Función racional

Relación de funciones polinómicas

En matemáticas , una función racional es cualquier función que pueda definirse mediante una fracción racional , que es una fracción algebraica tal que tanto el numerador como el denominador son polinomios . Los coeficientes de los polinomios no necesitan ser números racionales ; se pueden tomar en cualquier campo K . En este caso se habla de una función racional y de una fracción racional sobre K . Los valores de las variables se pueden tomar en cualquier campo L que contenga K . Entonces el dominio de la función es el conjunto de los valores de las variables cuyo denominador no es cero y el codominio es L.

El conjunto de funciones racionales sobre un campo K es un campo, el campo de fracciones del anillo de las funciones polinómicas sobre K.

Definiciones

Una función se llama función racional si se puede escribir en la forma ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}}$

donde y son funciones polinómicas de y no es la función cero . El dominio de es el conjunto de todos los valores de cuyo denominador no es cero. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Q(x)}$

Sin embargo, si y tiene un máximo común divisor polinómico no constante , entonces establecer y produce una función racional ${\displaystyle \textstyle P}$ ${\displaystyle \textstyle Q}$ ${\displaystyle \textstyle R}$ ${\displaystyle \textstyle P=P_{1}R}$ ${\displaystyle \textstyle Q=Q_{1}R}$

${\displaystyle f_{1}(x)={\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}},}$

que puede tener un dominio mayor que , y es igual a en el dominio de Es un uso común identificar y , es decir, extender "por continuidad" el dominio de al de De hecho, se puede definir una fracción racional como una equivalencia clase de fracciones de polinomios, donde dos fracciones y se consideran equivalentes si . En este caso equivale a ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{1}.}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {A(x)}{B(x)}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {C(x)}{D(x)}}}$ ${\displaystyle A(x)D(x)=B(x)C(x)}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}}.}$

Una función racional propia es una función racional en la que el grado de es menor que el grado de y ambos son polinomios reales , nombrada por analogía con una fracción propia en ^[1] ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle Q(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Grado

Existen varias definiciones no equivalentes del grado de una función racional.

Más comúnmente, el grado de una función racional es el máximo de los grados de sus polinomios constituyentes P y Q , cuando la fracción se reduce a sus términos más bajos . Si el grado de f es d , entonces la ecuación

${\displaystyle f(z)=w\,}$

Tiene d soluciones distintas en z excepto ciertos valores de w , llamados valores críticos , donde dos o más soluciones coinciden o donde alguna solución es rechazada en el infinito (es decir, cuando el grado de la ecuación disminuye después de haber limpiado el denominador ).

En el caso de coeficientes complejos , una función racional de grado uno es una transformación de Möbius .

El grado de la gráfica de una función racional no es el grado como se definió anteriormente: es el máximo del grado del numerador y uno más el grado del denominador.

En algunos contextos, como en el análisis asintótico , el grado de una función racional es la diferencia entre los grados del numerador y el denominador. ^{[2] : §13.6.1  [3] : Capítulo IV}

En síntesis y análisis de redes , una función racional de grado dos (es decir, la relación de dos polinomios de grado dos como máximo) a menudo se denominafunción bicuadrática . ^[4]

Ejemplos

Ejemplos de funciones racionales

La función racional

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}}$

no está definido en

${\displaystyle x^{2}=5\Leftrightarrow x=\pm {\sqrt {5}}.}$

es asintótico a como ${\displaystyle {\tfrac {x}{2}}}$ ${\displaystyle x\to \infty .}$

La función racional

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}+2}{x^{2}+1}}}$

está definido para todos los números reales , pero no para todos los números complejos , ya que si x fuera una raíz cuadrada de (es decir, la unidad imaginaria o su negativo), entonces la evaluación formal conduciría a la división por cero: ${\displaystyle -1}$

${\displaystyle f(i)={\frac {i^{2}+2}{i^{2}+1}}={\frac {-1+2}{-1+1}}={\frac {1}{0}},}$

que no está definido.

Una función constante como f ( x ) = π es una función racional ya que las constantes son polinomios. La función en sí es racional, aunque el valor de f ( x ) es irracional para todo x .

Toda función polinómica es una función racional con una función que no se puede escribir de esta forma, como por ejemplo no es una función racional. Sin embargo, el adjetivo "irracional" no se utiliza generalmente para funciones. ${\displaystyle f(x)=P(x)}$ ${\displaystyle Q(x)=1.}$ ${\displaystyle f(x)=\sin(x),}$

La función racional es igual a 1 para todo x excepto 0, donde hay una singularidad removible . La suma, producto o cociente (excepto la división por el polinomio cero) de dos funciones racionales es en sí misma una función racional. Sin embargo, el proceso de reducción a la forma estándar puede resultar inadvertidamente en la eliminación de tales singularidades a menos que se tenga cuidado. Usar la definición de funciones racionales como clases de equivalencia evita esto, ya que x / x es equivalente a 1/1. ${\displaystyle f(x)={\tfrac {x}{x}}}$

serie de taylor

Los coeficientes de una serie de Taylor de cualquier función racional satisfacen una relación de recurrencia lineal , que se puede encontrar equiparando la función racional con una serie de Taylor con coeficientes indeterminados y recopilando términos similares después de borrar el denominador.

Por ejemplo,

${\displaystyle {\frac {1}{x^{2}-x+2}}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}$

Multiplicando por el denominador y distribuyendo,

${\displaystyle 1=(x^{2}-x+2)\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}$

${\displaystyle 1=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k+2}-\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k+1}+2\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}$

Después de ajustar los índices de las sumas para obtener las mismas potencias de x , obtenemos

${\displaystyle 1=\sum _{k=2}^{\infty }a_{k-2}x^{k}-\sum _{k=1}^{\infty }a_{k-1}x^{k}+2\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}$

La combinación de términos semejantes da

${\displaystyle 1=2a_{0}+(2a_{1}-a_{0})x+\sum _{k=2}^{\infty }(a_{k-2}-a_{k-1}+2a_{k})x^{k}.}$

Dado que esto es válido para todo x en el radio de convergencia de la serie de Taylor original, podemos calcular de la siguiente manera. Dado que el término constante de la izquierda debe ser igual al término constante de la derecha, se deduce que

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{2}}.}$

Entonces, como no hay potencias de x a la izquierda, todos los coeficientes de la derecha deben ser cero, de lo que se deduce que

${\displaystyle a_{1}={\frac {1}{4}}}$

${\displaystyle a_{k}={\frac {1}{2}}(a_{k-1}-a_{k-2})\quad {\text{for}}\ k\geq 2.}$

Por el contrario, cualquier secuencia que satisfaga una recurrencia lineal determina una función racional cuando se usa como coeficientes de una serie de Taylor. Esto es útil para resolver este tipo de recurrencias, ya que al usar la descomposición en fracciones parciales podemos escribir cualquier función racional propia como una suma de factores de la forma 1/( ax + b ) y expandirlos como series geométricas , dando una fórmula explícita para la ecuación de Taylor. coeficientes; este es el método de generar funciones .

Álgebra abstracta y noción geométrica.

En álgebra abstracta, el concepto de polinomio se amplía para incluir expresiones formales en las que los coeficientes del polinomio se pueden tomar de cualquier campo . En este escenario, dado un campo F y algún X indeterminado , una expresión racional (también conocida como fracción racional o, en geometría algebraica , función racional ) es cualquier elemento del campo de fracciones del anillo polinómico F [ X ]. Cualquier expresión racional se puede escribir como el cociente de dos polinomios P / Q con Q ≠ 0, aunque esta representación no es única. P / Q es equivalente a R / S , para polinomios P , Q , R y S , cuando PS = QR . Sin embargo, dado que F [ X ] es un dominio de factorización único , existe una representación única para cualquier expresión racional P / Q con polinomios P ​​y Q de menor grado y Q elegido como mónico . Esto es similar a cómo una fracción de números enteros siempre se puede escribir de forma única en sus términos más bajos cancelando los factores comunes.

El campo de expresiones racionales se denota por F ( X ). Se dice que este campo es generado (como un campo) sobre F por (un elemento trascendental ) X , porque F ( X ) no contiene ningún subcampo adecuado que contenga tanto F como el elemento X.

Funciones racionales complejas

• Julia se propone mapas racionales.
• 
  ${\displaystyle {\frac {1}{az^{5}+z^{3}+bz}}}$
• 
  ${\displaystyle {\frac {1}{z^{3}+z(-3-3i)}}}$
• 
  ${\displaystyle {\frac {z^{2}-0.2+0.7i}{z^{2}+0.917}}}$
• 
  ${\displaystyle {\frac {z^{2}}{z^{9}-z+0.025}}}$

En análisis complejo , una función racional

${\displaystyle f(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}}$

es la razón de dos polinomios con coeficientes complejos, donde Q no es el polinomio cero y P y Q no tienen factor común (esto evita que f tome el valor indeterminado 0/0).

El dominio de f es el conjunto de números complejos tales que . Toda función racional puede extenderse naturalmente a una función cuyo dominio y rango sean toda la esfera de Riemann ( línea proyectiva compleja ). ${\displaystyle Q(z)\neq 0}$

Las funciones racionales son ejemplos representativos de funciones meromórficas .

La iteración de funciones racionales (mapas) ^[5] en la esfera de Riemann crea sistemas dinámicos discretos .

Noción de función racional sobre una variedad algebraica

Al igual que los polinomios , las expresiones racionales también se pueden generalizar a n indeterminados X ₁ ,..., X _n , tomando el campo de fracciones de F [ X ₁ ,..., X _n ], que se denota por F ( X _{1 ,} ..., Xn ).

En geometría algebraica se utiliza una versión ampliada de la idea abstracta de función racional. Allí, el campo funcional de una variedad algebraica V se forma como el campo de fracciones del anillo de coordenadas de V (más exactamente, de un conjunto abierto afín denso de Zariski en V ). Sus elementos f se consideran funciones regulares en el sentido de la geometría algebraica en conjuntos abiertos no vacíos U , y también pueden verse como morfismos de la línea proyectiva .

Aplicaciones

Las funciones racionales se utilizan en análisis numérico para la interpolación y aproximación de funciones, por ejemplo las aproximaciones de Padé introducidas por Henri Padé . Las aproximaciones en términos de funciones racionales son muy adecuadas para sistemas de álgebra informática y otros programas numéricos . Al igual que los polinomios, se pueden evaluar de forma sencilla y, al mismo tiempo, expresan un comportamiento más diverso que los polinomios.

Las funciones racionales se utilizan para aproximar o modelar ecuaciones más complejas en ciencia e ingeniería, incluidos campos y fuerzas en física, espectroscopia en química analítica, cinética enzimática en bioquímica, circuitos electrónicos, aerodinámica, concentraciones de medicamentos in vivo, funciones de onda para átomos y moléculas, óptica. y fotografía para mejorar la resolución de la imagen, y la acústica y el sonido. ^{[ cita necesaria ]}

En el procesamiento de señales , la transformada de Laplace (para sistemas continuos) o la transformada z (para sistemas de tiempo discreto) de la respuesta al impulso de sistemas lineales invariantes en el tiempo (filtros) de uso común con respuesta al impulso infinita son funciones racionales sobre números complejos. .

Ver también

• Campo de fracciones
• Descomposición en fracciones parciales
• Fracciones parciales en integración
• Campo funcional de una variedad algebraica.
• Fracciones algebraicas  : una generalización de funciones racionales que permite sacar raíces enteras

Referencias

1. • Corless, Martín J.; Frazho, Arte (2003). Sistemas Lineales y Control . Prensa CRC. pag. 163.ISBN _ 0203911377.
   • Pownall, Malcolm W. (1983). Funciones y gráficas: Cálculo Matemática preparatoria . Prentice Hall. pag. 203.ISBN _ 0133323048.
2. Bourles, Henri (2010). Sistemas Lineales. Wiley. pag. 515. doi : 10.1002/9781118619988. ISBN 978-1-84821-162-9. Consultado el 5 de noviembre de 2022 .
3. Bourbaki, N. (1990). Álgebra II . Saltador. pag. A.IV.20. ISBN 3-540-19375-8.
4. Glisson, Tildon H. (2011). Introducción al Análisis y Diseño de Circuitos . Saltador. ISBN 9048194431.
5. Camarena, Omar Antolín. "Iteración de funciones racionales" (PDF) .

• "Función racional", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Prensa, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 3.4. Interpolación y extrapolación de funciones racionales", Recetas numéricas: el arte de la informática científica (3ª ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

enlaces externos

• Visualización dinámica de funciones racionales con JSXGraph.