En geometría algebraica , el campo funcional de una variedad algebraica V consta de objetos que se interpretan como funciones racionales en V. En geometría algebraica clásica son razones de polinomios ; en geometría compleja estas son funciones meromórficas y sus análogos de dimensiones superiores; en la geometría algebraica moderna son elementos del campo de fracciones de algún anillo cociente .
En geometría compleja los objetos de estudio son variedades analíticas complejas , sobre las cuales tenemos una noción local de análisis complejo , a través de la cual podemos definir funciones meromórficas. El campo funcional de una variedad es entonces el conjunto de todas las funciones meromórficas de la variedad. (Como todas las funciones meromórficas, éstas toman sus valores en .) Junto con las operaciones de suma y multiplicación de funciones, este es un campo en el sentido del álgebra.
Para la esfera de Riemann , que es la variedad de los números complejos, las funciones meromorfas globales son exactamente las funciones racionales (es decir, las razones de funciones polinómicas complejas).
En geometría algebraica clásica, generalizamos el segundo punto de vista. Para la esfera de Riemann, arriba, la noción de polinomio no se define globalmente, sino simplemente con respecto a un gráfico de coordenadas afines , es decir, el que consiste en el plano complejo (todo menos el polo norte de la esfera). En una variedad general V , decimos que una función racional en un subconjunto afín abierto U se define como la razón de dos polinomios en el anillo de coordenadas afines de U , y que una función racional en todo V consta de datos locales que concuerden en las intersecciones de afines abiertos. Podemos definir el campo funcional de V como el campo de fracciones del anillo de coordenadas afines de cualquier subconjunto afín abierto, ya que todos esos subconjuntos son densos.
En el marco más general, el de la teoría de esquemas moderna , tomamos este último punto de vista como punto de partida. Es decir, si es un esquema integral , entonces para cada subconjunto afín abierto del anillo de secciones es un dominio integral y, por tanto, tiene un campo de fracciones. Además se puede comprobar que son todos iguales, y todos son iguales al tallo de la punta genérica de . Por tanto, el campo funcional de es sólo el tallo de su punto genérico. Este punto de vista se desarrolla más en el campo de funciones (teoría de esquemas) . Véase Robin Hartshorne (1977).
Si V es una variedad definida sobre un campo K , entonces el campo de función K ( V ) es una extensión de campo generada finitamente del campo fundamental K ; su grado de trascendencia es igual a la dimensión de la variedad. Todas las extensiones de K que se generan de forma finita como campos sobre K surgen de esta manera a partir de alguna variedad algebraica. Estas extensiones de campo también se conocen como campos de funciones algebraicas sobre K.
En geometría biracional se estudian las propiedades de la variedad V que dependen únicamente del campo funcional .
El campo funcional de un punto sobre K es K.
El campo de función de la línea afín sobre K es isomorfo al campo K ( t ) de funciones racionales en una variable. Este es también el campo funcional de la línea proyectiva .
Considere la curva del plano algebraico afín definida por la ecuación . Su campo de función es el campo K ( x , y ), generado por los elementos xey que son trascendentales sobre K y satisfacen la relación algebraica .
