Unidad imaginaria

Raíz cuadrada principal de −1

La unidad imaginaria i en el plano complejo : Los números reales se dibujan convencionalmente en el eje horizontal y los números imaginarios en el eje vertical.

La unidad imaginaria o número imaginario unitario ( i ) es una solución de la ecuación cuadrática x ² + 1 = 0. Aunque no existe un número real con esta propiedad, i puede usarse para extender los números reales a los llamados números complejos . usando la suma y la multiplicación . Un ejemplo sencillo del uso de i en un número complejo es 2 + 3 i .

Los números imaginarios son un concepto matemático importante; extienden el sistema de números reales al sistema de números complejos en el que existe al menos una raíz para cada polinomio no constante (ver Cierre algebraico y Teorema fundamental del álgebra ). Aquí se utiliza el término "imaginario" porque no existe ningún número real que tenga un cuadrado negativo . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$

Hay dos raíces cuadradas complejas de −1: i y − i , del mismo modo que hay dos raíces cuadradas complejas de todo número real distinto de cero (que tiene una raíz cuadrada doble ).

En contextos en los que el uso de la letra i es ambiguo o problemático, a veces se utiliza la letra j . Por ejemplo, en ingeniería eléctrica y en ingeniería de sistemas de control , la unidad imaginaria normalmente se denota por j en lugar de i , porque i se usa comúnmente para denotar corriente eléctrica . ^[1]

Terminología

Las raíces cuadra _ _ _ _ _ _ La raíz de un número negativo antes se consideraba indefinida o sin sentido. El nombre imaginario generalmente se atribuye a René Descartes , e Isaac Newton usó el término ya en 1670. ^{[2] [3]} La notación i fue introducida por Leonhard Euler . ^[4]

Una unidad es un todo indiviso y la unidad o número de unidad es el número uno ( 1 ).

Definición

La unidad imaginaria i está definida únicamente por la propiedad de que su cuadrado es −1:

$${\displaystyle i^{2}=-1.}$$

Con i definida de esta manera, se deduce directamente del álgebra que i y − i son raíces cuadradas de −1.

Aunque la construcción se llama "imaginaria", y aunque el concepto de número imaginario puede ser intuitivamente más difícil de entender que el de un número real, la construcción es válida desde un punto de vista matemático. Las operaciones con números reales se pueden extender a números imaginarios y complejos, tratando a i como una cantidad desconocida mientras se manipula una expresión (y usando la definición para reemplazar cualquier aparición de i ² con −1 ). Las potencias integrales superiores de i son, por tanto,

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}i^{3}&=i^{2}i&&=(-1)i&&=-i,\\[3mu]i^{4}&=i^{3}i&&=\;\!(-i)i&&=\ \,1,\\[3mu]i^{5}&=i^{4}i&&=\ \,(1)i&&=\ \ i,\end{alignedat}}}$$

1i−1− ii ⁰ = 1.

Como número complejo, i se puede representar en forma rectangular como 0 + 1 i , con una componente real cero y una componente imaginaria unitaria. En forma polar , i se puede representar como 1 × e ^{πi /2} (o simplemente e ^{πi /2} ), con un valor absoluto (o magnitud) de 1 y un argumento (o ángulo) de radianes . (Sumar cualquier múltiplo entero de 2 π a este ángulo también funciona). En el plano complejo , que es una interpretación especial de un plano cartesiano , i es el punto ubicado a una unidad del origen a lo largo del eje imaginario (que es ortogonal a el eje real ). ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$

yo contra − yo

Al ser un polinomio cuadrático sin raíz múltiple , la ecuación que lo define x ² = −1 tiene dos soluciones distintas, que son igualmente válidas y que resultan ser inversas aditivas y multiplicativas entre sí. Aunque las dos soluciones son números distintos, sus propiedades son indistinguibles; no hay propiedad que uno tenga que el otro no tenga. Una de estas dos soluciones está etiquetada como + i (o simplemente i ) y la otra está etiquetada como −i , aunque cuál es inherentemente ambigua.

Las únicas diferencias entre + i y − i surgen de este etiquetado. Por ejemplo, por convención se dice que + i tiene un argumento de y − i tiene un argumento de relacionado con la convención de etiquetar orientaciones en el plano cartesiano en relación con el eje x positivo con ángulos positivos que giran en sentido antihorario en la dirección del eje y positivo . A pesar de los signos escritos con ellos, ni + i ni − i son inherentemente positivos o negativos en el sentido en que lo son los números reales. ^[5] ${\displaystyle +{\tfrac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle -{\tfrac {\pi }{2}},}$

Una expresión más formal de esta indistinguibilidad de + i y − i es que, aunque el campo complejo es único (como una extensión de los números reales) hasta el isomorfismo , no es único hasta un isomorfismo único . Es decir, hay dos automorfismos de campo de los números complejos que mantienen fijo cada número real, a saber, la identidad y la conjugación compleja . Para más información sobre este fenómeno general, véase grupo de Galois . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

matrices

Utilizando los conceptos de matrices y multiplicación de matrices , los números complejos se pueden representar en álgebra lineal. La unidad real 1 y la unidad imaginaria i pueden representarse mediante cualquier par de matrices I y J que satisfagan I ² = I , IJ = JI = J y J ² = − I. Entonces un número complejo a + bi puede representarse mediante la matriz aI + bJ , y todas las reglas ordinarias de la aritmética compleja pueden derivarse de las reglas de la aritmética matricial.

La opción más común es representar 1 e i mediante la matriz identidad I de 2 × 2 y la matriz J ,

$${\displaystyle I={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad J={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.}$$

Entonces un número complejo arbitrario a + bi se puede representar mediante:

$${\displaystyle aI+bJ={\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}.}$$

De manera más general, cualquier matriz de 2 × 2 de valor real con una traza de cero y un determinante de uno cuadra a − I , por lo que podría elegirse para J. También se podrían usar matrices más grandes, por ejemplo, 1 podría representarse mediante la matriz identidad de 4 × 4 y i podría representarse mediante cualquiera de las matrices de Dirac para dimensiones espaciales.

Raíz de X 2 + 1

Los polinomios (sumas ponderadas de las potencias de una variable) son una herramienta básica en álgebra. Los polinomios cuyos coeficientes son números reales forman un anillo , denotado una estructura algebraica con suma y multiplicación y que comparte muchas propiedades con el anillo de los números enteros . ${\displaystyle \mathbb {R} [X],}$

El polinomio no tiene raíces de números reales , pero el conjunto de todos los polinomios de coeficientes reales divisibles por forma un ideal , por lo que hay un anillo de cociente . Este anillo de cociente es isomorfo a los números complejos y la variable expresa la unidad imaginaria. ${\displaystyle X^{2}+1}$ ${\displaystyle X^{2}+1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/\langle X^{2}+1\rangle .}$ ${\displaystyle X}$

Representación gráfica

Los números complejos se pueden representar gráficamente trazando la recta numérica real como eje horizontal y los números imaginarios como eje vertical de un plano cartesiano llamado plano complejo . En esta representación, los números 1 e i están a la misma distancia del 0 , con un ángulo recto entre ellos. La suma por un número complejo corresponde a la traslación en el plano, mientras que la multiplicación por un número complejo de magnitud unitaria corresponde a la rotación alrededor del origen. Cada transformación de similitud del plano se puede representar mediante una función lineal compleja. ${\displaystyle z\mapsto az+b.}$

álgebra geométrica

En el álgebra geométrica del plano euclidiano , el producto geométrico o cociente de dos vectores arbitrarios es una suma de una parte escalar (número real) y una parte bivectorial . (Un escalar es una cantidad sin orientación, un vector es una cantidad orientada como una línea y un bivector es una cantidad orientada como un plano). El cuadrado de cualquier vector es un escalar positivo, que representa su longitud al cuadrado, mientras que el cuadrado de cualquier bivector es un escalar negativo.

El cociente de un vector consigo mismo es el escalar 1 = u / u , y al multiplicarlo por cualquier vector lo deja sin cambios (la transformación de identidad ). El cociente de dos vectores perpendiculares cualesquiera de la misma magnitud, J = u / v , que cuando se multiplica gira el divisor un cuarto de vuelta hacia el dividendo, Jv = u , es un bivector unitario que eleva al cuadrado −1 y, por lo tanto, puede tomarse como representante de la unidad imaginaria. Cualquier suma de un escalar y un bivector se puede multiplicar por un vector para escalarlo y rotarlo, y el álgebra de tales sumas es isomorfa al álgebra de números complejos. En esta interpretación, los puntos, los vectores y las sumas de escalares y bivectores son tipos distintos de objetos geométricos. ^[6]

De manera más general, en el álgebra geométrica de cualquier espacio euclidiano de dimensiones superiores , un bivector unitario de cualquier orientación plana arbitraria cuadra a −1 , por lo que puede considerarse para representar la unidad imaginaria i .

Uso apropiado

La unidad imaginaria fue escrita históricamente y todavía lo es en algunas obras modernas. Sin embargo, se debe tener mucho cuidado al manipular fórmulas que incluyan radicales . La notación de signos radicales está reservada para la función de raíz cuadrada principal, que se define sólo para x ≥ 0 real , o para la rama principal de la función de raíz cuadrada compleja. Intentar aplicar las reglas de cálculo de la función de raíz cuadrada principal (real) para manipular la rama principal de la función de raíz cuadrada compleja puede producir resultados falsos: ^[7] ${\textstyle {\sqrt {-1}},}$ ${\textstyle {\sqrt {x}}}$

$${\displaystyle -1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\mathrel {\stackrel {\mathrm {fallacy} }{=}} {\textstyle {\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}}={\sqrt {1}}=1\qquad {\text{(incorrect).}}}$$

Generalmente, se garantiza que las reglas de cálculo y son válidas para valores reales positivos de xey únicamente . ^{[8] [9] [10]} ${\textstyle {\sqrt {x{\vphantom {ty}}}}\cdot \!{\sqrt {y{\vphantom {ty}}}}={\sqrt {x\cdot y{\vphantom {ty}}}}}$ ${\textstyle {\sqrt {x{\vphantom {ty}}}}{\big /}\!{\sqrt {y{\vphantom {ty}}}}={\sqrt {x/y}}}$

Cuando xoy es real pero negativo, estos problemas se pueden evitar escribiendo y manipulando expresiones como , en lugar de . Para una discusión más detallada, consulte raíz cuadrada y punto de ramificación . ${\textstyle i{\sqrt {7}}}$ ${\textstyle {\sqrt {-7}}}$

Propiedades

Como número complejo, la unidad imaginaria sigue todas las reglas de la aritmética compleja .

Enteros imaginarios y números imaginarios.

Cuando la unidad imaginaria se suma o resta repetidamente, el resultado es un número entero multiplicado por la unidad imaginaria, un número entero imaginario ; Cualquiera de estos números se puede sumar y el resultado también es un número entero imaginario:

$${\displaystyle ai+bi=(a+b)i.}$$

Así, la unidad imaginaria es la generadora de un grupo bajo suma, específicamente un grupo cíclico infinito .

La unidad imaginaria también se puede multiplicar por cualquier número real arbitrario para formar un número imaginario . Estos números se pueden representar en una recta numérica , el eje imaginario , que como parte del plano complejo generalmente se dibuja con una orientación vertical, perpendicular al eje real que se dibuja horizontalmente.

Enteros gaussianos

Las sumas enteras de la unidad real 1 y la unidad imaginaria i forman una red cuadrada en el plano complejo llamada enteros gaussianos . La suma, diferencia o producto de números enteros gaussianos también es un número entero gaussiano:

$${\displaystyle {\begin{aligned}(a+bi)+(c+di)&=(a+c)+(b+d)i,\\[5mu](a+bi)(c+di)&=(ac-bd)+(ad+bc)i.\end{aligned}}}$$

Rotación de cuarto de vuelta

Cuando se multiplica por la unidad imaginaria i , cualquier número complejo arbitrario en el plano complejo se gira un cuarto de vuelta ( radianes ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi }$ o 90° ) en sentido antihorario . Cuando se multiplica por − i , cualquier número complejo arbitrario se gira un cuarto de vuelta en el sentido de las agujas del reloj. En forma polar:

$${\displaystyle i\,re^{\varphi i}=re^{(\varphi +\pi /2)i},\quad -i\,re^{\varphi i}=re^{(\varphi -\pi /2)i}.}$$

En forma rectangular,

$${\displaystyle i(a+bi)=-b+ai,\quad -i(a+bi)=b-ai.}$$

potencias enteras

Las potencias de i se repiten en un ciclo expresable con el siguiente patrón, donde n es cualquier número entero:

$${\displaystyle i^{4n}=1,\quad i^{4n+1}=i,\quad i^{4n+2}=-1,\quad i^{4n+3}=-i.}$$

Por lo tanto, bajo multiplicación, i es un generador de un grupo cíclico de orden 4, un subgrupo discreto del grupo circular continuo de los números complejos unitarios bajo multiplicación.

Escrito como un caso especial de la fórmula de Euler para un número entero n ,

$${\displaystyle i^{n}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi i{\bigr )}^{n}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi i{\bigr )}={\cos }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi {\bigr )}+{i\sin }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi {\bigr )}.}$$

Para una elección cuidadosa de los cortes de ramas y los valores principales , esta última ecuación también se aplica a valores complejos arbitrarios de n , incluidos casos como n = i . ^[11]

Raíces

Las dos raíces cuadradas de i en el plano complejo

Al igual que todos los números complejos distintos de cero, tiene dos raíces cuadradas distintas que son inversas aditivas . En forma polar son ${\textstyle i=e^{\pi i/2}}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\sqrt {i}}&={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\pi i}{\bigr )}^{1/2}&&{}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\pi i{\bigr )},\\-{\sqrt {i}}&={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}{\pi i}-\pi i{\bigr )}&&{}={\exp }{\bigl (}{-{\tfrac {3}{4}}\pi i}{\bigr )}.\end{alignedat}}}$$

En forma rectangular, son ^[a]

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\sqrt {i}}&=\ (1+i){\big /}{\sqrt {2}}&&{}={\phantom {-}}{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}+{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}i,\\[5mu]-{\sqrt {i}}&=-(1+i){\big /}{\sqrt {2}}&&{}=-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}i.\end{alignedat}}}$$

Al elevar al cuadrado cualquiera de las expresiones se obtiene

$${\displaystyle \left(\pm {\frac {1+i}{\sqrt {2}}}\right)^{2}={\frac {1+2i-1}{2}}={\frac {2i}{2}}=i.}$$

Las tres raíces cúbicas de i en el plano complejo

Las tres raíces cúbicas de i son ^[13]

$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{i}}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{6}}\pi i{\bigr )}={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}+{\tfrac {1}{2}}i,\quad {\exp }{\bigl (}{\tfrac {5}{6}}\pi i{\bigr )}=-{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}+{\tfrac {1}{2}}i,\quad {\exp }{\bigl (}{-{\tfrac {1}{2}}\pi i}{\bigr )}=-i.}$$

Para un entero positivo general n , las n -ésimas raíces de i son, para k = 0, 1, ..., n − 1,

$${\displaystyle \exp \left(2\pi i{\frac {k+{\frac {1}{4}}}{n}}\right)=\cos \left({\frac {4k+1}{2n}}\pi \right)+i\sin \left({\frac {4k+1}{2n}}\pi \right).}$$

k = 0enésima principaliraíces de la unidadnipolígono regularcírculo unitario

Exponencial y logaritmo

La función exponencial compleja relaciona la suma compleja en el dominio con la multiplicación compleja en el codominio. Los valores reales en el dominio representan la escala en el codominio (multiplicación por un escalar real) donde 1 representa la multiplicación por e , mientras que los valores imaginarios en el dominio representan la rotación en el codominio (multiplicación por un número complejo unitario) donde i representa una rotación por 1 radián. La exponencial compleja es, por tanto, una función periódica en la dirección imaginaria, con período 2 πi e imagen 1 en los puntos 2 kπi para todos los números enteros k , un múltiplo real de la red de números enteros imaginarios.

La exponencial compleja se puede dividir en componentes pares e impares , las funciones hiperbólicas cosh y sinh o las funciones trigonométricas cos y sin :

$${\displaystyle \exp z=\cosh z+\sinh z=\cos(-iz)+i\sin(-iz)}$$

La fórmula de Euler descompone el exponencial de un número imaginario que representa una rotación:

$${\displaystyle \exp i\varphi =\cos \varphi +i\sin \varphi .}$$

El cociente coth z = cosh z / sinh z , con la escala adecuada, se puede representar como una descomposición infinita en fracciones parciales como la suma de funciones recíprocas traducidas por números enteros imaginarios: ^[14]

$${\displaystyle \pi \coth \pi z=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=-n}^{n}{\frac {1}{z+ki}}.}$$

Otras funciones basadas en exponenciales complejas están bien definidas con entradas imaginarias. Por ejemplo, un número elevado a la potencia ni es:

$${\displaystyle x^{ni}=\cos(n\ln x)+i\sin(n\ln x).}$$

Debido a que el exponencial es periódico, su inversa, el logaritmo complejo es una función multivaluada , en la que cada número complejo en el dominio corresponde a múltiples valores en el codominio, separados entre sí por cualquier múltiplo entero de 2 πi . Una forma de obtener una función de un solo valor es tratar el codominio como un cilindro , con valores complejos separados por cualquier múltiplo entero de 2 πi tratados como el mismo valor; otra es tomar el dominio como una superficie de Riemann que consta de múltiples copias del plano complejo unidas a lo largo del eje real negativo como un corte de rama , correspondiendo cada rama del dominio a una franja infinita en el codominio. ^[15] Las funciones que dependen del logaritmo complejo, por lo tanto, dependen de una elección cuidadosa de la rama para definirla y evaluarla claramente.

Por ejemplo, si uno elige cualquier rama donde, cuando x es un número real positivo, ${\displaystyle \ln i={\tfrac {1}{2}}\pi i}$

$${\displaystyle \log _{i}x=-{\frac {2i\ln x}{\pi }}.}$$

Factorial

El factorial de la unidad imaginaria i se da con mayor frecuencia en términos de la función gamma evaluada en 1 + i : ^[16]

$${\displaystyle i!=\Gamma (1+i)=i\Gamma (i)\approx 0.4980-0.1549\,i.}$$

La magnitud y argumento de este número son: ^[17]

$${\displaystyle |\Gamma (1+i)|={\sqrt {\frac {\pi }{\sinh \pi }}}\approx 0.5216,\quad \arg {\Gamma (1+i)}\approx -0.3016.}$$

Ver también

• Unidad hiperbólica

Notas

1. Para encontrar tal número, se puede resolver la ecuación ( x + iy ) ² = i donde xey son parámetros reales a determinar, o equivalentemente x 2 ⁺ 2 xy - y ² = i . Como las partes real e imaginaria siempre están separadas, reagrupamos los términos, x ² - y ² + 2 xy = 0 + i . Al igualar coeficientes , separando la parte real y la parte imaginaria, tenemos un sistema de dos ecuaciones:
   $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}-y^{2}&=0\\[3mu]2xy&=1.\end{aligned}}}$$
   Sustituyendo en la primera ecuación, obtenemos Debido a que x es un número real, esta ecuación tiene dos soluciones reales para x ${\textstyle y={\tfrac {1}{2}}x^{-1}}$ ${\textstyle x^{2}-{\tfrac {1}{4}}x^{-2}=0}$ ${\textstyle \implies 4x^{4}=1.}$
   $${\displaystyle x={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}}$$
   y . Sustituyendo cualquiera de estos resultados en la ecuación 2 xy = 1 , obtendremos el resultado correspondiente para y . Por tanto, las raíces cuadradas de i son los números y . ^[12] ${\displaystyle x=-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}+{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}i}$ ${\displaystyle -{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}i}$

Referencias

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   Boas, María L. (2006). Métodos matemáticos en las ciencias físicas (3ª ed.). Nueva York [ua]: Wiley. pag. 49.ISBN _ 0-471-19826-9.
2. Silver, Daniel S. (noviembre-diciembre de 2017). "El nuevo lenguaje de las matemáticas". Científico americano . 105 (6): 364–371. doi :10.1511/2017.105.6.364.
3. "número imaginario" . Diccionario de inglés Oxford (edición en línea). Prensa de la Universidad de Oxford . (Se requiere suscripción o membresía de una institución participante).
4. Boyer, Carl B .; Merzbach, Uta C. (1991). Una historia de las matemáticas. John Wiley e hijos . págs. 439–445. ISBN 978-0-471-54397-8.
5. Doxiadēs, Apostolos K.; Mazur, Barry (2012). Círculos perturbados: la interacción de las matemáticas y la narrativa (edición ilustrada). Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 225.ISBN _ 978-0-691-14904-2- a través de libros de Google.
6. La interpretación de la unidad imaginaria como la relación de dos vectores perpendiculares fue propuesta por Hermann Grassmann en el prólogo de su Ausdehnungslehre de 1844; Más tarde , William Clifford se dio cuenta de que esta relación podía interpretarse como un bivector.
   Hestenes, David (1996). "La visión de Grassmann" (PDF) . En Schubring, G. (ed.). Hermann Günther Graßmann (1809–1877) . Saltador. doi :10.1007/978-94-015-8753-2_20.
7. Manojo, Bryan (2012). Falacias y paradojas matemáticas (edición ilustrada). Corporación de mensajería. pag. 31-34. ISBN 978-0-486-13793-3- a través de libros de Google.
8. Kramer, Arturo (2012). Matemáticas para electricidad y electrónica (4ª ed.). Aprendizaje Cengage. pag. 81.ISBN _ 978-1-133-70753-0- a través de libros de Google.
9. Picciotto, Enrique; Vaya, Anita (1994). Álgebra: temas, herramientas, conceptos (edición de profesores). Enrique Picciotto. pag. 424.ISBN _ 978-1-56107-252-1- a través de libros de Google.
10. Nahin, Paul J. (2010). Un cuento imaginario: la historia de "i" [la raíz cuadrada de menos uno]. Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 12.ISBN _ 978-1-4008-3029-9- a través de libros de Google.
11. Łukaszyk, S.; Tomski, A. (2023). "Politopos convexos omnidimensionales". Simetría . 15 . doi : 10.3390/sym15030755 .
12. "¿Cuál es la raíz cuadrada de i?". Red de Matemáticas de la Universidad de Toronto . Consultado el 26 de marzo de 2007 .
13. Zill, Dennis G.; Shanahan, Patrick D. (2003). Un primer curso de análisis complejo con aplicaciones. Boston: Jones y Bartlett. págs. 24 y 25. ISBN 0-7637-1437-2. OCLC  50495529.
14. Euler expresó la descomposición en fracciones parciales de la cotangente trigonométrica como ${\textstyle \pi \cot \pi z={\frac {1}{z}}+{\frac {1}{z-1}}+{\frac {1}{z+1}}+{\frac {1}{z-2}}+{\frac {1}{z+2}}+\cdots .}$
    Varadarajan, VS (2007). "Euler y su trabajo en series infinitas". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . Series nuevas. 44 (4): 515–539. doi : 10.1090/S0273-0979-07-01175-5 .
15. Gbur, Greg (2011). Métodos matemáticos para física e ingeniería óptica. Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 278–284. ISBN 978-0-511-91510-9.
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17. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "¡Expansión decimal del valor absoluto de i!", Secuencia A212879; y "¡Expansión decimal del argumento negado de i!", Secuencia A212880. La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.

Otras lecturas

• Nahin, Paul J. (1998). Un cuento imaginario: la historia de i [la raíz cuadrada de menos uno] . Chichester: Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-02795-1– a través de Archive.org.

enlaces externos

• Euler, Leonhard . "Raíces imaginarias de polinomios".en "Convergencia". mathdl.maa.org . Asociación Matemática de América. Archivado desde el original el 13 de julio de 2007.