mesa de padé

Henri Padé .

En análisis complejo , una tabla de Padé es una matriz, posiblemente de extensión infinita, de las aproximantes racionales de Padé.

R _{metro , norte}

a una serie de potencias formal compleja dada . A menudo se puede demostrar que ciertas secuencias de aproximantes que se encuentran dentro de una tabla de Padé se corresponden con convergentes sucesivos de una representación de fracción continua de una función holomorfa o meromorfa .

Historia

Aunque los matemáticos anteriores habían obtenido resultados esporádicos que involucraban secuencias de aproximaciones racionales a funciones trascendentales , Frobenius (en 1881) fue aparentemente el primero en organizar las aproximantes en forma de tabla. Henri Padé amplió aún más esta noción en su tesis doctoral Sur la representación approchee d'une fonction par des fracciones rationelles , en 1892. Durante los 16 años siguientes, Padé publicó 28 artículos adicionales explorando las propiedades de su tabla y relacionándola con la continuación analítica. fracciones. ^[1]

HS Wall y Oskar Perron revivieron el interés moderno por las tablas de Padé , quienes estaban interesados ​​principalmente en las conexiones entre las tablas y ciertas clases de fracciones continuas. Daniel Shanks y Peter Wynn publicaron artículos influyentes alrededor de 1955, y WB Gragg obtuvo resultados de convergencia de gran alcance durante los años setenta. Más recientemente, el uso generalizado de computadoras electrónicas ha estimulado un gran interés adicional en el tema. ^[2]

Notación

Una función f ( z ) está representada por una serie de potencias formales :

${\displaystyle f(z)=c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+\cdots =\sum _{l=0}^{\infty }c_{l}z^{l},}$

donde c ₀ ≠ 0, por convención. La ( m , n )ésima entrada ^[3] R _{m, n} en la tabla de Padé para f ( z ) viene dada por

${\displaystyle R_{m,n}(z)={\frac {P_{m}(z)}{Q_{n}(z)}}={\frac {a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots +a_{m}z^{m}}{b_{0}+b_{1}z+b_{2}z^{2}+\cdots +b_{n}z^{n}}}}$

donde P _m ( z ) y Q _n ( z ) son polinomios de grados no mayores a my n , respectivamente. Los coeficientes { a _i } y { b _i } siempre se pueden encontrar considerando la expresión

${\displaystyle f(z)\approx \sum _{l=0}^{m+n}c_{l}z^{l}=:f_{\mathrm {approx} }(z)}$

${\displaystyle Q_{n}(z)f_{\mathrm {approx} }(z)=P_{m}(z)}$

${\displaystyle Q_{n}(z)\left(c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+\cdots +c_{m+n}z^{m+n}\right)=P_{m}(z)}$

e igualar coeficientes de potencias similares de z hasta m  +  n . Para los coeficientes de potencias m  + 1 a m  +  n , el lado derecho es 0 y el sistema de ecuaciones lineales resultante contiene un sistema homogéneo de n ecuaciones en las n  + 1 incógnitas b _i , por lo que admite infinitas soluciones cada una. de los cuales determina un posible Q _n . Luego, P _m se encuentra fácilmente igualando los primeros m coeficientes de la ecuación anterior. Sin embargo, se puede demostrar que, debido a la cancelación, las funciones racionales generadas R _{m, n} son todas iguales, de modo que la ( m ,  n )ésima entrada en la tabla de Padé es única. ^[2] Alternativamente, podemos requerir que b ₀  = 1, colocando así la tabla en una forma estándar.

Aunque las entradas en la tabla de Padé siempre se pueden generar resolviendo este sistema de ecuaciones, ese enfoque es computacionalmente costoso. El uso de la tabla Padé se ha extendido a funciones meromórficas mediante métodos más nuevos que ahorran tiempo, como el algoritmo épsilon. ^[4]

El teorema del bloque y las aproximantes normales

Debido a la forma en que se construye la ( m , n )ésima aproximante, la diferencia

Q _norte ( z ) f ( z ) −  P _m ( z )

es una serie de potencias cuyo primer término es de grado no menor que

metro  +  norte  + 1.

Si el primer término de esa diferencia es de grado

metro  +  norte  +  r  + 1, r  > 0,

entonces la función racional R _{m, n} ocupa

( r +1) ²

celdas en la tabla Padé, desde la posición ( m ,  n ) hasta la posición ( m + r ,  n + r ), inclusive. En otras palabras, si la misma función racional aparece más de una vez en la tabla, esa función racional ocupa un bloque cuadrado de celdas dentro de la tabla. Este resultado se conoce como teorema del bloque .

Si una función racional particular aparece exactamente una vez en la tabla de Padé, se llama aproximante normal a f ( z ). Si cada entrada en la tabla Padé completa es normal, se dice que la tabla en sí es normal. Las aproximantes normales de Padé se pueden caracterizar utilizando determinantes de los coeficientes c _n en la expansión en serie de Taylor de f ( z ), de la siguiente manera. Defina el ( m ,  n )ésimo determinante por

${\displaystyle D_{m,n}=\left|{\begin{matrix}c_{m}&c_{m-1}&\ldots &c_{m-n+2}&c_{m-n+1}\\c_{m+1}&c_{m}&\ldots &c_{m-n+3}&c_{m-n+2}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\c_{m+n-2}&c_{m+n-3}&\ldots &c_{m}&c_{m-1}\\c_{m+n-1}&c_{m+n-2}&\ldots &c_{m+1}&c_{m}\\\end{matrix}}\right|}$

con D _{m ​​,0} = 1, D _{m ,1} = cm y c _k  = 0 para k _<  0. Entonces

• la ( m , n )ésima aproximativa a f ( z ) es normal si y solo si ninguno de los cuatro determinantes D _{m , n −1} , D _m,n , D _{m +1, n} y D _{m +1, n +1} desaparecer; y
• la tabla de Padé es normal si y sólo si ninguno de los determinantes D _m,n es igual a cero (tenga en cuenta en particular que esto significa que ninguno de los coeficientes c _k en la representación en serie de f ( z ) puede ser cero). ^[5]

Conexión con fracciones continuas.

Una de las formas más importantes en las que puede aparecer una fracción continua analítica es como fracción continua regular , que es una fracción continua de la forma

${\displaystyle f(z)=b_{0}+{\cfrac {a_{1}z}{1-{\cfrac {a_{2}z}{1-{\cfrac {a_{3}z}{1-{\cfrac {a_{4}z}{1-\ddots }}}}}}}}.}$

donde a _i ≠ 0 son constantes complejas y z es una variable compleja.

Existe una conexión íntima entre las fracciones continuas regulares y las tablas de Padé con aproximantes normales a lo largo de la diagonal principal: la secuencia "escalonada" de aproximantes de Padé R _0,0 , R _1,0 , R _1,1 , R _2,1 , R _{2 ,2} , ... es normal si y sólo si esa secuencia coincide con los sucesivos convergentes de una fracción continua regular. En otras palabras, si la tabla de Padé es normal a lo largo de la diagonal principal, se puede usar para construir una fracción continua regular, y si existe una representación de fracción continua regular para la función f ( z ), entonces la diagonal principal de la tabla de Padé representar f ( z ) es normal. ^[2]

Un ejemplo: la función exponencial

A continuación se muestra un ejemplo de tabla de Padé, para la función exponencial .

Varias características saltan a la vista inmediatamente.

• La primera columna de la tabla consta de los sucesivos truncamientos de la serie de Taylor para e ^z .
• De manera similar, la primera fila contiene los recíprocos de sucesivos truncamientos de la expansión en serie de e ^{− z} .
• Los aproximantes R _m,n y R _n,m son bastante simétricos: los numeradores y denominadores se intercambian y los patrones de signos más y menos son diferentes, pero aparecen los mismos coeficientes en ambos aproximantes. Se pueden expresar en términos de funciones especiales como

${\displaystyle R_{m,n}={\frac {{}_{1}F_{1}(-m;-m-n;z)}{{}_{1}F_{1}(-n;-m-n;-z)}}={\frac {n!\,2^{m}\theta _{m}\left({\frac {z}{2}};n-m+2,2\right)}{m!\,2^{n}\theta _{n}\left(-{\frac {z}{2}};m-n+2,2\right)}}}$,

donde es una serie hipergeométrica generalizada y es un polinomio de Bessel inverso generalizado . ^[6] ${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)}$ ${\displaystyle \theta _{n}(x;\alpha ,\beta )}$

Las expresiones de la diagonal principal se reducen a , donde es un polinomio de Bessel inverso . ^[7] ${\displaystyle R_{n,n}=\theta _{n}(z/2)/\theta _{n}(-z/2)}$ ${\displaystyle \theta _{n}(x)}$

• Los cálculos que involucran R _{n , n} (en la diagonal principal) se pueden realizar de manera bastante eficiente. Por ejemplo, R _3,3 reproduce perfectamente la serie de potencias de la función exponencial hasta ¹ / ₇₂₀ z ⁶ , pero debido a la simetría de los dos polinomios cúbicos se puede diseñar un algoritmo de evaluación muy rápido.

El procedimiento utilizado para derivar la fracción continua de Gauss se puede aplicar a una determinada serie hipergeométrica confluente para derivar la siguiente expansión de fracción C para la función exponencial, válida en todo el plano complejo:

${\displaystyle e^{z}=1+{\cfrac {z}{1-{\cfrac {{\frac {1}{2}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{6}}z}{1-{\cfrac {{\frac {1}{6}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{10}}z}{1-{\cfrac {{\frac {1}{10}}z}{1+-\ddots }}}}}}}}}}}}.}$

Aplicando las fórmulas de recurrencia fundamental se puede verificar fácilmente que los convergentes sucesivos de esta fracción C son la secuencia escalonada de aproximantes de Padé R _0,0 , R _1,0 , R _1,1 , ... En este caso particular, se analiza de cerca la fracción continua relacionada se puede obtener de la identidad

${\displaystyle e^{z}={\frac {1}{e^{-z}}};}$

esa fracción continua se ve así:

${\displaystyle e^{z}={\cfrac {1}{1-{\cfrac {z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{2}}z}{1-{\cfrac {{\frac {1}{6}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{6}}z}{1-{\cfrac {{\frac {1}{10}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{10}}z}{1-+\ddots }}}}}}}}}}}}}}.}$

Los sucesivos convergentes de esta fracción también aparecen en la tabla de Padé, y forman la secuencia R _0,0 , R _0,1 , R _1,1 , R _1,2 , R _2,2 , ...

Generalizaciones

Una serie formal de Newton L es de la forma

${\displaystyle L(z)=c_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\prod _{k=1}^{n}(z-\beta _{k})}$

donde la secuencia {βk _} de puntos en el plano complejo se conoce como conjunto de puntos de interpolación . Se puede formar una secuencia de aproximantes racionales R _{m, n} para tal serie L de una manera completamente análoga al procedimiento descrito anteriormente, y los aproximantes se pueden ordenar en una tabla de Newton-Padé . Se ha demostrado ^[8] que algunas secuencias en "escalera" de la tabla de Newton-Padé se corresponden con los convergentes sucesivos de una fracción continua de tipo Thiele, que tiene la forma

${\displaystyle a_{0}+{\cfrac {a_{1}(z-\beta _{1})}{1-{\cfrac {a_{2}(z-\beta _{2})}{1-{\cfrac {a_{3}(z-\beta _{3})}{1-\ddots }}}}}}.}$

Los matemáticos también han construido tablas de Padé de dos puntos considerando dos series, una en potencias de z y la otra en potencias de 1/ z , que representan alternativamente la función f ( z ) en una vecindad de cero y en una vecindad de infinito. ^[2]

Ver también

• Transformación de mangos

Notas

1. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Tabla Padé", Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
2. Jones y Thron, 1980.
3. Se considera que la ( m , n )ésima entrada se encuentra en la fila m y la columna n , y la numeración de las filas y columnas comienza en (0, 0).
4. Wynn, Peter (abril de 1956). "En un dispositivo para calcular la transformación e _m ( S _n )". Tablas matemáticas y otras ayudas a la computación . 10 (54). Sociedad Estadounidense de Matemáticas: 91–96. doi :10.2307/2002183. JSTOR  2002183.
5. Gragg, WB (enero de 1972). "La tabla de Padé y su relación con ciertos algoritmos de análisis numérico". Revisión SIAM . 14 (1): 1–62. doi : 10.1137/1014001 . ISSN  0036-1445. JSTOR  2028911.
6. * Underhill, C. (1986). "Algunas propiedades asintóticas de Padé aproximantes a ". Matemáticas de la Computación . 47 (175): 253–263. JSTOR  2008092. ${\displaystyle e^{-x}}$
7. * "La enciclopedia en línea de secuencias enteras (OEIS)". Fundada en 1964 por Sloane, Nueva Jersey, la OEIS Foundation Inc.{{cite web}}: CS1 maint: others (link)(Ver secuencia OEIS : A113025 ).
8. Thiele, Tennessee (1909). Investigación de interpolaciones. Leipzig: Teubner. ISBN 1-4297-0249-4.

Referencias

• Jones, William B.; Trono, WJ (1980). Fracciones continuas: teoría y aplicaciones . Reading, Massachusetts: Compañía editorial Addison-Wesley. págs. 185-197. ISBN 0-201-13510-8.
• Muro, HS (1973). Teoría analítica de fracciones continuas . Compañía editorial de Chelsea . págs. 377–415. ISBN 0-8284-0207-8.
  (Esta es una reimpresión del volumen publicado originalmente por D. Van Nostrand Company, Inc. , en 1948.)