Funciones trigonométricas

Funciones de un ángulo

Base de la trigonometría: si dos triángulos rectángulos tienen ángulos agudos iguales , son semejantes , por lo que las longitudes de sus lados correspondientes son proporcionales .

En matemáticas , las funciones trigonométricas (también llamadas funciones circulares , funciones angulares o funciones goniométricas ) ^{[1] [2]} son ​​funciones reales que relacionan un ángulo de un triángulo rectángulo con razones de las longitudes de dos lados. Son muy utilizados en todas las ciencias que están relacionadas con la geometría , como la navegación , la mecánica de sólidos , la mecánica celeste , la geodesia y muchas otras. Se encuentran entre las funciones periódicas más simples y, como tales, también se utilizan ampliamente para estudiar fenómenos periódicos mediante el análisis de Fourier .

Las funciones trigonométricas más utilizadas en las matemáticas modernas son las funciones seno , coseno y tangente . Sus recíprocas son respectivamente las funciones cosecante , secante y cotangente , que son menos utilizadas. Cada una de estas seis funciones trigonométricas tiene una función inversa correspondiente y una análoga entre las funciones hiperbólicas .

Las definiciones más antiguas de funciones trigonométricas, relacionadas con triángulos rectángulos, las definen sólo para ángulos agudos . Para extender las funciones seno y coseno a funciones cuyo dominio es la recta real completa , a menudo se utilizan definiciones geométricas que utilizan el círculo unitario estándar (es decir, un círculo con radio 1 unidad); entonces el dominio de las otras funciones es la recta real con algunos puntos aislados eliminados. Las definiciones modernas expresan funciones trigonométricas como series infinitas o como soluciones de ecuaciones diferenciales . Esto permite extender el dominio de las funciones seno y coseno a todo el plano complejo , y el dominio de las otras funciones trigonométricas al plano complejo con algunos puntos aislados eliminados.

Notación

Convencionalmente, en las fórmulas se utiliza una abreviatura del nombre de cada función trigonométrica como símbolo. Hoy en día, las versiones más comunes de estas abreviaturas son "sin" para seno, "cos" para coseno, "tan" o "tg" para tangente, "sec" para secante, "csc" o "cosec" para cosecante y " cot" o "ctg" para cotangente. Históricamente, estas abreviaturas se utilizaron por primera vez en oraciones en prosa para indicar segmentos de línea particulares o sus longitudes relacionadas con un arco de un círculo arbitrario, y más tarde para indicar proporciones de longitudes, pero a medida que el concepto de función se desarrolló en los siglos XVII y XVIII, comenzaron para ser considerados como funciones de medidas de ángulos con valores de números reales y escritos con notación funcional , por ejemplo sin( x ) . A menudo todavía se omiten los paréntesis para reducir el desorden, pero a veces son necesarios; por ejemplo, la expresión normalmente se interpretaría en el sentido de que se requieren paréntesis para expresar ${\displaystyle \sin x+y}$ ${\displaystyle \sin(x)+y,}$ ${\displaystyle \sin(x+y).}$

Un número entero positivo que aparece como un superíndice después del símbolo de la función denota exponenciación , no composición de la función . Por ejemplo y denotar no. Esto difiere de la notación funcional general (históricamente posterior) en la que ${\displaystyle \sin ^{2}x}$ ${\displaystyle \sin ^{2}(x)}$ ${\displaystyle \sin(x)\cdot \sin(x),}$ ${\displaystyle \sin(\sin x).}$ ${\displaystyle f^{2}(x)=(f\circ f)(x)=f(f(x)).}$

Sin embargo, el exponente se utiliza comúnmente para denotar la función inversa , no la recíproca . Por ejemplo , y denota la función trigonométrica inversa, escrita alternativamente La ecuación implica no. En este caso, se podría considerar que el superíndice denota una función compuesta o iterada , pero los superíndices negativos distintos de no son de uso común. ${\displaystyle {-1}}$ ${\displaystyle \sin ^{-1}x}$ ${\displaystyle \sin ^{-1}(x)}$ ${\displaystyle \arcsin x\colon }$ ${\displaystyle \theta =\sin ^{-1}x}$ ${\displaystyle \sin \theta =x,}$ ${\displaystyle \theta \cdot \sin x=1.}$ ${\displaystyle {-1}}$

Definiciones de triángulo rectángulo

En este triángulo rectángulo, denotamos la medida del ángulo BAC como A: sen A =a/C; porque A =b/C; bronceado A =a/b.

Gráfica de las seis funciones trigonométricas, el círculo unitario y una recta para el ángulo θ = 0,7 radianes . Los puntos etiquetados 1 , Sec( θ ) , Csc( θ ) representan la longitud del segmento de línea desde el origen hasta ese punto. Sin( θ ) , Tan( θ ) y 1 son las alturas de la línea que comienza desde el eje x , mientras que Cos( θ ) , 1 y Cot( θ ) son longitudes a lo largo del eje x comenzando desde el origen.

Si se da el ángulo agudo θ , entonces todos los triángulos rectángulos que tienen un ángulo de θ son similares entre sí. Esto significa que la relación entre las longitudes de dos lados cualesquiera depende sólo de θ . Así, estas seis razones definen seis funciones de θ , que son las funciones trigonométricas. En las siguientes definiciones, la hipotenusa es la longitud del lado opuesto al ángulo recto, opuesto representa el lado opuesto al ángulo dado θ y adyacente representa el lado entre el ángulo θ y el ángulo recto. ^{[3] [4]}

Se pueden utilizar varios mnemotécnicos para recordar estas definiciones.

En un triángulo rectángulo, la suma de los dos ángulos agudos es un ángulo recto, es decir, de 90° oπ/2 radianes . Por lo tantoyrepresentan la misma razón y por tanto son iguales. Esta identidad y relaciones análogas entre las otras funciones trigonométricas se resumen en la siguiente tabla. ${\displaystyle \sin(\theta )}$ ${\displaystyle \cos(90^{\circ }-\theta )}$

Arriba: Función trigonométrica sin θ para ángulos seleccionados θ , π − θ , π + θ y 2 π − θ en los cuatro cuadrantes.
Abajo: Gráfica de la función seno frente al ángulo. Se identifican los ángulos del panel superior.

Radianes versus grados

En aplicaciones geométricas, el argumento de una función trigonométrica generalmente es la medida de un ángulo . Para ello, cualquier unidad angular es conveniente. Una unidad común son los grados , en los que un ángulo recto mide 90° y un giro completo mide 360° (particularmente en matemáticas elementales ).

Sin embargo, en cálculo y análisis matemático , las funciones trigonométricas generalmente se consideran de manera más abstracta como funciones de números reales o complejos , en lugar de ángulos. De hecho, las funciones sin y cos se pueden definir para todos los números complejos en términos de la función exponencial , mediante series de potencias, ^[6] o como soluciones a ecuaciones diferenciales dados valores iniciales particulares ^[7] ( ver más abajo ), sin referencia a cualquier noción geométrica. Las otras cuatro funciones trigonométricas ( tan , cot , sec , csc ) se pueden definir como cocientes y recíprocos de sin y cos , excepto cuando aparece cero en el denominador. Se puede demostrar, para argumentos reales, que estas definiciones coinciden con definiciones geométricas elementales si el argumento se considera como un ángulo dado en radianes . ^[6] Además, estas definiciones dan como resultado expresiones simples para las derivadas e integrales indefinidas para las funciones trigonométricas. ^[8] Por lo tanto, en entornos más allá de la geometría elemental, los radianes se consideran la unidad matemáticamente natural para describir medidas de ángulos.

Cuando se emplean radianes (rad), el ángulo se da como la longitud del arco del círculo unitario subtendido por él: el ángulo que subtiende un arco de longitud 1 en el círculo unitario es 1 rad (≈ 57,3°), y un el giro completo (360°) es un ángulo de 2 π (≈ 6,28) rad. Para el número real x , las notaciones sin x , cos x , etc. se refieren al valor de las funciones trigonométricas evaluadas en un ángulo de x rad. Si se utilizan unidades de grados, el signo del grado debe mostrarse explícitamente (por ejemplo, sin x° , cos x° , etc.). Usando esta notación estándar, el argumento x para las funciones trigonométricas satisface la relación x = (180 x / π )°, de modo que, por ejemplo, sen π = sen 180° cuando tomamos x = π . De esta forma, el símbolo del grado puede considerarse como una constante matemática tal que 1° = π /180 ≈ 0,0175.

Definiciones de círculo unitario

Todas las funciones trigonométricas del ángulo θ ( theta ) se pueden construir geométricamente en términos de un círculo unitario centrado en O.

Función seno en un círculo unitario (arriba) y su gráfica (abajo)

En esta ilustración, las seis funciones trigonométricas de un ángulo arbitrario θ se representan como coordenadas cartesianas de puntos relacionados con el círculo unitario . Las ordenadas de A , B y D son sin θ , tan θ y csc θ , respectivamente, mientras que las abscisas de A , C y E son cos θ , cot θ y sec θ , respectivamente.

Signos de funciones trigonométricas en cada cuadrante. La mnemónica " todos los profesores de ciencias (están) locos " indica cuándo el seno, el coseno y la tangente son positivos en los cuadrantes I al IV. ^[9]

Las seis funciones trigonométricas se pueden definir como valores de coordenadas de puntos en el plano euclidiano que están relacionados con el círculo unitario , que es el círculo de radio uno centrado en el origen O de este sistema de coordenadas. Mientras que las definiciones de triángulos rectángulos permiten la definición de funciones trigonométricas para ángulos entre 0 y radianes (90°), las definiciones de círculos unitarios permiten que el dominio de las funciones trigonométricas se extienda a todos los números reales positivos y negativos. ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$

Sea el rayo obtenido al girar en un ángulo θ la mitad positiva del eje x ( rotación en sentido antihorario para y rotación en el sentido de las agujas del reloj para ). Este rayo intersecta al círculo unitario en el punto El rayo extendido a una línea si es necesario, intersecta a la recta de ecuación en el punto y a la recta de ecuación en el punto La recta tangente al círculo unitario en el punto A , es perpendicular e intersecta al Ejes y y x en puntos y Las coordenadas de estos puntos dan los valores de todas las funciones trigonométricas para cualquier valor real arbitrario de θ de la siguiente manera. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \theta >0,}$ ${\displaystyle \theta <0}$ ${\displaystyle \mathrm {A} =(x_{\mathrm {A} },y_{\mathrm {A} }).}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}},}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle \mathrm {B} =(1,y_{\mathrm {B} }),}$ ${\displaystyle y=1}$ ${\displaystyle \mathrm {C} =(x_{\mathrm {C} },1).}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}},}$ ${\displaystyle \mathrm {D} =(0,y_{\mathrm {D} })}$ ${\displaystyle \mathrm {E} =(x_{\mathrm {E} },0).}$

Las funciones trigonométricas cos y sin se definen, respectivamente, como los valores de las coordenadas x e y del punto A. Eso es,

${\displaystyle \cos \theta =x_{\mathrm {A} }\quad }$y ^[10] ${\displaystyle \quad \sin \theta =y_{\mathrm {A} }.}$

En el rango , esta definición coincide con la definición del triángulo rectángulo, al tomar el triángulo rectángulo como hipotenusa el radio unitario OA . Y dado que la ecuación es válida para todos los puntos del círculo unitario, esta definición de coseno y seno también satisface la identidad pitagórica . ${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi /2}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ ${\displaystyle \mathrm {P} =(x,y)}$

${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1.}$

Las otras funciones trigonométricas se pueden encontrar a lo largo del círculo unitario como

${\displaystyle \tan \theta =y_{\mathrm {B} }\quad }$y ${\displaystyle \quad \cot \theta =x_{\mathrm {C} },}$

${\displaystyle \csc \theta \ =y_{\mathrm {D} }\quad }$y ${\displaystyle \quad \sec \theta =x_{\mathrm {E} }.}$

Al aplicar los métodos pitagóricos de identidad y prueba geométrica, se puede demostrar fácilmente que estas definiciones coinciden con las definiciones de tangente, cotangente, secante y cosecante en términos de seno y coseno, es decir

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }},\quad \cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }},\quad \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }},\quad \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}.}$

Funciones trigonométricas: seno , coseno , tangente , cosecante (con puntos) , secante (con puntos) , cotangente (con puntos) – animación

Dado que la rotación de un ángulo de no cambia la posición o el tamaño de una forma, los puntos A , B , C , D y E son iguales para dos ángulos cuya diferencia es un múltiplo entero de . Por tanto, las funciones trigonométricas son funciones periódicas con período . Es decir, las igualdades ${\displaystyle \pm 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2k\pi \right)\quad }$y ${\displaystyle \quad \cos \theta =\cos \left(\theta +2k\pi \right)}$

Mantener para cualquier ángulo θ y cualquier número entero k . Lo mismo ocurre con las otras cuatro funciones trigonométricas. Al observar el signo y la monotonicidad de las funciones seno, coseno, cosecante y secante en los cuatro cuadrantes, se puede demostrar que es el valor más pequeño para el cual son periódicas (es decir, es el período fundamental de estas funciones). Sin embargo, después de una rotación de un ángulo , los puntos B y C ya vuelven a su posición original, de modo que la función tangente y la función cotangente tienen un período fundamental de . Es decir, las igualdades ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \tan \theta =\tan(\theta +k\pi )\quad }$y ${\displaystyle \quad \cot \theta =\cot(\theta +k\pi )}$

Mantener para cualquier ángulo θ y cualquier número entero k .

Valores algebraicos

El círculo unitario , con algunos puntos etiquetados con su coseno y seno (en este orden), y los ángulos correspondientes en radianes y grados.

Las expresiones algebraicas para los ángulos más importantes son las siguientes:

${\displaystyle \sin 0=\sin 0^{\circ }\quad ={\frac {\sqrt {0}}{2}}=0}$( ángulo cero )

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{6}}=\sin 30^{\circ }={\frac {\sqrt {1}}{2}}={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{4}}=\sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{3}}=\sin 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{2}}=\sin 90^{\circ }={\frac {\sqrt {4}}{2}}=1}$( ángulo recto )

Escribir los numeradores como raíces cuadradas de números enteros consecutivos no negativos, con un denominador de 2, proporciona una manera fácil de recordar los valores. ^[11]

Generalmente, expresiones tan simples no existen para otros ángulos que son múltiplos racionales de un ángulo recto.

• Para un ángulo que, medido en grados, es múltiplo de tres, los valores trigonométricos exactos del seno y el coseno se pueden expresar en términos de raíces cuadradas. Estos valores del seno y el coseno pueden así construirse con regla y compás .
• Para un ángulo de un número entero de grados, el seno y el coseno se pueden expresar en términos de raíces cuadradas y raíz cúbica de un número complejo no real . La teoría de Galois permite demostrar que, si el ángulo no es múltiplo de 3°, las raíces cúbicas no reales son inevitables.
• Para un ángulo que, expresado en grados, es un número racional , el seno y el coseno son números algebraicos , que pueden expresarse en términos de n -ésimas raíces . Esto resulta del hecho de que los grupos de Galois de los polinomios ciclotómicos son cíclicos .
• Para un ángulo que, expresado en grados, no es un número racional, entonces el ángulo o tanto el seno como el coseno son números trascendentales . Este es un corolario del teorema de Baker , demostrado en 1966.

Valores algebraicos simples

La siguiente tabla enumera los senos, cosenos y tangentes de múltiplos de 15 grados de 0 a 90 grados.

en calculo

Gráficas de seno, coseno y tangente.

La función seno (azul) se aproxima estrechamente mediante su polinomio de Taylor de grado 7 (rosa) para un ciclo completo centrado en el origen.

Animación para la aproximación del coseno mediante polinomios de Taylor.

${\displaystyle \cos(x)}$junto con los primeros polinomios de Taylor ${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}}$

La tendencia moderna en matemáticas es construir la geometría a partir del cálculo y no a la inversa. ^{[ cita necesaria ]} Por lo tanto, excepto en un nivel muy elemental, las funciones trigonométricas se definen utilizando los métodos de cálculo.

Las funciones trigonométricas son diferenciables y analíticas en cada punto donde se definen; es decir, en todas partes para el seno y el coseno y, para la tangente, en todas partes excepto en π /2 + k π para cada entero k .

Las funciones trigonométricas son funciones periódicas , y su período primitivo es 2 π para el seno y el coseno, y π para la tangente, que va aumentando en cada intervalo abierto ( π /2 + k π , π /2 + ( k + 1 ) π ) . En cada punto final de estos intervalos, la función tangente tiene una asíntota vertical .

En cálculo, existen dos definiciones equivalentes de funciones trigonométricas, ya sea usando series de potencias o ecuaciones diferenciales . Estas definiciones son equivalentes, ya que a partir de una de ellas es fácil recuperar la otra como propiedad. Sin embargo, la definición mediante ecuaciones diferenciales es de alguna manera más natural, ya que, por ejemplo, la elección de los coeficientes de la serie de potencias puede parecer bastante arbitraria y la identidad pitagórica es mucho más fácil de deducir a partir de las ecuaciones diferenciales.

Definición por ecuaciones diferenciales

El seno y el coseno se pueden definir como la solución única al problema de valor inicial :

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x,\ {\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x,\ \sin(0)=0,\ \cos(0)=1.}$

Derivando nuevamente, y , entonces tanto el seno como el coseno son soluciones de la misma ecuación diferencial ordinaria ${\textstyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sin x={\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x}$ ${\textstyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\cos x=-{\frac {d}{dx}}\sin x=-\cos x}$

${\displaystyle y''+y=0\,.}$

El seno es la solución única con y (0) = 0 y y ′(0) = 1 ; el coseno es la única solución con y (0) = 1 y y ′(0) = 0 .

Aplicando la regla del cociente a la tangente , ${\displaystyle \tan x=\sin x/\cos x}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan x={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x\,,}$

entonces la función tangente satisface la ecuación diferencial ordinaria

${\displaystyle y'=1+y^{2}\,.}$

Es la solución única con y (0) = 0 .

Expansión de series de potencias

Aplicando las ecuaciones diferenciales a series de potencias con coeficientes indeterminados, se pueden deducir relaciones de recurrencia para los coeficientes de la serie de Taylor de las funciones seno y coseno. Estas relaciones de recurrencia son fáciles de resolver y dan lugar a expansiones de series ^[12]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\[6mu]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\[8pt]\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\[6mu]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}.\end{aligned}}}$

El radio de convergencia de estas series es infinito. Por lo tanto, el seno y el coseno se pueden extender a funciones completas (también llamadas "seno" y "coseno"), que son (por definición) funciones de valores complejos que están definidas y son holomorfas en todo el plano complejo .

Al definirse como fracciones de funciones enteras, las demás funciones trigonométricas pueden extenderse a funciones meromorfas , es decir funciones que son holomorfas en todo el plano complejo, excepto algunos puntos aislados llamados polos . Aquí, los polos son los números de la forma para la tangente y la secante, o para la cotangente y la cosecante, donde k es un número entero arbitrario. ${\textstyle (2k+1){\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle k\pi }$

También se pueden calcular relaciones de recurrencia para los coeficientes de la serie de Taylor de las otras funciones trigonométricas. Estas series tienen un radio de convergencia finito . Sus coeficientes tienen una interpretación combinatoria : enumeran permutaciones alternas de conjuntos finitos. ^[13]

Más precisamente, definir

Un _, el enésimo número arriba /abajo ,

B _n , el enésimo número de Bernoulli , y

E _n , es el enésimo número de Euler ,

uno tiene las siguientes expansiones en serie: ^[14]

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n+1}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\[8mu]&{}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}\left(2^{2n}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&{}=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\csc x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2\left(2^{2n-1}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&=x^{-1}+{\frac {1}{6}}x+{\frac {7}{360}}x^{3}+{\frac {31}{15120}}x^{5}+\cdots ,\qquad {\text{for }}0<|x|<\pi .\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\\[5mu]&=1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {5}{24}}x^{4}+{\frac {61}{720}}x^{6}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cot x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&=x^{-1}-{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}-{\frac {2}{945}}x^{5}-\cdots ,\qquad {\text{for }}0<|x|<\pi .\end{aligned}}}$

Expansión de fracción continua

Las siguientes expansiones son válidas en todo el plano complejo:

${\displaystyle \sin x={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3-x^{2}+{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5-x^{2}+{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7-x^{2}+\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \cos x={\cfrac {1}{1+{\cfrac {x^{2}}{1\cdot 2-x^{2}+{\cfrac {1\cdot 2x^{2}}{3\cdot 4-x^{2}+{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6-x^{2}+\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \tan x={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{3-{\cfrac {x^{2}}{5-{\cfrac {x^{2}}{7-\ddots }}}}}}}}={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {5}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {7}{x}}-\ddots }}}}}}}}}$

El último se utilizó en la primera prueba histórica de que π es irracional . ^[15]

Expansión de fracción parcial

Hay una representación en serie como expansión de fracción parcial donde las funciones recíprocas recién traducidas se suman, de modo que los polos de la función cotangente y las funciones recíprocas coincidan: ^[16]

${\displaystyle \pi \cot \pi x=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{x+n}}.}$

Esta identidad se puede demostrar con el truco de Herglotz . ^[17] La ​​combinación del (– n ) ésimo con el nésimo término conduce a una serie absolutamente convergente :

${\displaystyle \pi \cot \pi x={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}-n^{2}}}.}$

De manera similar, se puede encontrar una expansión de fracción parcial para las funciones secante, cosecante y tangente:

${\displaystyle \pi \csc \pi x=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{x+n}}={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{x^{2}-n^{2}}},}$

${\displaystyle \pi ^{2}\csc ^{2}\pi x=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(x+n)^{2}}},}$

${\displaystyle \pi \sec \pi x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n+1)}{(n+{\tfrac {1}{2}})^{2}-x^{2}}},}$

${\displaystyle \pi \tan \pi x=2x\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+{\tfrac {1}{2}})^{2}-x^{2}}}.}$

Expansión infinita del producto

El siguiente producto infinito del seno es de gran importancia en análisis complejos:

${\displaystyle \sin z=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right),\quad z\in \mathbb {C} .}$

Para la prueba de esta expansión, consulte Sine . De esto se puede deducir que

${\displaystyle \cos z=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{(n-1/2)^{2}\pi ^{2}}}\right),\quad z\in \mathbb {C} .}$

Relación con la función exponencial (fórmula de Euler)

${\displaystyle \cos(\theta )}$y son la parte real e imaginaria de respectivamente. ${\displaystyle \sin(\theta )}$ ${\displaystyle e^{i\theta }}$

La fórmula de Euler relaciona el seno y el coseno con la función exponencial :

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}$

Esta fórmula se considera comúnmente para valores reales de x , pero sigue siendo válida para todos los valores complejos.

Prueba : Sea y Uno tiene para j = 1, 2 . La regla del cociente implica así que . Por lo tanto, es una función constante, que es igual a ${\displaystyle f_{1}(x)=\cos x+i\sin x,}$ ${\displaystyle f_{2}(x)=e^{ix}.}$ ${\displaystyle df_{j}(x)/dx=if_{j}(x)}$ ${\displaystyle d/dx\,(f_{1}(x)/f_{2}(x))=0}$ ${\displaystyle f_{1}(x)/f_{2}(x)}$1 , como Esto prueba la fórmula. ${\displaystyle f_{1}(0)=f_{2}(0)=1.}$

Uno tiene

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\\[5pt]e^{-ix}&=\cos x-i\sin x.\end{aligned}}}$

Resolviendo este sistema lineal en seno y coseno, se pueden expresar en términos de la función exponencial:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\\[5pt]\cos x&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.\end{aligned}}}$

Cuando x es real, esto puede reescribirse como

${\displaystyle \cos x=\operatorname {Re} \left(e^{ix}\right),\qquad \sin x=\operatorname {Im} \left(e^{ix}\right).}$

La mayoría de las identidades trigonométricas se pueden demostrar expresando funciones trigonométricas en términos de la función exponencial compleja usando las fórmulas anteriores y luego usando la identidad para simplificar el resultado. ${\displaystyle e^{a+b}=e^{a}e^{b}}$

Definiciones usando ecuaciones funcionales.

También se pueden definir las funciones trigonométricas utilizando varias ecuaciones funcionales .

Por ejemplo, ^[18] el seno y el coseno forman el par único de funciones continuas que satisfacen la fórmula de diferencia

${\displaystyle \cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y\,}$

y la condición agregada

${\displaystyle 0<x\cos x<\sin x<x\quad {\text{ for }}\quad 0<x<1.}$

En el plano complejo

El seno y el coseno de un número complejo se pueden expresar en términos de senos, cosenos y funciones hiperbólicas reales de la siguiente manera: ${\displaystyle z=x+iy}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin z&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\\[5pt]\cos z&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y\end{aligned}}}$

Aprovechando la coloración de dominios , es posible graficar las funciones trigonométricas como funciones de valores complejos. En el gráfico se pueden ver varias características exclusivas de las funciones complejas; por ejemplo, se puede ver que las funciones seno y coseno no están acotadas a medida que la parte imaginaria de se hace más grande (ya que el color blanco representa el infinito), y el hecho de que las funciones contengan ceros o polos simples se desprende del hecho de que los ciclos de tono alrededor de cada cero o polo exactamente una vez. La comparación de estos gráficos con los de las funciones hiperbólicas correspondientes resalta las relaciones entre los dos. ${\displaystyle z}$

Identidades básicas

Muchas identidades interrelacionan las funciones trigonométricas. Esta sección contiene los más básicos; para más identidades, consulte Lista de identidades trigonométricas . Estas identidades pueden demostrarse geométricamente a partir de las definiciones de círculo unitario o de triángulo rectángulo (aunque, para las últimas definiciones, se debe tener cuidado con los ángulos que no están en el intervalo [0, π /2] , ver Pruebas de identidades trigonométricas ). Para pruebas no geométricas que utilizan únicamente herramientas de cálculo , se pueden usar directamente las ecuaciones diferenciales, de una manera similar a la prueba anterior de la identidad de Euler. También se puede utilizar la identidad de Euler para expresar todas las funciones trigonométricas en términos de exponenciales complejas y utilizar las propiedades de la función exponencial.

Paridad

El coseno y la secante son funciones pares ; las otras funciones trigonométricas son funciones impares . Eso es:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(-x)&=-\sin x\\\cos(-x)&=\cos x\\\tan(-x)&=-\tan x\\\cot(-x)&=-\cot x\\\csc(-x)&=-\csc x\\\sec(-x)&=\sec x.\end{aligned}}}$

Periodos

Todas las funciones trigonométricas son funciones periódicas de período 2 π . Este es el período más pequeño, excepto para la tangente y la cotangente, que tienen π como período más pequeño. Esto significa que, para cada número entero k , se tiene

${\displaystyle {\begin{array}{lrl}\sin(x+&2k\pi )&=\sin x\\\cos(x+&2k\pi )&=\cos x\\\tan(x+&k\pi )&=\tan x\\\cot(x+&k\pi )&=\cot x\\\csc(x+&2k\pi )&=\csc x\\\sec(x+&2k\pi )&=\sec x.\end{array}}}$

Identidad pitagórica

La identidad pitagórica, es la expresión del teorema de Pitágoras en términos de funciones trigonométricas. Es

${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}$.

Dividiendo por cualquiera o da ${\displaystyle \cos ^{2}x}$ ${\displaystyle \sin ^{2}x}$

${\displaystyle \tan ^{2}x+1=\sec ^{2}x}$

y

${\displaystyle 1+\cot ^{2}x=\csc ^{2}x}$.

Fórmulas de suma y diferencia.

Las fórmulas de suma y diferencia permiten expandir el seno, el coseno y la tangente de una suma o diferencia de dos ángulos en términos de senos y cosenos y tangentes de los propios ángulos. Estos pueden derivarse geométricamente, utilizando argumentos que datan de Ptolomeo . También se pueden producir algebraicamente usando la fórmula de Euler .

Suma

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left(x+y\right)&=\sin x\cos y+\cos x\sin y,\\[5mu]\cos \left(x+y\right)&=\cos x\cos y-\sin x\sin y,\\[5mu]\tan(x+y)&={\frac {\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}}.\end{aligned}}}$

Diferencia

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left(x-y\right)&=\sin x\cos y-\cos x\sin y,\\[5mu]\cos \left(x-y\right)&=\cos x\cos y+\sin x\sin y,\\[5mu]\tan(x-y)&={\frac {\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}}.\end{aligned}}}$

Cuando los dos ángulos son iguales, las fórmulas de suma se reducen a ecuaciones más simples conocidas como fórmulas de doble ángulo .

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin 2x&=2\sin x\cos x={\frac {2\tan x}{1+\tan ^{2}x}},\\[5mu]\cos 2x&=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1=1-2\sin ^{2}x={\frac {1-\tan ^{2}x}{1+\tan ^{2}x}},\\[5mu]\tan 2x&={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}.\end{aligned}}}$

Estas identidades se pueden utilizar para derivar las identidades de producto a suma .

Al establecer todas las funciones trigonométricas de se pueden expresar como fracciones racionales de : ${\displaystyle t=\tan {\tfrac {1}{2}}\theta ,}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &={\frac {2t}{1+t^{2}}},\\[5mu]\cos \theta &={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\\[5mu]\tan \theta &={\frac {2t}{1-t^{2}}}.\end{aligned}}}$

Juntos con

${\displaystyle d\theta ={\frac {2}{1+t^{2}}}\,dt,}$

esta es la sustitución de medio ángulo tangente , que reduce el cálculo de integrales y primitivas de funciones trigonométricas al de fracciones racionales.

Derivadas y antiderivadas

Las derivadas de funciones trigonométricas resultan de las de seno y coseno aplicando la regla del cociente . Los valores dados para las antiderivadas en la siguiente tabla se pueden verificar diferenciándolos. El número  C es una constante de integración .

Nota: Para la integral de también se puede escribir como y para la integral de para como donde es el seno hiperbólico inverso . ${\displaystyle 0<x<\pi }$ ${\displaystyle \csc x}$ ${\displaystyle -\operatorname {arsinh} (\cot x),}$ ${\displaystyle \sec x}$ ${\displaystyle -\pi /2<x<\pi /2}$ ${\displaystyle \operatorname {arsinh} (\tan x),}$ ${\displaystyle \operatorname {arsinh} }$

Alternativamente, las derivadas de las 'cofunciones' se pueden obtener usando identidades trigonométricas y la regla de la cadena:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\cos x}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\sin(\pi /2-x)=-\cos(\pi /2-x)=-\sin x\,,\\{\frac {d\csc x}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\sec(\pi /2-x)=-\sec(\pi /2-x)\tan(\pi /2-x)=-\csc x\cot x\,,\\{\frac {d\cot x}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\tan(\pi /2-x)=-\sec ^{2}(\pi /2-x)=-\csc ^{2}x\,.\end{aligned}}}$

Funciones inversas

Las funciones trigonométricas son periódicas, y por tanto no inyectivas , por lo que estrictamente hablando, no tienen función inversa . Sin embargo, en cada intervalo en el que una función trigonométrica es monótona , se puede definir una función inversa, y esto define las funciones trigonométricas inversas como funciones multivaluadas . Para definir una función inversa verdadera, se debe restringir el dominio a un intervalo donde la función es monótona y, por lo tanto, es biyectiva desde este intervalo a su imagen por la función. La elección común para este intervalo, llamado conjunto de valores principales , se proporciona en la siguiente tabla. Como es habitual, las funciones trigonométricas inversas se denotan con el prefijo "arco" antes del nombre o su abreviatura de la función.

Las notaciones sin ⁻¹ , cos ⁻¹ , etc. se usan a menudo para arcsin y arccos , etc. Cuando se usa esta notación, las funciones inversas podrían confundirse con inversas multiplicativas. La notación con el prefijo "arco" evita tal confusión, aunque "arcsec" para arcosecante puede confundirse con " arcsegundo ".

Al igual que el seno y el coseno, las funciones trigonométricas inversas también se pueden expresar en términos de series infinitas. También se pueden expresar en términos de logaritmos complejos .

Aplicaciones

Ángulos y lados de un triángulo.

En esta sección A , B , C denotan los tres ángulos (interiores) de un triángulo, y a , b , c denotan las longitudes de los respectivos bordes opuestos. Están relacionados mediante diversas fórmulas, que reciben nombre de las funciones trigonométricas que involucran.

ley de los senos

La ley de los senos establece que para un triángulo arbitrario con lados a , b y c y ángulos opuestos a esos lados A , B y C :

$${\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}={\frac {2\Delta }{abc}},}$$

Δ

$${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R,}$$

R es el circunradio

Se puede demostrar dividiendo el triángulo en dos rectángulos y utilizando la definición anterior de seno. La ley de los senos es útil para calcular las longitudes de los lados desconocidos de un triángulo si se conocen dos ángulos y un lado. Esta es una situación común que ocurre en la triangulación , una técnica para determinar distancias desconocidas midiendo dos ángulos y una distancia cerrada accesible.

Ley de cosenos

La ley de los cosenos (también conocida como fórmula del coseno o regla del coseno) es una extensión del teorema de Pitágoras :

$${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,}$$

$${\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.}$$

En esta fórmula el ángulo en C es opuesto al lado  c . Este teorema se puede demostrar dividiendo el triángulo en dos rectángulos y utilizando el teorema de Pitágoras .

La ley de los cosenos se puede utilizar para determinar un lado de un triángulo si se conocen dos lados y el ángulo entre ellos. También se puede utilizar para encontrar los cosenos de un ángulo (y, en consecuencia, los ángulos mismos) si se conocen las longitudes de todos los lados.

ley de las tangentes

La ley de las tangentes dice que:

${\displaystyle {\frac {\tan {\frac {A-B}{2}}}{\tan {\frac {A+B}{2}}}}={\frac {a-b}{a+b}}}$.

Ley de cotangentes

Si s es el semiperímetro del triángulo, ( a + b + c )/2, y r es el radio del círculo interior del triángulo , entonces rs es el área del triángulo. Por tanto la fórmula de Heron implica que:

${\displaystyle r={\sqrt {{\frac {1}{s}}(s-a)(s-b)(s-c)}}}$.

La ley de las cotangentes dice que: ^[19]

${\displaystyle \cot {\frac {A}{2}}={\frac {s-a}{r}}}$

Resulta que

${\displaystyle {\frac {\cot {\dfrac {A}{2}}}{s-a}}={\frac {\cot {\dfrac {B}{2}}}{s-b}}={\frac {\cot {\dfrac {C}{2}}}{s-c}}={\frac {1}{r}}.}$

Funciones periódicas

Una curva de Lissajous , figura formada con una función basada en trigonometría.

Una animación de la síntesis aditiva de una onda cuadrada con un número creciente de armónicos.

Las funciones de base sinusoidal (abajo) pueden formar una onda en diente de sierra (arriba) cuando se agregan. Todas las funciones básicas tienen nodos en los nodos del diente de sierra, y todas menos la fundamental ( k = 1 ) tienen nodos adicionales. La oscilación que se observa alrededor del diente de sierra cuando k es grande se llama fenómeno de Gibbs.

Las funciones trigonométricas también son importantes en física. Las funciones seno y coseno, por ejemplo, se utilizan para describir el movimiento armónico simple , que modela muchos fenómenos naturales, como el movimiento de una masa unida a un resorte y, para ángulos pequeños, el movimiento pendular de una masa suspendida de un cadena. Las funciones seno y coseno son proyecciones unidimensionales de movimiento circular uniforme .

Las funciones trigonométricas también resultan útiles en el estudio de funciones periódicas generales . Los patrones de ondas característicos de las funciones periódicas son útiles para modelar fenómenos recurrentes como las ondas de sonido o de luz . ^[20]

En condiciones bastante generales, una función periódica f  ( x ) se puede expresar como una suma de ondas sinusoidales u ondas cosenos en una serie de Fourier . ^[21] Denotando las funciones de base seno o coseno por φ _k , la expansión de la función periódica f  ( t ) toma la forma:

$${\displaystyle f(t)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\varphi _{k}(t).}$$

Por ejemplo, la onda cuadrada se puede escribir como la serie de Fourier.

$${\displaystyle f_{\text{square}}(t)={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\sin {\big (}(2k-1)t{\big )} \over 2k-1}.}$$

En la animación de una onda cuadrada arriba a la derecha se puede ver que sólo unos pocos términos ya producen una aproximación bastante buena. A continuación se muestra la superposición de varios términos en la expansión de una onda en diente de sierra .

Historia

Si bien los primeros estudios de la trigonometría se remontan a la antigüedad, las funciones trigonométricas tal como se utilizan hoy en día se desarrollaron en el período medieval. La función de la cuerda fue descubierta por Hiparco de Nicea (180-125 a. C.) y Ptolomeo del Egipto romano (90-165 d. C.). Las funciones de seno y verseno (1 – coseno) se remontan a las funciones jyā y koti-jyā utilizadas en la astronomía india del período Gupta ( Aryabhatiya , Surya Siddhanta ), mediante traducción del sánscrito al árabe y luego del árabe al latín. ^[22] (Ver la tabla de senos de Aryabhata ).

Las seis funciones trigonométricas de uso actual eran conocidas en las matemáticas islámicas en el siglo IX, al igual que la ley de los senos , utilizada para resolver triángulos . ^[23] Con la excepción del seno (que fue adoptado de las matemáticas indias), las otras cinco funciones trigonométricas modernas fueron descubiertas por matemáticos persas y árabes, incluidos el coseno, la tangente, la cotangente, la secante y la cosecante. ^[23] Al-Khwārizmī (c. 780–850) produjo tablas de senos, cosenos y tangentes. Hacia 830, Habash al-Hasib al-Marwazi descubrió la cotangente y produjo tablas de tangentes y cotangentes. ^{[24] [25]} Muhammad ibn Jābir al-Harrānī al-Battānī (853–929) descubrió las funciones recíprocas de secante y cosecante, y produjo la primera tabla de cosecantes para cada grado de 1° a 90°. ^[25] Las funciones trigonométricas fueron estudiadas más tarde por matemáticos como Omar Khayyám , Bhāskara II , Nasir al-Din al-Tusi , Jamshīd al-Kāshī (siglo XIV), Ulugh Beg (siglo XIV), Regiomontanus (1464), Rheticus y Valentinus Otho , alumno de Rheticus .

Madhava de Sangamagrama (c. 1400) logró avances tempranos en el análisis de funciones trigonométricas en términos de series infinitas . ^[26] (Ver serie de Madhava y tabla de senos de Madhava ).

La función tangente fue llevada a Europa por Giovanni Bianchini en 1467 en tablas trigonométricas que creó para apoyar el cálculo de coordenadas estelares. ^[27]

Los términos tangente y secante fueron introducidos por primera vez por el matemático danés Thomas Fincke en su libro Geometria rotundi (1583). ^[28]

El matemático francés del siglo XVII Albert Girard hizo el primer uso publicado de las abreviaturas sin , cos y tan en su libro Trigonométrie . ^[29]

En un artículo publicado en 1682, Gottfried Leibniz demostró que sen x no es una función algebraica de x . ^[30] Aunque se presentaron como proporciones de lados de un triángulo rectángulo y, por lo tanto, parecen funciones racionales , el resultado de Leibnitz estableció que en realidad son funciones trascendentales de su argumento. La tarea de asimilar funciones circulares en expresiones algebraicas fue realizada por Euler en su Introducción al análisis del infinito (1748). Su método consistió en demostrar que las funciones seno y coseno son series alternas formadas a partir de los términos pares e impares respectivamente de la serie exponencial . Presentó la " fórmula de Euler ", así como abreviaturas casi modernas ( sin. , cos. , tang. , cot. , sec. y cosec. ). ^[22]

Algunas funciones fueron comunes históricamente, pero ahora rara vez se usan, como la cuerda , el versino (que apareció en las primeras tablas ^[22] ), el coverseno , el haversine , ^[31] el exsecante y el excosecante . La lista de identidades trigonométricas muestra más relaciones entre estas funciones.

• crd( θ ) = 2 pecado(θ/2)
• versin( θ ) = 1 − cos( θ ) = 2 sen ² (θ/2)
• cubresin( θ ) = 1 − pecado( θ ) = versin(π/2− θ )
• haversin( θ ) =1/2versin( θ ) = pecado ² (θ/2)
• exsec( θ ) = sec( θ ) − 1
• excsc( θ ) = exsec(π/2− θ ) = csc( θ ) − 1

Históricamente, las funciones trigonométricas a menudo se combinaban con logaritmos en funciones compuestas como el seno logarítmico, el coseno logarítmico, la secante logarítmica, la cosecante logarítmica, la tangente logarítmica y la cotangente logarítmica. ^{[32] [33] [34] [35]}

Etimología

La palabra seno deriva ^[36] del latín sinus , que significa "doblarse; bahía", y más concretamente "el pliegue colgante de la parte superior de una toga ", "el seno de una prenda", que fue elegida como traducción de lo que fue interpretado como la palabra árabe jaib , que significa "bolsillo" o "pliegue" en las traducciones del siglo XII de obras de Al-Battani y al-Khwārizmī al latín medieval . ^[37] La ​​elección se basó en una mala interpretación de la forma escrita árabe jyb ( جيب ), que a su vez se originó como una transliteración del sánscrito jīvā , que junto con su sinónimo jyā (el término sánscrito estándar para seno) se traduce como "cuerda de arco". , siendo a su vez adoptado del griego antiguo χορδή "cuerda". ^[38]

La palabra tangente proviene del latín tangens que significa "tocar", ya que la línea toca el círculo de radio unitario, mientras que secante proviene del latín secans ("cortar"), ya que la línea corta el círculo. ^[39]

El prefijo " co- " (en "coseno", "cotangente", "cosecante") se encuentra en el Canon triangulorum (1620) de Edmund Gunter , que define el coseno como una abreviatura del seno complementario (seno del ángulo complementario) . ) y procede a definir los cotangentes de manera similar. ^{[40] [41]}

Ver también

• Mnemónicos en trigonometría
• Fórmula de aproximación del seno de Bhaskara I
• Aproximación de ángulo pequeño
• Diferenciación de funciones trigonométricas.
• Trigonometría generalizada
• Generando tablas trigonométricas
• Función hiperbólica
• Lista de integrales de funciones trigonométricas.
• Lista de funciones periódicas
• Lista de identidades trigonométricas
• Seno polar : una generalización a los ángulos de los vértices
• Pruebas de identidades trigonométricas.
• Versine : para varias funciones trigonométricas menos utilizadas y diagramas de círculo unitario de todas las funciones
• Acorde (geometría)#En trigonometría

Notas

1. También igual a ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$

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12. Véase Ahlfors, págs. 43–44.
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21. Véase, por ejemplo, Folland, Gerald B. (2009). "Convergencia e integridad". Análisis de Fourier y sus aplicaciones (Reimpresión de Wadsworth & Brooks/Cole 1992 ed.). Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 77 y siguientes. ISBN 978-0-8218-4790-9. Archivado desde el original el 19 de marzo de 2015.
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36. La forma inglesa se registró por primera vez en 1593 en Horologiographia , the Art of Dialing de Thomas Fale .
37. Varias fuentes atribuyen el primer uso de los senos nasales a
    • Traducción de Platón Tiburtino de 1116 de la Astronomía de Al-Battani
    • Traducción de Gerardo de Cremona del Álgebra de al-Khwārizmī
    • Traducción de Robert de Chester de 1145 de las tablas de al-Khwārizmī
    Véase Merlet, Una nota sobre la historia de las funciones trigonométricas en Ceccarelli (ed.), Simposio internacional sobre historia de máquinas y mecanismos , Springer, 2004.
    Véase Maor (1998), capítulo 3, para una etimología anterior que acredita a Gerard.
    Véase Katx, Victor (julio de 2008). Una historia de las matemáticas (3ª ed.). Boston: Pearson . pag. 210 (barra lateral). ISBN 978-0321387004.
38. Véase Plofker, Matemáticas en la India , Princeton University Press, 2009, p. 257
    Véase "Universidad de Clark". Archivado desde el original el 15 de junio de 2008.
    Véase Maor (1998), capítulo 3, sobre la etimología.
39. Diccionario de inglés Oxford
40. Gunter, Edmundo (1620). Canon triangulorum .
41. Roegel, Denis, ed. (6 de diciembre de 2010). "Una reconstrucción del Canon triangulorum de Gunter (1620)" (Informe de investigación). HAL. inria-00543938. Archivado desde el original el 28 de julio de 2017 . Consultado el 28 de julio de 2017 .

Referencias

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enlaces externos

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• Módulo Visionlearning sobre matemáticas ondulatorias
• GonioLab Visualización del círculo unitario, funciones trigonométricas e hiperbólicas
• q-Sine Artículo sobre el q-análogo de sin en MathWorld
• q-Coseno Artículo sobre el análogo q de cos en MathWorld