Tabla de senos de Madhava

Tabla matemática

La tabla de senos de Madhava es la tabla de senos trigonométricos construida por el matemático y astrónomo de Kerala del siglo XIV Madhava de Sangamagrama (c. 1340 – c. 1425). La tabla enumera los jya-s o Rseno de los veinticuatro ángulos desde 3,75 ° hasta 90° en pasos de 3,75° (1/24 de un ángulo recto , 90°). Rseno es simplemente el seno multiplicado por un radio seleccionado y dado como un número entero. En esta tabla, como en la tabla anterior de Aryabhata , R se toma como 21600 ÷ 2 π ≈ 3437,75.

La tabla está codificada con las letras del alfabeto sánscrito utilizando el sistema Katapayadi , lo que da a las entradas la apariencia de los versos de un poema.

No se ha encontrado la obra original de Madhava que contiene la tabla. La tabla está reproducida en el Aryabhatiyabhashya de Nilakantha Somayaji ^[1] (1444–1544) y también en el comentario Yuktidipika/Laghuvivrti de Tantrasamgraha de Sankara Variar (circa 1500–1560). ^{[2] : 114–123}

Los versos a continuación aparecen en Fundamentos culturales de las matemáticas de CK Raju. ^{[2] : 114–123} También aparecen en el Comentario malayalam de Karanapaddhati de PK Koru ^[3] pero de forma ligeramente diferente.

La mesa

Los versos son:

Más información ।
तपनो भानु सूक्तज्ञो मध्यमं विद्धि दोहनम् ॥ १ ॥
धिगाज्यो नाशनं कष्टं छन्नभोगाशयाम्बिका ।
मृगाहारो नरेशोयं वीरो रणजयोत्सुकः ॥ २ ॥
मूलं विशुद्धं नाळस्य गानेषु विरळा नराः ।
अशुद्धिगुप्ता चोरश्रीः शङ्कुकर्णो नगेश्वरः ॥ ३ ॥
तनुजो गर्भजो मित्रं श्रीमानत्र सुखी सखे ।
शशी रात्रौ हिमाहारौ वेगज्ञः पथि सिन्धुरः ॥ ४ ॥
छाया लयो गजो नीलो निर्मलो नास्ति सत्कुले ।
रात्रौ दर्पणमभ्राङ्गं नागस्तुङ्गनखो बली ॥ ५ ॥
धीरो युवा कथालोलः पूज्यो नारीजनैर्भगः ।
कन्यागारे नागवल्ली देवो विश्वस्थली भृगुः ॥ ६ ॥
तत्परादिकलान्तास्तु महाज्या माधवोदिताः ।
स्वस्वपूर्वविशुद्धे तु विकाः ॥ ७ ॥

Los cuartos de los primeros seis versos representan entradas para los veinticuatro ángulos desde 3,75° hasta 90° en pasos de 3,75° (primera columna). La segunda columna contiene los valores de Rsine codificados como palabras sánscritas (en devanagari). La tercera columna contiene lo mismo en transliteraciones ISO 15919. La cuarta columna contiene los números decodificados en minutos de arco, segundos de arco y tercios de arco en numerales modernos. Los valores modernos escalados por el "radio" tradicional (21600 ÷ 2 π , con el valor moderno de π con dos decimales en los tercios de arco se dan en la quinta columna.

El último verso significa: “Estos son los grandes senos R, como dijo Madhava, que comprenden los minutos de arco, los segundos y los tercios. Restando de cada uno de ellos el anterior se obtendrán las diferencias de senos R”.

Al comparar, se puede notar que los valores de Madhava se dan con precisión redondeados a la precisión declarada de tercios, excepto para Rsin(15°), donde uno siente que debería haber redondeado a 889′45″16‴.

Tenga en cuenta que en el sistema Katapayadi los dígitos se escriben en orden inverso, por lo que, por ejemplo, la entrada literal correspondiente a 15° es 51549880, que se invierte y se lee como 0889′45″15‴. Tenga en cuenta que el 0 no tiene ningún valor, sino que se utiliza solo para la métrica del poema.

Una forma sencilla de entender la tabla

Sin entrar en la filosofía de por qué se eligió el valor de R  = 21600 ÷ 2 π , etc., la forma más sencilla de relacionar las tablas jya con nuestro concepto moderno de tablas de senos es la siguiente:

Incluso hoy en día, las tablas de senos se dan como decimales con una cierta precisión. Si sen(15°) se da como 0,1736, significa que el racional 1736 ÷ 10000 es una buena aproximación del número real de precisión infinita. La única diferencia es que en los primeros tiempos no se habían estandarizado los valores decimales (o potencias de diez como denominador) para las fracciones. Por lo tanto, se usaban otros denominadores basados ​​en otras consideraciones (que no se analizan aquí).

Por lo tanto, los valores de seno representados en las tablas pueden simplemente tomarse como aproximados por los valores enteros dados divididos por el R elegido para la tabla.

Otro posible punto de confusión es el uso de medidas angulares como el minuto de arco, etc., para expresar los R-senos. Los senos modernos son proporciones sin unidades. Los Jya-s o R-senos son lo mismo multiplicado por una medida de longitud o distancia. Sin embargo, dado que estas tablas se usaban principalmente para astronomía y la distancia en la esfera celeste se expresa en medidas angulares, estos valores también se dan de la misma manera. Sin embargo, la unidad no es realmente importante y no debe tomarse demasiado en serio, ya que el valor se usará de todos modos como parte de un racional y la unidad se cancelará.

Sin embargo, esto también conduce al uso de subdivisiones sexagesimales en la refinación de Madhava de la tabla anterior de Aryabhata. En lugar de elegir una R mayor , proporcionó la precisión adicional determinada por él sobre los minutos dados anteriormente utilizando segundos y tercios. Como antes, estos pueden simplemente tomarse como una forma diferente de expresar fracciones y no necesariamente como medidas de ángulos.

Otra forma (más difícil) de entender los valores

Diagrama que explica el significado de los valores en la tabla de Madhava

Consideremos un ángulo cuya medida es  A . Consideremos un círculo de radio unitario y centro O. Sea el arco PQ del círculo subtendido un ángulo A en el centro O. Dejemos caer la perpendicular QR desde Q a OP; entonces la longitud del segmento de línea RQ es el valor del seno trigonométrico del ángulo  A . Sea PS un arco del círculo cuya longitud es igual a la longitud del segmento RQ. Para varios ángulos A , la tabla de Madhava da las medidas de los ángulos correspondientes POS en minutos de arco , segundos de arco y sexagésimos de segundo de arco . ${\displaystyle \angle }$

A modo de ejemplo, supongamos que A es un ángulo cuya medida es 22,50°. En la tabla de Madhava, la entrada correspondiente a 22,50° es la medida en minutos de arco, segundos de arco y sexagésimas de segundo de arco del ángulo cuya medida en radianes es el valor de sin 22.50°, que es 0,3826834;

multiplica 0,3826834 radianes por 180/ π para convertir a 21,92614 grados, que es

1315 minutos de arco 34 segundos de arco 07 sexagésimas de segundo de arco, abreviado 13153407.

Para un ángulo cuya medida es A , sea

${\displaystyle \angle POS=m{\text{ arcminutes, }}s{\text{ arcseconds, }}t{\text{ sixtieths of an arcsecond}}}$

Entonces:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(A)&=RQ\\&={\text{length of arc }}PS\\&=\angle POS{\text{ in radians}}\\\end{aligned}}}$

Derivación de senos trigonométricos a partir de la tabla

Cada una de las líneas de la tabla especifica ocho dígitos. Sean los dígitos correspondientes al ángulo A (leídos de izquierda a derecha):

${\displaystyle d_{1}\quad d_{2}\quad d_{3}\quad d_{4}\quad d_{5}\quad d_{6}\quad d_{7}\quad d_{8}}$

Luego según las reglas del sistema Katapayadi se deben tomar de derecha a izquierda y tenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}m&=d_{8}\times 1000+d_{7}\times 100+d_{6}\times 10+d_{5}\\s&=d_{4}\times 10+d_{3}\\t&=d_{2}\times 10+d_{1}\end{aligned}}}$

${\displaystyle B=m^{\prime }s^{\prime \prime }t^{\prime \prime \prime }={\frac {1^{\circ }}{60}}\left(m+{\frac {s}{60}}+{\frac {t}{60\times 60}}\right)}$

El valor del ángulo B anterior expresado en radianes corresponderá al valor del seno de A.

${\displaystyle \sin A={\frac {\pi }{180}}B}$

Como se dijo anteriormente, esto es lo mismo que dividir el valor codificado por el valor R tomado :

${\displaystyle \sin A={\frac {B}{\frac {21600^{\prime }}{2\pi }}}}$

Ejemplo

La tabla enumera los siguientes dígitos correspondientes al ángulo  A = 45,00°:

${\displaystyle 5\quad 1\quad 1\quad 5\quad 0\quad 3\quad 4\quad 2}$

Esto produce el ángulo con medida:

${\displaystyle {\begin{aligned}m&=2\times 1000+4\times 100+3\times 10+0{\text{ arcminutes}}\\&=2430{\text{ arcminutes}}\\s&=5\times 10+1{\text{ arcseconds}}\\&=51{\text{ arcseconds}}\\t&=1\times 10+5{\text{ sixtieths of an arcsecond}}\\&=15{\text{ sixtieths of an arcsecond}}\end{aligned}}}$

De donde obtenemos:

${\displaystyle B={\frac {1^{\circ }}{60}}\left(2430+{\frac {51}{60}}+{\frac {15}{60\times 60}}\right)={\frac {116681}{2880}}}$

El valor del seno de A  = 45,00° tal como se indica en la tabla de Madhava es entonces simplemente B convertido a radianes:

${\displaystyle \sin 45^{\circ }={\frac {\pi }{180}}B={\frac {\pi }{180}}\times {\frac {116681}{2880}}}$

Evaluando lo anterior, se puede encontrar que sen 45° es 0,70710681… Esto es preciso hasta 6 decimales.

El método de cálculo de Madhava

No se ha conservado ningún trabajo de Madhava que detalle los métodos que utilizó para el cálculo de la tabla de senos. Sin embargo, a partir de los escritos de matemáticos posteriores de Kerala, incluidos Nilakantha Somayaji ( Tantrasangraha ) y Jyeshtadeva ( Yuktibhāṣā ), que dan amplias referencias a los logros de Madhava, se conjetura que Madhava calculó su tabla de senos utilizando la expansión de la serie de potencias de sen x :

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }$

Véase también

• Serie Madhava
• Término de corrección de Madhava
• Valor de π de Madhava
• Tabla de senos de Āryabhaṭa
• Tabla de acordes de Ptolomeo

Referencias

1. El Aryabhatiam de Aryabhattacharya con el Bhashya de Nilakantha Somasutvan, Parte 1 - Gaṇitapāda, Editado por K. Sambasiva Sastri, Trivandrum Sanskrit Series No.101. pag. 55. https://archive.org/details/Trivandrum_Sanskrit_Series_TSS http://www.sanskritebooks.org/2013/02/trivandrum-sanskrit-series-anantasayana-samskrita-granthavali/
2. CK Raju (2007). Fundamentos culturales de las matemáticas: la naturaleza de la prueba matemática y la transmisión del cálculo de la India a Europa en el siglo XVI d. C. Historia de la filosofía, la ciencia y la cultura en la civilización india. Vol. X Parte 4. Nueva Delhi: Centro de Estudios sobre Civilizaciones y Educación Pearson en el Sur de Asia. ISBN 978-81-317-0871-2.
3. Puthumana Somayaji . Karanapaddhati (con comentario en malayalam de PK Koru) . Cherpu , Kerala , India : Empresa editorial y de impresión Astro.(Publicado en 1953)

Referencias adicionales

• Bag, AK (1976). «Madhava's sene and cosine series» (PDF) . Indian Journal of History of Science . 11 (1). Indian National Academy of Science: 54–57. Archivado desde el original (PDF) el 5 de julio de 2015. Consultado el 21 de agosto de 2016 .
• Para una explicación del cálculo de la tabla de senos por parte de Madhava, véase: Van Brummelen, Glen (2009). Las matemáticas de los cielos y la tierra: la historia temprana de la trigonometría. Princeton: Princeton University Press . Págs. 113-120. ISBN. 978-0-691-12973-0.
• Para una discusión exhaustiva del cálculo de la tabla de senos de Madhava con referencias históricas: CK Raju (2007). Fundamentos culturales de las matemáticas: la naturaleza de la prueba matemática y la transmisión del cálculo de la India a Europa en el siglo XVI d. C. Historia de la filosofía, la ciencia y la cultura en la civilización india. Vol. X Parte 4. Delhi: Centro de Estudios sobre Civilizaciones. págs. 114-123.