Lema de Siegel

En matemáticas , específicamente en la teoría de números trascendentales y la aproximación diofántica , el lema de Siegel se refiere a los límites de las soluciones de ecuaciones lineales obtenidas mediante la construcción de funciones auxiliares . La existencia de estos polinomios fue probada por Axel Thue ; ^[1] La prueba de Thue utilizó el principio de la caja de Dirichlet . Carl Ludwig Siegel publicó su lema en 1929. ^[2] Es un teorema de existencia puro para un sistema de ecuaciones lineales .

El lema de Siegel se ha perfeccionado en los últimos años para producir límites más precisos en las estimaciones dadas por el lema. ^[3]

Declaración

Supongamos que nos dan un sistema de M ecuaciones lineales con N incógnitas tales que N > M , digamos

${\displaystyle a_{11}X_{1}+\cdots +a_{1N}X_{N}=0}$

${\displaystyle \cdots }$

${\displaystyle a_{M1}X_{1}+\cdots +a_{MN}X_{N}=0}$

donde los coeficientes son números enteros, no todos 0, y están acotados por B. El sistema tiene entonces una solución.

${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{N})}$

con las X siendo todos enteros, no todos 0, y acotados por

${\displaystyle (NB)^{M/(N-M)}.}$^[4]

Bombieri y Vaaler (1983) dieron el siguiente límite más nítido para las X :

${\displaystyle \max |X_{j}|\,\leq \left(D^{-1}{\sqrt {\det(AA^{T})}}\right)^{\!1/(N-M)}}$

donde D es el máximo común divisor de los M  ×  M menores de la matriz A , y A ^T es su transpuesta . Su prueba implicó reemplazar el principio del palomar por técnicas de la geometría de los números .

Véase también

• Aproximación diofántica

Referencias

1. Martes, Axel (1909). "Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen". J. Reina Angew. Matemáticas. 1909 (135): 284–305. doi :10.1515/crll.1909.135.284. S2CID  125903243.
2. Siegel, Carl Ludwig (1929). "Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen". Abh. Preuss. Akád. Wiss. Física. Matemáticas. kl. : 41–69., reimpreso en Gesammelte Abhandlungen, volumen 1; el lema está indicado en la página 213
3. Bombieri, E .; Mueller, J. (1983). "Sobre medidas efectivas de irracionalidad para números relacionados". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 342 : 173–196. ${\displaystyle {\scriptscriptstyle {\sqrt[{r}]{a/b}}}}$
4. (Hindry y Silverman 2000) Lema D.4.1, página 316.

• Bombieri, E.; Vaaler, J. (1983). "Sobre el lema de Siegel". Invenciones Mathematicae . 73 (1): 11–32. Código Bib : 1983 InMat..73...11B. doi :10.1007/BF01393823. S2CID  121274024.
• Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000). Geometría diofántica . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 201. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-0-387-98981-5.Señor 1745599  .
• Wolfgang M. Schmidt . Aproximación diofántica . Lecture Notes in Mathematics 785. Springer. (1980 [1996 con correcciones menores]) (páginas 125-128 y 283-285)
• Wolfgang M. Schmidt. "Capítulo I: Lema de Siegel y alturas" (páginas 1–33). Aproximaciones diofánticas y ecuaciones diofánticas , Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag 2000.