Función hipergeométrica confluente

Solución de una ecuación hipergeométrica confluente

Gráfico de la función hipergeométrica confluente de Kummer 1F1(a;b;z) con a=1 y b=2 e ingrese z² con 1F1(1,2,z²) en el plano complejo de -2-2i a 2+2i con colores creado con Mathematica 13.1

En matemáticas , una función hipergeométrica confluente es una solución de una ecuación hipergeométrica confluente , que es una forma degenerada de una ecuación diferencial hipergeométrica donde dos de las tres singularidades regulares se fusionan en una singularidad irregular . El término confluente se refiere a la fusión de puntos singulares de familias de ecuaciones diferenciales; confluere en latín significa "fluir juntos". Existen varias formas estándar comunes de funciones hipergeométricas confluentes:

• La función M ( a , b , z ) de Kummer (hipergeométrica confluente) , introducida por Kummer  (1837), es una solución a la ecuación diferencial de Kummer . Esto también se conoce como función hipergeométrica confluente de primer tipo. Existe una función de Kummer diferente y no relacionada que lleva el mismo nombre.
• La función U ( a , b , z ) de Tricomi (hipergeométrica confluente) introducida por Francesco Tricomi  (1947), a veces denotada por Ψ( a ; b ; z ) , es otra solución a la ecuación de Kummer. Esto también se conoce como función hipergeométrica confluente de segundo tipo.
• Las funciones de Whittaker (para Edmund Taylor Whittaker ) son soluciones a la ecuación de Whittaker .
• Las funciones de onda de Coulomb son soluciones de la ecuación de onda de Coulomb .

Las funciones de Kummer, las funciones de Whittaker y las funciones de onda de Coulomb son esencialmente iguales y se diferencian entre sí sólo por funciones elementales y cambios de variables.

La ecuación de Kummer.

La ecuación de Kummer se puede escribir como:

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-aw=0,}$

con un punto singular regular en z = 0 y un punto singular irregular en z = ∞ . Tiene dos soluciones (generalmente) linealmente independientes M ( a , b , z ) y U ( a , b , z ) .

La función de Kummer del primer tipo M es una serie hipergeométrica generalizada introducida en (Kummer 1837), dada por:

${\displaystyle M(a,b,z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{(n)}z^{n}}{b^{(n)}n!}}={}_{1}F_{1}(a;b;z),}$

dónde:

${\displaystyle a^{(0)}=1,}$

${\displaystyle a^{(n)}=a(a+1)(a+2)\cdots (a+n-1)\,,}$

es el factorial creciente . Otra notación común para esta solución es Φ( a , b , z ) . Considerado como una función de a , b o z con los otros dos mantenidos constantes, esto define una función completa de a o z , excepto cuando b = 0, −1, −2, ... En función de b es analítico excepto para los polos en los números enteros no positivos.

Algunos valores de a y b dan soluciones que pueden expresarse en términos de otras funciones conocidas. Ver #CasosEspeciales. Cuando a es un número entero no positivo, entonces la función de Kummer (si está definida) es un polinomio de Laguerre generalizado .

Así como la ecuación diferencial confluente es un límite de la ecuación diferencial hipergeométrica cuando el punto singular en 1 se mueve hacia el punto singular en ∞, la función hipergeométrica confluente se puede dar como un límite de la función hipergeométrica

${\displaystyle M(a,c,z)=\lim _{b\to \infty }{}_{2}F_{1}(a,b;c;z/b)}$

y muchas de las propiedades de la función hipergeométrica confluente son casos limitantes de propiedades de la función hipergeométrica.

Dado que la ecuación de Kummer es de segundo orden, debe haber otra solución independiente. La ecuación inicial del método de Frobenius nos dice que la potencia más baja de una solución en serie de potencias de la ecuación de Kummer es 0 o 1 − b . Si dejamos que w ( z ) sea

${\displaystyle w(z)=z^{1-b}v(z)}$

entonces la ecuación diferencial da

${\displaystyle z^{2-b}{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}+2(1-b)z^{1-b}{\frac {dv}{dz}}-b(1-b)z^{-b}v+(b-z)\left[z^{1-b}{\frac {dv}{dz}}+(1-b)z^{-b}v\right]-az^{1-b}v=0}$

que, al dividir z ^{1− b} y simplificar, se convierte en

${\displaystyle z{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}+(2-b-z){\frac {dv}{dz}}-(a+1-b)v=0.}$

Esto significa que z ^{1− b} M ( a + 1 − b , 2 − b , z ) es una solución siempre que b no sea un número entero mayor que 1, al igual que M ( a , b , z ) es una solución entonces siempre que b no sea un número entero menor que 1. También podemos usar la función hipergeométrica confluente de Tricomi U ( a , b , z ) introducida por Francesco Tricomi  (1947), y a veces denotada por Ψ( a ; b ; z ) . Es una combinación de las dos soluciones anteriores, definida por

${\displaystyle U(a,b,z)={\frac {\Gamma (1-b)}{\Gamma (a+1-b)}}M(a,b,z)+{\frac {\Gamma (b-1)}{\Gamma (a)}}z^{1-b}M(a+1-b,2-b,z).}$

Aunque esta expresión no está definida para el número entero b , tiene la ventaja de que puede extenderse a cualquier número entero b por continuidad. A diferencia de la función de Kummer, que es una función completa de z , U ( z ) suele tener una singularidad en cero. Por ejemplo, si b = 0 y a ≠ 0 entonces Γ( a +1) U ( a , b , z ) − 1 es asintótica con az ln z cuando z tiende a cero. Pero consulte #Casos especiales para ver algunos ejemplos en los que se trata de una función completa (polinomio).

Tenga en cuenta que la solución z ^{1− b} U ( a + 1 − b , 2 − b , z ) de la ecuación de Kummer es la misma que la solución U ( a , b , z ) , consulte la transformación de #Kummer.

Para la mayoría de las combinaciones de a y b reales o complejas , las funciones M ( a , b , z ) y U ( a , b , z ) son independientes, y si b es un entero no positivo, entonces M ( a , b , z ) no existe, entonces podremos usar z ^{1− b} M ( a +1− b , 2− b , z ) como segunda solución. Pero si a es un número entero no positivo y b no es un número entero no positivo, entonces U ( z ) es múltiplo de M ( z ) . También en ese caso, z ^{1− b} M ( a +1− b , 2− b , z ) se puede utilizar como segunda solución si existe y es diferente. Pero cuando b es un número entero mayor que 1, esta solución no existe, y si b = 1 entonces existe pero es múltiplo de U ( a , b , z ) y de M ( a , b , z ) En esos En estos casos existe una segunda solución de la siguiente forma y es válida para cualquier a real o complejo y cualquier entero positivo b, excepto cuando a es un entero positivo menor que b :

${\displaystyle M(a,b,z)\ln z+z^{1-b}\sum _{k=0}^{\infty }C_{k}z^{k}}$

Cuando a = 0 podemos usar alternativamente:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{z}(-u)^{-b}e^{u}\mathrm {d} u.}$

Cuando b = 1 esta es la integral exponencial E ₁ ( −z ) .

Un problema similar ocurre cuando a − b es un entero negativo y b es un entero menor que 1. En este caso M ( a , b , z ) no existe y U ( a , b , z ) es un múltiplo de z ^{1− segundo} M ( a +1− segundo , 2− segundo , z ). Entonces una segunda solución es de la forma:

${\displaystyle z^{1-b}M(a+1-b,2-b,z)\ln z+\sum _{k=0}^{\infty }C_{k}z^{k}}$

Otras ecuaciones

Las funciones hipergeométricas confluentes se pueden utilizar para resolver la ecuación hipergeométrica confluente extendida cuya forma general se da como:

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-\left(\sum _{m=0}^{M}a_{m}z^{m}\right)w=0}$ ^[1]

Tenga en cuenta que para M = 0 o cuando la suma involucra solo un término, se reduce a la ecuación hipergeométrica confluente convencional.

Por lo tanto, las funciones hipergeométricas confluentes se pueden utilizar para resolver "la mayoría" de las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden cuyos coeficientes variables son todas funciones lineales de z , porque se pueden transformar en la ecuación hipergeométrica confluente extendida. Considere la ecuación:

${\displaystyle (A+Bz){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(C+Dz){\frac {dw}{dz}}+(E+Fz)w=0}$

Primero movemos el punto singular regular a 0 usando la sustitución de A + Bz ↦ z , lo que convierte la ecuación en:

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(C+Dz){\frac {dw}{dz}}+(E+Fz)w=0}$

con nuevos valores de C, D, E y F. A continuación usamos la sustitución:

${\displaystyle z\mapsto {\frac {1}{\sqrt {D^{2}-4F}}}z}$

y multiplicamos la ecuación por el mismo factor, obteniendo:

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left(C+{\frac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}z\right){\frac {dw}{dz}}+\left({\frac {E}{\sqrt {D^{2}-4F}}}+{\frac {F}{D^{2}-4F}}z\right)w=0}$

cuya solución es

${\displaystyle \exp \left(-\left(1+{\frac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}\right){\frac {z}{2}}\right)w(z),}$

donde w ( z ) es una solución a la ecuación de Kummer con

${\displaystyle a=\left(1+{\frac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}\right){\frac {C}{2}}-{\frac {E}{\sqrt {D^{2}-4F}}},\qquad b=C.}$

Tenga en cuenta que la raíz cuadrada puede dar un número imaginario o complejo. Si es cero, se debe utilizar otra solución, a saber

${\displaystyle \exp \left(-{\tfrac {1}{2}}Dz\right)w(z),}$

donde w ( z ) es una función límite hipergeométrica confluente que satisface

${\displaystyle zw''(z)+Cw'(z)+\left(E-{\tfrac {1}{2}}CD\right)w(z)=0.}$

Como se indica a continuación, incluso la ecuación de Bessel se puede resolver utilizando funciones hipergeométricas confluentes.

Representaciones integrales

Si Re b > Re a > 0 , M ( a , b , z ) se puede representar como una integral

${\displaystyle M(a,b,z)={\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)\Gamma (b-a)}}\int _{0}^{1}e^{zu}u^{a-1}(1-u)^{b-a-1}\,du.}$

así M ( a , a + b , it ) es la función característica de la distribución beta . Para a con parte real positiva U se puede obtener mediante la integral de Laplace

${\displaystyle U(a,b,z)={\frac {1}{\Gamma (a)}}\int _{0}^{\infty }e^{-zt}t^{a-1}(1+t)^{b-a-1}\,dt,\quad (\operatorname {Re} \ a>0)}$

La integral define una solución en el semiplano derecho Re z > 0 .

También se pueden representar como integrales de Barnes.

${\displaystyle M(a,b,z)={\frac {1}{2\pi i}}{\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (-s)\Gamma (a+s)}{\Gamma (b+s)}}(-z)^{s}ds}$

donde el contorno pasa a un lado de los polos de Γ(− s ) y al otro lado de los polos de Γ( a + s ) .

Comportamiento asintótico

Si una solución de la ecuación de Kummer es asintótica a una potencia de z cuando z → ∞ , entonces la potencia debe ser − a . De hecho, este es el caso de la solución de Tricomi U ( a , b , z ) . Su comportamiento asintótico como z → ∞ se puede deducir de las representaciones integrales. Si z = x ∈ R , entonces hacer un cambio de variables en la integral seguido de expandir la serie binomial e integrarla formalmente término por término da lugar a una expansión de serie asintótica , válida como x → ∞ : ^[2]

${\displaystyle U(a,b,x)\sim x^{-a}\,_{2}F_{0}\left(a,a-b+1;\,;-{\frac {1}{x}}\right),}$

donde es una serie hipergeométrica generalizada con 1 como término principal, que generalmente no converge en ninguna parte, pero existe como una serie de potencias formal en 1/ x . Esta expansión asintótica también es válida para z compleja en lugar de x real , con | argumento z | < 3 π /2. ${\displaystyle _{2}F_{0}(\cdot ,\cdot ;;-1/x)}$

El comportamiento asintótico de la solución de Kummer para grandes | z | es:

${\displaystyle M(a,b,z)\sim \Gamma (b)\left({\frac {e^{z}z^{a-b}}{\Gamma (a)}}+{\frac {(-z)^{-a}}{\Gamma (b-a)}}\right)}$

Las potencias de z se toman usando −3 π /2 < arg z ≤ π /2 . ^[3] El primer término no es necesario cuando Γ( b − a ) es finito, es decir, cuando b − a no es un entero no positivo y la parte real de z llega al infinito negativo, mientras que el segundo término no es necesario. cuando Γ( a ) es finito, es decir, cuando a no es un entero no positivo y la parte real de z tiende al infinito positivo.

Siempre hay alguna solución a la ecuación de Kummer asintótica para e ^z z ^{a − b} como z → −∞ . Por lo general, esto será una combinación de M ( a , b , z ) y U ( a , b , z ) pero también se puede expresar como e ^z (−1) ^{a - b} U ( b − a , b , − z ) .

Relaciones

Existen muchas relaciones entre las funciones de Kummer para varios argumentos y sus derivadas. Esta sección ofrece algunos ejemplos típicos.

Relaciones contiguas

Dado M ( a , b , z ) , las cuatro funciones M ( a ± 1, b , z ), M ( a , b ± 1, z ) se llaman contiguas a M ( a , b , z ) . La función M ( a , b , z ) se puede escribir como una combinación lineal de dos de sus funciones contiguas, con coeficientes racionales en términos de a, b y z . Esto da (⁴
₂) = 6 relaciones, dadas al identificar dos líneas cualesquiera en el lado derecho de

${\displaystyle {\begin{aligned}z{\frac {dM}{dz}}=z{\frac {a}{b}}M(a+,b+)&=a(M(a+)-M)\\&=(b-1)(M(b-)-M)\\&=(b-a)M(a-)+(a-b+z)M\\&=z(a-b)M(b+)/b+zM\\\end{aligned}}}$

En la notación anterior, M = M ( a , b , z ) , M ( a +) = M ( a + 1, b , z ) , y así sucesivamente.

La aplicación repetida de estas relaciones da una relación lineal entre tres funciones cualesquiera de la forma M ( a + m , b + n , z ) (y sus derivadas superiores), donde m , n son números enteros.

Existen relaciones similares para U .

La transformación de Kummer

Las funciones de Kummer también están relacionadas por las transformaciones de Kummer:

${\displaystyle M(a,b,z)=e^{z}\,M(b-a,b,-z)}$

${\displaystyle U(a,b,z)=z^{1-b}U\left(1+a-b,2-b,z\right)}$.

Teorema de multiplicación

Los siguientes teoremas de multiplicación son válidos:

${\displaystyle {\begin{aligned}U(a,b,z)&=e^{(1-t)z}\sum _{i=0}{\frac {(t-1)^{i}z^{i}}{i!}}U(a,b+i,zt)\\&=e^{(1-t)z}t^{b-1}\sum _{i=0}{\frac {\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{i}}{i!}}U(a-i,b-i,zt).\end{aligned}}}$

Conexión con polinomios de Laguerre y representaciones similares.

En términos de polinomios de Laguerre , las funciones de Kummer tienen varias expansiones, por ejemplo

${\displaystyle M\left(a,b,{\frac {xy}{x-1}}\right)=(1-x)^{a}\cdot \sum _{n}{\frac {a^{(n)}}{b^{(n)}}}L_{n}^{(b-1)}(y)x^{n}}$(Erdélyi et al. 1953, 6.12)

o

${\displaystyle \operatorname {M} \left(a;\,b;\,z\right)={\frac {\Gamma \left(1-a\right)\cdot \Gamma \left(b\right)}{\Gamma \left(b-a\right)}}\cdot \operatorname {L_{-a}^{b-1}} \left(z\right)}$[1]

Casos especiales

Las funciones que pueden expresarse como casos especiales de la función hipergeométrica confluente incluyen:

• Algunas funciones elementales donde el lado izquierdo no está definido cuando b es un entero no positivo, pero el lado derecho sigue siendo una solución de la ecuación de Kummer correspondiente:

${\displaystyle M(0,b,z)=1}$

${\displaystyle U(0,c,z)=1}$

${\displaystyle M(b,b,z)=e^{z}}$

${\displaystyle U(a,a,z)=e^{z}\int _{z}^{\infty }u^{-a}e^{-u}du}$(un polinomio si a es un número entero no positivo)

${\displaystyle {\frac {U(1,b,z)}{\Gamma (b-1)}}+{\frac {M(1,b,z)}{\Gamma (b)}}=z^{1-b}e^{z}}$

${\displaystyle M(n,b,z)}$para un entero no positivo n es un polinomio de Laguerre generalizado .

${\displaystyle U(n,c,z)}$para un entero no positivo n es un múltiplo de un polinomio de Laguerre generalizado, igual a cuando este último existe. ${\displaystyle {\tfrac {\Gamma (1-c)}{\Gamma (n+1-c)}}M(n,c,z)}$

${\displaystyle U(c-n,c,z)}$cuando n es un entero positivo es una forma cerrada con potencias de z , igual a cuando esta última existe. ${\displaystyle {\tfrac {\Gamma (c-1)}{\Gamma (c-n)}}z^{1-c}M(1-n,2-c,z)}$

${\displaystyle U(a,a+1,z)=z^{-a}}$

${\displaystyle U(-n,-2n,z)}$para un entero no negativo n es un polinomio de Bessel (ver más abajo).

${\displaystyle M(1,2,z)=(e^{z}-1)/z,\ \ M(1,3,z)=2!(e^{z}-1-z)/z^{2}}$etc.

Usando la relación contigua obtenemos, por ejemplo, ${\displaystyle aM(a+)=(a+z)M+z(a-b)M(b+)/b}$ ${\displaystyle M(2,1,z)=(1+z)e^{z}.}$

• función de bateman
• Funciones de Bessel y muchas funciones relacionadas, como funciones de Airy , funciones de Kelvin y funciones de Hankel . Por ejemplo, en el caso especial b = 2 a la función se reduce a una función de Bessel :

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a,2a,x)=e^{x/2}\,{}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)=e^{x/2}\left({\tfrac {x}{4}}\right)^{1/2-a}\Gamma \left(a+{\tfrac {1}{2}}\right)I_{a-1/2}\left({\tfrac {x}{2}}\right).}$

Esta identidad a veces también se conoce como la segunda transformación de Kummer . Similarmente

${\displaystyle U(a,2a,x)={\frac {e^{x/2}}{\sqrt {\pi }}}x^{1/2-a}K_{a-1/2}(x/2),}$

Cuando a es un entero no positivo, esto es igual a 2 ^{− a} θ _{− a} ( x /2) donde θ es un polinomio de Bessel .

• La función de error se puede expresar como

${\displaystyle \mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}dt={\frac {2x}{\sqrt {\pi }}}\ {}_{1}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}},-x^{2}\right).}$

• Función de onda de Coulomb
• funciones de cunningham
• Integral exponencial y funciones relacionadas como la integral seno , la integral logarítmica
• Polinomios de Hermite
• Función gamma incompleta
• Polinomios de Laguerre
• Función de cilindro parabólico (o función Weber)
• Función de Poisson-Charlier
• Funciones de Toronto
• Las funciones de Whittaker M _κ,μ ( z ), W _κ,μ ( z ) son soluciones de la ecuación de Whittaker que se pueden expresar en términos de las funciones de Kummer M y U mediante

${\displaystyle M_{\kappa ,\mu }(z)=e^{-{\tfrac {z}{2}}}z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}M\left(\mu -\kappa +{\tfrac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)}$

${\displaystyle W_{\kappa ,\mu }(z)=e^{-{\tfrac {z}{2}}}z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}U\left(\mu -\kappa +{\tfrac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)}$

• El momento bruto p -ésimo general ( p no necesariamente un número entero) se puede expresar como ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[\left|N\left(\mu ,\sigma ^{2}\right)\right|^{p}\right]&={\frac {\left(2\sigma ^{2}\right)^{p/2}\Gamma \left({\tfrac {1+p}{2}}\right)}{\sqrt {\pi }}}\ {}_{1}F_{1}\left(-{\tfrac {p}{2}},{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\\\operatorname {E} \left[N\left(\mu ,\sigma ^{2}\right)^{p}\right]&=\left(-2\sigma ^{2}\right)^{p/2}U\left(-{\tfrac {p}{2}},{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

En la segunda fórmula, el segundo corte de rama de la función se puede elegir multiplicando por (−1) ^p .

Aplicación a fracciones continuas

Aplicando un argumento limitante a la fracción continua de Gauss se puede demostrar que

${\displaystyle {\frac {M(a+1,b+1,z)}{M(a,b,z)}}={\cfrac {1}{1-{\cfrac {\displaystyle {\frac {b-a}{b(b+1)}}z}{1+{\cfrac {\displaystyle {\frac {a+1}{(b+1)(b+2)}}z}{1-{\cfrac {\displaystyle {\frac {b-a+1}{(b+2)(b+3)}}z}{1+{\cfrac {\displaystyle {\frac {a+2}{(b+3)(b+4)}}z}{1-\ddots }}}}}}}}}}}$

y que esta fracción continua converge uniformemente a una función meromorfa de z en todo dominio acotado que no incluya un polo.

Notas

1. Campos, LMBC (2001). "Sobre algunas soluciones de la ecuación diferencial hipergeométrica confluente extendida". Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 137 . Elsevier: 177-200. doi : 10.1016/s0377-0427(00)00706-8 .
2. Andrews, GE; Askey, R.; Roy, R. (2001). Funciones especiales . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0521789882..
3. Esto se deriva de Abramowitz y Stegun (ver referencia a continuación), página 508, donde se proporciona una serie asintótica completa. Cambian el signo del exponente en exp( iπa ) en el semiplano derecho, pero esto es irrelevante, ya que el término es insignificante allí o a es un número entero y el signo no importa.
4. "Aspectos de la teoría estadística multivariada | Wiley". Wiley.com . Consultado el 23 de enero de 2021 .

Referencias

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 13". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. pag. 504.ISBN​ 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. SEÑOR  0167642. LCCN  65-12253.
• Chistova, EA (2001) [1994], "Función hipergeométrica confluente", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Daalhuis, Adri B. Olde (2010), "Función hipergeométrica confluente", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, señor  2723248.
• Erdélyi, Arthur ; Magnus, Guillermo ; Oberhettinger, Fritz y Tricomi, Francesco G. (1953). Funciones trascendentales superiores. vol. I . Nueva York – Toronto – Londres: McGraw – Hill Book Company, Inc. SEÑOR  0058756.
• Kummer, Ernst Eduard (1837). "De integralibus quibusdam definitis et seriebus infinitis". Journal für die reine und angewandte Mathematik (en latín). 1837 (17): 228–242. doi :10.1515/crll.1837.17.228. ISSN  0075-4102. S2CID  121351583.
• Pizarrero, Lucy Joan (1960). Funciones hipergeométricas confluentes . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. SEÑOR  0107026.
• Tricomi, Francesco G. (1947). "Sulle funzioni ipergeometriche confluenti". Annali di Matematica Pura ed Applicata . Serie 4 (en italiano). 26 : 141-175. doi : 10.1007/bf02415375 . ISSN  0003-4622. SEÑOR  0029451. S2CID  119860549.
• Tricomi, Francesco G. (1954). Funciones impergeométricas confluentes . Consiglio Nazionale Delle Ricerche Monografie Matematiche (en italiano). vol. 1. Roma: Edizioni cremonese. ISBN 978-88-7083-449-9. SEÑOR  0076936.
• Oldham, KB; Myland, J.; Spanier, J. (2010). Un atlas de funciones: con Equator, la calculadora de funciones del Atlas. Un atlas de funciones. Springer Nueva York. ISBN 978-0-387-48807-3. Consultado el 23 de agosto de 2017 .

enlaces externos

• Funciones hipergeométricas confluentes en la biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST
• Función hipergeométrica de Kummer en el sitio de Wolfram Functions
• Función hipergeométrica de Tricomi en el sitio de Wolfram Functions