Srinivasa Ramanujan FRS ( / ˈ s r iː n ɪ v ɑː s ə r ɑː ˈ m ɑː n ʊ dʒ ən / SREE -nih-vah-sə rah- MAH -nuuj-ən ; [1] nacido Srinivasa Ramanujan Aiyangar , tamil: [sriːniʋaːsa ɾaːmaːnud͡ʑan ajːaŋgar] ; 22 de diciembre de 1887 - 26 de abril de 1920) [2] [3] fue un matemático indio . Aunque casi no tenía formación formal en matemáticas puras , hizo contribuciones sustanciales al análisis matemático , la teoría de números , las series infinitas y las fracciones continuas , incluidas soluciones a problemas matemáticos que entonces se consideraban irresolubles.
Ramanujan inicialmente desarrolló su propia investigación matemática de forma aislada. Según Hans Eysenck , "trató de interesar a los principales matemáticos profesionales en su trabajo, pero fracasó en su mayor parte. Lo que tenía que mostrarles era demasiado novedoso, demasiado desconocido y, además, presentado de manera inusual; no podían molestarse". ". [4] Buscando matemáticos que pudieran comprender mejor su trabajo, en 1913 inició una correspondencia postal con el matemático inglés GH Hardy en la Universidad de Cambridge , Inglaterra. Hardy reconoció que el trabajo de Ramanujan era extraordinario y organizó su viaje a Cambridge. En sus notas, Hardy comentó que Ramanujan había producido nuevos teoremas innovadores , incluidos algunos que "me derrotaron por completo; nunca había visto nada parecido antes", [5] y algunos resultados recientemente probados pero muy avanzados.
Durante su corta vida, Ramanujan compiló de forma independiente cerca de 3.900 resultados (en su mayoría identidades y ecuaciones ). [6] Muchos eran completamente novedosos; sus resultados originales y muy poco convencionales, como la función prima de Ramanujan , la función theta de Ramanujan , las fórmulas de partición y las funciones theta simuladas , han abierto áreas de trabajo completamente nuevas e inspirado a futuras investigaciones. [7] De sus miles de resultados, se ha demostrado que la mayoría son correctos. [8] El Ramanujan Journal , una revista científica , se creó para publicar trabajos en todas las áreas de las matemáticas influenciadas por Ramanujan, [9] y sus cuadernos, que contienen resúmenes de sus resultados publicados e inéditos, han sido analizados y estudiados durante décadas desde su La muerte como fuente de nuevas ideas matemáticas. Todavía en 2012, los investigadores seguían descubriendo que los meros comentarios en sus escritos sobre "propiedades simples" y "resultados similares" para ciertos hallazgos eran en sí mismos resultados profundos y sutiles de la teoría de números que permanecieron insospechados hasta casi un siglo después de su muerte. [10] [11] Se convirtió en uno de los miembros más jóvenes de la Royal Society y sólo el segundo miembro indio, y el primer indio en ser elegido miembro del Trinity College de Cambridge .
En 1919, la mala salud (que ahora se cree que fue amebiasis hepática (una complicación de episodios de disentería muchos años antes)) obligó a Ramanujan a regresar a la India, donde murió en 1920 a la edad de 32 años. Sus últimas cartas a Hardy, escritas en Enero de 1920, muestran que todavía continuaba produciendo nuevas ideas y teoremas matemáticos. Su " cuaderno perdido ", que contiene descubrimientos del último año de su vida, causó gran entusiasmo entre los matemáticos cuando fue redescubierto en 1976.
Ramanujan (literalmente, "hermano menor de Rama ", una deidad hindú) [12] nació el 22 de diciembre de 1887 en una familia tamil brahmán Iyengar en Erode , en la actual Tamil Nadu . [13] Su padre, Kuppuswamy Srinivasa Iyengar, originario del distrito de Thanjavur , trabajaba como empleado en una tienda de sari . [14] [2] Su madre, Komalatammal, era ama de casa y cantaba en un templo local. [15] Vivían en una pequeña casa tradicional en la calle Sarangapani Sannidhi en la ciudad de Kumbakonam . [16] La casa familiar es ahora un museo. Cuando Ramanujan tenía un año y medio, su madre dio a luz a un hijo, Sadagopan, que murió menos de tres meses después. En diciembre de 1889, Ramanujan contrajo viruela , pero se recuperó, a diferencia de los otros 4.000 que murieron en un mal año en el distrito de Thanjavur por esta época. Se mudó con su madre a la casa de sus padres en Kanchipuram , cerca de Madrás (ahora Chennai ). Su madre dio a luz a dos hijos más, en 1891 y 1894, los cuales murieron antes de cumplir un año. [12]
El 1 de octubre de 1892, Ramanujan se matriculó en la escuela local. [17] Después de que su abuelo materno perdió su trabajo como funcionario judicial en Kanchipuram, [18] Ramanujan y su madre regresaron a Kumbakonam y él se matriculó en la escuela primaria de Kangayan. [19] Cuando murió su abuelo paterno, fue enviado de regreso con sus abuelos maternos, que entonces vivían en Madrás. No le gustaba la escuela en Madrás y trató de evitar asistir. Su familia reclutó a un agente de policía local para asegurarse de que asistiera a la escuela. Al cabo de seis meses, Ramanujan estaba de regreso en Kumbakonam. [19]
Como el padre de Ramanujan estaba en el trabajo la mayor parte del día, su madre cuidaba del niño y tenían una relación estrecha. De ella, aprendió sobre la tradición y los puranas , a cantar canciones religiosas, a asistir a pujas en el templo y a mantener hábitos alimentarios particulares, todo ello parte de la cultura brahmán . [20] En la escuela primaria Kangayan, Ramanujan tuvo un buen desempeño. Justo antes de cumplir 10 años, en noviembre de 1897, aprobó sus exámenes primarios de inglés, tamil , geografía y aritmética con las mejores puntuaciones del distrito. [21] Ese año, Ramanujan ingresó a la escuela secundaria superior de la ciudad , donde se encontró con las matemáticas formales por primera vez. [21]
Niño prodigio a los 11 años, había agotado los conocimientos matemáticos de dos estudiantes universitarios que se alojaban en su casa. Más tarde le prestaron un libro escrito por SL Loney sobre trigonometría avanzada. [22] [23] Dominó esto a la edad de 13 años mientras descubría teoremas sofisticados por su cuenta. A los 14 años, recibió certificados de mérito y premios académicos que continuaron a lo largo de su carrera escolar, y ayudó a la escuela en la logística de asignar a sus 1200 estudiantes (cada uno con diferentes necesidades) a sus aproximadamente 35 maestros. [24] Completó exámenes de matemáticas en la mitad del tiempo asignado y demostró estar familiarizado con la geometría y las series infinitas . A Ramanujan se le mostró cómo resolver ecuaciones cúbicas en 1902. Más tarde desarrollaría su propio método para resolver ecuaciones cuárticas . En 1903 intentó resolver la quíntica , sin saber que era imposible resolverla con radicales. [25]
En 1903, cuando tenía 16 años, Ramanujan obtuvo de un amigo una copia de la biblioteca de Una sinopsis de resultados elementales en matemáticas puras y aplicadas , la colección de 5.000 teoremas de GS Carr . [26] [27] Según se informa, Ramanujan estudió el contenido del libro en detalle. [28] Al año siguiente, Ramanujan desarrolló e investigó de forma independiente los números de Bernoulli y calculó la constante de Euler-Mascheroni hasta 15 decimales. [29] Sus compañeros en ese momento dijeron que "rara vez lo entendían" y "lo admiraban respetuosamente". [24]
Cuando se graduó de la escuela secundaria superior de la ciudad en 1904, Ramanujan recibió el premio K. Ranganatha Rao de matemáticas de manos del director de la escuela, Krishnaswami Iyer. Iyer presentó a Ramanujan como un estudiante sobresaliente que merecía puntuaciones superiores al máximo. [30] Recibió una beca para estudiar en Government Arts College, Kumbakonam , [31] [32] pero estaba tan concentrado en las matemáticas que no pudo concentrarse en ninguna otra materia y reprobó la mayoría de ellas, perdiendo su beca en el proceso. [33] En agosto de 1905, Ramanujan se escapó de casa, dirigiéndose hacia Visakhapatnam , y permaneció en Rajahmundry [34] durante aproximadamente un mes. [33] Más tarde se matriculó en el Pachaiyappa's College en Madrás. Allí aprobó en matemáticas, eligiendo sólo intentar preguntas que le atraían y dejando el resto sin respuesta, pero obtuvo malos resultados en otras materias, como inglés, fisiología y sánscrito. [35] Ramanujan reprobó su examen de Miembro de Artes en diciembre de 1906 y nuevamente un año después. Sin un título de FA, dejó la universidad y continuó realizando investigaciones independientes en matemáticas, viviendo en la pobreza extrema y, a menudo, al borde de la inanición. [36]
En 1910, después de una reunión entre Ramanujan, de 23 años, y el fundador de la Sociedad Matemática de la India , V. Ramaswamy Aiyer , Ramanujan comenzó a obtener reconocimiento en los círculos matemáticos de Madrás, lo que llevó a su inclusión como investigador en la Universidad de Madrás. . [37]
El 14 de julio de 1909, Ramanujan se casó con Janaki (Janakiammal; 21 de marzo de 1899 - 13 de abril de 1994), [38] una niña que su madre había seleccionado para él un año antes y que tenía diez años cuando se casaron. [39] [40] [41] No era inusual entonces que los matrimonios se concertaran con niñas a una edad temprana. Janaki era de Rajendram, un pueblo cercano a la estación de tren de Marudur ( distrito de Karur ). El padre de Ramanujan no participó en la ceremonia nupcial. [42] Como era común en ese momento, Janaki continuó permaneciendo en su hogar materno durante tres años después del matrimonio, hasta que alcanzó la pubertad. En 1912, ella y la madre de Ramanujan se unieron a Ramanujan en Madrás. [43]
Después del matrimonio, Ramanujan desarrolló un hidrocele testicular . [44] La afección podría tratarse con una operación quirúrgica de rutina que liberaría el líquido bloqueado en el saco escrotal, pero su familia no podía permitirse la operación. En enero de 1910, un médico se ofreció como voluntario para realizar la cirugía sin costo alguno. [45]
Después de su exitosa cirugía, Ramanujan buscó trabajo. Se quedó en casa de un amigo mientras iba de puerta en puerta por Madrás buscando un puesto administrativo. Para ganar dinero, dio clases particulares a estudiantes de Presidency College que se estaban preparando para su examen de Fellow of Arts. [46]
A finales de 1910, Ramanujan volvió a enfermarse. Temía por su salud y le dijo a su amigo R. Radakrishna Iyer que "entregara [sus cuadernos] al profesor Singaravelu Mudaliar [el profesor de matemáticas del Pachaiyappa's College] o al profesor británico Edward B. Ross, del Madras Christian College . " [47] Después de que Ramanujan recuperó y recuperó sus cuadernos de Iyer, tomó un tren desde Kumbakonam a Villupuram , una ciudad bajo control francés. [48] [49] En 1912, Ramanujan se mudó con su esposa y su madre a una casa en la calle Saiva Muthaiah Mudali, George Town , Madrás , donde vivieron durante unos meses. [50] En mayo de 1913, tras conseguir un puesto de investigación en la Universidad de Madrás, Ramanujan se mudó con su familia a Triplicane . [51]
En 1910, Ramanujan conoció al coleccionista adjunto V. Ramaswamy Aiyer , quien fundó la Sociedad Matemática de la India. [52] Deseando un trabajo en el departamento de ingresos donde trabajaba Aiyer, Ramanujan le mostró sus cuadernos de matemáticas. Como recordó más tarde Aiyer:
Me sorprendieron los extraordinarios resultados matemáticos contenidos en [los cuadernos]. No tenía intención de sofocar su genio con un nombramiento en los niveles más bajos del departamento de Hacienda. [53]
Aiyer envió a Ramanujan, con cartas de presentación, a sus amigos matemáticos en Madrás. [52] Algunos de ellos observaron su trabajo y le dieron cartas de presentación para R. Ramachandra Rao , el recaudador de distrito de Nellore y secretario de la Sociedad Matemática de la India. [54] [55] [56] Rao quedó impresionado por la investigación de Ramanujan, pero dudaba de que fuera su propio trabajo. Ramanujan mencionó una correspondencia que tuvo con el profesor Saldhana, un notable matemático de Bombay , en la que Saldhana expresó una falta de comprensión de su trabajo pero concluyó que no era un fraude. [57] El amigo de Ramanujan, CV Rajagopalachari, intentó disipar las dudas de Rao sobre la integridad académica de Ramanujan. Rao accedió a darle otra oportunidad y escuchó a Ramanujan discutir las integrales elípticas , las series hipergeométricas y su teoría de las series divergentes , lo que, según Rao, finalmente lo convenció de la brillantez de Ramanujan. [57] Cuando Rao le preguntó qué quería, Ramanujan respondió que necesitaba trabajo y apoyo financiero. Rao accedió y lo envió a Madrás. Continuó su investigación con la ayuda financiera de Rao. Con la ayuda de Aiyer, Ramanujan publicó su trabajo en el Journal of the Indian Mathematical Society. [58]
Uno de los primeros problemas que planteó en la revista [30] fue encontrar el valor de:
Esperó a que le ofrecieran una solución en tres números, a lo largo de seis meses, pero no recibió ninguna. Al final, Ramanujan proporcionó él mismo una solución incompleta [59] al problema. En la página 105 de su primer cuaderno, formuló una ecuación que podría usarse para resolver el problema de los radicales infinitamente anidados .
Usando esta ecuación, la respuesta a la pregunta planteada en el Journal fue simplemente 3, obtenida estableciendo x = 2 , n = 1 y a = 0 . [60] Ramanujan escribió su primer artículo formal para el Journal sobre las propiedades de los números de Bernoulli . Una propiedad que descubrió fue que los denominadores de las fracciones de los números de Bernoulli (secuencia A027642 en la OEIS ) siempre son divisibles por seis. También ideó un método para calcular B n basado en números de Bernoulli anteriores. Uno de estos métodos es el siguiente:
Se observará que si n es par pero no igual a cero,
En su artículo de 17 páginas "Algunas propiedades de los números de Bernoulli" (1911), Ramanujan dio tres pruebas, dos corolarios y tres conjeturas. [61] Su escritura inicialmente tuvo muchos defectos. Como señaló el editor del Journal , MT Narayana Iyengar:
Los métodos del Sr. Ramanujan eran tan concisos y novedosos y su presentación tan carente de claridad y precisión, que el [lector matemático] común y corriente, no acostumbrado a semejante gimnasia intelectual, difícilmente podía seguirlo. [62]
Ramanujan escribió más tarde otro artículo y también continuó publicando problemas en el Journal . [63] A principios de 1912, consiguió un trabajo temporal en la oficina del Contador General de Madrás, con un salario mensual de 20 rupias. Duró sólo unas pocas semanas. [64] Hacia el final de esa asignación, solicitó un puesto bajo el mando de Contador Jefe del Madras Port Trust .
En una carta fechada el 9 de febrero de 1912, Ramanujan escribió:
Señor,
tengo entendido que hay una vacante en su oficina y le ruego solicitar la misma. Aprobé el examen de matriculación y estudié hasta la FA, pero se me impidió continuar mis estudios debido a varias circunstancias adversas. Sin embargo, he estado dedicando todo mi tiempo a las Matemáticas y desarrollando la materia. Puedo decir que estoy bastante seguro de que podré hacer justicia a mi trabajo si me designan para el puesto. Por lo tanto, le ruego que tenga la amabilidad de conferirme el nombramiento. [sesenta y cinco]
Adjunta a su solicitud había una recomendación de EW Middlemast , profesor de matemáticas del Presidency College , quien escribió que Ramanujan era "un joven con una capacidad bastante excepcional en Matemáticas". [66] Tres semanas después de presentar su solicitud, el 1 de marzo, Ramanujan se enteró de que había sido aceptado como contable de Clase III, Grado IV, ganando 30 rupias por mes. [67] En su oficina, Ramanujan completó fácil y rápidamente el trabajo que le asignaron y pasó su tiempo libre haciendo investigaciones matemáticas. El jefe de Ramanujan, Sir Francis Spring , y S. Narayana Iyer, un colega que también era tesorero de la Sociedad Matemática de la India, alentaron a Ramanujan en sus actividades matemáticas. [ cita necesaria ]
En la primavera de 1913, Narayana Iyer, Ramachandra Rao y EW Middlemast intentaron presentar el trabajo de Ramanujan a los matemáticos británicos. MJM Hill, del University College London, comentó que los artículos de Ramanujan estaban plagados de agujeros. [68] Dijo que aunque Ramanujan tenía "gusto por las matemáticas y cierta habilidad", carecía de la formación y la base educativa necesarias para ser aceptado por los matemáticos. [69] Aunque Hill no se ofreció a aceptar a Ramanujan como estudiante, le brindó un asesoramiento profesional exhaustivo y serio sobre su trabajo. Con la ayuda de amigos, Ramanujan redactó cartas para destacados matemáticos de la Universidad de Cambridge. [70]
Los dos primeros profesores, HF Baker y EW Hobson , devolvieron los artículos de Ramanujan sin comentarios. [71] El 16 de enero de 1913, Ramanujan escribió a GH Hardy . [72] Provenientes de un matemático desconocido, las nueve páginas de matemáticas hicieron que Hardy inicialmente viera los manuscritos de Ramanujan como un posible fraude. [73] Hardy reconoció algunas de las fórmulas de Ramanujan, pero otras "parecían apenas imposibles de creer". [74] : 494 Uno de los teoremas que Hardy encontró sorprendente estaba al final de la página tres (válido para 0 < a < b +1/2):
Hardy también quedó impresionado por algunos de los otros trabajos de Ramanujan relacionados con series infinitas:
El primer resultado ya había sido determinado por G. Bauer en 1859. El segundo era nuevo para Hardy y se derivaba de una clase de funciones llamadas series hipergeométricas , que habían sido investigadas por primera vez por Euler y Gauss. Hardy encontró estos resultados "mucho más intrigantes" que el trabajo de Gauss sobre integrales. [75] Después de ver los teoremas de Ramanujan sobre fracciones continuas en la última página de los manuscritos, Hardy dijo que los teoremas "me derrotaron por completo; nunca había visto nada parecido en lo más mínimo antes", [76] y que "deben ser verdaderos". , porque, si no fueran ciertas, nadie tendría la imaginación para inventarlas". [76] Hardy le pidió a un colega, JE Littlewood , que echara un vistazo a los documentos. Littlewood quedó asombrado por el genio de Ramanujan. Después de discutir los artículos con Littlewood, Hardy concluyó que las cartas eran "sin duda las más notables que he recibido" y que Ramanujan era "un matemático de la más alta calidad, un hombre de originalidad y poder excepcionales". [74] : 494–495 Un colega, EH Neville , comentó más tarde que "ningún [teorema] podría haberse establecido en el examen matemático más avanzado del mundo". [63]
El 8 de febrero de 1913, Hardy le escribió a Ramanujan una carta expresando interés en su trabajo, añadiendo que era "esencial que viera pruebas de algunas de sus afirmaciones". [77] Antes de que su carta llegara a Madrás durante la tercera semana de febrero, Hardy se puso en contacto con la Oficina de la India para planificar el viaje de Ramanujan a Cambridge. El secretario Arthur Davies del Comité Asesor para Estudiantes Indios se reunió con Ramanujan para discutir el viaje al extranjero. [78] De acuerdo con su educación brahmán, Ramanujan se negó a abandonar su país para " ir a una tierra extranjera ". [79] Mientras tanto, envió a Hardy una carta repleta de teoremas, escribiendo: "He encontrado en ti un amigo que ve mi trabajo con simpatía". [80]
Para complementar el respaldo de Hardy, Gilbert Walker , ex profesor de matemáticas en el Trinity College de Cambridge , examinó el trabajo de Ramanujan y expresó asombro, instando al joven a pasar tiempo en Cambridge. [81] Como resultado del respaldo de Walker, B. Hanumantha Rao, profesor de matemáticas en una facultad de ingeniería, invitó al colega de Ramanujan, Narayana Iyer, a una reunión de la Junta de Estudios en Matemáticas para discutir "lo que podemos hacer por S. Ramanujan". . [82] La junta acordó conceder a Ramanujan una beca de investigación mensual de 75 rupias durante los próximos dos años en la Universidad de Madrás . [83]
Mientras trabajaba como estudiante de investigación, Ramanujan continuó enviando artículos al Journal of the Indian Mathematical Society. En un caso, Iyer presentó algunos de los teoremas de Ramanujan sobre la suma de series a la revista y agregó: "El siguiente teorema se debe a S. Ramanujan, el estudiante de matemáticas de la Universidad de Madrás". Más tarde, en noviembre, el profesor británico Edward B. Ross del Madras Christian College , a quien Ramanujan había conocido unos años antes, irrumpió en su clase un día con los ojos brillantes y preguntó a sus alumnos: "¿Raramanujan sabe polaco?" La razón era que en un artículo Ramanujan había anticipado el trabajo de un matemático polaco cuyo artículo acababa de llegar por correo del día. [84] En sus artículos trimestrales, Ramanujan elaboró teoremas para hacer que las integrales definidas sean más fáciles de resolver. A partir del teorema integral de Giuliano Frullani de 1821, Ramanujan formuló generalizaciones que podrían hacerse para evaluar integrales que antes eran inflexibles. [85]
La correspondencia de Hardy con Ramanujan se agrió después de que Ramanujan se negó a venir a Inglaterra. Hardy reclutó a un colega que daba conferencias en Madrás, EH Neville, para que asesorara y trajera a Ramanujan a Inglaterra. [86] Neville le preguntó a Ramanujan por qué no iría a Cambridge. Al parecer, Ramanujan había aceptado ahora la propuesta; Neville dijo: "Ramanujan no necesitaba convertirse" y "la oposición de sus padres había sido retirada". [63] Aparentemente, la madre de Ramanujan tuvo un sueño vívido en el que la diosa de la familia, la deidad de Namagiri , le ordenaba "no interponerse más entre su hijo y el cumplimiento del propósito de su vida". [63] El 17 de marzo de 1914, Ramanujan viajó a Inglaterra en barco, [87] dejando a su esposa para quedarse con sus padres en la India. [ cita necesaria ]
Ramanujan partió de Madrás a bordo del SS Nevasa el 17 de marzo de 1914. [88] Cuando desembarcó en Londres el 14 de abril, Neville lo estaba esperando con un automóvil. Cuatro días después, Neville lo llevó a su casa en Chesterton Road en Cambridge. Ramanujan inmediatamente comenzó a trabajar con Littlewood y Hardy. Después de seis semanas, Ramanujan se mudó de la casa de Neville y se instaló en Whewell's Court, a cinco minutos a pie de la habitación de Hardy. [89]
Hardy y Littlewood empezaron a mirar los cuadernos de Ramanujan. Hardy ya había recibido 120 teoremas de Ramanujan en las dos primeras cartas, pero había muchos más resultados y teoremas en los cuadernos. Hardy vio que algunos estaban equivocados, otros ya habían sido descubiertos y el resto eran nuevos avances. [90] Ramanujan dejó una profunda impresión en Hardy y Littlewood. Littlewood comentó: "Puedo creer que es al menos un Jacobi ", [91] mientras que Hardy dijo que "sólo puedo compararlo con Euler o Jacobi". [92]
Ramanujan pasó casi cinco años en Cambridge colaborando con Hardy y Littlewood, y publicó allí parte de sus hallazgos. Hardy y Ramanujan tenían personalidades muy contrastantes. Su colaboración fue un choque de diferentes culturas, creencias y estilos de trabajo. En las décadas anteriores, se cuestionaron los fundamentos de las matemáticas y se reconoció la necesidad de demostraciones matemáticamente rigurosas . Hardy era ateo y un apóstol de la prueba y el rigor matemático, mientras que Ramanujan era un hombre profundamente religioso que confiaba mucho en su intuición y sus conocimientos. Hardy hizo todo lo posible para llenar los vacíos en la educación de Ramanujan y guiarlo en la necesidad de pruebas formales para respaldar sus resultados, sin obstaculizar su inspiración, un conflicto que ninguno de los dos encontró fácil.
Ramanujan obtuvo una licenciatura en investigación [93] [ 94] (el predecesor del doctorado) en marzo de 1916 por su trabajo sobre números altamente compuestos , secciones de la primera parte del cual se habían publicado el año anterior en el Actas de la Sociedad Matemática de Londres . El artículo tenía más de 50 páginas y demostró varias propiedades de dichos números. A Hardy no le gustaba este tema, pero comentó que, aunque abordaba lo que él llamaba el "remanso de las matemáticas", en él Ramanujan mostraba "un dominio extraordinario sobre el álgebra de las desigualdades". [95]
El 6 de diciembre de 1917, Ramanujan fue elegido miembro de la Sociedad Matemática de Londres. El 2 de mayo de 1918, fue elegido miembro de la Royal Society , [96] el segundo indio admitido, después de Ardaseer Cursetjee en 1841. A los 31 años, Ramanujan era uno de los miembros más jóvenes en la historia de la Royal Society. Fue elegido "por su investigación sobre funciones elípticas y la teoría de números". El 13 de octubre de 1918, fue el primer indio elegido miembro del Trinity College de Cambridge . [97]
Ramanujan tuvo numerosos problemas de salud a lo largo de su vida. Su salud empeoró en Inglaterra; posiblemente también fuera menos resistente debido a la dificultad de cumplir los estrictos requisitos dietéticos de su religión allí y al racionamiento durante la guerra en 1914-18. Le diagnosticaron tuberculosis y una grave deficiencia de vitaminas , y lo internaron en un sanatorio . En 1919, regresó a Kumbakonam , presidencia de Madrás , y en 1920 murió a la edad de 32 años. Después de su muerte, su hermano Tirunarayanan compiló las notas manuscritas restantes de Ramanujan, que consistían en fórmulas sobre módulos singulares, series hipergeométricas y fracciones continuas. [43]
La viuda de Ramanujan, Smt. Janaki Ammal, se mudó a Bombay . En 1931, regresó a Madrás y se instaló en Triplicane , donde se mantenía con una pensión de la Universidad de Madrás y con ingresos de la sastrería. En 1950, adoptó un hijo, W. Narayanan, quien finalmente se convirtió en funcionario del Banco Estatal de la India y formó una familia. En sus últimos años, recibió una pensión vitalicia del antiguo empleador de Ramanujan, Madras Port Trust, y pensiones de, entre otros, la Academia Nacional de Ciencias de la India y los gobiernos estatales de Tamil Nadu , Andhra Pradesh y Bengala Occidental . Continuó apreciando la memoria de Ramanujan y participó activamente en los esfuerzos por aumentar su reconocimiento público; Matemáticos destacados, incluidos George Andrews, Bruce C. Berndt y Béla Bollobás, se propusieron visitarla mientras estaban en la India. Murió en su residencia de Triplicane en 1994. [42] [43]
Un análisis de 1994 de los registros médicos y los síntomas de Ramanujan realizado por DAB Young [98] concluyó que sus síntomas médicos (incluidas sus recaídas pasadas, fiebres y afecciones hepáticas) eran mucho más parecidos a los resultantes de la amebiasis hepática , una enfermedad entonces extendida en Madrás, que tuberculosis. Tuvo dos episodios de disentería antes de abandonar la India. Cuando no se trata adecuadamente, la disentería amebiana puede permanecer latente durante años y provocar amebiasis hepática, cuyo diagnóstico no estaba bien establecido en ese momento. [99] En ese momento, si se diagnosticaba adecuadamente, la amebiasis era una enfermedad tratable y, a menudo, curable; [99] [100] Los soldados británicos que la contrajeron durante la Primera Guerra Mundial se estaban curando con éxito de la amebiasis cuando Ramanujan abandonó Inglaterra. [101]
Mientras dormía, tuve una experiencia inusual. Había una pantalla roja formada por sangre que fluía, por así decirlo. Lo estaba observando. De repente una mano empezó a escribir en la pantalla. Me volví toda atención. Esa mano escribió varias integrales elípticas. Se quedaron grabados en mi mente. Tan pronto como desperté, los comprometí a escribir.
—Srinivasa Ramanujan [102]
Ramanujan ha sido descrito como una persona de carácter algo tímido y tranquilo, un hombre digno y de modales agradables. [103] Vivió una vida sencilla en Cambridge. [104] Los primeros biógrafos indios de Ramanujan lo describen como un hindú rigurosamente ortodoxo . Atribuyó su perspicacia a la diosa de su familia , Namagiri Thayar (diosa Mahalakshmi) de Namakkal . La buscó en busca de inspiración para su trabajo [105] y dijo que soñó con gotas de sangre que simbolizaban a su consorte, Narasimha . Más tarde tuvo visiones de pergaminos de contenido matemático complejo desplegándose ante sus ojos. [106] A menudo decía: "Una ecuación para mí no tiene significado a menos que exprese un pensamiento de Dios". [107]
Hardy cita a Ramanujan diciendo que todas las religiones le parecían igualmente verdaderas. [108] Hardy argumentó además que la creencia religiosa de Ramanujan había sido idealizada por los occidentales y exagerada (en referencia a su creencia, no a su práctica) por los biógrafos indios. Al mismo tiempo, destacó el estricto vegetarianismo de Ramanujan . [109]
De manera similar, en una entrevista con Frontline, Berndt dijo: "Muchas personas promulgan falsamente poderes místicos en el pensamiento matemático de Ramanujan. No es cierto. Ha registrado meticulosamente cada resultado en sus tres cuadernos", especulando además que Ramanujan resolvió resultados intermedios en una pizarra. que no podía permitirse el lujo de que el periódico registrara de forma más permanente. [8]
En matemáticas, existe una distinción entre conocimiento y formulación o elaboración de una prueba. Ramanujan propuso multitud de fórmulas que podrían investigarse en profundidad más adelante. G. H. Hardy dijo que los descubrimientos de Ramanujan son inusualmente ricos y que a menudo hay más en ellos de lo que inicialmente parece. Como subproducto de su trabajo, se abrieron nuevas direcciones de investigación. Ejemplos de las fórmulas más intrigantes incluyen series infinitas para π , una de las cuales se muestra a continuación:
Este resultado se basa en el discriminante fundamental negativo d = −4 × 58 = −232 con número de clase h ( d ) = 2 . Además, 26390 = 5 × 7 × 13 × 58 y 16 × 9801 = 396 2 , lo cual está relacionado con el hecho de que
Esto podría compararse con los números de Heegner , que tienen clase número 1 y producen fórmulas similares.
La serie de Ramanujan para π converge extraordinariamente rápido y forma la base de algunos de los algoritmos más rápidos utilizados actualmente para calcular π . Truncar la suma al primer término también da la aproximación9801 √ 2/4412para π , que es correcto hasta seis decimales; truncarlo a los dos primeros términos da un valor correcto con 14 decimales. Véase también la serie más general Ramanujan-Sato .
Una de las capacidades notables de Ramanujan fue la rápida solución de problemas, ilustrada por la siguiente anécdota sobre un incidente en el que PC Mahalanobis planteó un problema:
Imagina que estás en una calle con casas marcadas del 1 al n . Hay una casa en el medio ( x ) tal que la suma de los números de las casas a su izquierda es igual a la suma de los números de las casas a su derecha. Si n está entre 50 y 500, ¿cuáles son n y x ? Este es un problema bivariado con múltiples soluciones. Ramanujan lo pensó y dio la respuesta con un giro: dio una fracción continua . Lo inusual fue que era la solución a toda la clase de problemas. Mahalanobis quedó asombrado y le preguntó cómo lo había hecho. 'Es simple. En el momento en que escuché el problema, supe que la respuesta era una fracción continua. ¿Qué fracción continua?, me pregunté. Entonces me vino a la mente la respuesta', respondió Ramanujan." [110] [111]
Su intuición también le llevó a derivar algunas identidades previamente desconocidas , como
para todo θ tal que y , donde Γ( z ) es la función gamma , y relacionado con un valor especial de la función eta de Dedekind . Expandirse a series de potencias y equiparar coeficientes de θ 0 , θ 4 y θ 8 proporciona algunas identidades profundas para la secante hiperbólica .
En 1918, Hardy y Ramanujan estudiaron exhaustivamente la función de partición P ( n ) . Dieron una serie asintótica no convergente que permite el cálculo exacto del número de particiones de un número entero. En 1937, Hans Rademacher perfeccionó su fórmula para encontrar una solución exacta en serie convergente para este problema. El trabajo de Ramanujan y Hardy en esta área dio lugar a un nuevo y poderoso método para encontrar fórmulas asintóticas llamado método del círculo . [112]
En el último año de su vida, Ramanujan descubrió funciones theta simuladas . [113] Durante muchos años, estas funciones fueron un misterio, pero ahora se sabe que son las partes holomorfas de formas armónicas débiles de Maass .
Aunque existen numerosas afirmaciones que podrían haber llevado el nombre de conjetura de Ramanujan, una tuvo gran influencia en trabajos posteriores. En particular, la conexión de esta conjetura con las conjeturas de André Weil en geometría algebraica abrió nuevas áreas de investigación. Esa conjetura de Ramanujan es una afirmación sobre el tamaño de la función tau , que tiene una función generadora como la forma modular discriminante Δ( q ), una forma cúspide típica en la teoría de formas modulares . Fue finalmente demostrado en 1973, como consecuencia de la demostración de las conjeturas de Weil por parte de Pierre Deligne . El paso de reducción involucrado es complicado. Deligne ganó una medalla Fields en 1978 por ese trabajo. [7] [114]
En su artículo "Sobre ciertas funciones aritméticas", Ramanujan definió la llamada función delta, cuyos coeficientes se denominan τ ( n ) (la función tau de Ramanujan ). [115] Demostró muchas congruencias para estos números, como τ ( p ) ≡ 1 + p 11 mod 691 para los primos p . Esta congruencia (y otras similares que Ramanujan demostró) inspiraron a Jean-Pierre Serre (medallista Fields de 1954) a conjeturar que existe una teoría de las representaciones de Galois que "explica" estas congruencias y, más generalmente, todas las formas modulares. Δ( z ) es el primer ejemplo de forma modular que se estudia de esta manera. Deligne (en su obra ganadora de la medalla Fields) demostró la conjetura de Serre. La prueba del último teorema de Fermat procede reinterpretando primero las curvas elípticas y las formas modulares en términos de estas representaciones de Galois. Sin esta teoría, no habría prueba del último teorema de Fermat. [116]
Mientras aún estaba en Madrás, Ramanujan registró la mayor parte de sus resultados en cuatro cuadernos de hojas sueltas . En su mayoría fueron escritos sin derivaciones. Este es probablemente el origen del malentendido de que Ramanujan no pudo probar sus resultados y simplemente ideó directamente el resultado final. El matemático Bruce C. Berndt , en su revisión de estos cuadernos y del trabajo de Ramanujan, dice que Ramanujan ciertamente pudo probar la mayoría de sus resultados, pero decidió no registrar las pruebas en sus notas.
Esto puede haber sido por varias razones. Como el papel era muy caro, Ramanujan hizo la mayor parte de su trabajo y quizás sus pruebas en pizarra , tras lo cual transfirió los resultados finales al papel. En ese momento, los estudiantes de matemáticas durante la presidencia de Madrás usaban comúnmente pizarras . También era muy probable que se hubiera visto influenciado por el estilo del libro de GS Carr , que presentaba resultados sin pruebas. También es posible que Ramanujan considerara que su trabajo era únicamente para su interés personal y, por lo tanto, registrara sólo los resultados. [117]
El primer cuaderno tiene 351 páginas con 16 capítulos algo organizados y algo de material desorganizado. El segundo tiene 256 páginas en 21 capítulos y 100 páginas desorganizadas, y el tercero 33 páginas desorganizadas. Los resultados de sus cuadernos inspiraron numerosos artículos de matemáticos posteriores que intentaban demostrar lo que había descubierto. El propio Hardy escribió artículos explorando material del trabajo de Ramanujan, al igual que GN Watson , BM Wilson y Bruce Berndt. [117]
En 1976, George Andrews redescubrió un cuarto cuaderno con 87 páginas desordenadas, el llamado "cuaderno perdido" . [99]
El número 1729 se conoce como el número de Hardy-Ramanujan después de una famosa visita de Hardy para ver a Ramanujan en un hospital. En palabras de Hardy: [118]
Recuerdo que una vez fui a verlo cuando estaba enfermo en Putney . Había viajado en el taxi número 1729 y comenté que el número me parecía bastante aburrido y que esperaba que no fuera un presagio desfavorable. "No", respondió, "es un número muy interesante; es el número más pequeño expresable como la suma de dos cubos de dos maneras diferentes".
Inmediatamente antes de esta anécdota, Hardy citó a Littlewood diciendo: "Cada número entero positivo era uno de los amigos personales [de Ramanujan]". [119]
Las dos formas diferentes son:
Las generalizaciones de esta idea han creado la noción de " número de taxis ".
"Por supuesto, siempre tenemos esperanzas. Ésa es una de las razones por las que siempre leo cartas que llegan de lugares oscuros y están escritas con garabatos ilegibles. Siempre espero que pueda ser de otro Ramanujan".
—Freeman Dyson sobre cómo podría aparecer otro genio así en cualquier lugar [120]
En su obituario de Ramanujan, escrito para Nature en 1920, Hardy observó que el trabajo de Ramanujan involucraba principalmente campos menos conocidos incluso entre otros matemáticos puros, y concluyó:
Su conocimiento de las fórmulas fue bastante sorprendente y, en conjunto, superior a cualquier cosa que haya conocido en cualquier matemático europeo. Quizás sea inútil especular sobre su historia si hubiera conocido las ideas y métodos modernos a los dieciséis años en lugar de a los veintiséis. No es descabellado suponer que podría haberse convertido en el mayor matemático de su tiempo. Lo que realmente hizo es bastante maravilloso... cuando se hayan completado las investigaciones que sugiere su trabajo, probablemente parecerá mucho más maravilloso de lo que parece hoy. [74]
Hardy dijo además: [121]
Combinaba un poder de generalización, un sentido de la forma y una capacidad de modificación rápida de sus hipótesis, que a menudo eran realmente sorprendentes y lo convertían, en su peculiar campo, en un rival sin rival en su época. Las limitaciones de su conocimiento eran tan sorprendentes como su profundidad. He aquí un hombre que podía resolver ecuaciones y teoremas modulares ... en órdenes inauditos, cuyo dominio de las fracciones continuas estaba... más allá del de cualquier matemático del mundo, que había descubierto por sí mismo la ecuación funcional de la función zeta . y los términos dominantes de muchos de los problemas más famosos de la teoría analítica de números; y, sin embargo, nunca había oído hablar de una función doblemente periódica ni del teorema de Cauchy , y de hecho sólo tenía una idea muy vaga de lo que era una función de una variable compleja ..."
Cuando se le preguntó acerca de los métodos que empleó Ramanujan para llegar a sus soluciones, Hardy dijo que "llegaron a ellas mediante un proceso de argumento, intuición e inducción mezclados, del cual fue completamente incapaz de dar una explicación coherente". [122] También dijo que "nunca había conocido a un igual, y sólo puede compararlo con Euler o Jacobi". [122] Littlewood supuestamente dijo que ayudar a Ramanujan a ponerse al día con las matemáticas europeas más allá de lo que estaba disponible en la India era muy difícil, porque cada nuevo punto mencionado a Ramanujan le hacía producir ideas originales que impedían que Littlewood continuara con la lección. [123]
K. Srinivasa Rao ha dicho: [124] "En cuanto a su lugar en el mundo de las Matemáticas, citamos a Bruce C. Berndt: ' Paul Erdős nos ha transmitido las calificaciones personales de Hardy sobre los matemáticos. Supongamos que calificamos a los matemáticos sobre la base de puro talento en una escala de 0 a 100. Hardy se dio a sí mismo una puntuación de 25, JE Littlewood 30, David Hilbert 80 y Ramanujan 100. ' " Durante una conferencia en mayo de 2011 en el IIT Madras , Berndt dijo que durante los últimos 40 años, Como casi todas las conjeturas de Ramanujan habían sido probadas, hubo una mayor apreciación del trabajo y la brillantez de Ramanujan, y el trabajo de Ramanujan ahora estaba impregnando muchas áreas de las matemáticas y la física modernas. [113] [125]
El año después de su muerte, Nature incluyó a Ramanujan entre otros científicos y matemáticos distinguidos en un "Calendario de pioneros científicos" que habían alcanzado eminencia. [126] El estado natal de Ramanujan, Tamil Nadu, celebra el 22 de diciembre (cumpleaños de Ramanujan) como el "Día Estatal de TI". El gobierno de la India emitió sellos con la imagen de Ramanujan en 1962, 2011, 2012 y 2016. [127]
Desde el año del centenario de Ramanujan, su cumpleaños, el 22 de diciembre, se celebra anualmente como el Día de Ramanujan en la Government Arts College, Kumbakonam , donde estudió, y en el IIT Madras en Chennai . El Centro Internacional de Física Teórica (ICTP) ha creado un premio en nombre de Ramanujan para jóvenes matemáticos de países en desarrollo en cooperación con la Unión Matemática Internacional , que nomina a los miembros del comité del premio. La Universidad SASTRA , una universidad privada con sede en Tamil Nadu , ha instituido el Premio SASTRA Ramanujan de 10.000 dólares estadounidenses que se otorgará anualmente a un matemático que no supere los 32 años por contribuciones destacadas en un área de las matemáticas influenciada por Ramanujan. [128]
Según las recomendaciones de un comité designado por la Comisión de Becas Universitarias (UGC), Gobierno de la India, el Centro Srinivasa Ramanujan, establecido por SASTRA, ha sido declarado centro fuera del campus bajo el ámbito de la Universidad SASTRA. House of Ramanujan Mathematics, un museo de la vida y obra de Ramanujan, también se encuentra en este campus. SASTRA compró y renovó la casa donde vivía Ramanujan en Kumabakonam. [128]
En 2011, en el 125 aniversario de su nacimiento, el gobierno indio declaró que el 22 de diciembre se celebrará cada año como el Día Nacional de las Matemáticas . [129] El entonces primer ministro indio, Manmohan Singh, también declaró que 2012 se celebraría como el Año Nacional de las Matemáticas y el 22 de diciembre como el Día Nacional de las Matemáticas de la India. [130]
Ramanujan IT City es una zona económica especial (ZEE) de tecnología de la información (TI) en Chennai que se construyó en 2011. Situada junto al Tidel Park , incluye 25 acres (10 ha) con dos zonas, con una superficie total de 5,7 millones. pies cuadrados (530.000 m 2 ), incluidos 4,5 millones de pies cuadrados (420.000 m 2 ) de espacio para oficinas. [131]
Sellos conmemorativos emitidos por India Post (por año):
ideas que fueron fundamentales para la demostración del último teorema de Fermat
Medios de los comunes
Citas de Wikiquote
Textos de Wikisource
![{\displaystyle {\begin{alineado}&\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos(n\theta )}{\cosh(n\pi )} }\right)^{-2}+\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cosh(n\theta )}{\cosh(n\pi )} }\right)^{-2}\\[6pt]={}&{\frac {2\Gamma ^{4}{\bigl (}{\frac {3}{4}}{\bigr )}} {\pi }}={\frac {8\pi ^{3}}{\Gamma ^{4}{\bigl (}{\frac {1}{4}}{\bigr )}}}\end{ alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3affe3db147ab2c00c8ea31e9620380c20c7aafb)
