Grupo compacto

Grupo topológico con topología compacta.

El círculo de centro 0 y radio 1 en el plano complejo es un grupo de Lie compacto con multiplicación compleja.

En matemáticas , un grupo compacto ( topológico ) es un grupo topológico cuya topología lo realiza como un espacio topológico compacto (cuando se opera sobre un elemento del grupo, el resultado también está dentro del grupo). Los grupos compactos son una generalización natural de grupos finitos con topología discreta y tienen propiedades que se trasladan de manera significativa. Los grupos compactos tienen una teoría bien entendida, en relación con las acciones grupales y la teoría de la representación .

A continuación asumiremos que todos los grupos son espacios de Hausdorff .

Grupos de mentira compacta

Los grupos de Lie forman una clase de grupos topológicos y los grupos de Lie compactos tienen una teoría particularmente bien desarrollada. Ejemplos básicos de grupos de Lie compactos incluyen ^[1]

• el grupo circular T y los grupos toroidales T ⁿ ,
• el grupo ortogonal O( n ), el grupo ortogonal especial SO( n ) y su grupo de espín que lo cubre Spin( n ),
• el grupo unitario U( n ) y el grupo unitario especial SU( n ),
• las formas compactas de los excepcionales grupos de Lie : G 2 , F 4 , E 6 , E 7 y E 8 .

El teorema de clasificación de grupos compactos de Lie establece que hasta extensiones finitas y coberturas finitas esto agota la lista de ejemplos (que ya incluye algunas redundancias). Esta clasificación se describe con más detalle en la siguiente subsección.

Clasificación

Dado cualquier grupo compacto de Lie G, se puede tomar su componente identidad G ₀ , que es conexo . El grupo cociente G / G ₀ es el grupo de componentes π ₀ ( G ) que debe ser finito ya que G es compacto. Por lo tanto tenemos una extensión finita

${\displaystyle 1\to G_{0}\to G\to \pi _{0}(G)\to 1.}$

Mientras tanto, para grupos de Lie compactos conectados, tenemos el siguiente resultado: ^[2]

Teorema : Todo grupo de Lie compacto conexo es el cociente por un subgrupo central finito de un producto de un grupo de Lie compacto simplemente conexo y un toroide.

Por tanto, la clasificación de grupos de Lie compactos conectados puede, en principio, reducirse al conocimiento de los grupos de Lie compactos simplemente conectados junto con información sobre sus centros. (Para obtener información sobre el centro, consulte la sección siguiente sobre grupo y centro fundamental).

Finalmente, todo grupo de Lie K compacto, conexo y simplemente conexo es un producto de un número finito de grupos de Lie simples compactos, conexos y simplemente conexos K _i, cada uno de los cuales es isomorfo a exactamente uno de los siguientes:

• El grupo simpléctico compacto ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n),\,n\geq 1}$
• El grupo unitario especial ${\displaystyle \operatorname {SU} (n),\,n\geq 3}$
• El grupo de giro ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n),\,n\geq 7}$

o uno de los cinco grupos excepcionales G 2 , F 4 , E 6 , E 7 y E 8 . Las restricciones sobre n son para evitar isomorfismos especiales entre las distintas familias para valores pequeños de n . Para cada uno de estos grupos, el centro se conoce explícitamente. La clasificación es a través del sistema de raíces asociado (para un toro máximo fijo), que a su vez se clasifican mediante sus diagramas de Dynkin .

La clasificación de grupos de Lie compactos y simplemente conectados es la misma que la clasificación de álgebras de Lie complejas semisimples . De hecho, si K es un grupo de Lie compacto simplemente conexo, entonces la complejización del álgebra de Lie de K es semisimple. Por el contrario, todo álgebra de Lie semisimple compleja tiene una forma real compacta isomorfa al álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto y simplemente conexo.

Tori máximo y sistemas de raíces.

Una idea clave en el estudio de un grupo K de Lie compacto conectado es el concepto de toro máximo , es decir, un subgrupo T de K que es isomorfo a un producto de varias copias de y que no está contenido en ningún subgrupo mayor de este tipo. . Un ejemplo básico es el caso , en cuyo caso podemos tomarlo como el grupo de elementos diagonales en . Un resultado básico es el teorema del toro que establece que cada elemento de pertenece a un toro máximo y que todos los toros máximos son conjugados. ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle K=\operatorname {SU} (n)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

El toro máximo en un grupo compacto juega un papel análogo al de la subálgebra de Cartan en un álgebra de Lie compleja semisimple. En particular, una vez elegido un toro máximo, se puede definir un sistema de raíces y un grupo de Weyl similar al que se tiene para las álgebras de Lie semisimples . ^[3] Estas estructuras juegan un papel esencial tanto en la clasificación de grupos compactos conectados (descrita anteriormente) como en la teoría de la representación de dicho grupo fijo (descrita a continuación). ${\displaystyle T\subset K}$

Los sistemas de raíces asociados a los grupos compactos simples que aparecen en la clasificación de grupos compactos simplemente conexos son los siguientes: ^[4]

• Los grupos unitarios especiales corresponden al sistema raíz. ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$ ${\displaystyle A_{n-1}}$
• Los grupos de espines impares corresponden al sistema raíz. ${\displaystyle \operatorname {Spin} (2n+1)}$ ${\displaystyle B_{n}}$
• Los grupos simplécticos compactos corresponden al sistema de raíces. ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$ ${\displaystyle C_{n}}$
• Los grupos de espines pares corresponden al sistema de raíces. ${\displaystyle \operatorname {Spin} (2n)}$ ${\displaystyle D_{n}}$
• Los excepcionales grupos compactos de Lie corresponden a los cinco sistemas de raíces excepcionales G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ o E _8.

Grupo fundamental y centro.

Es importante saber si un grupo de Lie compacto conexo es simplemente conexo y, en caso contrario, determinar su grupo fundamental . Para grupos de Lie compactos, existen dos enfoques básicos para calcular el grupo fundamental. El primer enfoque se aplica a los grupos compactos clásicos , , , y y procede por inducción en . El segundo enfoque utiliza el sistema raíz y se aplica a todos los grupos de Lie compactos conectados. ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$ ${\displaystyle n}$

También es importante conocer el centro de un grupo de Lie compacto conectado. El centro de un grupo clásico se puede calcular fácilmente "a mano" y en la mayoría de los casos consiste simplemente en cualquier raíz de la identidad que se encuentre en . (El grupo SO(2) es una excepción: el centro es el grupo completo, aunque la mayoría de los elementos no son raíces de la identidad.) Así, por ejemplo, el centro de consta de n- ésimas raíces de la unidad multiplicadas por la identidad, a grupo cíclico de orden . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$ ${\displaystyle n}$

En general, el centro se puede expresar en términos de la red de raíces y el núcleo del mapa exponencial para el toro máximo. ^[5] El método general muestra, por ejemplo, que el grupo compacto simplemente conexo correspondiente al sistema de raíces excepcional tiene centro trivial. Por lo tanto, el grupo compacto es uno de los muy pocos grupos compactos simples que están conectados de forma sencilla y al mismo tiempo sin centro. (Los otros son y .) ${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle F_{4}}$ ${\displaystyle E_{8}}$

Más ejemplos

_{Entre los grupos que no son grupos de Lie y, por lo tanto ,} no tienen la estructura de una variedad , algunos ejemplos son el grupo aditivo Zp de enteros p-ádicos y sus construcciones. De hecho, cualquier grupo lucrativo es un grupo compacto. Esto significa que los grupos de Galois son grupos compactos, un hecho básico para la teoría de extensiones algebraicas en el caso de grado infinito.

La dualidad de Pontryagin proporciona una gran cantidad de ejemplos de grupos conmutativos compactos. Estos están en dualidad con grupos discretos abelianos .

medida de pelo

Todos los grupos compactos llevan una medida de Haar , ^[6] que será invariante tanto para la traducción hacia la izquierda como hacia la derecha (la función del módulo debe ser un homomorfismo continuo a reales positivos ( R ⁺ , ×), y por lo tanto 1). En otras palabras, estos grupos son unimodulares . La medida de Haar se normaliza fácilmente para que sea una medida de probabilidad , análoga a dθ/2π en el círculo.

En muchos casos, una medida de Haar de este tipo es fácil de calcular; por ejemplo, para los grupos ortogonales Adolf Hurwitz lo conocía , y en el grupo de Lie los casos siempre se pueden dar mediante una forma diferencial invariante . En el caso profinito hay muchos subgrupos de índice finito , y la medida de Haar de una clase lateral será el recíproco del índice. Por lo tanto, las integrales suelen ser computables de forma bastante directa, un hecho que se aplica constantemente en la teoría de números .

Si es un grupo compacto y es la medida de Haar asociada, el teorema de Peter-Weyl proporciona una descomposición de como una suma directa ortogonal de subespacios de dimensión finita de entradas matriciales para las representaciones irreducibles de . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle L^{2}(K,dm)}$ ${\displaystyle K}$

Teoría de la representación

La teoría de la representación de grupos compactos (no necesariamente grupos de Lie y no necesariamente conexos) fue fundada por el teorema de Peter-Weyl . ^[7] Hermann Weyl pasó a dar la teoría detallada del carácter de los grupos de Lie compactos y conectados, basada en la teoría del toro máximo . ^{[8] La} fórmula resultante del carácter de Weyl fue uno de los resultados más influyentes de las matemáticas del siglo XX. La combinación del teorema de Peter-Weyl y la fórmula del carácter de Weyl llevó a Weyl a una clasificación completa de las representaciones de un grupo de Lie compacto conexo; esta teoría se describe en la siguiente sección.

Una combinación del trabajo de Weyl y el teorema de Cartan ofrece un panorama de toda la teoría de representación de grupos compactos G. Es decir, según el teorema de Peter-Weyl las representaciones unitarias irreducibles ρ de G están en un grupo unitario (de dimensión finita) y la imagen será un subgrupo cerrado del grupo unitario por compacidad. El teorema de Cartan establece que Im(ρ) debe ser en sí mismo un subgrupo de Lie en el grupo unitario. Si G no es en sí mismo un grupo de Lie, debe haber un núcleo para ρ. Además, se puede formar un sistema inverso , para el núcleo de ρ cada vez más pequeño, de representaciones unitarias de dimensión finita, que identifica a G como un límite inverso de grupos de Lie compactos. Aquí el hecho de que en el límite se encuentre una representación fiel de G es otra consecuencia del teorema de Peter-Weyl.

De este modo, la parte desconocida de la teoría de la representación de grupos compactos se devuelve, en términos generales, a las representaciones complejas de grupos finitos . Esta teoría es bastante rica en detalles, pero se comprende bien cualitativamente.

Teoría de la representación de un grupo de Lie compacto conectado

Ciertos ejemplos simples de la teoría de representación de grupos de Lie compactos se pueden resolver a mano, como las representaciones del grupo de rotación SO(3) , el grupo unitario especial SU(2) y el grupo unitario especial SU(3) . Nos centramos aquí en la teoría general. Véase también la teoría paralela de representaciones de un álgebra de Lie semisimple .

A lo largo de esta sección , fijamos un grupo de Lie compacto conectado K y un toro máximo T en K.

Teoría de la representación de T

Dado que T es conmutativo, el lema de Schur nos dice que cada representación irreducible de T es unidimensional: ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho :T\rightarrow GL(1;\mathbb {C} )=\mathbb {C} ^{*}.}$

Dado que, además, T es compacto, en realidad debe mapearse en . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle S^{1}\subset \mathbb {C} }$

Para describir estas representaciones concretamente, dejamos que sea el álgebra de Lie de T y escribimos los puntos como ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle h\in T}$

${\displaystyle h=e^{H},\quad H\in {\mathfrak {t}}.}$

En tales coordenadas, tendrá la forma. ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho (e^{H})=e^{i\lambda (H)}}$

para algunas funciones lineales en . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

Ahora bien, dado que el mapa exponencial no es inyectivo, no todos estos funcionales lineales dan lugar a un mapa bien definido de T en . Más bien, denotemos el núcleo del mapa exponencial: ${\displaystyle H\mapsto e^{H}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \Gamma =\left\{H\in {\mathfrak {t}}\mid e^{2\pi H}=\operatorname {Id} \right\},}$

donde es el elemento identidad de T . (Aquí escalamos el mapa exponencial por un factor de para evitar tales factores en otros lugares). Entonces, para dar un mapa bien definido , debe satisfacer ${\displaystyle \operatorname {Id} }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \lambda (H)\in \mathbb {Z} ,\quad H\in \Gamma ,}$

¿Dónde está el conjunto de los números enteros? ^[9] Un funcional lineal que satisface esta condición se llama elemento analíticamente integral . Esta condición de integralidad está relacionada, pero no es idéntica, a la noción de elemento integral en el contexto de álgebras de Lie semisimples. ^[10] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \lambda }$

Supongamos, por ejemplo, que T es simplemente el grupo de números complejos de valor absoluto 1. El álgebra de Lie es el conjunto de números puramente imaginarios, y el núcleo del mapa exponencial (escalado) es el conjunto de números de la forma donde es un entero. Un funcional lineal toma valores enteros en todos esos números si y sólo si tiene la forma de algún número entero . Las representaciones irreductibles de T en este caso son unidimensionales y de la forma ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle e^{i\theta }}$ ${\displaystyle H=i\theta ,\,\theta \in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle in}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda (i\theta )=k\theta }$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \rho (e^{i\theta })=e^{ik\theta },\quad k\in \mathbb {Z} .}$

Teoría de la representación de K

Ejemplo de los pesos de una representación del grupo SU(3)

La representación de " óctuple vía " de SU(3), tal como se utiliza en física de partículas

Los puntos negros indican los elementos integrales dominantes del grupo SU(3)

Ahora denotaremos una representación irreducible de dimensión finita de K (sobre ). Luego consideramos la restricción de a T . Esta restricción no es irreductible a menos que sea unidimensional. Sin embargo, la restricción se descompone como una suma directa de representaciones irreducibles de T . (Tenga en cuenta que una representación irreducible dada de T puede ocurrir más de una vez). Ahora, cada representación irreducible de T se describe mediante un funcional lineal como en la subsección anterior. Si un dado ocurre al menos una vez en la descomposición de la restricción de a T , llamamos peso de . La estrategia de la teoría de la representación de K es clasificar las representaciones irreductibles en términos de sus pesos. ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Sigma }$

Ahora describimos brevemente las estructuras necesarias para formular el teorema; Se pueden encontrar más detalles en el artículo sobre pesos en la teoría de la representación . Necesitamos la noción de un sistema de raíces para K (en relación con un toro máximo T dado ). La construcción de este sistema de raíces es muy similar a la construcción de álgebras de Lie complejas semisimples . Específicamente, los pesos son los pesos distintos de cero para la acción adjunta de T sobre el álgebra de Lie complejada de K. El sistema raíz R tiene todas las propiedades habituales de un sistema raíz , excepto que los elementos de R no pueden abarcar . ^[11] Luego elegimos una base para R y decimos que un elemento integral es dominante para todos . Finalmente, decimos que un peso es mayor que otro si su diferencia puede expresarse como una combinación lineal de elementos con coeficientes no negativos. ${\displaystyle R\subset {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda (\alpha )\geq 0}$ ${\displaystyle \alpha \in \Delta }$ ${\displaystyle \Delta }$

Las representaciones irreducibles de dimensión finita de K se clasifican luego mediante un teorema de mayor peso , ^[12] que está estrechamente relacionado con el teorema análogo que clasifica las representaciones de un álgebra de Lie semisimple . El resultado dice que:

1. toda representación irreductible tiene el mayor peso,
2. el peso más alto es siempre un elemento dominante, analíticamente integral,
3. dos representaciones irreducibles con el mismo peso más alto son isomorfas, y
4. cada elemento dominante, analíticamente integral, surge como el peso supremo de una representación irreductible.

El teorema de mayor peso para las representaciones de K es entonces casi el mismo que para las álgebras de Lie semisimples, con una excepción notable: el concepto de elemento integral es diferente. Los pesos de una representación son analíticamente integrales en el sentido descrito en el inciso anterior. Todo elemento analíticamente integral es integral en el sentido del álgebra de Lie, pero no al revés. ^[13] (Este fenómeno refleja que, en general, no todas las representaciones del álgebra de Lie provienen de una representación del grupo K. ) Por otro lado, si K es simplemente conexo, el conjunto de posibles pesos más altos en el sentido del grupo es el mismo que el conjunto de posibles pesos más altos en el sentido del álgebra de Lie. ^[14] ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$

La fórmula del carácter de Weyl

Si es una representación de K , definimos el carácter de como la función dada por ${\displaystyle \Pi :K\to \operatorname {GL} (V)}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \mathrm {X} :K\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathrm {X} (x)=\operatorname {trace} (\Pi (x)),\quad x\in K}$.

Se ve fácilmente que esta función es una función de clase, es decir, para todos y en K. Por tanto, está determinada por su restricción a T . ${\displaystyle \mathrm {X} (xyx^{-1})=\mathrm {X} (y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \mathrm {X} }$

El estudio de los personajes es una parte importante de la teoría de la representación de grupos compactos. Un resultado crucial, que es un corolario del teorema de Peter-Weyl , es que los caracteres forman una base ortonormal para el conjunto de funciones de clase integrables al cuadrado en K. Un segundo resultado clave es la fórmula del carácter de Weyl , que proporciona una fórmula explícita para el carácter (o, más bien, la restricción del carácter a T ) en términos del peso más alto de la representación.

En la teoría de representación estrechamente relacionada de las álgebras de Lie semisimples, la fórmula del carácter de Weyl es un resultado adicional establecido después de que se han clasificado las representaciones. Sin embargo, en el análisis de Weyl del caso del grupo compacto, la fórmula del carácter de Weyl es en realidad una parte crucial de la clasificación misma. Específicamente, en el análisis de Weyl de las representaciones de K , la parte más difícil del teorema (mostrar que cada elemento dominante analíticamente integral es en realidad el peso más alto de alguna representación) se demuestra de una manera totalmente diferente a la construcción habitual del álgebra de Lie usando Verma. módulos . En el enfoque de Weyl, la construcción se basa en el teorema de Peter-Weyl y una prueba analítica de la fórmula del carácter de Weyl . ^[15] En última instancia, las representaciones irreductibles de K se realizan dentro del espacio de funciones continuas en K.

El caso SU(2)

Consideremos ahora el caso del grupo compacto SU(2). Las representaciones a menudo se consideran desde el punto de vista del álgebra de Lie , pero aquí las analizamos desde el punto de vista del grupo. Tomamos el toro máximo como el conjunto de matrices de la forma

${\displaystyle {\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}.}$

Según el ejemplo analizado anteriormente en la sección sobre representaciones de T , los elementos analíticamente integrales están etiquetados por números enteros, de modo que los elementos analíticamente integrales dominantes son números enteros no negativos . La teoría general nos dice entonces que para cada , existe una representación irreducible única de SU(2) con mayor peso . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

Mucha información sobre la representación correspondiente a un determinado está codificada en su carácter. Ahora, la fórmula del carácter de Weyl dice, en este caso , que el carácter está dado por ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)={\frac {\sin((m+1)\theta )}{\sin(\theta )}}.}$

También podemos escribir el carácter como suma de exponenciales de la siguiente manera:

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)=e^{im\theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots e^{-i(m-2)\theta }+e^{-im\theta }.}$

(Si usamos la fórmula para la suma de una serie geométrica finita en la expresión anterior y simplificamos, obtenemos la expresión anterior).

De esta última expresión y de la fórmula estándar para el carácter en términos de los pesos de la representación , podemos leer que los pesos de la representación son

${\displaystyle m,m-2,\ldots ,-(m-2),-m,}$

cada uno con multiplicidad uno. (Los pesos son los números enteros que aparecen en los exponentes de los exponenciales y las multiplicidades son los coeficientes de los exponenciales). Como hay pesos, cada uno con multiplicidad 1, la dimensión de la representación es . Así, recuperamos gran parte de la información sobre las representaciones que normalmente se obtiene del cálculo del álgebra de Lie. ${\displaystyle m+1}$ ${\displaystyle m+1}$

Un resumen de la prueba.

Esbozamos ahora la demostración del teorema de mayor peso, siguiendo el argumento original de Hermann Weyl . Seguimos dejando que sea un grupo de Lie compacto conectado y un toro máximo fijo en . Nos centramos en la parte más difícil del teorema, mostrando que cada elemento dominante, analíticamente integral, es el peso más alto de alguna representación irreducible (de dimensión finita). ^[dieciséis] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$

Las herramientas para la prueba son las siguientes:

• El teorema del toro .
• La fórmula integral de Weyl .
• El teorema de Peter-Weyl para funciones de clase , que establece que los caracteres de las representaciones irreducibles forman una base ortonormal para el espacio de funciones de clase cuadradas integrables en . ${\displaystyle K}$

Con estas herramientas en mano, procedemos con la prueba. El primer paso importante en el argumento es demostrar la fórmula del carácter de Weyl . La fórmula establece que si es una representación irreducible con mayor peso , entonces el carácter de satisface: ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathrm {X} }$ ${\displaystyle \Pi }$

${\displaystyle \mathrm {X} (e^{H})={\frac {\sum _{w\in W}\det(w)e^{i\langle w\cdot (\lambda +\rho ),H\rangle }}{\sum _{w\in W}\det(w)e^{i\langle w\cdot \rho ,H\rangle }}}}$

para todos en el álgebra de Lie de . Aquí está la mitad de la suma de las raíces positivas. (La notación utiliza la convención de "pesos reales"; esta convención requiere un factor explícito de en el exponente). La prueba de Weyl de la fórmula del carácter es de naturaleza analítica y depende del hecho de que la norma del carácter es 1. Específicamente, Si hubiera términos adicionales en el numerador, la fórmula integral de Weyl obligaría a que la norma del carácter sea mayor que 1. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle L^{2}}$

A continuación, denotamos la función en el lado derecho de la fórmula del carácter. Mostramos que incluso si no se sabe cuál es el peso más alto de una representación , es una función bien definida e invariante de Weyl en , que por lo tanto se extiende a una función de clase en . Luego, utilizando la fórmula integral de Weyl, se puede demostrar que, como rangos sobre el conjunto de elementos dominantes analíticamente integrales, las funciones forman una familia ortonormal de funciones de clase. Destacamos que actualmente no sabemos si cada uno de ellos es el peso más alto de una representación; sin embargo, las expresiones en el lado derecho de la fórmula del carácter dan un conjunto bien definido de funciones , y estas funciones son ortonormales. ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$

Ahora viene la conclusión. El conjunto de todos , que abarca los elementos dominantes analíticamente integrales, forma un conjunto ortonormal en el espacio de funciones de clase cuadradas integrables. Pero según la fórmula de caracteres de Weyl, los caracteres de las representaciones irreductibles forman un subconjunto de los 's. Y según el teorema de Peter-Weyl, los caracteres de las representaciones irreducibles forman una base ortonormal para el espacio de funciones de clase cuadradas integrables. Si hubiera alguno que no fuera el peso más alto de una representación, entonces el correspondiente no sería el carácter de una representación. Por tanto, los caracteres serían un subconjunto adecuado del conjunto de 's. Pero entonces tenemos una situación imposible: una base ortonormal (el conjunto de caracteres de las representaciones irreducibles) estaría contenida en un conjunto ortonormal estrictamente mayor (el conjunto de 's). Por lo tanto, cada uno debe ser realmente el peso más alto de una representación. ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$ ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$ ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$

Dualidad

El tema de recuperar un grupo compacto a partir de su teoría de la representación es el tema de la dualidad Tannaka-Krein , ahora a menudo reformulada en términos de la teoría de categorías de Tannak .

De grupos compactos a no compactos

La influencia de la teoría de grupos compactos sobre los grupos no compactos fue formulada por Weyl en su truco unitario . Dentro de un grupo de Lie general semisimple hay un subgrupo compacto máximo , y la teoría de la representación de tales grupos, desarrollada en gran parte por Harish-Chandra , utiliza intensivamente la restricción de una representación a tal subgrupo, y también el modelo de la teoría del carácter de Weyl.

Ver también

• Teorema de Peter-Weyl
• toro máximo
• Sistema raíz
• Grupo localmente compacto
• p -grupo compacto
• Protoro
• Clasificación de representaciones de dimensión finita de álgebras de Lie
• Pesos en la teoría de la representación de álgebras de Lie semisimples

Referencias

1. Salón 2015 Sección 1.2
2. Bröcker & tom Dieck 1985, Capítulo V, Secciones 7 y 8
3. Salón 2015 Capítulo 11
4. Salón 2015 Sección 7.7
5. Salón 2015 Sección 13.8
6. Weil, André (1940), L'intégration dans les groupes topologiques et ses apps , Actualités Scientifiques et Industrielles, vol. 869, París: Hermann
7. Pedro, F.; Weyl, H. (1927), "Die Vollständigkeit derprimitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe", Math. Ana. , 97 : 737–755, doi : 10.1007/BF01447892.
8. Salón 2015 Parte III
9. Propuesta 12.9 del Salón 2015
10. Salón 2015 Sección 12.2
11. Salón 2015 Sección 11.7
12. Salón 2015 Capítulo 12
13. Salón 2015 Sección 12.2
14. Salón 2015 Corolario 13.20
15. Salón 2015 Secciones 12.4 y 12.5
16. Salón 2015 Secciones 12.4 y 12.5

Bibliografía

• Bröcker, Theodor; tom Dieck, Tammo (1985), Representaciones de grupos de mentiras compactos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 98, saltador
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Hofmann, Karl H.; Morris, Sidney A. (1998), La estructura de los grupos compactos , Berlín: de Gruyter, ISBN 3-11-015268-1