Teorema de Chevalley-Advertencia

Ciertas ecuaciones polinomiales en suficientes variables sobre un campo finito tienen soluciones

En teoría de números, el teorema de Chevalley-Warning implica que ciertas ecuaciones polinomiales en un número suficiente de variables en un campo finito tienen soluciones. Fue demostrado por Ewald Advertencia (1935) y Chevalley (1935) demostró una forma ligeramente más débil del teorema, conocida como teorema de Chevalley  . El teorema de Chevalley implicaba la conjetura de Artin y Dickson de que los campos finitos son campos casi algebraicamente cerrados (Artin 1982, página x).

Declaración de los teoremas

Sea un cuerpo finito y un conjunto de polinomios tales que el número de variables satisfaga ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \{f_{j}\}_{j=1}^{r}\subseteq \mathbb {F} [X_{1},\ldots ,X_{n}]}$

${\displaystyle n>\sum _{j=1}^{r}d_{j}}$

donde es el grado total de . Los teoremas son enunciados sobre las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones polinómicas. ${\displaystyle d_{j}}$ ${\displaystyle f_{j}}$

${\displaystyle f_{j}(x_{1},\dots ,x_{n})=0\quad {\text{for}}\,j=1,\ldots ,r.}$

• El teorema de Chevalley-Warning establece que el número de soluciones comunes es divisible por la característica de . O en otras palabras, la cardinalidad del conjunto evanescente de es módulo . ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})\in \mathbb {F} ^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \{f_{j}\}_{j=1}^{r}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p}$
• El teorema de Chevalley establece que si el sistema tiene la solución trivial , es decir, si los polinomios no tienen términos constantes, entonces el sistema también tiene una solución no trivial . ${\displaystyle (0,\dots ,0)\in \mathbb {F} ^{n}}$ ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})\in \mathbb {F} ^{n}\backslash \{(0,\dots ,0)\}}$

El teorema de Chevalley es una consecuencia inmediata del teorema de Chevalley-Warning ya que es al menos 2. ${\displaystyle p}$

Ambos teoremas son mejores posibles en el sentido de que, dado cualquiera , la lista tiene grado total y sólo la solución trivial. Alternativamente, usando solo un polinomio, podemos tomar f ₁ como el polinomio de grado n dado por la norma de x ₁ a ₁ + ... + x _n a _n donde los elementos a forman una base del campo finito de orden p ⁿ . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f_{j}=x_{j},j=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle n}$

Advertencia demostró otro teorema, conocido como segundo teorema de Advertencia, que establece que si el sistema de ecuaciones polinomiales tiene la solución trivial, entonces tiene al menos soluciones donde es el tamaño del campo finito y . El teorema de Chevalley también se deriva directamente de esto. ${\displaystyle q^{n-d}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle d:=d_{1}+\dots +d_{r}}$

Prueba del teorema de advertencia

Observación: Si entonces ${\displaystyle i<q-1}$

${\displaystyle \sum _{x\in \mathbb {F} }x^{i}=0}$

por lo que la suma de cualquier polinomio de grado menor que también desaparece. ${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle n(q-1)}$

El número total de soluciones comunes módulo de es igual a ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{r}=0}$

${\displaystyle \sum _{x\in \mathbb {F} ^{n}}(1-f_{1}^{q-1}(x))\cdot \ldots \cdot (1-f_{r}^{q-1}(x))}$

porque cada término es 1 para una solución y 0 en caso contrario. Si la suma de los grados de los polinomios es menor que n , entonces esto desaparece según la observación anterior. ${\displaystyle f_{i}}$

La conjetura de Artin.

Es una consecuencia del teorema de Chevalley que los campos finitos son casi algebraicamente cerrados . Esto había sido conjeturado por Emil Artin en 1935. La motivación detrás de la conjetura de Artin fue su observación de que los campos casi algebraicamente cerrados tienen un grupo de Brauer trivial , junto con el hecho de que los campos finitos tienen un grupo de Brauer trivial según el teorema de Wedderburn .

El teorema de Ax-Katz

El teorema de Ax-Katz , que lleva el nombre de James Ax y Nicholas Katz , determina con mayor precisión una potencia de la cardinalidad de dividir el número de soluciones; aquí, si es el mayor de , entonces el exponente se puede tomar como la función techo de ${\displaystyle q^{b}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d_{j}}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle {\frac {n-\sum _{j}d_{j}}{d}}.}$

El resultado de Ax-Katz tiene una interpretación en cohomología étale como un resultado de divisibilidad para los (recíprocos de) los ceros y polos de la función zeta local . Es decir, la misma potencia de divide cada uno de estos números enteros algebraicos . ${\displaystyle q}$

Ver también

• Combinatoria Nullstellensatz

Referencias

• Artin, Emil (1982), Lang, Serge.; Tate, John (eds.), Artículos recopilados , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90686-7, señor  0671416
• Ax, James (1964), "Ceros de polinomios sobre campos finitos", American Journal of Mathematics , 86 : 255–261, doi : 10.2307/2373163, MR  0160775
• Chevalley, Claude (1935), "Démonstration d'une hypothèse de M. Artin", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg (en francés), 11 : 73–75, doi :10.1007/BF02940714, JFM  61.1043.01, Zbl  0011.14504
• Katz, Nicholas M. (1971), "Sobre un teorema de Ax", Amer. J. Matemáticas. , 93 (2): 485–499, doi :10.2307/2373389
• Advertencia, Ewald (1935), "Bemerkung zur vorstehenden Arbeit von Herrn Chevalley", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg (en alemán), 11 : 76–83, doi :10.1007/BF02940715, JFM  61.1043.02, Zbl  0011.14601
• Serre, Jean-Pierre (1973), Un curso de aritmética , págs. 5-6, ISBN 0-387-90040-3

enlaces externos

• "Demostración del teorema de Chevalley-Warning".