En matemáticas , un campo F se llama cuasi-algebraicamente cerrado (o C 1 ) si cada polinomio homogéneo no constante P sobre F tiene un cero no trivial siempre que el número de sus variables sea mayor que su grado. La idea de campos cuasi-algebraicamente cerrados fue investigada por CC Tsen , un estudiante de Emmy Noether , en un artículo de 1936 (Tsen 1936); y más tarde por Serge Lang en su disertación de la Universidad de Princeton de 1951 y en su artículo de 1952 (Lang 1952). La idea en sí se atribuye al asesor de Lang, Emil Artin .
Formalmente, si P es un polinomio homogéneo no constante en variables
- X 1 , ..., X norte ,
y de grado d satisfactorio
- re < norte
entonces tiene un cero no trivial sobre F ; es decir, para algunos x i en F , no todos 0, tenemos
- P ( x 1 , ..., x norte ) = 0.
En lenguaje geométrico, la hipersuperficie definida por P , en el espacio proyectivo de grado N − 2 , tiene entonces un punto sobre F.
Ejemplos
- Cualquier campo algebraicamente cerrado es casi algebraicamente cerrado. De hecho, cualquier polinomio homogéneo en al menos dos variables sobre un campo algebraicamente cerrado tiene un cero no trivial. [1]
- Cualquier campo finito está casi algebraicamente cerrado por el teorema de Chevalley-Warning . [2] [3] [4]
- Los campos de funciones algebraicas de dimensión 1 sobre campos algebraicamente cerrados están casi algebraicamente cerrados según el teorema de Tsen . [3] [5]
- La extensión máxima no ramificada de un campo completo con una valoración discreta y un campo de residuo perfecto es casi algebraicamente cerrada. [3]
- Un campo completo con una valoración discreta y un campo de residuos algebraicamente cerrado está casi algebraicamente cerrado por un resultado de Lang. [3] [6]
- Un campo pseudoalgebraicamente cerrado de característica cero es cuasialgebraicamente cerrado. [7]
Propiedades
- Cualquier extensión algebraica de un campo cuasi algebraicamente cerrado es cuasi algebraicamente cerrado.
- El grupo de Brauer de una extensión finita de un campo cuasi algebraicamente cerrado es trivial. [8] [9] [10]
- Un campo casi algebraicamente cerrado tiene una dimensión cohomológica como máximo 1. [10]
C k campos
Los campos casi algebraicamente cerrados también se denominan C 1 . Un campo C k , de manera más general, es aquel para el cual cualquier polinomio homogéneo de grado d en N variables tiene un cero no trivial, siempre que
- re k < norte ,
para k ≥ 1. [11] La condición fue introducida y estudiada por primera vez por Lang. [10] Si un campo es C i entonces también lo es una extensión finita. [11] [12] Los campos C 0 son precisamente los campos algebraicamente cerrados. [13] [14]
Lang y Nagata demostraron que si un campo es C k , entonces cualquier extensión de grado de trascendencia n es C k + n . [15] [16] [17] El k más pequeño tal que K es un campo C k ( si no existe tal número), se llama dimensión diofántica dd( K ) de K . [13]![{\displaystyle \infty }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
C 1 campos
Todo campo finito es C 1 . [7]
C 2 campos
Propiedades
Supongamos que el campo k es C 2 .
- Cualquier campo sesgado D finito sobre k como centro tiene la propiedad de que la norma reducida D ∗ → k ∗ es sobreyectiva. [dieciséis]
- Cada forma cuadrática en 5 o más variables sobre k es isotrópica . [dieciséis]
La conjetura de Artin.
Artin conjeturó que los campos p -ádicos eran C 2 , pero Guy Terjanian encontró contraejemplos p -ádicos para todos los p . [18] [19] El teorema de Ax-Kochen aplicó métodos de la teoría de modelos para demostrar que la conjetura de Artin era cierta para Q p con p lo suficientemente grande (dependiendo de d ).
Campos débilmente C k
Un campo K es débilmente C k , d si para cada polinomio homogéneo de grado d en N variables que satisfacen
- re k < norte
el conjunto cerrado de Zariski V ( f ) de P n ( K ) contiene una subvariedad que es Zariski cerrado sobre K .
Un campo que es débilmente C k , d para cada d es débilmente C k . [2]
Propiedades
- Un campo C k es débilmente C k . [2]
- Un campo PAC perfecto débilmente C k es C k . [2]
- Un campo K es débilmente C k , d si y sólo si cada forma que satisface las condiciones tiene un punto x definido sobre un campo que es una extensión primaria de K. [20]
- Si un campo es débilmente C k , entonces cualquier extensión de grado de trascendencia n es débilmente C k + n . [17]
- Cualquier extensión de un campo algebraicamente cerrado es débilmente C 1 . [21]
- Cualquier campo con grupo de Galois absoluto procíclico es débilmente C 1 . [21]
- Cualquier campo de característica positiva es débilmente C 2 . [21]
- Si el cuerpo de los números racionales y los campos funcionales son débilmente C 1 , entonces cada campo es débilmente C 1 . [21]
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![{\displaystyle \mathbb {F} _ {p}(t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ver también
Citas
- ^ Fried y Jardín (2008) pág. 455
- ^ abcd Fried y Jarden (2008) p. 456
- ^ abcd Serre (1979) p. 162
- ^ Gille y Szamuley (2006) pág. 142
- ^ Gille y Szamuley (2006) pág. 143
- ^ Gille y Szamuley (2006) pág. 144
- ^ ab Fried y Jarden (2008) p. 462
- ^ Lorenz (2008) pág. 181
- ^ Serre (1979) pág. 161
- ^ a b C Gille y Szamuely (2006) p. 141
- ^ ab Serre (1997) pág. 87
- ^ Lang (1997) pág. 245
- ^ ab Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alejandro; Wingberg, Kay (2008). Cohomología de campos numéricos . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. vol. 323 (2ª ed.). Springer-Verlag . pag. 361.ISBN 978-3-540-37888-4.
- ^ Lorenz (2008) pág. 116
- ^ Lorenz (2008) pág. 119
- ^ abc Serre (1997) pág. 88
- ^ ab Fried y Jarden (2008) p. 459
- ^ Terjaniano, Guy (1966). "Un contraejemplo de una conjetura de Artin". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série AB (en francés). 262 : A612. Zbl 0133.29705.
- ^ Lang (1997) pág. 247
- ^ Fried y Jardín (2008) pág. 457
- ^ abcd Fried y Jarden (2008) p. 461
Referencias
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- Frito, Michael D.; Jarden, Moshe (2008). Aritmética de campo . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Seguir. vol. 11 (3ª edición revisada). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl 1145.12001.
- Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Álgebras centrales simples y cohomología de Galois . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. vol. 101. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-86103-9. Zbl 1137.12001.
- Greenberg, MJ (1969). Conferencias de formas en muchas variables . Serie de notas de conferencias de matemáticas. Nueva York-Ámsterdam: WA Benjamin. Zbl 0185.08304.
- Lang, Serge (1952), "Sobre el cierre cuasi algebraico", Annals of Mathematics , 55 (2): 373–390, doi :10.2307/1969785, JSTOR 1969785, Zbl 0046.26202
- Lang, Serge (1997). Estudio de Geometría Diofántica . Springer-Verlag . ISBN 3-540-61223-8. Zbl 0869.11051.
- Lorenz, Falko (2008). Álgebra. Volumen II: Campos con Estructura, Álgebras y Temas Avanzados . Saltador. págs. 109-126. ISBN 978-0-387-72487-4. Zbl 1130.12001.
- Serre, Jean-Pierre (1979). Campos locales . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 67. Traducido por Greenberg, Marvin Jay . Springer-Verlag . ISBN 0-387-90424-7. Zbl 0423.12016.
- Serre, Jean-Pierre (1997). Cohomología de Galois . Springer-Verlag . ISBN 3-540-61990-9. Zbl 0902.12004.
- Tsen, C. (1936), "Zur Stufentheorie der Quasi-algebraisch-Abgeschlossenheit kommutativer Körper", J. Chinese Math. Soc. , 171 : 81–92, Zbl 0015.38803