Función de conteo de primos

Función que representa el número de primos menores o iguales a un número dado

En matemáticas , la función de conteo de primos es la función que cuenta el número de números primos menores o iguales a algún número real x . ^{[1] [2]} Se denota por π ( x ) (sin relación con el número π ).

Los valores de π ( n ) para los primeros 60 enteros positivos

Tasa de crecimiento

De gran interés en la teoría de números es la tasa de crecimiento de la función de conteo de primos. ^{[3] [4]} Gauss y Legendre conjeturaron a finales del siglo XVIII que era aproximadamente donde log es el logaritmo natural , en el sentido de que esta afirmación es el teorema de los números primos . Una afirmación equivalente es donde li es la función integral logarítmica . El teorema de los números primos fue demostrado por primera vez en 1896 por Jacques Hadamard y Charles de la Vallée Poussin de forma independiente, utilizando propiedades de la función zeta de Riemann introducida por Riemann en 1859. Se encontraron pruebas del teorema de los números primos sin utilizar la función zeta ni análisis complejos. alrededor de 1948 por Atle Selberg y Paul Erdős (en su mayor parte de forma independiente). ^[5] $${\displaystyle {\frac {x}{\log(x)}}}$$ $${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\log(x)}}=1.}$$ $${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{\operatorname {li} (x)}}=1}$$

Estimaciones más precisas

En 1899, de la Vallée Poussin demostró que ^[6] para alguna constante positiva a . Aquí, O (...) es la notación O grande . $${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\log x}}}\right)\quad {\text{as }}x\to \infty }$$

Ahora se conocen estimaciones más precisas de π ( x ) . Por ejemplo, en 2002, Kevin Ford demostró que ^[7] $${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(x\exp \left(-0.2098(\log x)^{3/5}(\log \log x)^{-1/5}\right)\right).}$$

Mossinghoff y Trudgian demostraron ^[8] un límite superior explícito para la diferencia entre π ( x ) y li( x ) : $${\displaystyle {\bigl |}\pi (x)-\operatorname {li} (x){\bigr |}\leq 0.2593{\frac {x}{(\log x)^{3/4}}}\exp \left(-{\sqrt {\frac {\log x}{6.315}}}\right)\quad {\text{for }}x\geq 229.}$$

Para valores de x que no son excesivamente grandes, li( x ) es mayor que π ( x ) . Sin embargo, se sabe que π ( x ) − li ( x ) cambia de signo infinitas veces. Para una discusión sobre esto, consulte el número de Skewes .

forma exacta

Para x > 1 sea π ₀ ( x ) = π ( x ) − ⁠1/2⁠ cuando x es un número primo, y π ₀ ( x ) = π ( x ) en caso contrario. Bernhard Riemann , en su obra Sobre el número de primos menores que una magnitud dada , demostró que π ₀ ( x ) es igual a ^[9]

Fórmula explícita de Riemann utilizando los primeros 200 ceros no triviales de la función zeta

$${\displaystyle \pi _{0}(x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho }),}$$donde μ ( n ) es la función de Möbius , li( x ) es la función integral logarítmica , ρ indexa cada cero de la función zeta de Riemann y li( x ^⁠ $${\displaystyle \operatorname {R} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} \left(x^{1/n}\right),}$$^ρ/norte⁠ )​​no se evalúa con uncorte de ramasino que se considera comoEi( ⁠ρ/norte⁠ log x ) donde Ei( x ) es la integral exponencial . Si se recopilan los ceros triviales y la suma se toma solo sobre los ceros no triviales ρ de la función zeta de Riemann, entonces π ₀ ( x ) puede aproximarse mediante ^[10] $${\displaystyle \pi _{0}(x)\approx \operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} \left(x^{\rho }\right)-{\frac {1}{\log(x)}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {\pi }{\log(x)}}.}$$

La hipótesis de Riemann sugiere que cada cero no trivial se encuentra a lo largo de Re( s ) = ⁠1/2⁠ .

Mesa deπ ( x ),⁠X/iniciar sesión ( x )⁠, yli( x )

La tabla compara los valores exactos de π ( x ) con las dos aproximaciones x /log x y li( x ) . La última columna, x / π ( x ) , es la brecha prima promedio debajo de  x .

Gráfico que muestra la relación de la función de conteo de primos π ( x ) con dos de sus aproximaciones, ⁠X/iniciar sesiónx⁠ y Li( x ) . A medida que x aumenta (tenga en cuenta que el eje x es logarítmico), ambas razones tienden a 1. La razón para ⁠X/iniciar sesiónx⁠ converge desde arriba muy lentamente, mientras que la relación para Li( x ) converge más rápidamente desde abajo.

En la Enciclopedia en línea de secuencias enteras , la columna π ( x ) es la secuencia OEIS : A006880 , π ( x ) − ⁠ X/iniciar sesiónx⁠ es la secuencia OEIS : A057835 , y li( x ) − π ( x ) es la secuencia OEIS : A057752 .

El valor de π (10 ²⁴ ) fue calculado originalmente por J. Buethe, J. Franke , A. Jost y T. Kleinjung asumiendo la hipótesis de Riemann . ^[11] Posteriormente fue verificado incondicionalmente en un cálculo realizado por DJ Platt. ^[12] El valor de π (10 ²⁵ ) se debe a J. Buethe, J. Franke , A. Jost y T. Kleinjung. ^[13] El valor de π (10 ²⁶ ) fue calculado por DB Staple. ^[14] Todas las demás entradas anteriores en esta tabla también fueron verificadas como parte de ese trabajo.

Los valores de 10 ²⁷ , 10 ²⁸ y 10 ²⁹ fueron anunciados por David Baugh y Kim Walisch en 2015, ^[15] 2020, ^[16] y 2022, ^[17] respectivamente.

Algoritmos para evaluarπ ( x )

Una forma sencilla de encontrar π ( x ) , si x no es demasiado grande, es usar el tamiz de Eratóstenes para producir los números primos menores o iguales a x y luego contarlos.

Una forma más elaborada de encontrar π ( x ) se debe a Legendre (usando el principio de inclusión-exclusión ): dado x , si p ₁ , p ₂ ,…, p _n son números primos distintos, entonces el número de números enteros menores que o igual a x que no es divisible por p _i es

${\displaystyle \lfloor x\rfloor -\sum _{i}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}}}\right\rfloor +\sum _{i<j}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}}}\right\rfloor -\sum _{i<j<k}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}p_{k}}}\right\rfloor +\cdots }$

(donde ⌊ x ⌋ denota la función suelo ). Por lo tanto, este número es igual a

${\displaystyle \pi (x)-\pi \left({\sqrt {x}}\right)+1}$

cuando los números p ₁ , p ₂ ,…, p _n son los números primos menores o iguales a la raíz cuadrada de x .

El algoritmo de Meissel-Lehmer

En una serie de artículos publicados entre 1870 y 1885, Ernst Meissel describió (y utilizó) una forma combinatoria práctica de evaluar π ( x ) : Sean p ₁ , p ₂ ,…, p _n los primeros n primos y denotemos por Φ( m , n ) el número de números naturales no mayores que m que no son divisibles por ninguno de los p _i para cualquier i ≤ n . Entonces

${\displaystyle \Phi (m,n)=\Phi (m,n-1)-\Phi \left({\frac {m}{p_{n}}},n-1\right).}$

Dado un número natural m , si n = π ( ³ √ m ) y si μ = π ( √ m ) − n , entonces

${\displaystyle \pi (m)=\Phi (m,n)+n(\mu +1)+{\frac {\mu ^{2}-\mu }{2}}-1-\sum _{k=1}^{\mu }\pi \left({\frac {m}{p_{n+k}}}\right).}$

Utilizando este enfoque, Meissel calculó π ( x ) , para x igual a5 × 10 ⁵ , 10 ⁶ , 10 ⁷ y 10 ⁸ .

En 1959, Derrick Henry Lehmer amplió y simplificó el método de Meissel. Defina, para m reales y para números naturales n y k , P _k ( m , n ) como el número de números no mayores que m con exactamente k factores primos, todos mayores que p _n . Además, establezca P ₀ ( m , n ) = 1 . Entonces

${\displaystyle \Phi (m,n)=\sum _{k=0}^{+\infty }P_{k}(m,n)}$

donde la suma en realidad sólo tiene un número finito de términos distintos de cero. Sea y un número entero tal que ³ √ m ≤ y ≤ √ m , y establezca n = π ( y ) . Entonces P ₁ ( m , n ) = π ( m ) − n y P _k ( m , n ) = 0 cuando k ≥ 3 . Por lo tanto,

${\displaystyle \pi (m)=\Phi (m,n)+n-1-P_{2}(m,n)}$

El cálculo de P ₂ ( m , n ) se puede obtener de esta manera:

${\displaystyle P_{2}(m,n)=\sum _{y<p\leq {\sqrt {m}}}\left(\pi \left({\frac {m}{p}}\right)-\pi (p)+1\right)}$

donde la suma es sobre números primos.

Por otro lado, el cálculo de Φ( m , n ) se puede realizar utilizando las siguientes reglas:

1. ${\displaystyle \Phi (m,0)=\lfloor m\rfloor }$
2. ${\displaystyle \Phi (m,b)=\Phi (m,b-1)-\Phi \left({\frac {m}{p_{b}}},b-1\right)}$

Usando su método y un IBM 701 , Lehmer pudo calcular el valor correcto de π (10 ⁹ ) y falló el valor correcto de π (10 ¹⁰ ) por 1. ^[18]

Lagarias, Miller, Odlyzko, Deléglise y Rivat realizaron más mejoras a este método. ^[19]

Otras funciones de conteo de primos

También se utilizan otras funciones de conteo de primos porque es más conveniente trabajar con ellas.

Función de conteo de potencias primarias de Riemann

La función de conteo de potencias primarias de Riemann generalmente se denota como Π ₀ ( x ) o J ₀ ( x ) . Tiene saltos de ⁠1/norte⁠ en potencias primas p ⁿ y toma un valor a medio camino entre los dos lados en las discontinuidades de π ( x ) . Ese detalle añadido se utiliza porque la función puede definirse mediante una transformada inversa de Mellin .

Formalmente, podemos definir Π ₀ ( x ) por

${\displaystyle \Pi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\left(\sum _{p^{n}<x}{\frac {1}{n}}+\sum _{p^{n}\leq x}{\frac {1}{n}}\right)\ }$

donde la variable p en cada suma abarca todos los primos dentro de los límites especificados.

También podemos escribir

${\displaystyle \ \Pi _{0}(x)=\sum _{n=2}^{x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}-{\frac {\Lambda (x)}{2\log x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\pi _{0}\left(x^{1/n}\right)}$

donde Λ es la función de von Mangoldt y

${\displaystyle \pi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\pi (x-\varepsilon )+\pi (x+\varepsilon )}{2}}.}$

La fórmula de inversión de Möbius da entonces

${\displaystyle \pi _{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\ \Pi _{0}\left(x^{1/n}\right),}$

donde μ ( n ) es la función de Möbius .

Conociendo la relación entre el logaritmo de la función zeta de Riemann y la función de von Mangoldt Λ , y utilizando la fórmula de Perron tenemos

${\displaystyle \log \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }\Pi _{0}(x)x^{-s-1}\,\mathrm {d} x}$

La función de Chebyshev

La función de Chebyshev pondera los números primos o potencias primas p ⁿ mediante log( p ) :

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta (x)&=\sum _{p\leq x}\log p\\\psi (x)&=\sum _{p^{n}\leq x}\log p=\sum _{n=1}^{\infty }\theta \left(x^{1/n}\right)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n).\end{aligned}}}$

Para x ≥ 2 , ^[20]

${\displaystyle \vartheta (x)=\pi (x)\log x-\int _{2}^{x}{\frac {\pi (t)}{t}}\,\mathrm {d} t}$

y

${\displaystyle \pi (x)={\frac {\vartheta (x)}{\log x}}+\int _{2}^{x}{\frac {\vartheta (t)}{t\log ^{2}(t)}}\mathrm {d} t.}$

Fórmulas para funciones de conteo de primos.

Las fórmulas para funciones de conteo de primos son de dos tipos: fórmulas aritméticas y fórmulas analíticas. Las fórmulas analíticas para el conteo de primos fueron las primeras que se utilizaron para demostrar el teorema de los números primos . Provienen del trabajo de Riemann y von Mangoldt y generalmente se conocen como fórmulas explícitas . ^[21]

Tenemos la siguiente expresión para la segunda función de Chebyshev ψ :

${\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log 2\pi -{\frac {1}{2}}\log \left(1-x^{-2}\right),}$

dónde

${\displaystyle \psi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\psi (x-\varepsilon )+\psi (x+\varepsilon )}{2}}.}$

Aquí ρ son los ceros de la función zeta de Riemann en la franja crítica, donde la parte real de ρ está entre cero y uno. La fórmula es válida para valores de x mayores que uno, que es la región de interés. La suma de las raíces es condicionalmente convergente y debe tomarse en orden creciente del valor absoluto de la parte imaginaria. Tenga en cuenta que la misma suma de las raíces triviales da el último sustraendo de la fórmula.

Para Π ₀ ( x ) tenemos una fórmula más complicada

${\displaystyle \Pi _{0}(x)=\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} \left(x^{\rho }\right)-\log 2+\int _{x}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t\left(t^{2}-1\right)\log t}}.}$

Nuevamente, la fórmula es válida para x > 1 , mientras que ρ son los ceros no triviales de la función zeta ordenados según su valor absoluto. La integral es igual a la serie sobre los ceros triviales:

${\displaystyle \int _{x}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t\left(t^{2}-1\right)\log t}}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{t\log t}}\left(\sum _{m}t^{-2m}\right)\,\mathrm {d} t=\sum _{m}\int _{x}^{\infty }{\frac {t^{-2m}}{t\log t}}\,\mathrm {d} t\,\,{\overset {\left(u=t^{-2m}\right)}{=}}-\sum _{m}\operatorname {li} \left(x^{-2m}\right)}$

El primer término li( x ) es la función integral logarítmica habitual ; la expresión li( x ^ρ ) en el segundo término debe considerarse como Ei( ρ log x ) , donde Ei es la continuación analítica de la función integral exponencial desde los reales negativos al plano complejo con rama cortada a lo largo de los reales positivos.

Así, la fórmula de inversión de Möbius nos da ^[10]

${\displaystyle \pi _{0}(x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} \left(x^{\rho }\right)-\sum _{m}\operatorname {R} \left(x^{-2m}\right)}$

válido para x > 1 , donde

${\displaystyle \operatorname {R} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} \left(x^{1/n}\right)=1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(\log x\right)^{k}}{k!k\zeta (k+1)}}}$

es la función R de Riemann ^[22] y μ ( n ) es la función de Möbius . La última serie se conoce como serie Gram . ^{[23] [24]} Debido a que log x < x para todo x > 0 , esta serie converge para todo x positivo en comparación con la serie para e ^x . El logaritmo en la serie de Gram de la suma sobre la contribución cero no trivial debe evaluarse como ρ log x y no log x ^ρ .

Folkmar Bornemann demostró, ^[25] al asumir la conjetura de que todos los ceros de la función zeta de Riemann son simples, ^{[nota 1]} que

${\displaystyle \operatorname {R} \left(e^{-2\pi t}\right)={\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}t^{-2k-1}}{(2k+1)\zeta (2k+1)}}+{\frac {1}{2}}\sum _{\rho }{\frac {t^{-\rho }}{\rho \cos {\frac {\pi \rho }{2}}\zeta '(\rho )}}}$

donde ρ pasa por los ceros no triviales de la función zeta de Riemann y t > 0 .

La suma de ceros zeta no triviales en la fórmula para π ₀ ( x ) describe las fluctuaciones de π ₀ ( x ), mientras que los términos restantes dan la parte "suave" de la función de conteo de primos, ^[26] por lo que se puede usar

${\displaystyle \operatorname {R} (x)-\sum _{m=1}^{\infty }\operatorname {R} \left(x^{-2m}\right)}$

como buen estimador de π ( x ) para x > 1 . De hecho, dado que el segundo término tiende a 0 cuando x → ∞ , mientras que la amplitud de la parte "ruidosa" es heurísticamente aproximadamente ⁠√x​/iniciar sesiónx⁠ , estimar π ( x ) solo mediante R( x ) es igual de bueno, y las fluctuaciones de la distribución de los números primos se pueden representar claramente con la función

${\displaystyle {\bigl (}\pi _{0}(x)-\operatorname {R} (x){\bigr )}{\frac {\log x}{\sqrt {x}}}.}$

Desigualdades

Aquí hay algunas desigualdades útiles para π ( x ) .

${\displaystyle {\frac {x}{\log x}}<\pi (x)<1.25506{\frac {x}{\log x}}}$

para x ≥ 17 .

La desigualdad de la izquierda se cumple para x ≥ 17 y la desigualdad de la derecha se cumple para x > 1 . La constante 1,25506 es ⁠30 registro 113/113⁠ con 5 decimales, como ⁠π ( x ) registro x/X⁠ tiene su valor máximo en x = 113 . ^[27]

Pierre Dusart lo demostró en 2010: ^[28]

${\displaystyle {\frac {x}{\log x-1}}<\pi (x)\quad {\text{for }}x\geq 5393,}$

y

${\displaystyle \pi (x)<{\frac {x}{\log x-1.1}}\quad {\text{for }}x\geq 60184.}$

Aquí hay algunas desigualdades para el n- ésimo primo, p _n . El límite superior se debe a Rosser (1941), ^[29] el inferior a Dusart (1999): ^[30]

${\displaystyle n(\log(n\log n)-1)<p_{n}<n{\log(n\log n)}\quad {\text{for }}n\geq 6.}$

La desigualdad de la izquierda es válida para n ≥ 2 y la desigualdad de la derecha es válida para n ≥ 6 .

Una aproximación para el n- ésimo número primo es

${\displaystyle p_{n}=n(\log(n\log n)-1)+{\frac {n(\log \log n-2)}{\log n}}+O\left({\frac {n(\log \log n)^{2}}{(\log n)^{2}}}\right).}$

Ramanujan ^[31] demostró que la desigualdad

${\displaystyle \pi (x)^{2}<{\frac {ex}{\log x}}\pi \left({\frac {x}{e}}\right)}$

es válido para todos los valores suficientemente grandes de x .

En 2010 ^[28] Dusart demostró (Proposición 6.6) que, para n ≥ 688383 ,

${\displaystyle p_{n}\leq n\left(\log n+\log \log n-1+{\frac {\log \log n-2}{\log n}}\right),}$

y (Proposición 6.7) que, para n ≥ 3 ,

${\displaystyle p_{n}\geq n\left(\log n+\log \log n-1+{\frac {\log \log n-2.1}{\log n}}\right).}$

Más recientemente, Dusart ^[32] ha demostrado (Teorema 5.1) que, para x > 1 ,

${\displaystyle \pi (x)\leq {\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}+{\frac {2}{\log ^{2}x}}+{\frac {7.59}{\log ^{3}x}}\right),}$

y que, para x ≥ 88789 ,

${\displaystyle \pi (x)>{\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}+{\frac {2}{\log ^{2}x}}\right).}$

La hipótesis de Riemann

La hipótesis de Riemann implica un límite mucho más estricto para el error en la estimación de π ( x ) y, por tanto, una distribución más regular de los números primos,

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O({\sqrt {x}}\log {x}).}$

Específicamente, ^[33]

${\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {\sqrt {x}}{8\pi }}\,\log {x},\quad {\text{for all }}x\geq 2657.}$

Dudek (2015) demostró que la hipótesis de Riemann implica que para todo x ≥ 2 existe un primo p que satisface

${\displaystyle x-{\frac {4}{\pi }}{\sqrt {x}}\log x<p\leq x.}$

Ver también

• El postulado de Bertrand
• La conjetura de Oppermann.
• Ramanujan principal

Referencias

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Notas

1. Montgomery demostró que (asumiendo la hipótesis de Riemann) al menos dos tercios de todos los ceros son simples.

enlaces externos

• Chris Caldwell, La enésima página principal en The Prime Pages .
• Tomás Oliveira e Silva, Tablas de funciones de recuento de primos.
• Dudek, Adrian W. (2015), "Sobre la hipótesis de Riemann y la diferencia entre números primos", Revista Internacional de Teoría de Números , 11 (3): 771–778, arXiv : 1402.6417 , Bibcode :2014arXiv1402.6417D, doi :10.1142/ S1793042115500426, ISSN  1793-0421, S2CID  119321107