Fórmulas explícitas para funciones L

Concepto matemático

En matemáticas , las fórmulas explícitas para las funciones L son relaciones entre sumas sobre los ceros de los números complejos de una función L y sumas sobre potencias primos , introducidas por Riemann (1859) para la función zeta de Riemann . Dichas fórmulas explícitas se han aplicado también a cuestiones sobre la delimitación del discriminante de un cuerpo de números algebraicos y del conductor de un cuerpo de números .

Fórmula explícita de Riemann

En su artículo de 1859 " Sobre el número de primos menores que una magnitud dada ", Riemann esbozó una fórmula explícita (no fue demostrada completamente hasta 1895 por von Mangoldt , ver más abajo) para la función de conteo de primos normalizada π ₀ ( x ) que está relacionada con la función de conteo de primos π( x ) por ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle \pi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\lim _{h\to 0}\left[\,\pi (x+h)+\pi (x-h)\,\right]\,,}$

que toma la media aritmética del límite desde la izquierda y el límite desde la derecha en las discontinuidades. ^[a] Su fórmula se dio en términos de la función relacionada

${\displaystyle f(x)=\pi _{0}(x)+{\frac {1}{2}}\,\pi _{0}(x^{1/2})+{\frac {1}{3}}\,\pi _{0}(x^{1/3})+\cdots }$

en el que una potencia prima p ⁿ cuenta como 1 ⁄ n de un primo. La función de conteo de primos normalizada se puede recuperar a partir de esta función mediante

^[1] ${\displaystyle \pi _{0}(x)=\sum _{n}{\frac {1}{n}}\,\mu (n)\,f(x^{1/n})=f(x)-{\frac {1}{2}}\,f(x^{1/2})-{\frac {1}{3}}\,f(x^{1/3})-{\frac {1}{5}}\,f(x^{1/5})+{\frac {1}{6}}\,f(x^{1/6})-\cdots ,}$

donde μ ( n ) es la función de Möbius . La fórmula de Riemann es entonces

${\displaystyle f(x)=\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })-\log(2)+\int _{x}^{\infty }{\frac {dt}{~t\,(t^{2}-1)~\log(t)~}}}$

que implica una suma sobre los ceros no triviales ρ de la función zeta de Riemann. La suma no es absolutamente convergente , pero puede evaluarse tomando los ceros en orden del valor absoluto de su parte imaginaria. La función li que aparece en el primer término es la función integral logarítmica (sin desplazamiento) dada por el valor principal de Cauchy de la integral divergente.

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\,\log(t)\,}}\,.}$

Los términos li( x ^ρ ) que involucran los ceros de la función zeta necesitan un cierto cuidado en su definición ya que li tiene puntos de ramificación en 0 y 1, y se definen por continuación analítica en la variable compleja ρ en la región x > 1 y Re( ρ ) > 0 . Los otros términos también corresponden a ceros: el término dominante li( x ) proviene del polo en s = 1 , considerado como un cero de multiplicidad −1, y los términos pequeños restantes provienen de los ceros triviales. Esta fórmula dice que los ceros de la función zeta de Riemann controlan las oscilaciones de los primos alrededor de sus posiciones "esperadas". (Para gráficos de las sumas de los primeros términos de esta serie, consulte Zagier 1977).

La primera demostración rigurosa de la fórmula antes mencionada fue dada por von Mangoldt en 1895: comenzó con una demostración de la siguiente fórmula para la función de Chebyshev ψ  ^[2]

${\displaystyle \psi _{0}(x)={\dfrac {1}{2\pi i}}\int _{\sigma -i\infty }^{\sigma +i\infty }\left(-{\dfrac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}\right){\dfrac {x^{s}}{s}}\,ds=x-\sum _{\rho }{\frac {~x^{\rho }\,}{\rho }}-\log(2\pi )-{\dfrac {1}{2}}\log(1-x^{-2})}$

donde el LHS es una transformada de Mellin inversa con

${\displaystyle \sigma >1\,,\quad \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p\,,\quad {\text{and}}\quad \psi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\lim _{h\to 0}(\psi (x+h)+\psi (x-h))}$

y el RHS se obtiene a partir del teorema del residuo , y luego se convierte en la fórmula que el propio Riemann esbozó.

Esta serie también es condicionalmente convergente y la suma sobre ceros debe tomarse nuevamente en orden creciente de parte imaginaria: ^[3]

${\displaystyle \sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}=\lim _{T\to \infty }S(x,T)}$  dónde  ${\displaystyle S(x,T)=\sum _{\rho :\left|\Im \rho \right|\leq T}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}\,.}$

El error involucrado en truncar la suma de S ( x , T ) es siempre menor que ln( x ) en valor absoluto, y cuando se divide por el logaritmo natural de x , tiene valor absoluto menor que x ⁄ T dividido por la distancia de x a la potencia prima más cercana. ^[4]

La fórmula explícita de Weil

Hay varias formas ligeramente diferentes de enunciar la fórmula explícita. ^[5] La forma de la fórmula explícita de André Weil establece

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Phi (1)+\Phi (0)-\sum _{\rho }\Phi (\rho )\\&=\sum _{p,m}{\frac {\log(p)}{p^{m/2}}}{\Big (}F(\log(p^{m}))+F(-\log(p^{m})){\Big )}-{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t)\Psi (t)\,dt\end{aligned}}}$

dónde

• ρ recorre los ceros no triviales de la función zeta
• p se ejecuta sobre primos positivos
• m recorre números enteros positivos
• F es una función suave cuyas derivadas son todas rápidamente decrecientes.
• ${\displaystyle \varphi }$es una transformada de Fourier de F : $${\displaystyle \varphi (t)=\int _{-\infty }^{\infty }F(x)e^{itx}\,dx}$$
• ${\displaystyle \Phi (1/2+it)=\varphi (t)}$
• ${\displaystyle \Psi (t)=-\log(\pi )+\operatorname {Re} (\psi (1/4+it/2))}$, donde es la función digamma Γ ′ /Γ . ${\displaystyle \psi }$

Grosso modo, la fórmula explícita dice que la transformada de Fourier de los ceros de la función zeta es el conjunto de potencias primos más algunos factores elementales. Una vez dicho esto, la fórmula proviene del hecho de que la transformada de Fourier es un operador unitario, de modo que un producto escalar en el dominio del tiempo es igual al producto escalar de las transformadas de Fourier en el dominio de la frecuencia.

Los términos de la fórmula surgen de la siguiente manera.

• Los términos del lado derecho provienen de la derivada logarítmica de con los términos correspondientes al primo p provenientes del factor de Euler de p , y el término al final que involucra a Ψ proveniente del factor gamma (el factor de Euler en el infinito). $${\displaystyle \zeta ^{*}(s)=\Gamma (s/2)\pi ^{-s/2}\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}$$
• El lado izquierdo es una suma de todos los ceros de ζ  ^* contados con multiplicidades, por lo que los polos en 0 y 1 se cuentan como ceros de orden −1.

La fórmula explícita de Weil puede entenderse así: el objetivo es poder escribir:

${\displaystyle {\frac {d}{du}}\left[\sum _{n\leq e^{|u|}}\Lambda (n)+{\frac {1}{2}}\ln(1-e^{-2|u|})\right]=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\left[\delta (u+\ln n)+\delta (u-\ln n)\right]+{\frac {1}{2}}{\frac {d\ln(1-e^{-2|u|})}{du}}=e^{u}-\sum _{\rho }e^{\rho u},}$

donde Λ es la función de von Mangoldt .

De modo que la transformada de Fourier de los ceros no triviales es igual a la potencia de los primos simetrizados más un término menor. Por supuesto, las sumas involucradas no son convergentes, pero el truco está en usar la propiedad unitaria de la transformada de Fourier, que es que preserva el producto escalar:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(u)g^{*}(u)\,du=\int _{-\infty }^{\infty }F(t)G^{*}(t)\,dt}$

¿Dónde están las transformadas de Fourier de ? A primera vista, parece ser una fórmula solo para funciones, pero de hecho en muchos casos también funciona cuando es una distribución. Por lo tanto, al establecer dónde está el delta de Dirac y elegir cuidadosamente una función y su transformada de Fourier, obtenemos la fórmula anterior. ${\displaystyle F,G}$ ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle g(u)=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\left[\delta (u+\ln n)+\delta (u-\ln n)\right],}$$ ${\displaystyle \delta (u)}$ ${\displaystyle f}$

Fórmulas explícitas para otras funciones aritméticas

La fórmula de Riemann-Weil ^[6] se puede generalizar a otras funciones aritméticas distintas de la función de von Mangoldt . Por ejemplo, para la función de Möbius tenemos

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{\sqrt {n}}}g(\log n)=\sum _{\rho }{\frac {h(\gamma )}{\zeta '(\rho )}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\zeta '(-2n)}}\int _{-\infty }^{\infty }dxg(x)e^{-(2n+1/2)x}.}$

También para la función de Liouville tenemos

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{\sqrt {n}}}g(\log n)=\sum _{\rho }{\frac {h(\gamma )\zeta (2\rho )}{\zeta '(\rho )}}+{\frac {1}{\zeta (1/2)}}\int _{-\infty }^{\infty }dx\,g(x).}$

Para la función Euler-Phi la fórmula explícita se lee

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{\sqrt {n}}}g(\log n)={\frac {6}{\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }dx\,g(x)e^{3x/2}+\sum _{\rho }{\frac {h(\gamma )\zeta (\rho -1)}{\zeta '(\rho )}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (-2n-1)}{\zeta '(-2n)}}\int _{-\infty }^{\infty }dx\,g(x)e^{-x(2n+1/2)}.}$

Suponiendo que la función zeta de Riemann solo tiene ceros simples, en todos los casos la suma está relacionada con la parte imaginaria de los ceros de Riemann y la función h está relacionada con la función de prueba g mediante una transformada de Fourier, . ${\textstyle \rho ={\frac {1}{2}}+i\gamma }$ ${\textstyle g(u)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }h(x)\exp(-iux)}$

Para la función divisora ​​de orden cero . ^{[ aclaración necesaria ]} ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{0}(n)f(n)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }f(mn)}$

El uso de una función de prueba de la forma para algún valor positivo a convierte la fórmula de suma de Poisson en una fórmula que incluye la transformada de Mellin. Aquí y es un parámetro real. ${\displaystyle g(x)=f(ye^{x})e^{ax}}$

Generalizaciones

La función zeta de Riemann puede reemplazarse por una función L de Dirichlet de carácter Dirichlet χ. La suma sobre potencias primos obtiene entonces factores adicionales de χ ( p ^m ), y los términos Φ(1) y Φ(0) desaparecen porque la serie L no tiene polos. 

En términos más generales, la función zeta de Riemann y la serie L se pueden reemplazar por la función zeta de Dedekind de un cuerpo de números algebraicos o una serie L de Hecke . La suma sobre números primos se reemplaza entonces por una suma sobre ideales primos.

Aplicaciones

El uso original de Riemann de la fórmula explícita fue dar una fórmula exacta para el número de primos menores que un número dado. Para ello, tome F (log( y )) como y ^1/2 /log( y ) para 0 ≤  y  ≤  x y 0 en el resto de los casos. Entonces, el término principal de la suma a la derecha es el número de primos menores que x . El término principal a la izquierda es Φ (1); que resulta ser el término dominante del teorema de los números primos , y la corrección principal es la suma sobre ceros no triviales de la función zeta. (Hay un problema técnico menor al usar este caso, ya que la función F no satisface la condición de suavidad).

Conjetura de Hilbert-Pólya

Según la conjetura de Hilbert-Pólya , los ceros complejos ρ deberían ser los valores propios de algún operador lineal T. La suma sobre los ceros de la fórmula explícita se da entonces (al menos formalmente) mediante una traza:

${\displaystyle \sum _{\rho }F(\rho )=\operatorname {Tr} (F({\widehat {T}})).\!}$

El desarrollo de las fórmulas explícitas para una amplia clase de funciones L fue dado por Weil (1952), quien extendió por primera vez la idea a las funciones zeta locales y formuló una versión de una hipótesis de Riemann generalizada en este contexto, como una declaración de positividad para una función generalizada en un grupo topológico . El trabajo más reciente de Alain Connes ha ido mucho más allá en el contexto analítico-funcional, proporcionando una fórmula de traza cuya validez es equivalente a una hipótesis de Riemann generalizada de este tipo. Un punto de vista ligeramente diferente fue dado por Meyer (2005), quien derivó la fórmula explícita de Weil a través del análisis armónico en espacios adélicos .

Véase también

• Fórmula de trazas de Selberg
• Función zeta de Selberg

Notas al pie

1. La función de conteo primo original se puede recuperar fácilmente mediante para todos ${\displaystyle ~\pi (x)=\pi _{0}(x+1)~}$ ${\displaystyle ~x\geq 3~.}$

Referencias

1. Li, Xian-Jin (abril de 2004). "Fórmulas explícitas para funciones $L$ de Dirichlet y Hecke". Illinois Journal of Mathematics . 48 (2): 491–503. doi : 10.1215/ijm/1258138394 . ISSN  0019-2082.
2. Weisstein, Eric W. Fórmula explícita en MathWorld.
3. Ingham (1990) pág. 77
4. Confundido acerca de la fórmula explícita para ψ0(x)
5. "la fórmula explícita de Riemann-Weil". empslocal.ex.ac.uk . Consultado el 14 de junio de 2023 .
6. "la fórmula explícita de Riemann-Weil". empslocal.ex.ac.uk . Consultado el 14 de junio de 2023 .

• Ingham, AE (1990) [1932], La distribución de números primos , Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, vol. 30, reeditado con un prólogo de RC Vaughan (2.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-39789-6, MR  1074573, Zbl  0715.11045
• Lang, Serge (1994), Teoría algebraica de números , Graduate Texts in Mathematics, vol. 110 (2.ª ed.), Nueva York, NY: Springer-Verlag , ISBN 0-387-94225-4, Zbl0811.11001 ​
• Riemann, Bernhard (1859), "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse", Monatsberichte der Berliner Akademie
• Weil, André (1952), "Sur les "formules explicites" de la théorie des nombres premiers" [Sobre las "fórmulas explícitas" en la teoría de los números primos], Comm. Sém. Matemáticas. Univ. Lund [Med. Universidad de Lund. Estera. Sem.] (en francés), Tomo Supplémentaire: 252–265, MR  0053152, Zbl  0049.03205
• von Mangoldt, Hans (1895), "Zu Riemanns Abhandlung "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse"" [Sobre el artículo de Riemann "El número de números primos menores que una magnitud determinada"], Journal für die reine und angewandte Mathematik (en alemán), 114 : 255–305, ISSN  0075-4102, JFM  26.0215.03, MR  1580379
• Meyer, Ralf (2005), "Sobre una representación del grupo de clases ideal relacionado con primos y ceros de funciones L ", Duke Math. J. , 127 (3): 519–595, arXiv : math/0311468 , doi :10.1215/s0012-7094-04-12734-4, ISSN  0012-7094, MR  2132868, S2CID  119176169, Zbl  1079.11044
• Zagier, Don (1977), "Los primeros 50 millones de números primos", The Mathematical Intelligencer , 1 (S2): 7–19, doi :10.1007/bf03351556, S2CID  37866599

Lectura adicional

• Edwards, HM (1974), Función zeta de Riemann , Pure and Applied Mathematics, vol. 58, Nueva York-Londres: Academic Press, ISBN 0-12-232750-0, Zbl0315.10035 ​
• Riesel, Hans (1994), Números primos y métodos informáticos para factorización , Progress in Mathematics, vol. 126 (2.ª ed.), Boston, MA: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3743-5, Zbl0821.11001 ​