En teoría de números , el grupo de clases ideal (o grupo de clases ) de un campo numérico algebraico K es el grupo cociente J K / P K donde J K es el grupo de ideales fraccionarios del anillo de números enteros de K , y P K es su subgrupo de ideales principales . El grupo de clases es una medida de hasta qué punto falla la factorización única en el anillo de números enteros de K. El orden del grupo, que es finito , se llama número de clase de K.
La teoría se extiende a los dominios de Dedekind y sus campos de fracciones , para los cuales las propiedades multiplicativas están íntimamente ligadas a la estructura del grupo de clases. Por ejemplo, el grupo de clases de un dominio de Dedekind es trivial si y sólo si el anillo es un dominio de factorización único .
Los grupos de clases ideales (o, más bien, lo que efectivamente eran grupos de clases ideales) se estudiaron algún tiempo antes de que se formulara la idea de un ideal . Estos grupos aparecieron en la teoría de las formas cuadráticas : en el caso de las formas cuadráticas integrales binarias , tal como las expresó Carl Friedrich Gauss en algo así como una forma final , se definió una ley de composición sobre ciertas clases de equivalencia de formas. Esto dio como resultado un grupo abeliano finito , como se reconoció en su momento.
Más tarde, Ernst Kummer trabajó en una teoría de los campos ciclotómicos . Se había dado cuenta (probablemente por varias personas) de que no poder completar las demostraciones en el caso general del último teorema de Fermat mediante factorización utilizando las raíces de la unidad se debía a una muy buena razón: un fracaso de la factorización única, es decir, el teorema fundamental de la aritmética. – Mantener los anillos generados por esas raíces de unidad fue un obstáculo importante. Del trabajo de Kummer surgió por primera vez un estudio de los obstáculos a la factorización. Ahora reconocemos esto como parte del grupo de clases ideal: de hecho, Kummer había aislado la torsión p en ese grupo para el campo de raíces p de la unidad, para cualquier número primo p , como la razón del fracaso del método estándar . de ataque al problema de Fermat (ver cebado regular ).
Un poco más tarde, Richard Dedekind formuló nuevamente el concepto de ideal; Kummer había trabajado de otra manera. En este punto se podrían unificar los ejemplos existentes. Se demostró que si bien los anillos de números enteros algebraicos no siempre tienen una factorización única en primos (porque no necesitan ser dominios ideales principales ), sí tienen la propiedad de que todo ideal propio admite una factorización única como producto de ideales primos (es decir, , cada anillo de números enteros algebraicos es un dominio de Dedekind ). El tamaño del grupo de clases ideal puede considerarse como una medida de la desviación de un anillo de ser un dominio ideal principal; un anillo es un dominio ideal principal si y sólo si tiene un grupo de clases ideal trivial.
Si R es un dominio integral , defina una relación ~ sobre ideales fraccionarios distintos de cero de R mediante I ~ J siempre que existan elementos a y b distintos de cero de R tales que ( a ) I = ( b ) J. (Aquí la notación ( a ) significa el ideal principal de R que consta de todos los múltiplos de a ). Se demuestra fácilmente que ésta es una relación de equivalencia . Las clases de equivalencia se denominan clases ideales de R. Las clases ideales se pueden multiplicar: si [ I ] denota la clase de equivalencia del ideal I , entonces la multiplicación [ I ][ J ] = [ IJ ] está bien definida y es conmutativa . Los ideales principales forman la clase ideal [ R ] que sirve como elemento de identidad para esta multiplicación. Así, una clase [ I ] tiene una inversa [ J ] si y sólo si existe un ideal J tal que IJ sea un ideal principal. En general, tal J puede no existir y, en consecuencia, el conjunto de clases ideales de R puede ser solo un monoide .
Sin embargo, si R es el anillo de números enteros algebraicos en un campo numérico algebraico , o más generalmente un dominio de Dedekind , la multiplicación definida anteriormente convierte el conjunto de clases ideales fraccionarias en un grupo abeliano , el grupo de clases ideal de R. La propiedad grupal de existencia de elementos inversos se deriva fácilmente del hecho de que, en un dominio de Dedekind, todo ideal distinto de cero (excepto R ) es un producto de ideales primos .
El grupo de clases ideal es trivial (es decir, tiene un solo elemento) si y sólo si todos los ideales de R son principales. En este sentido, el grupo de clases ideal mide qué tan lejos está R de ser un dominio ideal principal y, por tanto, de satisfacer la factorización prima única (los dominios de Dedekind son dominios de factorización únicos si y sólo si son dominios ideales principales).
El número de clases ideales (lasnúmero de clase deR) puede ser infinito en general. De hecho, todo grupo abeliano esisomorfoal grupo de clases ideal de algún dominio de Dedekind.[1]Pero siRes un anillo de números enteros algebraicos, entonces el número de clase es siemprefinito. Este es uno de los principales resultados dela teoría algebraica de números.
En general, el cálculo del grupo de clases es difícil; se puede hacer a mano para el anillo de números enteros en un campo numérico algebraico de discriminante pequeño , utilizando el límite de Minkowski . Este resultado da un límite, dependiendo del anillo, tal que cada clase ideal contiene una norma ideal menor que el límite. En general, el límite no es lo suficientemente preciso como para que el cálculo sea práctico para campos con un discriminante grande, pero las computadoras se adaptan bien a la tarea.
El mapeo de anillos de números enteros R a sus correspondientes grupos de clases es funtorial , y el grupo de clases puede subsumirse bajo el título de teoría K algebraica , siendo K 0 ( R ) el functor que asigna a R su grupo de clases ideal; más precisamente, K 0 ( R ) = Z × C ( R ), donde C ( R ) es el grupo de clases. Los grupos K superiores también se pueden emplear e interpretar aritméticamente en conexión con anillos de números enteros.
Se señaló anteriormente que el grupo de clases ideal proporciona parte de la respuesta a la pregunta de en qué medida los ideales en un dominio de Dedekind se comportan como elementos. La otra parte de la respuesta la proporciona el grupo de unidades del dominio de Dedekind, ya que el paso de los ideales principales a sus generadores requiere el uso de unidades (y esta es la otra razón para introducir el concepto de ideal fraccionario, así como ):
Defina una aplicación desde R × al conjunto de todos los ideales fraccionarios distintos de cero de R enviando cada elemento al ideal principal (fraccional) que genera. Este es un homomorfismo de grupo ; su núcleo es el grupo de unidades de R y su cokernel es el grupo de clases ideal de R. El hecho de que estos grupos no sean triviales es una medida del fracaso del mapa en cuanto a ser un isomorfismo: es decir, el fracaso de los ideales en actuar como elementos anulares, es decir, como números.
Si es un entero sin cuadrados (un producto de números primos distintos) distinto de 1, entonces es una extensión cuadrática de Q. Si , entonces el número de clase del anillo de enteros algebraicos de es igual a 1 precisamente para los siguientes valores de : . Este resultado fue conjeturado por primera vez por Gauss y demostrado por Kurt Heegner , aunque no se creyó en la prueba de Heegner hasta que Harold Stark dio una prueba posterior en 1967. (Ver teorema de Stark-Heegner ). Este es un caso especial del famoso problema del número de clase .
Si, por otro lado, d > 0, entonces se desconoce si hay infinitos campos con número de clase 1. Los resultados computacionales indican que hay muchos campos de este tipo. Sin embargo, ni siquiera se sabe si hay infinitos campos numéricos con el número de clase 1. [2]
Para d < 0, el grupo de clases ideal de es isomorfo al grupo de clases de formas cuadráticas binarias integrales de discriminante igual al discriminante de . Para d > 0, el grupo de clases ideal puede tener la mitad del tamaño ya que el grupo de clases de formas cuadráticas binarias integrales es isomorfo al grupo de clases estrecho de . [3]
Para anillos de enteros cuadráticos reales , el número de clase se proporciona en OEIS A003649; para el caso imaginario , se dan en OEIS A000924.
El anillo de enteros cuadrático R = Z [ √ −5 ] es el anillo de números enteros de Q ( √ −5 ). No posee factorización única; de hecho, el grupo de clases de R es cíclico de orden 2. De hecho, el ideal
no es principal, lo cual puede probarse por contradicción de la siguiente manera. tiene una función norma , que satisface , y si y sólo si es una unidad en . En primer lugar , porque el anillo cociente de módulo ideal es isomorfo a , de modo que el anillo cociente de módulo es isomorfo a . Si J fuera generado por un elemento x de R , entonces x dividiría tanto a 2 como a 1 + √ −5 . Entonces la norma dividiría a ambos y , por lo que N (x) dividiría a 2. Si entonces es una unidad y , una contradicción. Pero tampoco puede ser 2, porque R no tiene elementos de norma 2, porque la ecuación diofántica no tiene soluciones en números enteros, como tampoco tiene soluciones módulo 5 .
También se calcula que J 2 = (2), que es principal, por lo que la clase de J en el grupo de clases ideal tiene orden dos. Demostrar que no existen otras clases ideales requiere más esfuerzo.
El hecho de que este J no sea principal también está relacionado con el hecho de que el elemento 6 tiene dos factorizaciones distintas en irreducibles :
La teoría de campos de clases es una rama de la teoría algebraica de números que busca clasificar todas las extensiones abelianas de un campo numérico algebraico dado, es decir, extensiones de Galois con grupo abeliano de Galois . Un ejemplo particularmente hermoso se encuentra en el campo de clase de Hilbert de un campo numérico, que puede definirse como la extensión abeliana máxima no ramificada de dicho campo. El campo de clase Hilbert L de un campo numérico K es único y tiene las siguientes propiedades:
Ninguna de las dos propiedades es particularmente fácil de probar.
