Integral exponencial

Función especial definida por una integral

Gráfico de la función integral exponencial E n(z) con n=2 en el plano complejo desde -2-2i hasta 2+2i con colores creado con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1

En matemáticas, la integral exponencial Ei es una función especial en el plano complejo .

Se define como una integral definida particular de la relación entre una función exponencial y su argumento .

Definiciones

Para valores reales distintos de cero de  x , la integral exponencial Ei( x ) se define como

${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=-\int _{-x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,dt=\int _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,dt.}$

^[1]

${\displaystyle \lim _{\delta \to 0+}E_{1}(-x\pm i\delta )=-\operatorname {Ei} (x)\mp i\pi ,\qquad x>0.}$

Propiedades

Varias propiedades de la integral exponencial a continuación, en ciertos casos, permiten evitar su evaluación explícita a través de la definición anterior.

Serie convergente

Gráfico de función (arriba) y función (abajo). ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ei} }$

Para argumentos reales o complejos fuera del eje real negativo, se puede expresar como ^[2] ${\displaystyle E_{1}(z)}$

${\displaystyle E_{1}(z)=-\gamma -\ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k\;k!}}\qquad (\left|\operatorname {Arg} (z)\right|<\pi )}$

donde es la constante de Euler-Mascheroni . La suma converge para todos los complejos y tomamos el valor habitual del logaritmo complejo que tiene una rama cortada a lo largo del eje real negativo. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle z}$

Esta fórmula se puede utilizar para realizar cálculos con operaciones de punto flotante para números reales entre 0 y 2,5. Para , el resultado es inexacto debido a la cancelación . ${\displaystyle E_{1}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x>2.5}$

Ramanujan encontró una serie convergente más rápida :

${\displaystyle {\rm {Ei}}(x)=\gamma +\ln x+\exp {(x/2)}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}x^{n}}{n!\,2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}}$

Serie asintótica (divergente)

Error relativo de la aproximación asintótica para diferentes números de términos en la suma truncada ${\displaystyle ~N~}$

Desafortunadamente, la convergencia de la serie anterior es lenta para argumentos de módulo mayor. Por ejemplo, se requieren más de 40 términos para obtener una respuesta correcta con tres cifras significativas para . ^[3] Sin embargo, para valores positivos de x, existe una aproximación de serie divergente que se puede obtener integrando por partes: ^[4] ${\displaystyle E_{1}(10)}$ ${\displaystyle xe^{x}E_{1}(x)}$

${\displaystyle E_{1}(x)={\frac {\exp(-x)}{x}}\left(\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {n!}{(-x)^{n}}}+O(N!x^{-N})\right)}$

El error relativo de la aproximación anterior se representa en la figura de la derecha para varios valores de , el número de términos en la suma truncada ( en rojo, en rosa). ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N=1}$ ${\displaystyle N=5}$

Asintótica más allá de todos los órdenes

Mediante la integración por partes, podemos obtener una fórmula explícita ^[5] Para cualquier fijo , el valor absoluto del término de error disminuye y luego aumenta. El mínimo ocurre en , en cuyo punto . Se dice que este límite es "asintótico más allá de todos los órdenes". $${\displaystyle \operatorname {Ei} (z)={\frac {e^{z}}{z}}\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {k!}{z^{k}}}+e_{n}(z)\right),\quad e_{n}(z)\equiv (n+1)!\ ze^{-z}\int _{-\infty }^{z}{\frac {e^{t}}{t^{n+2}}}\,dt}$$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |e_{n}(z)|}$ ${\displaystyle n\sim |z|}$ ${\displaystyle \vert e_{n}(z)\vert \leq {\sqrt {\frac {2\pi }{\vert z\vert }}}e^{-\vert z\vert }}$

Comportamiento exponencial y logarítmico: corchetes

Entre paréntesis de funciones elementales ${\displaystyle E_{1}}$

De las dos series sugeridas en las subsecciones anteriores se desprende que se comporta como una exponencial negativa para valores grandes del argumento y como un logaritmo para valores pequeños. Para valores reales positivos del argumento, se puede encerrar entre funciones elementales como sigue: ^[6] ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{1}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}e^{-x}\,\ln \!\left(1+{\frac {2}{x}}\right)<E_{1}(x)<e^{-x}\,\ln \!\left(1+{\frac {1}{x}}\right)\qquad x>0}$

El lado izquierdo de esta desigualdad se muestra en el gráfico de la izquierda en azul; la parte central se muestra en negro y el lado derecho se muestra en rojo. ${\displaystyle E_{1}(x)}$

Definición de Ein

Tanto y se pueden escribir de forma más sencilla utilizando la función completa ^[7] definida como ${\displaystyle \operatorname {Ei} }$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ein} }$

${\displaystyle \operatorname {Ein} (z)=\int _{0}^{z}(1-e^{-t}){\frac {dt}{t}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}z^{k}}{k\;k!}}}$

(tenga en cuenta que esta es solo la serie alternada en la definición anterior de ). Entonces tenemos ${\displaystyle E_{1}}$

${\displaystyle E_{1}(z)\,=\,-\gamma -\ln z+{\rm {Ein}}(z)\qquad \left|\operatorname {Arg} (z)\right|<\pi }$

${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)\,=\,\gamma +\ln {x}-\operatorname {Ein} (-x)\qquad x\neq 0}$

Relación con otras funciones

La ecuación de Kummer

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-aw=0}$

se suele resolver mediante las funciones hipergeométricas confluentes y Pero cuando y es decir, ${\displaystyle M(a,b,z)}$ ${\displaystyle U(a,b,z).}$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle b=1,}$

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(1-z){\frac {dw}{dz}}=0}$

tenemos

${\displaystyle M(0,1,z)=U(0,1,z)=1}$

para todo z . Una segunda solución viene dada por E ₁ (− z ). De hecho,

${\displaystyle E_{1}(-z)=-\gamma -i\pi +{\frac {\partial [U(a,1,z)-M(a,1,z)]}{\partial a}},\qquad 0<{\rm {Arg}}(z)<2\pi }$

con la derivada evaluada en Otra conexión con las funciones hipergeométricas confluentes es que E ₁ es una exponencial multiplicada por la función U (1,1, z ): ${\displaystyle a=0.}$

${\displaystyle E_{1}(z)=e^{-z}U(1,1,z)}$

La integral exponencial está estrechamente relacionada con la función integral logarítmica li( x ) por la fórmula

${\displaystyle \operatorname {li} (e^{x})=\operatorname {Ei} (x)}$

para valores reales distintos de cero de . ${\displaystyle x}$

Generalización

La integral exponencial también puede generalizarse a

${\displaystyle E_{n}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{n}}}\,dt,}$

que puede escribirse como un caso especial de la función gamma incompleta superior : ^[8]

${\displaystyle E_{n}(x)=x^{n-1}\Gamma (1-n,x).}$

La forma generalizada a veces se denomina función de Misra ^[9] , definida como ${\displaystyle \varphi _{m}(x)}$

${\displaystyle \varphi _{m}(x)=E_{-m}(x).}$

Muchas propiedades de esta forma generalizada se pueden encontrar en la Biblioteca Digital de Funciones Matemáticas del NIST.

La inclusión de un logaritmo define la función integro-exponencial generalizada ^[10]

${\displaystyle E_{s}^{j}(z)={\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{1}^{\infty }\left(\log t\right)^{j}{\frac {e^{-zt}}{t^{s}}}\,dt.}$

Derivados

Las derivadas de las funciones generalizadas se pueden calcular mediante la fórmula ^[11] ${\displaystyle E_{n}}$

${\displaystyle E_{n}'(z)=-E_{n-1}(z)\qquad (n=1,2,3,\ldots )}$

Nótese que la función es fácil de evaluar (lo que hace que esta recursión sea útil), ya que es simplemente . ^[12] ${\displaystyle E_{0}}$ ${\displaystyle e^{-z}/z}$

Integral exponencial de argumento imaginario

${\displaystyle E_{1}(ix)}$contra ; parte real negra, parte imaginaria roja. ${\displaystyle x}$

Si es imaginario, tiene una parte real no negativa, por lo que podemos usar la fórmula ${\displaystyle z}$

${\displaystyle E_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt}$

para obtener una relación con las integrales trigonométricas y : ${\displaystyle \operatorname {Si} }$ ${\displaystyle \operatorname {Ci} }$

${\displaystyle E_{1}(ix)=i\left[-{\tfrac {1}{2}}\pi +\operatorname {Si} (x)\right]-\operatorname {Ci} (x)\qquad (x>0)}$

Las partes reales e imaginarias de están representadas en la figura de la derecha con curvas negras y rojas. ${\displaystyle \mathrm {E} _{1}(ix)}$

Aproximaciones

Se han realizado varias aproximaciones para la función integral exponencial, entre ellas:

• La aproximación de Swamee y Ohija ^[13] donde $${\displaystyle E_{1}(x)=\left(A^{-7.7}+B\right)^{-0.13},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\ln \left[\left({\frac {0.56146}{x}}+0.65\right)(1+x)\right]\\B&=x^{4}e^{7.7x}(2+x)^{3.7}\end{aligned}}}$$
• La aproximación de Allen y Hastings ^{[13] [14]} donde $${\displaystyle E_{1}(x)={\begin{cases}-\ln x+{\textbf {a}}^{T}{\textbf {x}}_{5},&x\leq 1\\{\frac {e^{-x}}{x}}{\frac {{\textbf {b}}^{T}{\textbf {x}}_{3}}{{\textbf {c}}^{T}{\textbf {x}}_{3}}},&x\geq 1\end{cases}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\textbf {a}}&\triangleq [-0.57722,0.99999,-0.24991,0.05519,-0.00976,0.00108]^{T}\\{\textbf {b}}&\triangleq [0.26777,8.63476,18.05902,8.57333]^{T}\\{\textbf {c}}&\triangleq [3.95850,21.09965,25.63296,9.57332]^{T}\\{\textbf {x}}_{k}&\triangleq [x^{0},x^{1},\dots ,x^{k}]^{T}\end{aligned}}}$$
• La expansión de fracciones continuas ^[14] $${\displaystyle E_{1}(x)={\cfrac {e^{-x}}{x+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{x+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {2}{x+{\cfrac {3}{\ddots }}}}}}}}}}}}.}$$
• La aproximación de Barry et al. ^[15] donde: siendo la constante de Euler-Mascheroni . $${\displaystyle E_{1}(x)={\frac {e^{-x}}{G+(1-G)e^{-{\frac {x}{1-G}}}}}\ln \left[1+{\frac {G}{x}}-{\frac {1-G}{(h+bx)^{2}}}\right],}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}h&={\frac {1}{1+x{\sqrt {x}}}}+{\frac {h_{\infty }q}{1+q}}\\q&={\frac {20}{47}}x^{\sqrt {\frac {31}{26}}}\\h_{\infty }&={\frac {(1-G)(G^{2}-6G+12)}{3G(2-G)^{2}b}}\\b&={\sqrt {\frac {2(1-G)}{G(2-G)}}}\\G&=e^{-\gamma }\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \gamma }$

Función inversa de la integral exponencial

Podemos expresar la función inversa de la integral exponencial en forma de serie de potencias : ^[16]

${\displaystyle \forall |x|<{\frac {\mu }{\ln(\mu )}},\quad \mathrm {Ei} ^{-1}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}{\frac {P_{n}(\ln(\mu ))}{\mu ^{n}}}}$

donde es la constante de Ramanujan-Soldner y es una secuencia polinomial definida por la siguiente relación de recurrencia : ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (P_{n})}$

${\displaystyle P_{0}(x)=x,\ P_{n+1}(x)=x(P_{n}'(x)-nP_{n}(x)).}$

Para , y tenemos la fórmula: ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle \deg P_{n}=n}$

${\displaystyle P_{n}(x)=\left.\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)^{n-1}\left({\frac {te^{x}}{\mathrm {Ei} (t+x)-\mathrm {Ei} (x)}}\right)^{n}\right|_{t=0}.}$

Aplicaciones

• Transferencia de calor dependiente del tiempo
• Flujo de agua subterránea fuera de equilibrio en la solución de Theis (llamado función de pozo )
• Transferencia radiativa en atmósferas estelares y planetarias
• Ecuación de difusividad radial para flujo en estado transitorio o inestable con fuentes y sumideros lineales
• Soluciones a la ecuación de transporte de neutrones en geometrías 1-D simplificadas ^[17]

Véase también

• Integral de Goodwin-Staton
• Funciones de Bickley-Naylor

Notas

1. Abramowitz y Stegun, pag. 228, 5.1.7
2. Abramowitz y Stegun, pag. 229, 5.1.11
3. Bleistein y Handelsman, pag. 2
4. Bleistein y Handelsman, pag. 3
5. O'Malley, Robert E. (2014), O'Malley, Robert E. (ed.), "Aproximaciones asintóticas", Desarrollos históricos en perturbaciones singulares , Cham: Springer International Publishing, págs. 27-51, doi :10.1007/978-3-319-11924-3_2, ISBN 978-3-319-11924-3, consultado el 4 de mayo de 2023
6. Abramowitz y Stegun, pag. 229, 5.1.20
7. Abramowitz y Stegun, pág. 228, véase nota 3.
8. Abramowitz y Stegun, pag. 230, 5.1.45
9. Según Misra (1940), pág. 178
10. Milgram (1985)
11. Abramowitz y Stegun, pag. 230, 5.1.26
12. Abramowitz y Stegun, pag. 229, 5.1.24
13. Giao, Pham Huy (1 de mayo de 2003). "Revisión de la aproximación de la función de pozo y una técnica sencilla de correspondencia de curvas gráficas para la solución de Theis". Agua subterránea . 41 (3): 387–390. Código Bibliográfico :2003GrWat..41..387G. doi :10.1111/j.1745-6584.2003.tb02608.x. ISSN  1745-6584. PMID  12772832. S2CID  31982931.
14. Tseng, Peng-Hsiang; Lee, Tien-Chang (26 de febrero de 1998). "Evaluación numérica de la integral exponencial: aproximación de la función de Theis Well". Revista de hidrología . 205 (1–2): 38–51. Código Bibliográfico :1998JHyd..205...38T. doi :10.1016/S0022-1694(97)00134-0.
15. Barry, D. A; Parlange, J. -Y; Li, L (31 de enero de 2000). "Aproximación para la integral exponencial (función de pozo de Theis)". Revista de hidrología . 227 (1–4): 287–291. Código Bibliográfico :2000JHyd..227..287B. doi :10.1016/S0022-1694(99)00184-5.
16. "Función inversa de la integral exponencial Ei-1(x)". Mathematics Stack Exchange . Consultado el 24 de abril de 2024 .
17. George I. Bell; Samuel Glasstone (1970). Teoría del reactor nuclear . Van Nostrand Reinhold Company.

Referencias

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• Bender, Carl M.; Steven A. Orszag (1978). Métodos matemáticos avanzados para científicos e ingenieros . McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-004452-4.
• Bleistein, Norman; Richard A. Handelsman (1986). Expansiones asintóticas de integrales . Dover. ISBN 978-0-486-65082-1.
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• Temme, NM (2010), "Integrales exponenciales, logarítmicas, seno y coseno", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual del NIST de funciones matemáticas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, Sr.  2723248.

Enlaces externos

• "Función exponencial integral", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Documentación del NIST sobre la integral exponencial generalizada
• Weisstein, Eric W. "Integral exponencial". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "En función". MundoMatemático .
• "Integral exponencial Ei". Sitio de funciones Wolfram .
• Integrales exponencial, logarítmica, seno y coseno en DLMF .