Tallo (gavilla)

Construcción matemática

En matemáticas, el tallo de una gavilla es una construcción matemática que captura el comportamiento de una gavilla alrededor de un punto dado.

Motivación y definición

Los haces se definen en conjuntos abiertos , pero el espacio topológico subyacente consta de puntos. Es razonable intentar aislar el comportamiento de un haz en un único punto fijo de . Conceptualmente hablando, lo hacemos observando pequeños vecindarios del punto. Si observamos un vecindario suficientemente pequeño de , el comportamiento del haz en ese pequeño vecindario debería ser el mismo que el comportamiento de en ese punto. Por supuesto, ningún vecindario será lo suficientemente pequeño, por lo que tendremos que tomar un límite de algún tipo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

La definición precisa es la siguiente: el tallo de at , usualmente denotado como , es: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}:=\varinjlim _{U\ni x}{\mathcal {F}}(U).}$

Aquí el límite directo está indexado sobre todos los conjuntos abiertos que contienen , con relación de orden inducida por inclusión inversa ( , si ). Por definición (o propiedad universal ) del límite directo, un elemento del tallo es una clase de equivalencia de elementos , donde dos de tales secciones y se consideran equivalentes si las restricciones de las dos secciones coinciden en algún entorno de . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U\leq V}$ ${\displaystyle U\supseteq V}$ ${\displaystyle f_{U}\in {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle f_{U}}$ ${\displaystyle f_{V}}$ ${\displaystyle x}$

Definición alternativa

Existe otro enfoque para definir un tallo que resulta útil en algunos contextos. Elija un punto de , y sea la inclusión del espacio de un punto en . Entonces, el tallo es el mismo que el haz de imagen inversa . Observe que los únicos conjuntos abiertos del espacio de un punto son y , y no hay datos sobre el conjunto vacío. Sin embargo, sobre , obtenemos: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$ ${\displaystyle i^{-1}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle \{x\}}$

${\displaystyle i^{-1}{\mathcal {F}}(\{x\})=\varinjlim _{U\supseteq \{x\}}{\mathcal {F}}(U)=\varinjlim _{U\ni x}{\mathcal {F}}(U)={\mathcal {F}}_{x}.}$

Observaciones

Para algunas categorías C el límite directo utilizado para definir el tallo puede no existir. Sin embargo, existe para la mayoría de las categorías que se dan en la práctica, como la categoría de conjuntos o la mayoría de las categorías de objetos algebraicos como los grupos o anillos abelianos , que son co-completos .

Existe un morfismo natural para cualquier conjunto abierto que contenga : toma una sección en hasta su germen , es decir, su clase de equivalencia en el límite directo. Esta es una generalización del concepto habitual de germen , que se puede recuperar observando los tallos del haz de funciones continuas en . ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}_{x}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle X}$

Ejemplos

Poleas constantes

El haz constante asociado a algún conjunto, , (o grupo, anillo, etc.) es un haz para el cual para todo en . ${\displaystyle {\underline {S}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\underline {S}}_{x}=S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$

Haces de funciones analíticas

Por ejemplo, en el haz de funciones analíticas de una variedad analítica , un germen de una función en un punto determina la función en un pequeño entorno de un punto. Esto se debe a que el germen registra la expansión en serie de potencias de la función , y todas las funciones analíticas son, por definición, localmente iguales a sus series de potencias. Utilizando la continuación analítica , encontramos que el germen en un punto determina la función en cualquier conjunto abierto conexo donde la función puede definirse en todas partes. (¡Esto no implica que todas las funciones de restricción de este haz sean inyectivas!)

Haces de funciones suaves

En contraste, para el haz de funciones suaves en una variedad suave , los gérmenes contienen alguna información local, pero no son suficientes para reconstruir la función en cualquier entorno abierto. Por ejemplo, sea una función de protuberancia que es idénticamente uno en un entorno del origen e idénticamente cero lejos del origen. En cualquier entorno suficientemente pequeño que contenga el origen, es idénticamente uno, por lo que en el origen tiene el mismo germen que la función constante con valor 1. Supongamos que queremos reconstruir a partir de su germen. Incluso si sabemos de antemano que es una función de protuberancia, el germen no nos dice qué tan grande es su protuberancia. De lo que nos dice el germen, la protuberancia podría ser infinitamente ancha, es decir, podría ser igual a la función constante con valor 1. Ni siquiera podemos reconstruir en un entorno abierto pequeño que contenga el origen, porque no podemos decir si la protuberancia de encaja completamente o si es tan grande que es idénticamente uno en . ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$

Por otra parte, los gérmenes de funciones suaves pueden distinguir entre la función constante con valor uno y la función , porque esta última función no es idénticamente una en ninguna vecindad del origen. Este ejemplo muestra que los gérmenes contienen más información que la expansión en serie de potencias de una función, porque la serie de potencias de es idénticamente una. (Esta información adicional está relacionada con el hecho de que el tallo del haz de funciones suaves en el origen es un anillo no noetheriano . El teorema de intersección de Krull dice que esto no puede suceder para un anillo noetheriano). ${\displaystyle 1+e^{-1/x^{2}}}$ ${\displaystyle 1+e^{-1/x^{2}}}$

Haces cuasi-coherentes

En un esquema afín , el tallo de un haz cuasi coherente correspondiente a un módulo en un punto correspondiente a un ideal primo es simplemente la localización . ${\displaystyle X=\mathrm {Spec} (A)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M_{p}}$

Gavilla de rascacielos

En cualquier espacio topológico, el haz de rascacielos asociado a un punto cerrado y a un grupo o anillo tiene los tallos encendidos y apagados —de ahí el nombre de rascacielos . Esta idea tiene más sentido si se adopta la visualización común de funciones que se asignan desde algún espacio superior a un espacio inferior; con esta visualización, cualquier función que se asigna tiene posicionado directamente encima de . La misma propiedad se cumple para cualquier punto si el espacio topológico en cuestión es un espacio T 1 , ya que cada punto de un espacio T ₁ es cerrado. Esta característica es la base de la construcción de resoluciones de Godement , utilizadas por ejemplo en geometría algebraica para obtener resoluciones inyectivas funcionales de haces. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G\to x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Propiedades del tallo

Como se ha señalado en la introducción, los tallos capturan el comportamiento local de un haz. Como se supone que un haz está determinado por sus restricciones locales (véase el axioma de unión ), se puede esperar que los tallos capturen una buena cantidad de la información que el haz está codificando. Esto es, de hecho, cierto:

• Un morfismo de haces es un isomorfismo , epimorfismo o monomorfismo , respectivamente, si y solo si los morfismos inducidos en todos los tallos tienen la misma propiedad. (Sin embargo, no es cierto que dos haces, cuyos tallos son todos isomorfos, también lo sean, porque puede no haber una función entre los haces en cuestión).

En particular:

• Un haz es cero (si se trata de haces de grupos) si y solo si todos los tallos del haz se anulan. Por lo tanto, la exactitud de un funtor dado se puede probar en los tallos, lo que suele ser más fácil ya que se puede pasar a vecindarios cada vez más pequeños.

Ambas afirmaciones son falsas en el caso de las prehaces . Sin embargo, los tallos de las gavillas y las prehaces están estrechamente vinculados:

• Dado un prehaz y su gavillamiento , los tallos de y concuerdan. Esto se deduce del hecho de que el haz es la imagen de a través del adjunto izquierdo (porque el funtor de gavillamiento es adjunto izquierdo al funtor de inclusión ) y del hecho de que los adjuntos izquierdos preservan los colímites. ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {P}}^{+}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {P}}^{+}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle (-)^{+}:\mathbf {Set} ^{{\mathcal {O}}(X)^{op}}\to Sh(X)}$ ${\displaystyle Sh(X)\to \mathbf {Set} ^{{\mathcal {O}}(X)^{op}}}$

Referencia

• Hartshorne, Robin (1977). Geometría algebraica. doi :10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 9780387902449.
• Tennison, BR (1975). Teoría de la gavilla. doi :10.1017/CBO9780511661761. ISBN 9780521207843.

Enlaces externos

• acecho en nLab
• Los autores del Proyecto Stacks. "6.11 Tallos".
• Los autores del Proyecto Stacks. "6.27 Haces y tallos de rascacielos".
• Goresky, Mark. "Introducción a las gavillas perversas" (PDF) . Instituto de Estudios Avanzados.
• Kiran Kedlaya. 18.726 Geometría algebraica (LEC n.° 3 - 5 haces) Primavera de 2009. Instituto Tecnológico de Massachusetts: MIT OpenCourseWare Creative Commons BY-NC-SA .