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Glosario de aritmética y geometría diofántica

Este es un glosario de aritmética y geometría diofántica en matemáticas , áreas que surgen del estudio tradicional de ecuaciones diofánticas para abarcar gran parte de la teoría de números y la geometría algebraica . Gran parte de la teoría se presenta en forma de conjeturas propuestas , que pueden relacionarse en varios niveles de generalidad.

La geometría diofántica en general es el estudio de variedades algebraicas V sobre campos K que se generan finitamente sobre sus campos primos —incluidos, como de especial interés, los campos numéricos y los campos finitos— y sobre campos locales . De ellos, sólo los números complejos son algebraicamente cerrados ; sobre cualquier otro K la existencia de puntos de V con coordenadas en K es algo a demostrar y estudiar como tema extra, incluso conociendo la geometría de V .

La geometría aritmética puede definirse de manera más general como el estudio de esquemas de tipo finito sobre el espectro del anillo de números enteros . [1] La geometría aritmética también ha sido definida como la aplicación de las técnicas de la geometría algebraica a problemas de teoría de números . [2]


A

conjetura abc
La conjetura abc de Masser y Oesterlé intenta establecer tanto como sea posible sobre los factores primos repetidos en una ecuación a + b = c . Por ejemplo 3 + 125 = 128 pero los poderes primos aquí son excepcionales.
grupo de clase arakelov
El grupo de clases de Arakelov es el análogo del grupo de clases ideal o grupo de clases divisor para los divisores de Arakelov . [3]
divisor de arakelov
Un divisor de Arakelov (o divisor repleto [4] ) en un campo global es una extensión del concepto de divisor o ideal fraccionario . Es una combinación lineal formal de lugares del campo con lugares finitos que tienen coeficientes enteros y lugares infinitos que tienen coeficientes reales. [3] [5] [6]
Altura de arakelov
La altura de Arakelov en un espacio proyectivo sobre el campo de números algebraicos es una función de altura global con contribuciones locales provenientes de las métricas de Fubini-Study en los campos de Arquímedes y la métrica habitual en los campos no de Arquímedes . [7] [8]
Teoría de Arakelov
La teoría de Arakelov es una aproximación a la geometría aritmética que incluye explícitamente los "infinitos primos".
Aritmética de variedades abelianas.
Ver artículo principal aritmética de variedades abelianas.
Funciones L de Artin
Las funciones L de Artin están definidas para representaciones de Galois bastante generales . La introducción de la cohomología étale en la década de 1960 significó que las funciones L de Hasse-Weil podían considerarse funciones L de Artin para las representaciones de Galois en grupos de cohomología l-ádica .

B

Mala reducción
Ver buena reducción .
Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer
La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer sobre curvas elípticas postula una conexión entre el rango de una curva elíptica y el orden de los polos de su función L de Hasse-Weil. Ha sido un hito importante en la geometría diofántica desde mediados de la década de 1960, con resultados como el teorema de Coates-Wiles , el teorema de Gross-Zagier y el teorema de Kolyvagin . [9]

C

Altura canónica
La altura canónica en una variedad abeliana es una función de altura que es una forma cuadrática distinguida . Véase altura de Néron-Tate .
El método de Chabauty.
El método de Chabauty , basado en funciones analíticas p -ádicas, es una aplicación especial pero capaz de probar casos de la conjetura de Mordell para curvas cuyo rango jacobiano es menor que su dimensión. Desarrolló ideas del método de Thoralf Skolem para un toro algebraico . (Otros métodos más antiguos para problemas diofánticos incluyen el método de Runge).
Teorema de Coates-Wiles
El teorema de Coates-Wiles establece que una curva elíptica con multiplicación compleja por un campo cuadrático imaginario de clase número 1 y rango positivo tiene función L con cero en s  = 1. Este es un caso especial de la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer. . [10]
Cohomología cristalina
La cohomología cristalina es una teoría de cohomología p-ádica en la característica p , introducida por Alexander Grothendieck para llenar el vacío dejado por la cohomología étale que es deficiente en el uso de coeficientes mod p en este caso. Es una de varias teorías que se derivan de alguna manera del método de Dwork y tiene aplicaciones fuera de las cuestiones puramente aritméticas.

D

Formas diagonales
Las formas diagonales son algunas de las variedades proyectivas más simples de estudiar desde un punto de vista aritmético (incluidas las variedades de Fermat ). Sus funciones zeta locales se calculan en términos de sumas de Jacobi . El problema de Waring es el caso más clásico.
Dimensión diofántica
La dimensión diofántica de un campo es el número natural más pequeño k , si existe, tal que el campo de sea de clase C k : es decir, tal que cualquier polinomio homogéneo de grado d en N variables tenga un cero no trivial siempre que N > dk .​ Los campos algebraicamente cerrados son de dimensión diofántica 0; campos casi algebraicamente cerrados de dimensión 1. [11]
Discriminante de un punto
El discriminante de un punto se refiere a dos conceptos relacionados relativos a un punto P en una variedad algebraica V definida sobre un campo numérico K : el discriminante geométrico (logarítmico) [12] d ( P ) y el discriminante aritmético , definido por Vojta. [13] La diferencia entre los dos puede compararse con la diferencia entre el género aritmético de una curva singular y el género geométrico de la desingularización . [13] El género aritmético es mayor que el género geométrico, y la altura de un punto puede estar limitada en términos del género aritmético. Obtener límites similares que involucren al género geométrico tendría consecuencias significativas. [13]
El método de Dwork.
Bernard Dwork utilizó métodos distintivos de análisis p-ádico , ecuaciones diferenciales algebraicas p-ádicas , complejos de Koszul y otras técnicas que no todas han sido absorbidas por teorías generales como la cohomología cristalina . Fue el primero en demostrar la racionalidad de las funciones zeta locales, el avance inicial en la dirección de las conjeturas de Weil .

mi

Cohomología Étale
La búsqueda de una cohomología de Weil (qv) se cumplió al menos parcialmente en la teoría de la cohomología étale de Alexander Grothendieck y Michael Artin . Proporcionó una prueba de la ecuación funcional para las funciones zeta locales y fue fundamental en la formulación de la conjetura de Tate (qv) y muchas otras teorías.

F

Altura de las faltinas
La altura de Faltings de una curva elíptica o variedad abeliana definida sobre un campo numérico es una medida de su complejidad introducida por Faltings en su prueba de la conjetura de Mordell . [14] [15]
El último teorema de Fermat
El último teorema de Fermat , la conjetura más célebre de la geometría diofántica, fue demostrado por Andrew Wiles y Richard Taylor .
Cohomología plana
La cohomología plana es, para la escuela de Grothendieck, un punto terminal de desarrollo. Tiene la desventaja de ser bastante difícil de calcular. La razón por la que la topología plana ha sido considerada el topos fundacional "correcto" para la teoría de esquemas se remonta al hecho del descenso fielmente plano , el descubrimiento de Grothendieck de que los functores representables son gavillas (es decir, se cumple un axioma de pegado muy general ). .
Analogía del campo funcional
En el siglo XIX se comprendió que el anillo de números enteros de un campo numérico tiene analogías con el anillo de coordenadas afines de una curva algebraica o superficie compacta de Riemann, con un punto o más eliminados correspondientes a los "lugares infinitos" de un campo numérico. Esta idea está codificada con mayor precisión en la teoría de que todos los campos globales deberían tratarse sobre la misma base. La idea va más allá. Así , las superficies elípticas sobre números complejos también tienen algunas analogías bastante estrictas con las curvas elípticas sobre campos numéricos.

GRAMO

Teoría de campos de clases geométricas
La extensión de los resultados del estilo de la teoría de campos de clases sobre coberturas abelianas a variedades de dimensión al menos dos se denomina a menudo teoría geométrica de campos de clases.
Buena reducción
Fundamental para el análisis local en problemas aritméticos es reducir en módulo todos los números primos p o, más generalmente, los ideales primos . En la situación típica, esto presenta poca dificultad para casi todos los p ; por ejemplo, los denominadores de fracciones son complicados, en ese módulo de reducción, un primo en el denominador parece una división por cero , pero eso descarta solo un número finito de p por fracción. Con un poco más de sofisticación, las coordenadas homogéneas permiten borrar los denominadores multiplicando por un escalar común. Para un punto único determinado, se puede hacer esto y no dejar un factor común p . Independientemente de cómo entre la teoría de la singularidad : un punto no singular puede convertirse en un punto singular en el módulo de reducción p , porque el espacio tangente de Zariski puede volverse más grande cuando los términos lineales se reducen a 0 (la formulación geométrica muestra que no es culpa de un solo conjunto de coordenadas). ). Una buena reducción se refiere a que la variedad reducida tiene las mismas propiedades que la original, por ejemplo, una curva algebraica que tiene el mismo género , o una variedad suave que permanece suave. En general, habrá un conjunto finito S de números primos para una variedad dada V , supuesta suave, de modo que, de lo contrario, habrá una V p reducida suave sobre Z / p Z. Para las variedades abelianas , una buena reducción está relacionada con la ramificación en el campo de los puntos de división según el criterio de Néron-Ogg-Shafarevich . La teoría es sutil, en el sentido de que la libertad de cambiar variables para tratar de mejorar las cosas es bastante obvia: ver modelo de Néron , reducción del bien potencial , curva de Tate , variedad abeliana semiestable , curva elíptica semiestable , teorema de Serre-Tate . [dieciséis]
Conjetura de Grothendieck-Katz
La conjetura de curvatura p de Grothendieck-Katz aplica números primos de módulo de reducción a ecuaciones diferenciales algebraicas , para derivar información sobre soluciones de funciones algebraicas . El resultado inicial de este tipo fue el teorema de Eisenstein .

h

principio de hasse
El principio de Hasse establece que la solubilidad de un campo global es la misma que la solubilidad en todos los campos locales relevantes . Uno de los principales objetivos de la geometría diofántica es clasificar los casos en los que se cumple el principio de Hasse. Generalmente esto ocurre para una gran cantidad de variables, cuando el grado de una ecuación se mantiene fijo. El principio de Hasse se asocia a menudo con el éxito del método del círculo de Hardy-Littlewood . Cuando el método del círculo funciona, puede proporcionar información cuantitativa adicional, como el número asintótico de soluciones. Reducir el número de variables hace que el método del círculo sea más difícil; por lo tanto, los fallos del principio de Hasse, por ejemplo para formas cúbicas en un pequeño número de variables (y en particular para curvas elípticas como curvas cúbicas ), están relacionados en un nivel general con las limitaciones del enfoque analítico.
Función L de Hasse-Weil
Una función L de Hasse-Weil , a veces denominada función L global , es un producto de Euler formado a partir de funciones zeta locales. Las propiedades de tales funciones L permanecen en gran medida en el ámbito de las conjeturas, siendo la prueba de la conjetura de Taniyama-Shimura un gran avance. La filosofía de Langlands es en gran medida complementaria a la teoría de las funciones L globales.
Función de altura
Una función de altura en geometría diofántica cuantifica el tamaño de las soluciones de las ecuaciones diofánticas. [17]
campos hibertianos
Un campo hilbertiano K es aquel para el cual los espacios proyectivos sobre K no son conjuntos delgados en el sentido de Jean-Pierre Serre . Esta es una versión geométrica del teorema de irreductibilidad de Hilbert que muestra que los números racionales son hilbertianos. Los resultados se aplican al problema inverso de Galois . Los conjuntos delgados (la palabra francesa es mince ) son en cierto sentido análogos a los conjuntos escasos ( maigre francés ) del teorema de la categoría de Baire .

I

Función zeta de Igusa
Una función zeta de Igusa , llamada así por Jun-ichi Igusa , es una función generadora que cuenta números de puntos en una variedad algebraica módulo de altas potencias p n de un número primo fijo p . Actualmente se conocen los teoremas generales de racionalidad , basándose en métodos de la lógica matemática . [18]
descenso infinito
El descenso infinito fue el método clásico de Pierre de Fermat para las ecuaciones diofánticas. Se convirtió en la mitad de la prueba estándar del teorema de Mordell-Weil, siendo la otra mitad un argumento con funciones de altura (qv). El descenso es algo así como la división por dos en un grupo de espacios principales homogéneos (a menudo llamados "descensos", cuando se expresan mediante ecuaciones); en términos más modernos, en un grupo de cohomología de Galois que debe demostrarse que es finito. Véase grupo Selmer .
Teoría de Iwasawa
La teoría de Iwasawa se basa en la teoría analítica de números y el teorema de Stickelberger como una teoría de grupos de clases ideales como módulos de Galois y funciones L p-ádicas (con raíces en la congruencia de Kummer sobre los números de Bernoulli ). En sus inicios, a finales de la década de 1960, se le llamó el análogo de Iwasawa del jacobiano . La analogía fue con la variedad jacobiana J de una curva C sobre un campo finito F ( qua variedad Picard), donde el campo finito tiene raíces de unidad agregadas para hacer extensiones de campo finito F ′ La función zeta local (qv) de C puede recuperarse de los puntos J ( F ′ ) como módulo de Galois. De la misma manera, Iwasawa agregó p n -raíces de potencia de la unidad para p fijo y con n → ∞, para su análogo, a un campo numérico K , y consideró el límite inverso de los grupos de clases, encontrando una función L p -ádica introducido anteriormente por Kubota y Leopoldt.

k

teoría k
La teoría K algebraica es, por un lado, una teoría bastante general con un sabor a álgebra abstracta y, por otro lado, implicada en algunas formulaciones de conjeturas aritméticas. Véase por ejemplo Conjetura de Birch-Tate , Conjetura de Lichtenbaum .

l

conjetura de lang
Enrico Bombieri (dimensión 2), Serge Lang y Paul Vojta (caso de puntos integrales) y Piotr Blass han conjeturado que las variedades algebraicas de tipo general no tienen subconjuntos densos de Zariski de K -puntos racionales, para K un campo finitamente generado. Este círculo de ideas incluye la comprensión de la hiperbolicidad analítica y las conjeturas de Lang al respecto, y las conjeturas de Vojta. Una variedad algebraica analíticamente hiperbólica V sobre los números complejos es aquella en la que no existe ningún mapeo holomórfico desde todo el plano complejo , que no sea constante. Los ejemplos incluyen superficies compactas de Riemann de género g > 1. Lang conjeturó que V es analíticamente hiperbólico si y sólo si todas las subvariedades son de tipo general. [19]
toro lineal
Un toro lineal es un subgrupo cerrado de Zariski geométricamente irreducible de un toro afín (producto de grupos multiplicativos). [20]
Función zeta local
Una función zeta local es una función generadora del número de puntos en una variedad algebraica V sobre un campo finito F , sobre las extensiones de campo finito de F. Según las conjeturas de Weil (qv), estas funciones, para variedades no singulares , exhiben propiedades muy análogas a la función zeta de Riemann , incluida la hipótesis de Riemann .

METRO

Conjetura de Manin-Mumford
La conjetura de Manin-Mumford , ahora demostrada por Michel Raynaud , establece que una curva C en su variedad jacobiana J sólo puede contener un número finito de puntos que sean de orden finito en J , a menos que C = J. [21] [22]
Conjetura de Mordell
La conjetura de Mordell es ahora el teorema de Faltings y establece que una curva de género al menos dos tiene sólo un número finito de puntos racionales. La conjetura de Uniformidad establece que debería haber un límite uniforme en el número de dichos puntos, dependiendo únicamente del género y el campo de definición.
Conjetura de Mordell-Lang
La conjetura de Mordell-Lang, ahora probada por McQuillan tras el trabajo de Laurent, Raynaud , Hindry, Vojta y Faltings , es una conjetura de Lang que unifica la conjetura de Mordell y la conjetura de Manin-Mumford en una variedad abeliana o semiabeliana . [23] [24]
Teorema de Mordell-Weil
El teorema de Mordell-Weil es un resultado fundamental que establece que para una variedad abeliana A sobre un campo numérico K, el grupo A ( K ) es un grupo abeliano generado finitamente . Esto se demostró inicialmente para campos numéricos K , pero se extiende a todos los campos generados de forma finita.
Variedad mordélica
Una variedad Mordellic es una variedad algebraica que tiene sólo un número finito de puntos en cualquier campo finitamente generado. [25]

norte

altura ingenua
La altura ingenua o altura clásica de un vector de números racionales es el valor absoluto máximo del vector de enteros coprimos obtenido multiplicando por un mínimo común denominador . Esto puede usarse para definir la altura de un punto en el espacio proyectivo sobre Q , o de un polinomio, considerado como un vector de coeficientes, o de un número algebraico, a partir de la altura de su polinomio mínimo. [26]
Símbolo de Nerón
El símbolo de Néron es un emparejamiento bimultiplicativo entre divisores y ciclos algebraicos en una variedad abeliana utilizada en la formulación de Néron de la altura de Néron-Tate como una suma de contribuciones locales. [27] [28] [29] El símbolo global de Néron, que es la suma de los símbolos locales, es simplemente el negativo del par de alturas. [30]
Altura de Neron-Tate
La altura de Néron-Tate (también conocida como altura canónica ) en una variedad abeliana A es una función de altura (qv) que es esencialmente intrínseca y una forma cuadrática exacta , en lugar de aproximadamente cuadrática con respecto a la suma en A como proporcionado por la teoría general de las alturas. Puede definirse desde una altura general mediante un proceso limitante; también hay fórmulas, en el sentido de que es una suma de aportes locales. [30]
Invariante de Nevanlinna
El invariante de Nevanlinna de un divisor amplio D en una variedad proyectiva normal X es un número real que describe la tasa de crecimiento del número de puntos racionales en la variedad con respecto a la incrustación definida por el divisor. [31] Tiene propiedades formales similares a las abscisas de convergencia de la función zeta de altura y se conjetura que son esencialmente iguales. [32]

oh

Reducción ordinaria
Una variedad abeliana A de dimensión d tiene reducción ordinaria en un número primo p si tiene una buena reducción en p y además la p -torsión tiene rango d . [33]

q

Cierre cuasi algebraico
El tema del cierre cuasi algebraico , es decir, la solubilidad garantizada por un número de variables polinómicas en el grado de una ecuación, surgió de los estudios del grupo de Brauer y el teorema de Chevalley-Warning . Se estancó ante los contraejemplos ; pero ver el teorema de Ax-Kochen de la lógica matemática .

R

Módulo de reducción de un número primo o ideal.
Ver buena reducción .
Ideal repleto
Un ideal repleto en un campo numérico K es un producto formal de un ideal fraccionario de K y un vector de números reales positivos con componentes indexados por los lugares infinitos de K. [34] Un divisor repleto es un divisor de Arakelov . [4]

S

Conjetura de Sato-Tate
La conjetura de Sato-Tate describe la distribución de elementos de Frobenius en los módulos de Tate de las curvas elípticas sobre campos finitos obtenidos al reducir una curva elíptica dada sobre los racionales. Mikio Sato e, independientemente, John Tate [35] lo sugirieron alrededor de 1960. Es un prototipo para las representaciones de Galois en general.
método de skolem
Véase el método de Chabauty .
conjunto especial
El conjunto especial de una variedad algebraica es el subconjunto en el que se podría esperar encontrar muchos puntos racionales. La definición precisa varía según el contexto. Una definición es el cierre de Zariski de la unión de imágenes de grupos algebraicos bajo mapas racionales no triviales; alternativamente se pueden tomar imágenes de variedades abelianas; [36] otra definición es la unión de todas las subvariedades que no son de tipo general. [19] Para las variedades abelianas, la definición sería la unión de todas las traducciones de las subvariedades abelianas propias. [37] Para una variedad compleja, el conjunto especial holomórfico es el cierre de Zariski de las imágenes de todos los mapas holomórficos no constantes de C. Lang conjeturó que los conjuntos especiales analíticos y algebraicos son iguales. [38]
Teorema del subespacio
El teorema del subespacio de Schmidt muestra que los puntos de pequeña altura en el espacio proyectivo se encuentran en un número finito de hiperplanos. Schmidt también obtuvo una forma cuantitativa del teorema, en la que el número de subespacios que contienen todas las soluciones, y Schlickewei (1977) generalizó el teorema para permitir valores absolutos más generales en campos numéricos . El teorema se puede utilizar para obtener resultados en ecuaciones diofánticas como el teorema de Siegel sobre puntos integrales y la solución de la ecuación de la unidad S. [39]

t

Números de Tamagawa
La definición directa del número de Tamagawa funciona bien sólo para grupos algebraicos lineales . Allí finalmente se demostró la conjetura de Weil sobre los números de Tamagawa . Para las variedades abelianas, y en particular la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer (qv), el enfoque numérico de Tamagawa para un principio local-global falla en un intento directo, aunque ha tenido valor heurístico durante muchos años. Actualmente, una sofisticada conjetura del número equivariante de Tamagawa es un importante problema de investigación.
conjetura de tate
La conjetura de Tate ( John Tate , 1963) proporcionó una analogía a la conjetura de Hodge , también sobre ciclos algebraicos , pero dentro de la geometría aritmética. También proporcionó, para superficies elípticas , un análogo de la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer (qv), lo que llevó rápidamente a una aclaración de esta última y al reconocimiento de su importancia.
curva de velocidad
La curva de Tate es una curva elíptica particular sobre los números p-ádicos introducida por John Tate para estudiar la mala reducción (ver buena reducción ).
rango tsen
El rango Tsen de un campo, llamado así por CC Tsen quien introdujo su estudio en 1936, [40] es el número natural más pequeño i , si existe, tal que el campo sea de clase Ti : es decir, tal que cualquier sistema de polinomios sin término constante de grado d j en n variables tiene un cero no trivial siempre que n > Σ d j i . Los campos algebraicamente cerrados son de rango Tsen cero. El rango Tsen es mayor o igual a la dimensión Diofántica pero no se sabe si son iguales excepto en el caso del rango cero. [41]

Ud.

Conjetura de uniformidad
La conjetura de uniformidad establece que para cualquier campo numérico K y g > 2, existe un límite uniforme B ( g , K ) en el número de K -puntos racionales en cualquier curva de género g . La conjetura se derivaría de la conjetura de Bombieri-Lang . [42]
Intersección improbable
Una intersección poco probable es un subgrupo algebraico que intersecta una subvariedad de un toro o variedad abeliana en un conjunto de dimensiones inusualmente grandes, como el que implica la conjetura de Mordell-Lang . [43]

V

Conjetura de Vojta
La conjetura de Vojta es un complejo de conjeturas de Paul Vojta , que hace analogías entre la aproximación diofántica y la teoría de Nevanlinna .

W.

Pesos
El yoga de los pesos es una formulación de Alexander Grothendieck de analogías entre la teoría de Hodge y la cohomología l-ádica . [44]
Cohomología de Weil
La idea inicial, posteriormente algo modificada, para demostrar las conjeturas de Weil (qv), era construir una teoría de cohomología aplicable a variedades algebraicas sobre campos finitos que fuera tan buena como la homología singular para detectar estructuras topológicas y que tuviera mapeos de Frobenius actuando en de tal manera que el teorema del punto fijo de Lefschetz podría aplicarse al conteo en funciones zeta locales . Para conocer la historia posterior, consulte motivo (geometría algebraica) , cohomología motívica .
conjeturas de weil
Las conjeturas de Weil fueron tres conjeturas muy influyentes de André Weil , hechas públicas alrededor de 1949, sobre las funciones zeta locales. La prueba se completó en 1973. Una vez demostradas, quedan extensiones del teorema de Chevalley-Warning , que proviene de un método elemental, y mejoras de los límites de Weil, por ejemplo, mejores estimaciones para las curvas del número de puntos que las que provienen del método básico de Weil. teorema de 1940. Estos últimos resultan de interés para los códigos de geometría algebraica .
Distribuciones de Weil en variedades algebraicas.
André Weil propuso una teoría en las décadas de 1920 y 1930 sobre la descomposición ideal prima de números algebraicos en coordenadas de puntos en variedades algebraicas. Se ha mantenido algo subdesarrollado.
función bien
Una función de Weil en una variedad algebraica es una función de valor real definida a partir de algún divisor de Cartier que generaliza el concepto de función de Green en la teoría de Arakelov . [45] Se utilizan en la construcción de los componentes locales de la altura Néron-Tate . [46]
Máquina de altura Weil
La máquina de altura Weil es un procedimiento eficaz para asignar una función de altura a cualquier divisor en una variedad proyectiva suave sobre un campo numérico (o a divisores Cartier en variedades no suaves). [47]

Ver también

Referencias

  1. ^ Geometría aritmética en el n Lab
  2. ^ Sutherland, Andrew V. (5 de septiembre de 2013). «Introducción a la Geometría Aritmética» (PDF) . Consultado el 22 de marzo de 2019 .
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Otras lecturas