Una consecuencia es la siguiente generalización de la relación de recurrencia:
Una representación integral debida a Dirichlet es: [7]
La representación integral de Gauss se puede manipular para dar el inicio de la expansión asintótica de . [8]
Esta fórmula también es consecuencia de la primera integral de Binet para la función gamma. La integral puede reconocerse como una transformada de Laplace .
La segunda integral de Binet para la función gamma da una fórmula diferente para la cual también da los primeros términos de la expansión asintótica: [9]
A partir de la definición y representación integral de la función gamma, se obtiene
con . [10]
Representación infinita del producto
La función es una función entera, [11] y se puede representar por el producto infinito
Nota: Esto también es igual a debido a la definición de la función digamma: .
Representación en serie
Fórmula de serie
La fórmula del producto de Euler para la función gamma, combinada con la ecuación funcional y una identidad para la constante de Euler-Mascheroni, produce la siguiente expresión para la función digamma, válida en el plano complejo fuera de los números enteros negativos (Abramowitz y Stegun 6.3.16): [1]
De manera equivalente,
Evaluación de sumas de funciones racionales.
La identidad anterior se puede utilizar para evaluar sumas de la forma
donde p ( n ) y q ( n ) son polinomios de n .
Realizando una fracción parcial en u n en el campo complejo, en el caso de que todas las raíces de q ( n ) sean raíces simples,
Para que la serie converja,
de lo contrario, la serie será mayor que la serie armónica y, por tanto, divergirá. Por eso
y
Con la expansión en serie de la función poligamma de rango superior se puede dar una fórmula generalizada como
Series con coeficientes de Gregory, números de Cauchy y polinomios de Bernoulli de segunda clase
Existen varias series para la digamma que contienen coeficientes racionales sólo para los argumentos racionales. En particular, la serie con coeficientes de Gregory G n es
En realidad, ψ es la única solución de la ecuación funcional
que es monótono en R + y satisface F (1) = − γ . Este hecho se deriva inmediatamente de la unicidad de la función Γ dada su ecuación de recurrencia y su restricción de convexidad. Esto implica la útil ecuación en diferencias:
Algunas sumas finitas que involucran la función digamma
Existen numerosas fórmulas de suma finita para la función digamma. Fórmulas de suma básicas, como
se deben a Gauss. [16] [17] Fórmulas más complicadas, como
se deben a obras de ciertos autores modernos (ver, por ejemplo, el Apéndice B en Blagouchine (2014) [18] ).
También tenemos [19]
Teorema del digamma de Gauss
Para números enteros positivos r y m ( r < m ), la función digamma se puede expresar en términos de la constante de Euler y un número finito de funciones elementales [20]
que se cumple, debido a su ecuación de recurrencia, para todos los argumentos racionales.
Teorema de multiplicación
El teorema de multiplicación de la función -es equivalente a [21]
La expansión también se puede derivar de la representación integral procedente de la segunda fórmula integral de Binet para la función gamma. Desarrollar como una serie geométrica y sustituir una representación integral de los números de Bernoulli conduce a la misma serie asintótica que la anterior. Además, expandir sólo un número finito de términos de la serie da una fórmula con un término de error explícito:
Desigualdades
Cuando x > 0 , la función
es completamente monótono y sobre todo positivo. Esto es una consecuencia del teorema de Bernstein sobre funciones monótonas aplicado a la representación integral procedente de la primera integral de Binet para la función gamma. Además, por la desigualdad de convexidad , el integrando en esta representación está acotado arriba por . Como consecuencia
También es completamente monótono. Se deduce que, para todo x > 0 ,
Esto recupera un teorema de Horst Alzer. [23] Alzer también demostró que, para s ∈ (0, 1) ,
Elezovic, Giordano y Pecaric obtuvieron límites relacionados y demostraron que, para x > 0 ,
¿Dónde está la constante de Euler-Mascheroni ? [24] Las constantes ( y ) que aparecen en estos límites son las mejores posibles. [25]
Además, la igualdad se cumple si y sólo si s = 1 . [26]
Inspirándose en la desigualdad del valor medio armónico de la función gamma clásica, Horzt Alzer y Graham Jameson demostraron, entre otras cosas, una desigualdad del valor medio armónico para la función digamma:
para
La igualdad se cumple si y sólo si . [27]
Computación y aproximación.
La expansión asintótica proporciona una manera fácil de calcular ψ ( x ) cuando la parte real de x es grande. Para calcular ψ ( x ) para x pequeño , la relación de recurrencia
se puede utilizar para cambiar el valor de x a un valor más alto. Beal [28] sugiere usar la recurrencia anterior para desplazar x a un valor mayor que 6 y luego aplicar la expansión anterior con términos superiores a x 14 cortados, lo que produce "precisión más que suficiente" (al menos 12 dígitos excepto cerca de los ceros) .
Cuando x tiende al infinito, ψ ( x ) se acerca arbitrariamente a ambos ln( x − 1/2 ) y ln x . Bajando de x + 1 a x , ψ disminuye en 1/X , ln( x − 1/2 ) disminuye en ln( x + 1/2 ) / ( x − 1/2 ) , que es más de 1/X , y ln x disminuye en ln(1 + 1/X ) , que es menor que 1/X . De esto vemos que para cualquier x positivo mayor que 1/2 ,
o, para cualquier x positivo ,
La exponencial exp ψ ( x ) es aproximadamente x − 1/2 para x grande, pero se acerca a x en x pequeño, acercándose a 0 en x = 0 .
Para x < 1 , podemos calcular límites basándonos en el hecho de que entre 1 y 2, ψ ( x ) ∈ [− γ , 1 − γ ] , entonces
o
De la serie asintótica anterior para ψ , se puede derivar una serie asintótica para exp(− ψ ( x )) . La serie coincide bien con el comportamiento general, es decir, se comporta asintóticamente como debería para argumentos grandes y también tiene un cero de multiplicidad ilimitada en el origen.
Esto es similar a una expansión de Taylor de exp(− ψ (1 / y )) en y = 0 , pero no converge. [29] (La función no es analítica en el infinito). Existe una serie similar para exp( ψ ( x )) que comienza con
Si se calcula la serie asintótica para ψ ( x +1/2), resulta que no hay potencias impares de x (no hay ningún término x −1 ). Esto conduce a la siguiente expansión asintótica, que ahorra términos computacionales de orden par.
Otra alternativa es utilizar la relación de recurrencia o la fórmula de multiplicación para desplazar el argumento de al rango y evaluar allí la serie de Chebyshev. [30] [31]
Valores especiales
La función digamma tiene valores en forma cerrada para números racionales, como resultado del teorema de digamma de Gauss. Algunos se enumeran a continuación:
Además, al tomar la derivada logarítmica de o donde tiene valor real, se puede deducir fácilmente que
Aparte del teorema digamma de Gauss, no se conoce ninguna fórmula cerrada para la parte real en general. Tenemos, por ejemplo, en la unidad imaginaria la aproximación numérica
Raíces de la función digamma
Las raíces de la función digamma son los puntos silla de la función gamma de valores complejos. Por lo tanto, todos se encuentran en el eje real . El único en el eje real positivo es el mínimo único de la función gamma de valor real en R + en x 0 =1.461 632 144 968 362 341 26 ... . Todos los demás ocurren solo entre los polos en el eje negativo:
se mantiene asintóticamente. Una mejor aproximación de la ubicación de las raíces viene dada por
y usando un término adicional se vuelve aún mejor
que ambos surgen de la fórmula de reflexión a través de
y sustituyendo ψ ( x n ) por su expansión asintótica no convergente. El segundo término correcto de esta expansión es 1/2 norte , donde el dado funciona bien para aproximar raíces con n pequeña .
Se puede dar otra mejora de la fórmula de Hermite: [11]
Con respecto a los ceros, István Mező y Michael Hoffman demostraron recientemente las siguientes identidades de suma infinita [11] [33]
En general, la función
puede determinarse y es estudiado detalladamente por los autores citados.
Los siguientes resultados [11]
también es cierto.
Regularización
La función digamma aparece en la regularización de integrales divergentes.
esta integral se puede aproximar mediante una serie armónica general divergente, pero se puede adjuntar el siguiente valor a la serie
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enlaces externos
Secuencia OEIS A020759 (expansión decimal de (-1)*Gamma'(1/2)/Gamma(1/2) donde Gamma(x) denota la función Gamma)—psi(1/2)