Función auxiliar

Construcción en la teoría de números trascendentales

En matemáticas , las funciones auxiliares son una construcción importante en la teoría de números trascendentales . Son funciones que aparecen en la mayoría de las demostraciones en esta área de las matemáticas y que tienen propiedades específicas y deseables, como tomar el valor cero para muchos argumentos o tener un cero de orden alto en algún punto. ^[1]

Definición

Las funciones auxiliares no son un tipo de función definido rigurosamente, sino que son funciones que se construyen explícitamente o al menos se demuestra que existen y que contradicen alguna hipótesis asumida o prueban de otro modo el resultado en cuestión. Crear una función durante el curso de una prueba para probar el resultado no es una técnica exclusiva de la teoría de la trascendencia, pero el término "función auxiliar" suele referirse a las funciones creadas en esta área.

Funciones explícitas

El criterio de trascendencia de Liouville

Debido a la convención de nomenclatura mencionada anteriormente, las funciones auxiliares pueden remontarse a su origen simplemente observando los primeros resultados en la teoría de la trascendencia. Uno de estos primeros resultados fue la prueba de Liouville de que existen los números trascendentales cuando demostró que los llamados números de Liouville eran trascendentales. ^[2] Lo hizo descubriendo un criterio de trascendencia que estos números satisfacían. Para derivar este criterio, comenzó con un número algebraico general α y encontró alguna propiedad que este número necesariamente satisfaría. La función auxiliar que utilizó en el curso de la demostración de este criterio fue simplemente el polinomio mínimo de α, que es el polinomio irreducible f con coeficientes enteros tales que f (α) = 0. Esta función puede usarse para estimar qué tan bien se puede estimar el número algebraico α mediante números racionales p / q . Específicamente, si α tiene grado d al menos dos, entonces demostró que

${\displaystyle \left|f\left({\frac {p}{q}}\right)\right|\geq {\frac {1}{q^{d}}},}$

y también, utilizando el teorema del valor medio , que existe alguna constante que depende de α, digamos c (α), tal que

${\displaystyle \left|f\left({\frac {p}{q}}\right)\right|\leq c(\alpha )\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|.}$

Combinando estos resultados se obtiene una propiedad que el número algebraico debe satisfacer; por lo tanto, cualquier número que no satisfaga este criterio debe ser trascendental.

La función auxiliar en la obra de Liouville es muy simple, simplemente un polinomio que se anula en un número algebraico dado. Este tipo de propiedad es la que suelen satisfacer las funciones auxiliares: se anulan o se vuelven muy pequeñas en puntos determinados, lo que suele combinarse con el supuesto de que no se anulan o no pueden ser demasiado pequeñas para derivar un resultado.

Prueba de Fourier de la irracionalidad demi

Otro caso simple y temprano se da en la prueba de Fourier de la irracionalidad de e , ^[3] aunque la notación utilizada generalmente disfraza este hecho. La prueba de Fourier utilizó la serie de potencias de la función exponencial :

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$

Al truncar esta serie de potencias después de, digamos, N  + 1 términos, obtenemos un polinomio con coeficientes racionales de grado N que, en cierto sentido, está "cerca" de la función e ^x . En concreto, si observamos la función auxiliar definida por el resto:

${\displaystyle R(x)=e^{x}-\sum _{n=0}^{N}{\frac {x^{n}}{n!}}}$

Entonces, esta función (un polinomio exponencial ) debería tomar valores pequeños para x cercanos a cero. Si e es un número racional, entonces, al hacer que x  = 1 en la fórmula anterior, vemos que R (1) también es un número racional. Sin embargo, Fourier demostró que R (1) no podía ser racional eliminando todos los denominadores posibles. Por lo tanto, e no puede ser racional.

La prueba de Hermite de la irracionalidad demia

Hermite amplió el trabajo de Fourier aproximando la función e ^x no con un polinomio sino con una función racional , es decir, un cociente de dos polinomios. En particular, eligió los polinomios A ( x ) y B ( x ) tales que la función auxiliar R definida por

${\displaystyle R(x)=B(x)e^{x}-A(x)}$

podría hacerse tan pequeño como quisiera alrededor de x  = 0. Pero si e ^r fuera racional, entonces R ( r ) tendría que ser racional con un denominador particular, pero Hermite podría hacer que R ( r ) fuera demasiado pequeño para tener tal denominador, de ahí una contradicción.

La prueba de Hermite de la trascendencia demi

Para demostrar que e era de hecho trascendental, Hermite llevó su trabajo un paso más allá al aproximar no sólo la función e ^x , sino también las funciones e ^kx para números enteros k  = 1,..., m , donde supuso que e era algebraica con grado m . Al aproximar e ^kx mediante funciones racionales con coeficientes enteros y con el mismo denominador, digamos A _k ( x ) /  B ( x ), pudo definir funciones auxiliares R _k ( x ) mediante

${\displaystyle R_{k}(x)=B(x)e^{kx}-A_{k}(x).}$

Para su contradicción, Hermite supuso que e satisfacía la ecuación polinómica con coeficientes enteros a ₀  +  a ₁ e  + ... +  a _m e ^m  = 0. Al multiplicar esta expresión por B (1), notó que implicaba

${\displaystyle R=a_{0}+a_{1}R_{1}(1)+\cdots +a_{m}R_{m}(1)=a_{1}A_{1}(1)+\cdots +a_{m}A_{m}(1).}$

El lado derecho es un número entero y, por lo tanto, al estimar las funciones auxiliares y demostrar que 0 < | R | < 1, derivó la contradicción necesaria.

Funciones auxiliares del principio del palomar

Las funciones auxiliares esbozadas anteriormente pueden calcularse y trabajarse con ellas explícitamente. Un gran avance de Axel Thue y Carl Ludwig Siegel en el siglo XX fue la comprensión de que estas funciones no necesariamente necesitan ser conocidas explícitamente: puede ser suficiente saber que existen y tienen ciertas propiedades. Utilizando el principio del palomar, Thue, y más tarde Siegel, lograron demostrar la existencia de funciones auxiliares que, por ejemplo, tomaban el valor cero en muchos puntos diferentes, o tomaban ceros de orden superior en un conjunto más pequeño de puntos. Además, demostraron que era posible construir tales funciones sin hacerlas demasiado grandes. ^[4] Sus funciones auxiliares no eran funciones explícitas, por lo tanto, pero al saber que existía una determinada función con ciertas propiedades, utilizaron sus propiedades para simplificar las pruebas de trascendencia del siglo XIX y proporcionar varios resultados nuevos. ^[5]

Este método fue retomado y utilizado por varios otros matemáticos, incluidos Alexander Gelfond y Theodor Schneider, quienes lo usaron independientemente para demostrar el teorema de Gelfond-Schneider . ^[6] Alan Baker también utilizó el método en la década de 1960 para su trabajo sobre formas lineales en logaritmos y, en última instancia, el teorema de Baker . ^[7] A continuación se describe otro ejemplo del uso de este método en la década de 1960.

Teorema del polinomio auxiliar

Sea β igual a la raíz cúbica de b/a en la ecuación ax ³ + bx ³ = c y supongamos que m es un entero que satisface m + 1 > 2 n /3 ≥ m ≥ 3 donde n es un entero positivo.

Entonces existe

${\displaystyle F(X,Y)=P(X)+Y*Q(X)}$

de tal manera que

${\displaystyle \sum _{i=0}^{m+n}u_{i}X^{i}=P(X),}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{m+n}v_{i}X^{i}=Q(X).}$

El teorema del polinomio auxiliar establece

${\displaystyle \max _{0\leq i\leq m+n}{(|u_{i}|,|v_{i}|)}\leq 2b^{9(m+n)}.}$

Un teorema de Lang

En la década de 1960, Serge Lang demostró un resultado utilizando esta forma no explícita de funciones auxiliares. El teorema implica tanto el teorema de Hermite-Lindemann como el de Gelfond-Schneider . ^[8] El teorema trata de un cuerpo de números K y funciones meromórficas f ₁ ,..., f _N de orden como máximo ρ , al menos dos de las cuales son algebraicamente independientes, y tales que si derivamos cualquiera de estas funciones, el resultado es un polinomio en todas las funciones. Bajo estas hipótesis, el teorema establece que si hay m números complejos distintos ω ₁ ,...,ω _m tales que f _i  (ω _j ) está en K para todas las combinaciones de i y j , entonces m está acotado por  

${\displaystyle m\leq 20\rho [K:\mathbb {Q} ].}$

Para demostrar el resultado, Lang tomó dos funciones algebraicamente independientes de f ₁ ,..., f _N , digamos f y g , y luego creó una función auxiliar que era simplemente un polinomio F en f y g . Esta función auxiliar no podía enunciarse explícitamente ya que f y g no se conocen explícitamente. Pero usando el lema de Siegel, Lang mostró cómo hacer F de tal manera que se anulara a un orden alto en los m números complejos ω ₁ ,...,ω _m . Debido a esta anulación de orden alto, se puede demostrar que una derivada de orden alto de F toma un valor de tamaño pequeño uno de los ω _i s, "tamaño" aquí se refiere a una propiedad algebraica de un número. Usando el principio del módulo máximo, Lang también encontró una manera separada de estimar los valores absolutos de las derivadas de F , y usando resultados estándar que comparan el tamaño de un número y su valor absoluto, mostró que estas estimaciones se contradecían a menos que se mantuviera el límite reclamado en m .

Determinantes de interpolación

Después de los innumerables éxitos obtenidos con el uso de funciones auxiliares existentes pero no explícitas, en la década de 1990 Michel Laurent introdujo la idea de los determinantes de interpolación. ^[9] Estos son alternantes: determinantes de matrices de la forma

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\left(\varphi _{i}(\zeta _{j})\right)_{1\leq i,j\leq N}}$

donde φ _i son un conjunto de funciones interpoladas en un conjunto de puntos ζ _j . Dado que un determinante es simplemente un polinomio en las entradas de una matriz, estas funciones auxiliares sucumben al estudio por medios analíticos. Un problema con el método era la necesidad de elegir una base antes de poder trabajar con la matriz. Un desarrollo de Jean-Benoît Bost eliminó este problema con el uso de la teoría de Arakelov ^[10] y la investigación en esta área está en curso. El ejemplo a continuación da una idea del sabor de este enfoque.

Una demostración del teorema de Hermite-Lindemann

Una de las aplicaciones más simples de este método es una demostración de la versión real del teorema de Hermite-Lindemann . Es decir, si α es un número algebraico real distinto de cero, entonces e ^α es trascendental. Primero, supongamos que k es un número natural y n un múltiplo grande de k . El determinante de interpolación considerado es el determinante Δ de la matriz n ⁴ × n ⁴

${\displaystyle \left(\{\exp(j_{2}x)x^{j_{1}-1}\}^{(i_{1}-1)}{\Big |}_{x=(i_{2}-1)\alpha }\right).}$

Las filas de esta matriz están indexadas por 1 ≤  i ₁  ≤  n ⁴ / k y 1 ≤  i ₂  ≤  k , mientras que las columnas están indexadas por 1 ≤  j ₁  ≤  n ³ y 1 ≤  j ₂  ≤  n . Por lo tanto, las funciones en nuestra matriz son monomios en x y e ^x y sus derivadas, y estamos interpolando en los puntos k 0,α,2α,...,( k  − 1)α. Suponiendo que e ^α es algebraico, podemos formar el cuerpo numérico Q (α, e ^α ) de grado m sobre Q , y luego multiplicar Δ por un denominador adecuado , así como todas sus imágenes bajo las incrustaciones del cuerpo Q (α, e ^α ) en C . Por razones algebraicas este producto es necesariamente un entero, y usando argumentos relacionados con los wronskianos se puede demostrar que no es cero, por lo que su valor absoluto es un entero Ω ≥ 1.

Usando una versión del teorema del valor medio para matrices es posible obtener también un límite analítico en Ω, y de hecho, usando la notación O grande tenemos

${\displaystyle \Omega =O\left(\exp \left(\left({\frac {m+1}{k}}-{\frac {3}{2}}\right)n^{8}\log n\right)\right).}$

El número m está fijado por el grado del campo Q (α, e ^α ), pero k es el número de puntos en los que estamos interpolando, por lo que podemos aumentarlo a voluntad. Y una vez que k  > 2( m  + 1)/3 tendremos Ω → 0, contradiciendo eventualmente la condición establecida Ω ≥ 1. Por lo tanto, e ^α no puede ser algebraico después de todo. ^[11]

Notas

1. Virginia (2008).
2. Liouville (1844).
3. Hermita (1873).
4. Thue (1977) y Siegel (1929).
5. Siegel (1932).
6. Gel'fond (1934) y Schneider (1934).
7. Baker y Wüstholz (2007).
8. Lang (1966).
9. Laurent (1991).
10. Bost (1996).
11. Adaptado de Pila (1993).

Referencias

• Waldschmidt, Michel. "Introducción a los métodos de irracionalidad y trascendencia" (PDF) .
• Liouville, José (1844). "Sur des classs très étendues de quantités dont la valeur n'est ni algébrique, ni même réductible à des irrationnelles algébriques". J. Matemáticas. Pures Appl . 18 : 883–885 y 910–911.
• Hermita, Charles (1873). "Sobre la función exponencial". CR Acad. Ciencia. París . 77 .
• Martes, Axel (1977). Artículos matemáticos seleccionados . Oslo: Universitetsforlaget.
• Siegel, Carl Ludwig (1929). "Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen". Abhandlungen Akad. Berlín . 1 : 70.
• Siegel, Carl Ludwig (1932). "Über die Perioden elliptischer Funktionen". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1932 (167): 62–69. doi :10.1515/crll.1932.167.62. S2CID  199545608.
• Gel'fond, AO (1934). "Sur le septième Problème de D. Hilbert". Izv. Akád. Nauk SSSR . 7 : 623–630.
• Schneider, Theodor (1934). "Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen. I. Transzendend von Potenzen". J. Reina Angew. Matemáticas . 172 : 65–69.
• Baker, Alan ; Wüstholz, G. (2007), "Formas logarítmicas y geometría diofántica", New Mathematical Monographs , vol. 9, Cambridge University Press, pág. 198
• Lang, Serge (1966). Introducción a los números trascendentales . Addison–Wesley Publishing Company.
• Laurent, Michel (1991). "Sur quelques résultats récents de trascendencia". Astérisque . 198–200: 209–230.
• Bost, Jean-Benoît (1996). "Périodes et isogénies des variétés abéliennes sur les corps de nombres (d'après D. Masser et G. Wüstholz)". Astérisque . 237 : 795.
• Pila, Jonathan (1993). "Postulación geométrica y aritmética de la función exponencial". J. Austral. Math. Soc . A. 54 : 111–127. doi : 10.1017/s1446788700037022 .