La tabla de senos de Āryabhata es un conjunto de veinticuatro números que figuran en el tratado astronómico Āryabhatiya, compuesto por el matemático y astrónomo indio del siglo V Āryabhata (476-550 d.C.), para el cálculo de las semicordas de un determinado conjunto de arcos de un círculo. El conjunto de números aparece en el versículo 12 del Capítulo 1 Dasagitika de Aryabhatiya. [1] No es una tabla en el sentido moderno de una tabla matemática; es decir, no es un conjunto de números ordenados en filas y columnas. [2] [3] [4] La tabla de Āryabhaṭa tampoco es un conjunto de valores de la función seno trigonométrica en un sentido convencional; es una tabla de las primeras diferencias de los valores de los senos trigonométricos expresados en minutos de arco , y debido a esto la tabla también se conoce como tabla de diferencias de senos de Āryabhaṭa . [5] [6]
La tabla de Āryabhaṭa fue la primera tabla de senos jamás construida en la historia de las matemáticas . [7] Las tablas ahora perdidas de Hiparco (c. 190 a. C. – c. 120 a. C.) y Menelao (c. 70-140 d. C.) y las de Ptolomeo (c. 90 d. C. – c. 168 d. C.) eran todas tablas de acordes y no de medios acordes. [7] La mesa de Āryabhaṭa permaneció como la mesa sinusoidal estándar de la antigua India. Hubo continuos intentos de mejorar la precisión de esta tabla. Estos esfuerzos culminaron con el eventual descubrimiento de las expansiones en series de potencias de las funciones seno y coseno por Madhava de Sangamagrama (c. 1350 – c. 1425), el fundador de la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala , y la tabulación de una tabla de senos. por Madhava con valores precisos hasta siete u ocho decimales.
Algunos historiadores de las matemáticas han argumentado que la tabla de senos que figura en Āryabhaṭiya era una adaptación de tablas anteriores construidas por matemáticos y astrónomos de la antigua Grecia. [8] David Pingree , uno de los principales historiadores estadounidenses de las ciencias exactas en la antigüedad, fue un exponente de tal punto de vista. Suponiendo esta hipótesis, GJ Toomer [9] [10] [11] escribe: "Apenas existe documentación sobre la llegada más temprana de los modelos astronómicos griegos a la India, o sobre cómo habrían sido esos modelos. Por lo tanto, es muy difícil para determinar en qué medida lo que nos ha llegado representa conocimiento transmitido y lo que es original de los científicos indios... La verdad es probablemente una mezcla confusa de ambos." [12]
Los valores codificados en el verso sánscrito de Āryabhaṭa se pueden decodificar utilizando el esquema numérico explicado en Āryabhaṭīya , y los números decodificados se enumeran en la siguiente tabla. En la tabla, las medidas de ángulos relevantes para la tabla de senos de Āryabhaṭa se enumeran en la segunda columna. La tercera columna contiene la lista de números contenidos en el verso sánscrito indicado anteriormente en escritura devanagari . Para comodidad de los usuarios que no pueden leer Devanagari, estos números de palabras se reproducen en la cuarta columna en la transliteración ISO 15919 . La siguiente columna contiene estos números en números hindú-árabes . Los números de Āryabhaṭa son las primeras diferencias en los valores de los senos. El valor correspondiente de seno (o más precisamente, de jya ) se puede obtener sumando las diferencias hasta esa diferencia. Así, el valor de jya correspondiente a 18° 45′ es la suma 225 + 224 + 222 + 219 + 215 = 1105. Para evaluar la exactitud de los cálculos de Āryabhaṭa, los valores modernos de jya s se dan en la última columna de la tabla.
En la tradición matemática india, el seno (o jya ) de un ángulo no es una razón de números. Es la longitud de un determinado segmento de línea, una determinada media cuerda. El radio del círculo base es un parámetro básico para la construcción de este tipo de tablas. Históricamente, se han construido varias tablas utilizando diferentes valores para este parámetro. Āryabhaṭa ha elegido el número 3438 como valor del radio del círculo base para calcular su tabla de senos. El motivo de la elección de este parámetro es la idea de medir la circunferencia de un círculo en medidas de ángulos. En los cálculos astronómicos las distancias se miden en grados , minutos , segundos , etc. En esta medida, la circunferencia de un círculo es 360° = (60 × 360) minutos = 21600 minutos. El radio del círculo, cuya circunferencia mide 21600 minutos, es 21600 / 2π minutos. Calculando esto usando el valor π = 3,1416 conocido por Aryabhata, se obtiene que el radio del círculo es de 3438 minutos aproximadamente. La tabla de senos de Āryabhaṭa se basa en este valor para el radio del círculo base. Aún no se ha establecido quién es el primero en utilizar este valor para el radio base. Pero Aryabhatiya es el texto más antiguo que se conserva que contiene una referencia a esta constante básica. [13]
La segunda sección de Āryabhaṭiya, titulada Ganitapādd, contiene una estrofa que indica un método para el cálculo de la tabla de senos. Hay varias ambigüedades al interpretar correctamente el significado de este versículo. Por ejemplo, la siguiente es una traducción del verso dada por Katz en la que las palabras entre corchetes son inserciones del traductor y no traducciones de textos en el verso. [13]
Esto puede estar refiriéndose al hecho de que la segunda derivada de la función seno es igual al negativo de la función seno.