número de heegner

Concepto en teoría algebraica de números.

En teoría de números , un número de Heegner (como lo denominaron Conway y Guy) es un entero positivo sin cuadrados d tal que el campo cuadrático imaginario tiene clase número 1. De manera equivalente, el anillo de números enteros algebraicos de tiene factorización única . ^[1] ${\displaystyle \mathbb {Q} \left[{\sqrt {-d}}\right]}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \left[{\sqrt {-d}}\right]}$

La determinación de tales números es un caso especial del problema de los números de clase , y subyacen a varios resultados sorprendentes en la teoría de números.

Según el teorema de (Baker–) Stark-Heegner, existen precisamente nueve números de Heegner:

1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67 y 163. (secuencia A003173 en el OEIS )

Este resultado fue conjeturado por Gauss y Kurt Heegner lo demostró con defectos menores en 1952. Alan Baker y Harold Stark demostraron independientemente el resultado en 1966, y Stark indicó además que la brecha en la prueba de Heegner era menor. ^[2]

Polinomio generador de primos de Euler

Polinomio generador de primos de Euler

$${\displaystyle n^{2}+n+41,}$$

n

Rabinowitz ^[3] demostró que

$${\displaystyle n^{2}+n+p}$$

el discriminante ${\displaystyle n=0,\dots ,p-2}$ ${\displaystyle 1-4p}$

(Tenga en cuenta que produce , por lo que es máximo). ${\displaystyle p-1}$ ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle p-2}$

1, 2 y 3 no tienen la forma requerida, por lo que los números de Heegner que funcionan son 7, 11, 19, 43, 67, 163, lo que produce funciones generadoras de primos de la forma de Euler para 2, 3, 5, 11, 17, 41; estos últimos números son llamados números de la suerte de Euler por F. Le Lionnais . ^[4]

Números casi enteros y la constante de Ramanujan

La constante de Ramanujan es el número trascendental ^[5] , que es casi un número entero , ya que está muy cerca de un número entero : ^[6] ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}}$

$${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=262\,537\,412\,640\,768\,743.999\,999\,999\,999\,25\ldots \approx 640\,320^{3}+744.}$$

Este número fue descubierto en 1859 por el matemático Charles Hermite . ^[7] En un artículo del Día de los Inocentes de 1975 en la revista Scientific American , ^[8] el columnista de "Mathematical Games", Martin Gardner, hizo la afirmación falsa de que el número era en realidad un número entero, y que el genio matemático indio Srinivasa Ramanujan lo había predicho; su nombre.

Esta coincidencia se explica por la multiplicación compleja y la q -expansión del j-invariante .

Detalle

En lo que sigue, j(z) denota el j-invariante del número complejo z. Brevemente, es un número entero para  d un número de Heegner, y ${\displaystyle \textstyle j\left({\frac {1+{\sqrt {-d}}}{2}}\right)}$

$${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {d}}}\approx -j\left({\frac {1+{\sqrt {-d}}}{2}}\right)+744}$$

q

Si es un irracional cuadrático, entonces el invariante j es un entero algebraico de grado , el número de clase de y el polinomio mínimo (integral mónico) que satisface se llama 'polinomio de clase de Hilbert'. Por lo tanto, si la extensión cuadrática imaginaria tiene el número de clase 1 (entonces d es un número de Heegner), el j -invariante es un número entero. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \left|\mathrm {Cl} {\bigl (}\mathbf {Q} (\tau ){\bigr )}\right|}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} (\tau )}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} (\tau )}$

La q -expansión de j , con su expansión en serie de Fourier escrita como una serie de Laurent en términos de , comienza como: ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$

$${\displaystyle j(\tau )={\frac {1}{q}}+744+196\,884q+\cdots .}$$

Los coeficientes crecen asintóticamente como ${\displaystyle c_{n}}$

$${\displaystyle \ln(c_{n})\sim 4\pi {\sqrt {n}}+O{\bigl (}\ln(n){\bigr )},}$$

j ${\displaystyle 200\,000^{n}}$ ${\displaystyle \textstyle q\ll {\frac {1}{200\,000}}}$ ${\displaystyle \textstyle \tau ={\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}}$

$${\displaystyle q=-e^{-\pi {\sqrt {163}}}\quad \therefore \quad {\frac {1}{q}}=-e^{\pi {\sqrt {163}}}.}$$

$${\displaystyle j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)=\left(-640\,320\right)^{3},}$$

$${\displaystyle \left(-640\,320\right)^{3}=-e^{\pi {\sqrt {163}}}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right).}$$

$${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=640\,320^{3}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)}$$

$${\displaystyle {\frac {-196\,884}{e^{\pi {\sqrt {163}}}}}\approx {\frac {-196\,884}{640\,320^{3}+744}}\approx -0.000\,000\,000\,000\,75}$$

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}}$

fórmulas pi

Los hermanos Chudnovsky descubrieron en 1987 que

$${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640\,320^{\frac {3}{2}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(163\cdot 3\,344\,418k+13\,591\,409)}{(3k)!(k!)^{3}(-640\,320)^{3k}}},}$$

$${\displaystyle j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)=-640\,320^{3}.}$$

serie Ramanujan-Sato

Otros números de Heegner

Para los cuatro números de Heegner más grandes, las aproximaciones que se obtienen ^[9] son ​​las siguientes.

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx {\color {white}000\,0}96^{3}+744-0.22\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx {\color {white}000\,}960^{3}+744-0.000\,22\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx {\color {white}00}5\,280^{3}+744-0.000\,0013\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 640\,320^{3}+744-0.000\,000\,000\,000\,75\end{aligned}}}$$

Alternativamente, ^[10]

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 12^{3}\left(3^{2}-1\right)^{3}{\color {white}00}+744-0.22\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 12^{3}\left(9^{2}-1\right)^{3}{\color {white}00}+744-0.000\,22\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 12^{3}\left(21^{2}-1\right)^{3}{\color {white}0}+744-0.000\,0013\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 12^{3}\left(231^{2}-1\right)^{3}+744-0.000\,000\,000\,000\,75\end{aligned}}}$$

series de Eisenstein^[11]j ${\displaystyle d<19}$ ${\displaystyle d=19}$

$${\displaystyle 12^{3}\left(n^{2}-1\right)^{3}=\left(2^{2}\cdot 3\cdot (n-1)\cdot (n+1)\right)^{3},}$$

y factorizar como,

$${\displaystyle {\begin{aligned}j\left({\frac {1+{\sqrt {-19}}}{2}}\right)&={\color {white}000\,0}-96^{3}=-\left(2^{5}\cdot 3\right)^{3}\\j\left({\frac {1+{\sqrt {-43}}}{2}}\right)&={\color {white}000\,}-960^{3}=-\left(2^{6}\cdot 3\cdot 5\right)^{3}\\j\left({\frac {1+{\sqrt {-67}}}{2}}\right)&={\color {white}00}-5\,280^{3}=-\left(2^{5}\cdot 3\cdot 5\cdot 11\right)^{3}\\j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)&=-640\,320^{3}=-\left(2^{6}\cdot 3\cdot 5\cdot 23\cdot 29\right)^{3}.\end{aligned}}}$$

Estos números trascendentales , además de ser aproximados estrechamente por números enteros (que son simplemente números algebraicos de grado 1), pueden aproximarse estrechamente mediante números algebraicos de grado 3, ^[12]

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx x^{24}-24.000\,31;&x^{3}-2x-2&=0\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,31;&x^{3}-2x^{2}-2&=0\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,0019;&x^{3}-2x^{2}-2x-2&=0\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,000\,000\,0011;&\quad x^{3}-6x^{2}+4x-2&=0\end{aligned}}}$$

Las raíces de las cúbicas pueden estar dadas exactamente por cocientes de la función eta de Dedekind η ( τ ), una función modular que involucra una raíz 24, y que explica el 24 en la aproximación. También pueden aproximarse estrechamente mediante números algebraicos de grado 4, ^[13]

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 3^{5}\left(3-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {96}{24}}+1{\sqrt {3\cdot 19}}\right)}}\right)^{-2}-12.000\,06\dots \\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 3^{5}\left(9-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {960}{24}}+7{\sqrt {3\cdot 43}}\right)}}\right)^{-2}-12.000\,000\,061\dots \\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 3^{5}\left(21-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {5\,280}{24}}+31{\sqrt {3\cdot 67}}\right)}}\right)^{-2}-12.000\,000\,000\,36\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 3^{5}\left(231-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {640\,320}{24}}+2\,413{\sqrt {3\cdot 163}}\right)}}\right)^{-2}-12.000\,000\,000\,000\,000\,21\dots \end{aligned}}}$$

Si denota la expresión entre paréntesis (por ejemplo ), satisface respectivamente las ecuaciones de cuarto grado ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=3-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {96}{24}}+1{\sqrt {3\cdot 19}}\right)}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}-{\color {white}00}4\cdot 3x^{3}+{\color {white}000\,0}{\tfrac {2}{3}}(96+3)x^{2}-{\color {white}000\,000}{\tfrac {2}{3}}\cdot 3(96-6)x-3&=0\\x^{4}-{\color {white}00}4\cdot 9x^{3}+{\color {white}000\,}{\tfrac {2}{3}}(960+3)x^{2}-{\color {white}000\,00}{\tfrac {2}{3}}\cdot 9(960-6)x-3&=0\\x^{4}-{\color {white}0}4\cdot 21x^{3}+{\color {white}00}{\tfrac {2}{3}}(5\,280+3)x^{2}-{\color {white}000}{\tfrac {2}{3}}\cdot 21(5\,280-6)x-3&=0\\x^{4}-4\cdot 231x^{3}+{\tfrac {2}{3}}(640\,320+3)x^{2}-{\tfrac {2}{3}}\cdot 231(640\,320-6)x-3&=0\\\end{aligned}}}$$

Nótese la reaparición de los números enteros así como el hecho de que ${\displaystyle n=3,9,21,231}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}2^{6}\cdot 3\left(-\left(1-{\tfrac {96}{24}}\right)^{2}+1^{2}\cdot 3\cdot 19\right)&=96^{2}\\2^{6}\cdot 3\left(-\left(1-{\tfrac {960}{24}}\right)^{2}+7^{2}\cdot 3\cdot 43\right)&=960^{2}\\2^{6}\cdot 3\left(-\left(1-{\tfrac {5\,280}{24}}\right)^{2}+31^{2}\cdot 3\cdot 67\right)&=5\,280^{2}\\2^{6}\cdot 3\left(-\left(1-{\tfrac {640\,320}{24}}\right)^{2}+2413^{2}\cdot 3\cdot 163\right)&=640\,320^{2}\end{aligned}}}$$

j

De manera similar, para números algebraicos de grado 6,

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx \left(5x\right)^{3}-6.000\,010\dots \\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx \left(5x\right)^{3}-6.000\,000\,010\dots \\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx \left(5x\right)^{3}-6.000\,000\,000\,061\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx \left(5x\right)^{3}-6.000\,000\,000\,000\,000\,034\dots \end{aligned}}}$$

donde las x s están dadas respectivamente por la raíz apropiada de las ecuaciones sexticas ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}5x^{6}-{\color {white}000\,0}96x^{5}-10x^{3}+1&=0\\5x^{6}-{\color {white}000\,}960x^{5}-10x^{3}+1&=0\\5x^{6}-{\color {white}00}5\,280x^{5}-10x^{3}+1&=0\\5x^{6}-640\,320x^{5}-10x^{3}+1&=0\end{aligned}}}$$

con las j -invariantes apareciendo de nuevo. Estos sexticos no solo son algebraicos, sino que también se pueden resolver en radicales , ya que se factorizan en dos cúbicas a lo largo de la extensión (y el primero se factoriza en dos cuadráticas ). Estas aproximaciones algebraicas se pueden expresar exactamente en términos de cocientes eta de Dedekind. Como ejemplo, pongamos , entonces, ${\displaystyle \mathbb {Q} {\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle \textstyle \tau ={\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\frac {\pi i}{24}}\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{24}-24.000\,000\,000\,000\,001\,05\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\frac {\pi i}{12}}\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}\right)^{12}-12.000\,000\,000\,000\,000\,21\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\frac {\pi i}{6}}\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right)^{6}-6.000\,000\,000\,000\,000\,034\dots \end{aligned}}}$$

donde los cocientes eta son los números algebraicos dados anteriormente.

números de clase 2

Los tres números 88, 148, 232, para los cuales el campo cuadrático imaginario tiene la clase número 2, no son números de Heegner pero tienen ciertas propiedades similares en términos de números casi enteros . Por ejemplo, ${\displaystyle \mathbb {Q} \left[{\sqrt {-d}}\right]}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {88}}}+8\,744&\approx {\color {white}00\,00}2\,508\,952^{2}-0.077\dots \\e^{\pi {\sqrt {148}}}+8\,744&\approx {\color {white}00\,}199\,148\,648^{2}-0.000\,97\dots \\e^{\pi {\sqrt {232}}}+8\,744&\approx 24\,591\,257\,752^{2}-0.000\,0078\dots \\\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {22}}}-24&\approx {\color {white}00}\left(6+4{\sqrt {2}}\right)^{6}+0.000\,11\dots \\e^{\pi {\sqrt {37}}}+24&\approx \left(12+2{\sqrt {37}}\right)^{6}-0.000\,0014\dots \\e^{\pi {\sqrt {58}}}-24&\approx \left(27+5{\sqrt {29}}\right)^{6}-0.000\,000\,0011\dots \\\end{aligned}}}$$

Primos consecutivos

Dado un número primo impar  p , si se calcula para (esto es suficiente porque ), se obtienen compuestos consecutivos, seguidos de primos consecutivos, si y sólo si p es un número de Heegner. ^[14] ${\displaystyle k^{2}\mod p}$ ${\displaystyle \textstyle k=0,1,\dots ,{\frac {p-1}{2}}}$ ${\displaystyle \left(p-k\right)^{2}\equiv k^{2}\mod p}$

Para obtener más información, consulte "Polinomios cuadráticos que producen números primos distintos consecutivos y grupos de clases de campos cuadráticos complejos" de Richard Mollin. ^[15]

notas y referencias

1. Conway, John Horton ; Chico, Richard K. (1996). El Libro de los Números. Saltador. pag. 224.ISBN​ 0-387-97993-X.
2. Stark, HM (1969), "Sobre la brecha en el teorema de Heegner" (PDF) , Journal of Number Theory , 1 (1): 16–27, Bibcode : 1969JNT..... 1... 16S, doi :10.1016/0022-314X(69)90023-7, hdl : 2027.42/33039
3. Rabinovitch, Georg "Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern". Proc. Quinto Internado. Congreso de Matemáticas. (Cambridge) 1, 418–421, 1913.
4. Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. París: Hermann, págs. 88 y 144, 1983.
5. Weisstein, Eric W. "Número trascendental". MundoMatemático .da , basado en Nesterenko, Yu. V. "Sobre la independencia algebraica de las componentes de las soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales". Izv. Akád. Nauk SSSR, ser. Estera. 38, 495–512, 1974. Traducción al inglés en matemáticas. URSS 8, 501–518, 1974. ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {d}}},d\in Z^{*}}$
6. Constante de Ramanujan - de Wolfram MathWorld
7. Barrow, John D (2002). Las constantes de la naturaleza . Londres: Jonathan Cape. pag. 72.ISBN​ 0-224-06135-6.
8. Gardner, Martín (abril de 1975). "Juegos Matemáticos". Científico americano . Scientific American, Inc. 232 (4): 127. Bibcode :1975SciAm.232d.126G. doi : 10.1038/scientificamerican0475-126.
9. Estos se pueden verificar mediante computación.
   $${\displaystyle {\sqrt[{3}]{e^{\pi {\sqrt {d}}}-744}}}$$
   en una calculadora y
   $${\displaystyle {\frac {196\,884}{e^{\pi {\sqrt {d}}}}}}$$
   para el término lineal del error.
10. "Más sobre e^(pi*SQRT(163))".
11. La desviación absoluta de un número real aleatorio (elegido uniformemente de [0,1] , digamos) es una variable distribuida uniformemente en [0, 0,5] , por lo que tiene una desviación promedio absoluta y una desviación absoluta mediana de 0,25, y una desviación de 0,22 no es excepcional.
12. "Fórmulas Pi".
13. "Ampliación de los cocientes de Dedekind Eta de Ramanujan".
14. "Campos cuadráticos complejos simples".
15. Mollin, RA (1996). "Polinomios cuadráticos que producen números primos distintos y consecutivos y grupos de clases de campos cuadráticos complejos" (PDF) . Acta Aritmética . 74 : 17–30. doi :10.4064/aa-74-1-17-30.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Número Heegner". MundoMatemático .
• Secuencia OEIS A003173 (Números de Heegner: campos cuadráticos imaginarios con factorización única)
• Problema de números de clase de Gauss para campos cuadráticos imaginarios, por Dorian Goldfeld: Historia detallada del problema.
• Clark, Álex. "163 y Ramanujan constante". Numéfilo . Brady Harán . Archivado desde el original el 16 de mayo de 2013 . Consultado el 2 de abril de 2013 .