuth; Oren, Patashnik (1994). Matemáticas concretas: una base para la informática . Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-55802-9.

Bibliografía

• P. Erdős (1934), "Un teorema de Sylvester y Schur", Revista de la Sociedad Matemática de Londres , 9 (4): 282–288, doi :10.1112/jlms/s1-9.4.282
• Jitsuro Nagura (1952), "Sobre el intervalo que contiene al menos un número primo", Proc. Japan Acad. , 28 (4): 177–181, doi : 10.3792/pja/1195570997
• Chris Caldwell, postulado de Bertrand en el glosario de Prime Pages .
• H. Ricardo (2005), "La conjetura de Goldbach implica el postulado de Bertrand", Amer. Math. Monthly , 112 : 492
• Hugh L. Montgomery ; Robert C. Vaughan (2007). Teoría de números multiplicativos I. Teoría clásica . Cambridge Tracts in Advanced Mathematics. Vol. 97. Cambridge: Cambridge Univ. Press. p. 49. ISBN 978-0-521-84903-6.
• J. Sondow (2009), "Primos de Ramanujan y postulado de Bertrand", Amer. Math. Monthly , 116 (7): 630–635, arXiv : 0907.5232 , doi :10.4169/193009709x458609

Enlaces externos

• Sondow, Jonathan y Weisstein, Eric W. "Postulado de Bertrand". MathWorld .
• Una prueba de la versión débil del sistema Mizar : http://mizar.org/version/current/html/nat_4.html#T56
• Postulado de Bertrand − Una prueba de la versión débil en www.dimostriamogoldbach.it/en/