Campo pseudoalgebraicamente cerrado

En matemáticas , un campo es pseudoalgebraicamente cerrado si satisface ciertas propiedades que son válidas para campos algebraicamente cerrados . El concepto fue introducido por James Ax en 1967. ^[1] ${\displaystyle K}$

Formulación

Un campo K es pseudoalgebraicamente cerrado (generalmente abreviado como PAC ^[2] ) si se cumple una de las siguientes condiciones equivalentes:

• Cada variedad absolutamente irreductible definida arriba tiene un punto racional . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$
• Para cada polinomio absolutamente irreducible con y para cada distinto de cero existe tal que y . ${\displaystyle f\in K[T_{1},T_{2},\cdots ,T_{r},X]}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial X}}\not =0}$ ${\displaystyle g\in K[T_{1},T_{2},\cdots ,T_{r}]}$ ${\displaystyle ({\textbf {a}},b)\in K^{r+1}}$ ${\displaystyle f({\textbf {a}},b)=0}$ ${\displaystyle g({\textbf {a}})\not =0}$
• Cada polinomio absolutamente irreducible tiene infinitos puntos racionales. ${\displaystyle f\in K[T,X]}$ ${\displaystyle K}$
• Si es un dominio integral finitamente generado con un campo cociente que es regular , entonces existe un homomorfismo tal que para cada uno . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle h:R\to K}$ ${\displaystyle h(a)=a}$ ${\displaystyle a\in K}$

Ejemplos

• Los campos algebraicamente cerrados y los campos separablemente cerrados son siempre PAC.
• Los campos pseudofinitos y los campos hiperfinitos son PAC.
• Un ultraproducto no principal de campos finitos distintos es (pseudofinito y, por tanto, ^[3] ) PAC. ^[2] Ax deduce esto de la hipótesis de Riemann para curvas sobre campos finitos . ^[1]
• Las infinitas extensiones algebraicas de campos finitos son PAC. ^[4]
• El PAC Nullstellensatz . El grupo absoluto de Galois de un campo es profinito , por tanto compacto y, por tanto, equipado con una medida de Haar normalizada . Sea un campo hilbertiano contable y sea un número entero positivo . Entonces, para casi todas las tuplas , el campo fijo del subgrupo generado por los automorfismos es PAC. Aquí la frase "casi todos" significa "todos menos un conjunto de medida cero". ^[5] (Este resultado es una consecuencia del teorema de irreductibilidad de Hilbert). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle (\sigma _{1},...,\sigma _{e})\in G^{e}}$
• Sea K la extensión máxima de Galois totalmente real de los números racionales y i la raíz cuadrada de −1. Entonces K ( i ) es PAC.

Propiedades

• El grupo Brauer de un campo PAC es trivial, ^[6] ya que cualquier variedad Severi-Brauer tiene un punto racional. ^[7]
• El grupo absoluto de Galois de un campo PAC es un grupo proyectivo profinito ; de manera equivalente, tiene una dimensión cohomológica como máximo 1. ^[7]
• Un campo PAC de característica cero es C1 . ^[8]

Referencias

1. Fried y Jarden (2008) p.218
2. Fried y Jarden (2008) p.192
3. Fried y Jardín (2008) p.449
4. Fried y Jardín (2008) p.196
5. Fried y Jardín (2008) p.380
6. Fried y Jardín (2008) p.209
7. Fried y Jarden (2008) p.210
8. Fried y Jardín (2008) p.462

• Frito, Michael D.; Jarden, Moshe (2008). Aritmética de campo . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Seguir. vol. 11 (3ª edición revisada). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl  1145.12001.