Padé aproximante

'Mejor' aproximación de una función mediante una función racional de orden dado

Henri Padé

En matemáticas , una aproximante de Padé es la "mejor" aproximación de una función cerca de un punto específico mediante una función racional de orden dado. Según esta técnica, la serie de potencias del aproximante concuerda con la serie de potencias de la función que se aproxima. La técnica fue desarrollada alrededor de 1890 por Henri Padé , pero se remonta a Georg Frobenius , quien introdujo la idea e investigó las características de las aproximaciones racionales de series de potencias.

La aproximante de Padé a menudo proporciona una mejor aproximación de la función que truncar su serie de Taylor , y aún puede funcionar cuando la serie de Taylor no converge . Por estas razones, las aproximantes de Padé se utilizan ampliamente en cálculos informáticos . También se han utilizado como funciones auxiliares en la aproximación diofántica y la teoría de números trascendental , aunque para obtener resultados nítidos los métodos ad hoc, en cierto sentido inspirados en la teoría de Padé, suelen reemplazarlos. Dado que una aproximante de Padé es una función racional, puede aparecer un punto singular artificial como aproximación, pero esto puede evitarse mediante el análisis de Borel-Padé.

La razón por la que la aproximante de Padé tiende a ser una mejor aproximación que una serie de Taylor truncada es clara desde el punto de vista del método de suma multipunto. Dado que hay muchos casos en los que la expansión asintótica en el infinito se vuelve 0 o una constante, puede interpretarse como la "aproximación incompleta de Padé de dos puntos", en la que la aproximación ordinaria de Padé mejora el método de truncar una serie de Taylor.

Definición

Dada una función f y dos enteros m ≥ 0 y n ≥ 1 , la aproximante de Padé de orden [ m / n ] es la función racional

$${\displaystyle R(x)={\frac {\sum _{j=0}^{m}a_{j}x^{j}}{1+\sum _{k=1}^{n}b_{k}x^{k}}}={\frac {a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{m}x^{m}}{1+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\dots +b_{n}x^{n}}},}$$

f ( x )

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(0)&=R(0),\\f'(0)&=R'(0),\\f''(0)&=R''(0),\\&\mathrel {\;\vdots } \\f^{(m+n)}(0)&=R^{(m+n)}(0).\end{aligned}}}$$

De manera equivalente, si se expande en una serie de Maclaurin ( serie de Taylor en 0), sus primeros términos serían iguales a los primeros términos de y, por tanto, ${\displaystyle R(x)}$ ${\displaystyle m+n}$ ${\displaystyle m+n}$ ${\displaystyle f(x)}$

$${\displaystyle f(x)-R(x)=c_{m+n+1}x^{m+n+1}+c_{m+n+2}x^{m+n+2}+\cdots }$$

Cuando existe, la aproximante de Padé es única como serie de potencias formales para los m y n dados . ^[1]

La aproximante de Padé definida anteriormente también se denota como

$${\displaystyle [m/n]_{f}(x).}$$

Cálculo

Para x dada , las aproximantes de Padé se pueden calcular mediante el algoritmo épsilon de Wynn ^[2] y también otras transformaciones de secuencia ^[3] a partir de las sumas parciales.

$${\displaystyle T_{N}(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{N}x^{N}}$$

serie de Taylorf

$${\displaystyle c_{k}={\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}.}$$

f serie de potencias formal series divergentes

Una forma de calcular una aproximante de Padé es mediante el algoritmo euclidiano extendido para el polinomio máximo común divisor . ^[4] La relación

$${\displaystyle R(x)=P(x)/Q(x)=T_{m+n}(x){\bmod {x}}^{m+n+1}}$$

${\displaystyle K(x)}$

$${\displaystyle P(x)=Q(x)T_{m+n}(x)+K(x)x^{m+n+1},}$$

identidad de Bézout ${\displaystyle T_{m+n}(x)}$ ${\displaystyle x^{m+n+1}}$

Recuerde que, para calcular el máximo común divisor de dos polinomios p y q , se calcula mediante división larga la secuencia restante

$${\displaystyle r_{0}=p,\;r_{1}=q,\quad r_{k-1}=q_{k}r_{k}+r_{k+1},}$$

k = 1, 2, 3, ... ${\displaystyle \deg r_{k+1}<\deg r_{k}\,}$ ${\displaystyle r_{k+1}=0}$

$${\displaystyle u_{0}=1,\;v_{0}=0,\quad u_{1}=0,\;v_{1}=1,\quad u_{k+1}=u_{k-1}-q_{k}u_{k},\;v_{k+1}=v_{k-1}-q_{k}v_{k}}$$

$${\displaystyle r_{k}(x)=u_{k}(x)p(x)+v_{k}(x)q(x).}$$

Para la aproximante [ m / n ] , se lleva a cabo el algoritmo euclidiano extendido para

$${\displaystyle r_{0}=x^{m+n+1},\;r_{1}=T_{m+n}(x)}$$

n ${\displaystyle v_{k}}$

Entonces los polinomios dan la aproximante de Padé [ m / n ] . Si uno tuviera que calcular todos los pasos del cálculo del máximo común divisor extendido, obtendría una antidiagonal de la tabla de Padé . ${\displaystyle P=r_{k},\;Q=v_{k}}$

Función Riemann-Padé zeta

Para estudiar la resumen de una serie divergente , digamos

$${\displaystyle \sum _{z=1}^{\infty }f(z),}$$

$${\displaystyle \zeta _{R}(s)=\sum _{z=1}^{\infty }{\frac {R(z)}{z^{s}}},}$$

$${\displaystyle R(x)=[m/n]_{f}(x)}$$

( m , n )f ( x )de regularización zetas = 0

La ecuación funcional para esta función Padé zeta es

$${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}a_{j}\zeta _{R}(s-j)=\sum _{j=0}^{m}b_{j}\zeta _{0}(s-j),}$$

a _jb _jfunción zeta de Riemann

Método DLog Padé

Las aproximantes de Padé se pueden utilizar para extraer puntos críticos y exponentes de funciones. ^{[5] [6]} En termodinámica, si una función f ( x ) se comporta de forma no analítica cerca de un punto x = r como , se llama x = r un punto crítico y p el exponente crítico asociado de f . Si se conocen suficientes términos de la expansión en serie de f , se pueden extraer aproximadamente los puntos críticos y los exponentes críticos de los polos y residuos de las aproximantes de Padé , respectivamente, donde . ${\displaystyle f(x)\sim |x-r|^{p}}$ ${\displaystyle [n/n+1]_{g}(x)}$ ${\displaystyle g=f'/f}$

Generalizaciones

Una aproximante de Padé aproxima una función en una variable. Una aproximante en dos variables se llama aproximante de Chisholm (en honor a JSR Chisholm ), ^[7] en múltiples variables, aproximante de Canterbury (en honor a Graves-Morris en la Universidad de Kent). ^[8]

Aproximante de Padé de dos puntos

La aproximación convencional de Padé se determina para reproducir la expansión de Maclaurin hasta un orden determinado. Por lo tanto, la aproximación al valor aparte del punto de expansión puede ser pobre. Esto se evita mediante la aproximación de Padé de 2 puntos, que es un tipo de método de suma multipunto. ^[9] En , considere el caso de una función que se expresa mediante un comportamiento asintótico : ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f_{0}(x)}$

$${\displaystyle f\sim f_{0}(x)+o{\big (}f_{0}(x){\big )},\quad x\to 0,}$$

${\displaystyle x\to \infty }$ ${\displaystyle f_{\infty }(x)}$

$${\displaystyle f(x)\sim f_{\infty }(x)+o{\big (}f_{\infty }(x){\big )},\quad x\to \infty .}$$

Al seleccionar el comportamiento principal de , se pueden encontrar en varios casos funciones aproximadas que reproduzcan simultáneamente el comportamiento asintótico mediante el desarrollo de la aproximación de Padé. Como resultado, en el punto donde la precisión de la aproximación puede ser la peor en la aproximación de Padé ordinaria, se garantiza una buena precisión de la aproximante de Padé de 2 puntos. Por lo tanto, la aproximante de Padé de 2 puntos puede ser un método que proporcione una buena aproximación global para . ${\displaystyle f_{0}(x),f_{\infty }(x)}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle x\to \infty }$ ${\displaystyle x=0\sim \infty }$

En los casos en que se expresan mediante polinomios o series de potencias negativas, función exponencial, función logarítmica o , podemos aplicar la aproximación de Padé de 2 puntos a . Existe un método para utilizar esto para dar una solución aproximada de una ecuación diferencial con alta precisión. ^[9] Además, para los ceros no triviales de la función zeta de Riemann, el primer cero no trivial se puede estimar con cierta precisión a partir del comportamiento asintótico en el eje real. ^[9] ${\displaystyle f_{0}(x),f_{\infty }(x)}$ ${\displaystyle x\ln x}$ ${\displaystyle f(x)}$

Aproximante de Padé multipunto

Una extensión adicional de la aproximante de Padé de 2 puntos es la aproximante de Padé multipunto. ^[9] Este método trata puntos de singularidad de una función que se va a aproximar. Considere los casos en los que las singularidades de una función se expresan con el índice por ${\displaystyle x=x_{j}(j=1,2,3,\dots ,N)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle n_{j}}$

$${\displaystyle f(x)\sim {\frac {A_{j}}{(x-x_{j})^{n_{j}}}},\quad x\to x_{j}.}$$

Además de la aproximante de Padé de 2 puntos, que incluye información en , este método se aproxima para reducir la propiedad de divergir en . Como resultado, dado que se captura la información de la peculiaridad de la función, la aproximación de una función se puede realizar con mayor precisión. ${\displaystyle x=0,x\to \infty }$ ${\displaystyle x\sim x_{j}}$ ${\displaystyle f(x)}$

Ejemplos

pecado( x ) ^[10]

$${\displaystyle \sin(x)\approx {\frac {{\frac {12671}{4363920}}x^{5}-{\frac {2363}{18183}}x^{3}+x}{1+{\frac {445}{12122}}x^{2}+{\frac {601}{872784}}x^{4}+{\frac {121}{16662240}}x^{6}}}}$$

exp( x ) ^[11]

$${\displaystyle \exp(x)\approx {\frac {1+{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{9}}x^{2}+{\frac {1}{72}}x^{3}+{\frac {1}{1008}}x^{4}+{\frac {1}{30240}}x^{5}}{1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{9}}x^{2}-{\frac {1}{72}}x^{3}+{\frac {1}{1008}}x^{4}-{\frac {1}{30240}}x^{5}}}}$$

iniciar sesión(1+ x ) ^[12]

$${\displaystyle \log(1+x)\approx {\frac {x+{\frac {1}{2}}x^{2}}{1+x+{\frac {1}{6}}x^{2}}}}$$

Jacobi sn( z |3) ^[13]

$${\displaystyle \mathrm {sn} (z|3)\approx {\frac {-{\frac {9851629}{283609260}}z^{5}-{\frac {572744}{4726821}}z^{3}+z}{1+{\frac {859490}{1575607}}z^{2}-{\frac {5922035}{56721852}}z^{4}+{\frac {62531591}{2977897230}}z^{6}}}}$$

Bessel J ₅ ( x )

$${\displaystyle J_{5}(x)\approx {\frac {-{\frac {107}{28416000}}x^{7}+{\frac {1}{3840}}x^{5}}{1+{\frac {151}{5550}}x^{2}+{\frac {1453}{3729600}}x^{4}+{\frac {1339}{358041600}}x^{6}+{\frac {2767}{120301977600}}x^{8}}}}$$

fer( x )

$${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx {\frac {2}{15{\sqrt {\pi }}}}\cdot {\frac {49140x+3570x^{3}+739x^{5}}{165x^{4}+1330x^{2}+3276}}}$$

Fresnel C ( x )

$${\displaystyle C(x)\approx {\frac {1}{135}}\cdot {\frac {990791\pi ^{4}x^{9}-147189744\pi ^{2}x^{5}[phone]x}{1749\pi ^{4}x^{8}+523536\pi ^{2}x^{4}[phone]}}}$$

Ver también

• mesa de padé
• Fórmula de aproximación del seno de Bhaskara I

Referencias

1. "Padé aproximado". Wolfram MathWorld .
2. Teorema 1 en Wynn, Peter (marzo de 1966). "Sobre la convergencia y estabilidad del algoritmo Epsilon". Revista SIAM de Análisis Numérico . 3 (1): 91-122. Código Bib : 1966SJNA....3...91W. doi :10.1137/0703007. JSTOR  2949688.
3. Brezenski, C. (1996). "Algoritmos de extrapolación y aproximaciones de Padé". Matemática Numérica Aplicada . 20 (3): 299–318. CiteSeerX 10.1.1.20.9528 . doi :10.1016/0168-9274(95)00110-7. 
4. Bini, Darío; Pan, Víctor (1994). Cálculos polinomiales y matriciales - Volumen 1. Algoritmos fundamentales . Avances en Informática Teórica. Birkhäuser. Problema 5.2b y Algoritmo 5.2 (p. 46). ISBN 978-0-8176-3786-6.
5. Adler, Juana (1994). "Expansiones de series". Computadoras en Física . 8 (3): 287. Código bibliográfico : 1994ComPh...8..287A. doi : 10.1063/1.168493 .
6. Panadero, GA Jr. (2012). "Padé aproximante". Scholarpedia . 7 (6): 9756. Código bibliográfico : 2012SchpJ...7.9756B. doi : 10.4249/scholarpedia.9756 .
7. Chisholm, JSR (1973). "Aproximantes racionales definidas a partir de series de doble potencia". Matemáticas de la Computación . 27 (124): 841–848. doi : 10.1090/S0025-5718-1973-0382928-6 . ISSN  0025-5718.
8. Graves-Morris, PR; Roberts, DE (1975). "Cálculo de aproximantes de Canterbury". Comunicaciones de Física Informática . 10 (4): 234–244. Código bibliográfico : 1975CoPhC..10..234G. doi :10.1016/0010-4655(75)90068-5.
9. Ueoka, Yoshiki. Introducción al método de suma multipuntos Matemáticas aplicadas modernas que conectan aquí y el infinito más allá: de la expansión de Taylor a la aplicación de ecuaciones diferenciales.
10. "Padé aproximante de pecado (x)". Sitio Wolfram Alpha . Consultado el 16 de enero de 2022 .
11. "Padé aproximante de exp (x)". Sitio Wolfram Alpha . Consultado el 3 de enero de 2024 .
12. "Padé aproximante de log(1+x)". Sitio Wolfram Alpha . Consultado el 16 de septiembre de 2023 .
13. "Padé aproximante de sn (x | 3)". Sitio Wolfram Alpha . Consultado el 16 de enero de 2022 .

Literatura

• Baker, GA, Jr.; y Graves-Morris, P. Padé Aproximantes . Cambridge UP , 1996.
• Baker, GA, Jr. Padé aproximado, Scholarpedia, 7(6):9756.
• Brezinski, C.; Redivo Zaglia, M. Métodos de extrapolación. Teoría y práctica . Holanda Septentrional , 1991. ISBN 978-0444888143 
• Prensa, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 5.12 Aproximaciones de Padé", Recetas numéricas: el arte de la computación científica (3.ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-88068-8, archivado desde el original el 3 de marzo de 2016 , consultado el 9 de agosto de 2011.
• Frobenius, G.; Ueber Relationen zwischen den Näherungsbrüchen von Potenzreihen , [Journal für die reine und angewandte Mathematik (Diario de Crelle)]. Volumen 1881, número 90, páginas 1 a 17.
• Gragg, WB; La tabla de Pade y su relación con ciertos algoritmos de análisis numérico [Revisión SIAM], vol. 14, núm. 1, 1972, págs. 1–62.
• Padé, H.; Sur la répresentation approchée d'une fonction par des fracciones rationelles , Tesis, [Ann. Escuela Nor. (3), 9, 1892, págs. 1–93 suplemento.
• Wynn, P. (1966), "Sobre sistemas de recursiones que se obtienen entre los cocientes de la tabla Padé", Numerische Mathematik , 8 (3): 264–269, doi :10.1007/BF02162562, S2CID  123789548.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Padé aproximado". MundoMatemático .
• Padé Approximants, Oleksandr Pavlyk, El proyecto de demostraciones de Wolfram .
• Breve libro de análisis de datos: Aproximación de Pade, Laboratorio Europeo de Física de Partículas Rudolf K. Bock , CERN .
• Sinewave, Scott Dattalo, consultado por última vez el 11 de noviembre de 2010.
• Función MATLAB para la aproximación Padé de modelos con retardos temporales.